2025初升高数学专项提升：集合间的基本关系（预备知识）解析版

专题02集合间的基本关系

1、理解集合之间的包含与相等的含义;

能识别给定集合的子集，了解空集含义

能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换

/--------------[HHHK.

（新知速通J

1、子集、空集与Venn图

1.1子集的定义：

一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合3中的元素，我们就说这两个集合有

包含关系，称集合A为集合3的子集，记作（或3①A）,读作“A包含于B”（或“3包含

A”）。

1.2Venn图：

在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Ve/w图。则上述集合A和集合5的

包含关系，可以用如下Me〃〃图表示：

要点说明：

①子集的定义可以理解为：若任意的xeA,都有xeB,则A。5.这可以作为证明A口3的方法；

②规定：空集是任何集合的子集；

③任何一个集合是它本身的子集，记作ANA；

④包含关系具有传递性，即若AGB,且BJC,则ACC；

⑤集合A是集合33的子集不熊理解为集合A是由集合3中的“部分元素”组成的，因为集合A可能

是空集，也可能是集合3.

⑥注意符号“e”与“7"的区别："口”只用于集合与集合之间，如{0}口N,而不能写成{0}eN；“e”

只能用于元素与集合之间，如0@N,而不能写成0JN.

2、集合的相等

如果集合A是集合3的子集（A0B）,且集合3是集合A的子集（B0A）,此时，集合A与集合3

中的元素是一样的，因此，集合A与集合3相等，记作A=5。

要点说明：

①若且则4=5；反之，如果A=5,则A0B且这就给出了我们证明两个

集合全等的方法，即预证A=5,只需证A。B且3。A都成立即可;

②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；

③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元

素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。

④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在;

⑤集合中的关系与实数中的结论类比

实数集合

包含两层含义：a-b,或〃</?ANB包含两层含义：A=B,或AU3

若aNb,且。</?,则〃=b若A2B,且ACB,则A=B

若aNb,b>c9则aNc若A3B,B3C,则A3C

3、真子集

真子集（propersubset）：如果集合A。3,但存在元素%e6,S.x^A,我们称集合A是集合8的真

子集，记作AU8（或.读作“A真包含于3”或“3真包含A”.

要点说明：

理解真子集的定义要注意一下几点：

①空集是任何非空集合的真子集；

②对于集合A,B,C,如果AU3,BUC,那么AUC；

③若则A与5有两种可能的关系：即AU3或A=5；

4、空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0;

要点说明：

空集的性质：

①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即AW0；

③空集是任何非空集合的真子集，即若则0UA,反之也成立。

④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；

对点集训一：判断集合子集（真子集）个数

典型例题

例题1.（24-25高一上•广东梅州•期末）设集合M={。,）},N={1,2,3},则满足M=N的集合河有（

种情况

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】列举集合N含有两个元素的子集，可得结果.

【详解】因为集合N含有两个元素的子集有：{1,2},{1,3},{2,3}共3个，

所以集合M有3中情况.

故选：C

例2.（24-25高一上•广东广州•阶段练习）集合4=5€4/42}的真子集个数为.

【答案】7

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】根据A={-1,0」},即可根据公式求解真子集的个数.

【详解】A={xeZ|X2<2}={-1,0,1},

故真子集的个数为23-1=7,

故答案为：7

精练

1.（24-25高三上•吉林长春•期末）满足{0}=加={-1,0,1}的集合M的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】B

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】利用子集的定义列举出符合题意的集合，求解即可.

【详解】因为{0}="={-1,。,1},所以陷={。},M={O,1},

M={0,—1},={-1,0,1},共4个，故B正确.

故选：B

2.（24-25高一上•天津南开•阶段练习）已知集合M={x|»>l,xeN*},则M的非空子集的个数是

【答案】15

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】利用列举法表示集合M,进而求出其非空子集个数.

【详解】依题意，M={1,2,3,4},所以M的非空子集的个数是2。1=15.

故答案为：15

3.（24-25高一上广东江门•期中）集合A={0,20,27}的非空子集的个数为.

【答案】7

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】利用集合中的元素个数即可求得对应集合的子集个数，再去除空集即可得出结果.

【详解】易知集合中有3个元素，根据元素个数与子集个数之间的关系可得，集合的非空子集的个数为

23-1=7个

故答案为：7.

对点集训二：求集合子集（真子集）

典型例题

例1.（多选）（23-24高一上•山西太原•阶段练习）已知集合M满足{1,2仁加是{1,2,3,4},则这样的集

合M可能为（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,4}D.{1,2,3,4}

【答案】ABC

【知识点】求集合的子集（真子集）

【分析】根据子集和真子集的概念进行求解.

【详解】因为{1,2}三为1{L2,3,4},故洋={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4},

ABC正确，D错误.

故选：ABC

例2.（23-24高一下,全国•课堂例题）（1）写出集合⑴的子集和真子集.

（2）写出集合{〃，耳的所有子集和真子集.

（3）写出集合4={6,7,8}的所有子集和真子集.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析

【知识点】求集合的子集（真子集）

【分析】根据子集与真子集的定义求解即可.

【详解】⑴子集：0,⑴；真子集：0；

（2）子集：0,{a},{b},{a,b};真子集:0,{a},{b};

（3）子集：0,{6},{7},{8},{6,7},{7,8},{6,8},{6,7,8}；

真子集：0,{6},{7},{8},{6,7},{7,8},{6,8}.

精练

1.（多选）（23-24高一上•江苏南京•期中）下列各个选项中，满足{小2_2》-3=0}=«{-1,0,1,3}的集

合A有（）

A.{-1,3}B.{-1,1}C.{-1,0,3}D.{-1,0,1,3}

【答案】AC

【知识点】求集合的子集（真子集）

【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案.

【详解】因为2尤-3=（》-3）（尤+1）=0,即有{T,3}=4${-1,0,1,3},

所以A中定有-1和3,故排除B,又因为A是{-1,0,1,3}的真子集，故排除D.

故选：AC.

2.（24-25高一上•上海•课堂例题）已知集合“满足：{l,2}u"=l,2,3,4,5},写出集合M所有可能的情

况：_______

【答案】{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}

【知识点】求集合的子集（真子集）

【分析】利用集合间的包含关系求解，按集合M的元素个数由少到多进行列举.

【详解】解:{1,2}uM口{1,2,3,4,5},

，1,2都在集合M中，且3,4,5中有1个或2个在集合M中或3个都在集合M中，

，集合M所有可能情况为：

{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.

故答案为：{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.

3.（24-25高一上,广西桂林•阶段练习）（1）写出集合{1}的子集和真子集.

（2）写出集合{〃,6}的所有子集和真子集.

【答案】（1）子集：{1},0;真子集：0.

⑵子集：{a},{b},{a,b},0;真子集:M，H，0.

【知识点】求集合的子集（真子集）

【分析】根据题意，由子集与真子集的定义，即可得到结果.

【详解】⑴集合{1}的子集：{1},0；集合律的真子集。.

（2）集合{a,耳的子集:{a},{b},{a,b},0;

集合{4肉的真子集：{a},{b},0.

对点集训三：判断集合的包含关系

典型例题

例1.（24-25高一上•重庆•期中）下列各式正确的是（）

A.-l={x|x<2}B.{0}w{x|x<2}

C.Oe0D.0c{O}

【答案】D

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系

【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可.

【详解】对于A选项，-le（x|x<2）,A错;

对于B选项，{0}={x|x<2},B错；

对于C选项，0比0,C错；

对于D选项，。={0},D对.

故选：D.

例2.（多选）（24-25高一上•安徽合肥•期末）若集合A={xeN|2x+10>3x},则下列结论正确的是（）

A.2V2gAB.8=AC.{4}eAD.{0}cA

【答案】AD

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系

【分析】求得集合4={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},可得结论.

【详解】A={xeN|2x+10>3无}={xeN|x<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

所以2后eA,{0}cA,故AD正确；

所以8eA,{4}cA,故BC错误.

故选：AD.

精练

1.（2025高三下•全国•专题练习）若集合A={尤屈？},“=4&,则下面结论中正确的是（）

A.B.acAC.{a}eAD.a^A

【答案】D

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系

【分析】根据给定集合及元素的特征，结合元素、集合的关系判断得解.

【详解】由a=4应，得。是无理数，由A={xeN|xW72025）,得集合A是不超过45的自然数形成的集合,

因此集合{研不包含于集合A,D正确，A错误，由元素、集合间关系知BC错误.

故选：D

2.（24-25高一上•陕西西安•阶段练习）下列选项错误的是（）

A.{l}c{0,1,2}B.{1,-3}={-3,1}

C.{0,1,2}C{1,0,2}D.0e{O}

【答案】D

【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等、空集的概念以及判断

【分析】利用集合与集合的关系逐项判断即可.

【详解】对于A,集合{1}中的元素在集合{0,1,2}中，{1}={0,1,2},A正确；

对于B,集合{L-3}与集合{-3,1}中的元素相同,{1,-3}={-3,1},B正确;

对于C,集合{0」,2}中的元素都在集合{1,0,2}中，{0,1,2}={1,0,2},C正确；

对于D,集合{0}中的元素不是空集，0e{O}不正确，D错误.

故选：D

3.（多选）（24-25高一上•陕西宝鸡•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.3,4,5}B.{3}e{1,2,3,4,5}

C.{2,4}c{1,2,3,4,5}D.。冬{1,2,3,4,5}

【答案】ACD

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断

【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得.

【详解】对于A,le{l,2,3,4,5},A正确；

对于B,{3}c{1,2,3,4,5},B错误;

对于C,{2,4}G{1,2,3,4,5},C正确；

对于D,0C{1,2,3,4,5},D正确.

故选:ACD

对点集训四：根据集合的包含关系求参数

典型例题

例1.（24-25高二上•重庆•阶段练习）设集合A={1,3,/},B={l,«+2},且BgA,贝!|a=（）

A.1B.2C.l或2D.-1或2

【答案】B

【知识点】根据集合的包含关系求参数、集合元素互异性的应用

【分析】利用集合间的包含关系列出方程，求解检验即得.

【详解】由题意，{1,0+2}={1,3,/},贝IJ有a+2=3或a+2=/,解得a=±1或。=2,

显然当”=±1时，集合&={1,3,/}中的元素出现重复，与集合元素的互异性矛盾，

而a=2时，8={L4},A={1,3,4},满足BqA.

故选：B.

例2.（24-25高一上•广东东莞•期末）设集合A=3-2<x<l},B={x\x<a-}},满足A=则实数

的取值范围是（）

A.{a\al1}B.{a\a>-1}C.{a|a>2）D.{a|a<2}

【答案】C

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【详解】利用集合包含关系得不等关系，从而求解.

【解答】,,,AcB,A={x|-2<x<1},B-{x\x<a-l],

由题意如图：

_________1______kJ_>21,解得a22.

-21a-\x

故选：c.

精练

1.（2025•广西柳州•三模）已知集合4=31<》<3},3={x|x<a},若4a3,则实数。的取值范围是（

A.（^»,3）B.（-<»,3]C.（3,+oo）D.[3,+co）

【答案】D

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】利用集合间的包含关系求解.

【详解】因为A={无<3},8={无卜<。},且4=3,

所以a23,所以实数〃的取值范围是[3,讨），

故选:D.

2.（24-25高三下•河南周口•开学考试）已知集合4={0,|那，B={l,a+l,a-l},若AgB,贝（

A.1B.-1C.10D.1^-1

【答案】D

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】由A=3得。+1=0或。-1=0求出值，并根据集合元素互异性检验得解.

【详解】因为A=当a+l=O,即a=—1时，A={0,1},B={l,0,-2},符合题意;

当a—l=0,即a=l时，A={0.1},B={1,2,0},符合题意.

综上，。=1或—1.

故选：D.

3.（24-25高一上•上海•期末）已知集合&={-2,2},B=[-2,-1,a+3],且4=3,则实数"的值为

【答案】-1

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】由集合包含关系得到a+3=2即可求解；

【详解】由题意可知。+3=2,

解得：a=-l,

故答案为：-1

对点集训五：判断两个集合是否相等

典型例题

例1.（24-25高一上•安徽阜阳•期中）下列集合中表示同一集合的是（）

A.M={（3,2）},N={（2,3）}

B.M={4,5},N={5,4}

C.M={（x,y）|x+y=l},N={y|x+y=l}

D.M={1,2},TV={（1,2））

【答案】B

【知识点】判断两个集合是否相等

【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，M'N;

对于B选项，M=N;

对于C选项，M为点集，N为数集，则V，N;

对于D选项，河为数集，N为点集，则ATN.

故选：B.

例2.（多选）（23-24高一上•重庆云阳•阶段练习）下列集合中，与集合{-1,1}相等的是（）

A.[-1,1]B.{x|x2=1}C.{（x,y）k=T,y=l}D.卜=

【答案】BD

【知识点】列举法表示集合、判断两个集合是否相等

【分析】根据集合的性质得到AC错误，BD正确.

【详解】A选项，［-1』上｛-1』｝,A错误；

B选项，卜*=1｝=｛L-1｝,B正确；

C选项，｛（x,y）|x=T,y=l｝=｛（-l,l）｝"-I』｝,C错误；

D选项，只有当x=l和x=T时，y=故卜eZ|y=-，yeZ卜｛1,一1｝,D正确.

故选：BD

精练

1.（24-25高一上,广东汕头•阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（）

A.M=｛（3,2）｝,N=｛（2,3）｝B.M=｛2,3｝,N=｛（2,3）｝

C.M=｛（尤,y）|x+y=1｝,N=｛Vx+y=l｝D.M=｛2,3｝,N-｛3,2｝

【答案】D

【知识点】判断两个集合是否相等

【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，M=｛（3,2）｝,N=｛（2,3）｝,则叱N;

对于B选项，M=｛2,3｝,N=｛（2,3）｝,贝1］叱N;

对于C选项，川=｛（尤,'）归+丫=1｝为点集，N=｛Vx+y=l｝为数集，则ATN;

对于D选项，加=｛2,3｝,N=｛3,2｝,则"=乂

故选：D.

2.（多选）（24-25高一上•广东阳江•期中）下列各组中M,N表示不同集合的是（）

A.M=｛4,-3］,N=｛（4,-3）｝

B.M=｛（3,2）｝,N=｛（2,3）｝

C.A/=｛y|y=x_2,元22｝,N=｛（x,y）|y=尤-2,彳22｝

D.M=｛y|y=2左+1,4eZ｝,N=｛y|y=2左一1,上eZ｝

【答案】ABC

【知识点】判断两个集合是否相等

【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同.

【详解】A选项，M为数集，N为点集,则两集合不同，故A正确；

B选项，M为点集，N为数集，则两集合不同，故B正确；

C选项，河为数集，N表示射线y=X—29X>2上的点，则两集合不同，故C正确；

D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误.

故选:ABC

3.(24-25高一上•全国•课堂例题)4={尤［。+1)。+2)=0},8={-1,-2},集合4与3有什么关系？

【答案】相等

【知识点】判断两个集合是否相等

【分析】求出集合A,进行判断即可.

【详解】因为A=同(*+l)(x+2)=0}={-1,-2},B={-1,-2),

所以A=8.

对点集训六：根据两个集合相等求参数

典型例题

例1.(24-25高三上•湖南长沙•期末)已知集合4={0』,2},B={0,l,2a},若A=8,贝！|a=()

A.一1或2B.一1或1C.-1D.1

【答案】D

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】由集合相等即可求得结果.

【详解】集合A={0,l,2},B={0,l,2a},

因为A=3,所以2a=2,

解得a=l,

故选：D.

例2.(24-25高一上•重庆•期中)已知数集4={。+1,。,—2},8={4,2,-2},若A=3,贝心=.

【答案】1

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】根据题意分两种情况讨论即可.

【详解】易知2eA,所以a+l=2或4=2,

若a+l=2,即。=1,此时A={2』,-2},B={l,2,-2},符合题意；

若a=2,此时』={3,2,-2},3={4,2,-2},A^B,舍;

综上,a=l.

故答案为：1

精练

1.(24-25高二上•浙江杭州•期末)设集合A={0,a},8={“-2,3a-4},若3=A,贝！|。=()

4

A.2B.1C.-D.-2

3

【答案】A

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】利用集合相等列式求值并验证得解.

4

【详解】集合4={0,。},3=伍-2,3。一4},由8=4,得。一2=0或3。—4=0,解得4=2或。=§,

当a=2时，8={0,2}=A,符合题意；

42

当〃时，3={0，-不符合题意，

所以。=2.

故选：A

2.（23-24高一上•山东泰安•阶段练习）已知集合4={0,1,〃},3={1,0,2。+3},若A=B,则。等于（）

A.一1或3B.0或一1C.3D.-1

【答案】C

【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数

【分析】利用集合相等的定义，即可得到集合里面的元素完全相等即可求得.

【详解】因为4={0,1,"},3={1,0,2。+3},若4=5,则4=2°+3,解得：。=3或。=一1,又因为集合

元素的互异性，aw-1即a=3

故选：C

3.（24-25高一上•上海•期中）1.若集合{。,4={尤|Y—12x+32=0},则a+6的值为

【答案】12

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】根据集合相等的表示及二次方程求解元素即可.

【详解】因为{a,6}={x|/—12x+32=o},

所以集合可表示为{4,8},所以4+6=12.

故答案为：12.

对点集训七：空集

典型例题

例1.（2025高三下,全国,专题练习）已知集合4={{0},0},下列选项中为A的元素的是（）

①{0}②{{0}}③0®{{0},0}

A.①②B.0（3）C.②③D.②④

【答案】B

【知识点】判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断

【分析】由集合A即可直接判断；

【详解】集合A有两个元素：{0}和。.

故选：B

例2.（24-25高一上•上海浦东新•期中）关于x的不等式限x+3）＜x+机解集为空集，则实数,"的值为.

【答案】1

【知识点】空集的概念以及判断

【分析】不等式化为（祖-1口＜-2机，然后对系数进行分类讨论可得.

【详解】"?（x+3）＜x+，w可化为（in-l）x＜—2m,

若m=1,不等式为0＜-2,不成立，不等式解集为空集，

若加＞1,不等式的解为X＜-R,

m-1

若加＜1,不等式的解为x＞-1，

m-1

综上,m=l,

故答案为:1.

精练

1.（23-24高一上•重庆,期中）下列关于0与0说法不正确的是（）

A.020B.0e{0}

C.{0}=0D.{0}30

【答案】C

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断、空集的性质及应用

【分析】根据。的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断.

【详解】因为。是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确；

对于选项B:0G{0},故B正确；

对于选项D:因为0是任何集合的子集，所以{0}卫0,故D正确；

故选：C.

2.（多选）（24-25高一上•山西大同•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.0e{O}B.0e{0}C.0c{0,1,2}D.（1,2）={1,2}

【答案】BC

【知识点】判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用、判断元素与集合的关系、判断两个集合是否相

等

【分析】运用元素与集合的关系，集合与集合关系，结合空集概念解题即可

【详解】因为。不是｛0｝中的元素，故0e｛O｝错误；

元素与集合之间的关系是属于关系，则0e｛0｝正确；

空集是没有元素的集合.空集是任何集合子集，则0=｛0,1,2｝正确；

集合相等是元素一样，则（1,2）=｛1,2｝错误.

故选:BC.

3.（24-25高一上•上海长宁•开学考试）若不等式（。-2卜>。+3的解集为0,则”的取值集合为

【答案】｛2｝

【知识点】空集的概念以及判断

【分析】根据一次不等式的解集求参数即可.

【详解】若不等式（〃-2.>。+3的解集为0,则。-2=0,所以。=2,符合题意，

故a的取值集合为｛2｝.

故答案为：｛2｝.

一、单选题

1.（23-24高一上•湖北宜昌•阶段练习）已知集合2=｛1,2｝,那么满足Q=P的集合Q的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】根据子集和真子集的含义即可得到答案.

【详解】由题意得。=律或｛2｝或｛1,2｝,

则满足题意的。的个数是3.

故选：B.

2.（24-25高一下•辽宁•开学考试）已知集合「=卜|0<%<4｝,且MaP,则M可以是（）

A.{2,4}B.{1,2)C.{-1,2}D.{052}

【答案】B

【知识点】子集的概念

【分析】根据子集的定义即可求解.

【详解】由于P={尤[0<x<4},4任己一1丈尸,0走尸,故{1,2}a尸，

故选：B

3.（24-25高三下•广东惠州•阶段练习）已知集合4={2<^<2},B=[x\x<a],若则实数。的

取值范围是（）

A.（2,+00）B.co,2）C.（-co,2]D.[2,+co）

【答案】D

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】根据集合的包含关系即可求解.

【详解】由题意，因为4=3,即集合A是集合B的子集，所以022.

故选：D.

4.（24-25高三上•浙江阶段练习）若集合A={d/+1=0}是空集，则。的取值范围是（）

A.（0,+ao）B.[0,+oo）c.（-co,0）D.（-oo,0]

【答案】B

【知识点】空集的概念以及判断

【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案.

【详解】集合A=付/+1=0}是空集，则关于x的方程加+1=0无实根，

当a<0时，方程在2+1=0为/=-工>0有两个不等实根，不符合要求，

a

当〃>0时，ax2+l>l>0,方程办2+1=0无实根，

所以〃的取值范围是[。,+8）.

故选：B

5.（24-25高三上•河南南阳•期末）已知集合”={-2,—1,0,1,2},N={y|y=Y-/},则集合N的

真子集个数为（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】A

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】求出集合N,利用集合的真子集个数公式可求得集合N的真子集个数.

【详解】因为/={-2,-1,0,1,2},则"=}卜=/一.6,尤eM}={-6,-4,0},

所以，集合N的真子集个数为23-1=7.

故选：A.

6.（24-25高一上•重庆九龙坡•期末）已知集合4=｛人,4｝,3=｛-2,4,山—1｝,且413,则实数，〃的值为（）

A.-5B.-4C.-3D.3

【答案】C

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】根据集合的包含关系可得根-1=T求解.

【详解】由于A=3,故=解得m=一3,

故选：C

7.（19-20高一上•河南郑州•期中）下列表述中正确的是（）

A.｛0｝=0B.｛（1,2）｝=｛1,2｝C.｛0｝—0D.OeN

【答案】D

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系

【分析】根据集合与元素之间的基本关系以及集合与集合之间的关系逐一判断可得结论.

【详解】对于A,因为空集中不含有任何元素，因此｛。｝片0,即A错误；

对于B,集合｛。,2）｝中只有一个元素，而｛1,2｝中有两个元素，所以｛（1,2）｝*｛1,2｝,即B错误；

对于C,空集中不含有任何元素，而｛0｝中有一个元素0,所以C错误；

对于D,自然数集N中包含0,因此OeN,即D正确.

故选：D

8.（24-25高三上•新疆喀什•阶段练习）设集合A=｛0,4，B=1x|0<x<—21,若A=则实数“的

取值范围为（）

A.«>2B.a<2C.a>2D.a<2

【答案】A

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据元素与集合的关系求参数

【分析】问题转化为根据元素与集合的关系，求参数取值范围.

【详解】因为A=所以OeB且aeB.

由0ejB=>0W2a-2=>a21;

综上可知：a>2.

故选：A

二、多选题

9.（24-25高一上•广西柳州•期末）下列表述正确的有（）

A.0=0,1}B.0e{0,l}

C.0={O}D.。表示没有任何元素的集合

【答案】BD

【知识点】判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断

【分析】根据元素和集合的关系判断AB选项，根据空集的定义判断CD选项.

【详解】A选项，0是元素，{0,1}是集合，之间不能用=符号连接，A选项错误；

B选项，{0,1}集合中确实含有元素0,即0e{0,l},B选项正确；

C,D选项，根据空集的定义，0表示没有任何元素的集合，D选项正确，

而{0}是包含一个0元素的单元素集合，0N{。},C选项错误.

故选：BD

10.（24-25高一上•山东聊城•阶段练习）下列各个选项中，满足{无|尤2-2工-3=0}1*{-1,0,1,3}的集合

A有（）

A.{-1,3}B.{-1,1}C.{-1,0,3}D.{—1,0,1,3}

【答案】AC

【知识点】求集合的子集（真子集）

【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案.

【详解】因为x2-2x-3=（x—3心+1）=0,即有{-1,3}aA{-1,0,1,3},

所有满足条件的集合A为：{-1,3},{-1,0,3},{-1,1,3}.

故选：AC.

三、填空题

11.（24-25高一下•河北保定•阶段练习）已知集合人=何―1<%<2},B={x\-l<x<m+\],若4=8,

则实数用的取值范围是.

【答案】

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】根据集合的包含关系列不等式求结论即可.

【详解】因为A=A={R—1<X<2},B=^x\-l<x<m+A^,

所以zn+122,

所以?nNl.

故答案为：{向相21}

12.（2025高三•全国•专题练习）已知“,beR,若=,贝[]/侬+"侬=.

【答案】1

【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数

【分析】先根据分式有意义可得到6的值，再根据相等集合以及集合元素的互异性得到。的值，即可求得结

果.

b

【详解】由已知得awO,则一=0,所以6=0,

a

于是°2=1,即。=1或a=—1,

又由集合中元素的互异性知。=1应舍去，故。=-1,

所以/期+/。26=（_1）2。26+02026=i

故答案为：1.

四、解答题

13.（24-25高一上•河北石家庄•阶段练习）已知集合A={xeR|av2—x—1=0,ae.

（1）若a=2,写出集合A的所有子集；

（2）若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值.

【答案】（1心,{Itmi

（2）0或一:

【知识点】根据集合中元素的个数求参数、求集合的子集（真子集）

【分析】（1）求出集合A,进而求出其子集即得.

（2）按。的值是否为0,分类求解即得.

【详解】（1）若。=2,贝!]A={xeR|2Y-x-l=0,aeR}=D

所以集合A的所有子集是：

（2）当a=0时，方程一%-1=0=%=-1,符合题意，因此a=0,

当awO时，集合4中仅含有一个元素，贝UA=l+4a=0,解得a=一，

4

所以实数a的值为0或

4

14.（24-25高一上•全国•课后作业）已知集合4={尤1-34》<2},B^[x\2k-l<x<2k+l],且31A,求

实数％的取值范围.

【答案】|^|-l<k<

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】根据集合的基本关系得出不等式组计算即可.

【详解】由于B=在数轴上表示A,B,如图，

__________A

-32k-\2k+\2%

f2^-l>-3,A［左2一1，

可得。7.解得，1

|2%+1<2,k<一.

I2

所以上的取值范围是，％-14左.

15.（24-25高一上•四川泸州期中）已知集合A=+—=5j>,B=^x|（a-l）x2+ax+a-l=o1.

（1）若B中恰有一个元素，用列举法表示。的值构成的集合；

（2）若BaA,求。的取值范围.

【答案】a）“，2,g,

⑵1-叫gU（2,+=o）

【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据集合的包含关系求参数

【分析】⑴分a-l=O与。一1力0两种情况讨论，当a—1W0时△=（）,即可求出参数的值；

（2）首先解方程求出集合A,再分3=0、le3、4e3三种情况讨论，分别求出参数〃的范围（值），

即可得解.

【详解】（1）若aT=O,即。=1,则3=网，符合题意.

若4一1工0,即awl,则由B中恰有一个元素，得A=/_4（a-l）2=0,

2

解得。=2或〃=；.

3

综上所述，a的值构成的集合为",251.

（2）由x+；=5,解得x=l或x=4,贝IJA={1,4}.

ci—1w0,2

若3=0,符合贝叫，、2c解得4<彳或。>2.

6!*--4（67-1）<0,3

2

若leB,则3a-2=0,解得贝”={1},符合BqA.

若4eB,则21a—17=0,解得。=三，则8=（4,；卜不符合3UA.

综上所述，a的取值范围为U（2,+⑹.

1.（24-25高二下•北京•期中）已知集合合={1,2,3,4,5,…,2025}的子集3满足时任意冷ye8,有,

则集合5中元素个数的最大值是（）

A.506B.507C.1012D.1013

【答案】D

【知识点】抽屉原理、利用集合中元素的性质求集合元素个数

【分析】假设5中的最大元素为2025,再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解.

【详解】假设3中的最大元素为2025,

将其余元素分组（1,2024）,（2,2023）,（1012,1013）,共1012组，

若3中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025,与条件矛盾.

所以B中元素不能多于1013个.

所以当8={1013,1014,1015,…,2025}时,

B中元素个数最多为2025-1013+1=1013.

故选：D

2.（2025高三•全国•专题练习）定义集合的。运算：已知集合A,2,则4。8=[卜=%0€46€81.若集

合4={1,尤},B={x2,%3）,则集合的真子集个数的一个可能取值是.

【答案】3或7

【知识点】利用集合元素的互异性求参数、判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义

【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可.

【详解】由集合中元素的互异性可得XN0且XWL

当x=T时，A=B={1-1],所以4。3={-1,1},

此时集合4。3的真子集个数为22-1=3.

因为集合A中有个元素，则集合A有2"个子集，有2"-1个真子集，

当犬力0且时，AOB=1-,4,41＞此时集合A03的真子集个数为23-1=7.

lxXXI

故答案为：3或7

3.（24-25高一上•陕西西安•阶段练习）含有有限个元素的数集，定