2025初升高数学专项提升：幂函数（预备知识）解析版

专题13幕函数

预习目标

1、通过具体实例，了解塞函数的定义，会画丁=%，>=/,y=x3,>=尤。，>五个塞函数的图象,

理解它们的性质;

2、通过对募函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法.

/--------------[HHHK-

（新知速通J

知识点一：暴函数的概念

1、定义：一般地，函数>=/叫做嘉函数，其中％是自变量，a是常数.

2、塞函数的特征

①>中V前的系数为“1”

②>=X。中X。的底数是单个的自变量“x”

③丁二丁中a是常数

知识点二：塞函数的图象与性质

1、五个嘉函数的图象(记忆五个塞函数的图象)

当。=1,2,3,1,-1时，我们得到五个塞函数：

2

23l

/(X)=X；/(X)=X；f(x)=X;/(x)=x2；f(x)=x~

2、五个嘉函数的性质

2

/(X)=X/(x)=x2/(X)=X3/(X)=x2/(X)=/

定义域RRR[0,+8)(一8,0)(0,+co)

值域R[0,+oo)R[0,+co)(-8,0)(0,+co)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数

在(—8,0)上

在R上单单调递减在R上单调在［0,+8)在(-8,0)上单调递减

单调性

调递增在(0,+co)单递增单调递增在(0,+8)上单调递减

调递增

定点(1,1)

3、拓展：

①/(幻=V，当。＞0时，/。)=产在(0,+8)单调递增；

②/(幻=V，当。＜0时，/(©=产在(0,+8)单调递减.

对点集训一：求募函数的值

典型例题

例题1.(24-25高一下•辽宁抚顺•开学考试)若函数〃元)是幕函数，且〃9)=3〃1),则/(36)=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【知识点】求帚函数的值、求骞函数的解析式

【分析】设出孱函数解析式，根据条件得到方程，求出〃x)=«,代入求值.

【详解】设=由"9)=3/⑴得9。=3,解得C=所以〃X)=4,

所以436)=A/§^=6.

故选：C

例题2.(24-25高一上•重庆•期末)已知募函数y=的图象过点(9,3),则〃4)=()

A.2B.8C.72D.16

【答案】A

【知识点】求孱函数的解析式、求帚函数的值

【分析】由点求得函数解析式即可求解；

【详解】设y=〃x）=x",

贝（13=9",解得："=

2

所以〃4）=42=2,

故选：A

精练

1.（24-25高一上•云南楚雄•期末）已知事函数〃尤）=尤"满足"9）=3/。），贝IJ/（16）=（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【知识点】求幕函数的值、求幕函数的解析式

【分析】将/（9）=3〃1）代入幕函数〃力=炉的解析式中可求得”的值，进而可求解.

【详解】因为塞函数/（"=数满足/（9）=3/（1）,

所以9"=3=32",所以"==，

2

贝从而"16）=4.

故选：B.

2.（24-25高一下•安徽马鞍山,开学考试）已知寻函数/（x）=x”的图象过点（0,2忘），则〃-2）=

【答案】-8

【知识点】求帚函数的值、求塞函数的解析式

【分析】利用寻函数过点计算求参，再计算求出函数值.

【详解】毒函数〃x）=严的图象过点（忘,2忘），

f网=g"=2也,解得a=3,

・・•〃尤）=/，贝丫（一2）=（-2）3=-8.

故答案为：-8.

3.（24-25高一上•广西柳州•期末）点A（4,2）在幕函数/⑺的图象上，则〃"9））=.

【答案】G

【知识点】求事函数的解析式、求幕函数的值

【分析】由哥函数所过的点求函数解析式，再求/（/（9））的值.

【详解】令=则/'（4）=4"=2?a故/（x）=«,

所以/（9）=百=3,则/（/（9））=%3）=g.

故答案为：&

对点集训二：求嘉函数的解析式

典型例题

例题1.（24-25高一上■广西百色•期末）已知帚函数y=〃x）的图象过点（2,应），则该函数的解析式为（）

23

A.〉=%B.y=xC.v-Y2D.y=x

【答案】c

【知识点】求幕函数的解析式

【分析】设骞函数/（力=/，代入点（2,运算求解即可.

【详解】设备函数

代入点（2,0）,可得2。=&=2），则"g，

所以该函数的解析式为^二段.

故选：C.

例题2.（24-25高三上•江苏常州•期末）已知哥函数f（x）满足以下两个条件：①是奇函数，②在（0,+8）上

单调递减.请写出符合要求的/（无）的一个解析式.

【答案】〃x）=：（答案不唯一）

【知识点】判断五种常见幕函数的奇偶性、判断一般幕函数的单调性、求寻函数的解析式

【分析】根据幕函数的奇偶性、第一象限的单调性写出一个满足要求的募函数.

【详解】对于孱函数〃x）=x"在（0,+s）上单调递减，则”0,

函数为奇函数，取。=-1,即〃力=工满足要求.

X

故答案为：/（x）=i（答案不唯一）

精练

1.（24-25高一上•安徽•期中）已知幕函数f（x）的图象过点（8,4）,则其解析式/（x）=.

【答案】蓝

【知识点】求孱函数的解析式

【分析】设，。）的解析式，代入点坐标计算即可.

7

【详解】设贝!|4=8"，解得,

故答案为：J.

2.（24-25高一上•青海西宁•期中）已知骞函数〃x）=（疗-5根+7卜.，且为偶函数，则

的解析式.

【答案】/（X）=x4

【知识点】由奇偶性求参数、根据函数是孱函数求参数值、求帚函数的解析式

【分析】根据哥函数的定义求出力的值，再根据偶函数的定义写出“X）的解析式.

【详解】因为幕函数〃尤）=（加-5根+7卜.，meR,

m2—5/77+7=1,解得w?=2或"2=3;

又“X）为偶函数，

当〃z=2时，f（x）=x",不合题意，舍去；

当W7=3时，/（无）=尤4,满足题意，

故答案为：/（x）=£

3.（24-25高一上,浙江温州•期中）已知哥函数“X）的图像经过第二象限，且在区间（0,+8）上单调递减,

则一个符合要求的/'"）=.

【答案】厂2（答案不唯一，符合题意即可）

【知识点】求孱函数的解析式、求毒函数的定义域、判断一般募函数的单调性

【分析】举例，根据帚函数的性质分析判断即可.

【详解】例如"%）=二=5，可知”X）的定义域为3"0},且〃x）＞o,

所以哥函数“X）的图像经过第二象限，且在区间（0,+8）上单调递减，符合题意.

故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）.

对点集训三：募函数的图象问题

典型例题

例题1.（24-25高一上•浙江杭州•期末）如图所示的寻函数图象对应的解析式可能为（）

2

D-y=/

【答案】C

【知识点】根据函数图象选择解析式、幕函数图象的判断及应用

【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案.

【详解】对于A,y=定义域为（-8,0）5。,+。），当XV。时，＞不符合题意；

对于B,当％=0时，y==0,不符合题意；

y=（,定义域为（-力,。）。（0,+8），函数为偶函数,

对于C,

且y=3在（0,+。）上单调递减，在（一”,0）上单调递增，符合题意；

2

对于D,y=当兀=0时，y=o,不符合题意,

故选：C

例题2.（24-25高一上•辽宁•期末）如图，①②③④对应四个哥函数的图象，则①对应的募函数可以是（）

233

y-x3C•y=冗4D・y=x^

【答案】C

【知识点】幕函数图象的判断及应用、由孱函数的单调性求参数

【分析】结合图象及幕函数的性质判断即可.

【详解】由图可知，①对应的募函数：函数的定义域为［0,+8）,在第一象限内单调递增,

且图象呈现上凸趋势，则指数a的值满足排除选项AD;

又y=£=份的定义域为R，y=f=4京的定义域为［0，+8），

3

故yV-_x亚符合题意.

故选：C

精练

1.（24-25高一上•湖北武汉•阶段练习）图中C-Q、G为三个骞函数y=J在第一象限内的图象，则指

C.y,—1,3D.—1,g,3

【答案】D

【知识点】寻函数图象的判断及应用

【分析】结合图象及帚函数的性质判断即可.

【详解】由图可知，G：在第一象限内单调递减，则指数a的值满足。<0;

G:在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数a的值满足0<a<l；

C,:在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数a的值满足。>1.

故选：D.

【答案】B

【知识点】函数图像的识别、哥函数图象的判断及应用

【分析】根据嘉函数的奇偶性以及单调性和增长速度判断图象可得结论.

2922

【详解】易知＞=/满足（-X）3=/，即函数y=/为偶函数；

图象关于y轴对称，可排除D,

2

易知当xQO,y）时，函数＞=户单调递增，可排除C,

且当尤＞1时，函数y=j的增长速度越来越慢，其图象在y=x图象下方，排除A；

故选：B

3.（24-25高一上•贵州黔南•期末）已知塞函数y=/（x）的图象过点2,

（1）求函数“X）的解析式，并画出其图象；

（2）判断函数y=/（x）的单调性，并用定义法证明.

【答案】（1）/（%）=£5,图象见解析

（2）在（0,+8）上单调递减，证明见解析

【知识点】幕函数图象的判断及应用、画出具体函数图象、求骞函数的解析式、定义法判断或证明函数的

单调性

【分析】（1）设/（x）=x"，代入［2,孝）求出a=得到解析式，并画出图象；

（2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论.

【详解】（1）设=F（a为常数），则2。=乎=2】，所以。=-1，

所以函数“X）的解析式为〃司=/，定义域为（。，+e），其图象如图所示.

（2）函数/'（x）在（0,+e）上单调递减.证明如下：

1

根据题意，得函数/（x）=x”，定义域为（0,+8）,

V%,X2G(0,+8),且%<马,

/(石)一/(%2)=~r=1=

7%、入2

因为0cxi＜%,所以0＜衣所以店一衣＞0,

所以/&）一〃尤2）＞。，即/（%）＞/（马），

所以/(石)-〃％)>0,即/(%)>〃％),

所以函数y=£在区间（0,+e）上单调递减.

对点集训四：塞函数图象过定点问题

典型例题

例题1.（多选）（2025高三•全国•专题练习）以下关于孱函数/卜）=/（。6口）图像的说法，正确的有（

A.〃尤）的图像一定过原点B.〃x）的图像一定过点（1,1）

C.7（元）的图像可能经过第三象限D.的图像可能经过第四象限

【答案】BC

【知识点】幕函数图象的判断及应用、幕函数图象过定点问题

【分析】根据寨函数的定义域，定点，图象等分别判断各个选项即可.

【详解】函数/（%）=/不过原点，A选项错误；

而/。）=芦=1,所有帚函数〃尤）的图像一定过点（1,1）,B选项正确；

函数/（x）=33为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确；

当尤>0时，f（x）=xa>0,/（X）的图像不可能在第四象限，D选项错误.

故选：BC.

例题2.（23-24高一上•四川凉山•期末）函数〃x）=（3x-2）"+2的图象恒过点.

【答案】（1,3）

【知识点】幕函数图象过定点问题

【分析】根据幕函数的图象过定点求解.

【详解】令3x-2=l=>x=l,

此时，无论4取何值，者B有/（1）=1"+2=3.

所以函数图象恒过点（1,3）.

故答案为：（1,3）

精练

1.（23-24高一上,海南•阶段练习）下列哥函数中，其图象关于y轴对称且过点（0,0）、（1,1）的是（）

£21

A・_丫5B.y=x4C.y=x'D.-3

y-A//y-Av

【答案】B

【知识点】判断五种常见孱函数的奇偶性、哥函数图象过定点问题

【分析】由各寻函数的性质判断各项是否符合要求即可.

【详解】A项，函数图象在第一象限，故不关于y轴对称，故不符合；

B项，函数图象关于原点对称，且过（0,0）,（1,1）,符合；

C项，指数小于0,故其图象不过点（0,0）,故不符合；

D项，函数图象关于原点对称，故不符合；

故选：B

2.（24-25高一上•上海,期中）函数y=/+l是有理数）的图象过一定点P,则尸的坐标为.

【答案】（1,2）

【知识点】寻函数图象过定点问题

【分析】根据幕函数恒过定点（U）求解.

【详解】由骞函数的性质可知，y=x"+l恒过定点*1,2）,

故答案为：（1,2）

3.（24-25高三上•黑龙江伊春•开学考试）已知为幕函数，，”为常数，且相>1,则函数g（x）="x）+〃，T

的图象经过的定点坐标为（）

A.(1,1)B.(1,2)C.(-1,1)D.(-1,2)

【答案】B

【知识点】幕函数图象过定点问题

【分析】结合幕函数的性质计算即可得.

【详解】因为整函数的图象过定点(U),即有了⑴=1,

所以g(l)=/⑴+加2T=1+1=2,

即g(x)的图象经过定点(1,2).

故选：B.

对点集训五：塞函数的单调性及其应用

典型例题

例题1.(24-25高一上•湖北•期末)已知哥函数“X)的图象过点若/(3-2m)<1,则实数小的取

值范围为()

A.(-4)B.

C.(-8,1)口［1,：D.(-8,l)ug,+8j

【答案】D

【知识点】求孱函数的解析式、由寨函数的单调性解不等式

【分析】根据孱函数的概念求得了(x)解析式，再利用毒函数的单调性的性质解不等式即可.

【详解】设〃x)=x3

因为孱函数/(元)的图象过点(2,,

所以2a=g,即£=—1,所以"x)=/=/

于是不等式“3-2M<1可转化为即"W<0,

3-2m3-2m

a

所以(2加-2)(3-2间<0,即加>5或加<1,

故选：D

1

例题2.(24-25高一下•广东•阶段练习)已知帚函数〃同=(2°2+°卜3在定义域内单调递增，则

a—.

【答案】1/0.5

【知识点】根据函数是寻函数求参数值、由毒函数的单调性求参数

【分析】利用孱函数的性质建立方程求解参数，再结合骞函数的单调性取舍即可.

【详解】因为幕函数=（2/+0卜"+在定义域内单调递增，

所以24+“=1,解得％=-1或

5,、

当％=-1时，〃力=”，由嘉函数性质得“X）在定义域内单调递减，不符合题意，

当%V时，〃尤）=/，由幕函数性质得“X）在定义域内单调递增，符合题意.

故答案为：I

精练

1.（23-24高一上•云南昭通•期中）使帚函数〉=产为偶函数，且在（0,+8）上是减函数的a值为（）

A.-1B.—C.-2D.2

【答案】C

【知识点】塞函数的奇偶性的应用、由帚函数的单调性求参数

【分析】由毒函数单调性，奇偶性可得答案.

【详解】因丁=无“为偶函数，则a不能为—1,0可以为—2,2.

又、=/在（0,+“）上是减函数，贝！|。=-2.

故选：C

2.（24-25高一上•江苏无锡•期末）已知募函数（meN）的图象关于原点对称，且在（0,+网上

单调递减，若a尤＞Q-2a广，则实数”的取值范围是.

【答案】

【知识点】由事函数的单调性解不等式、由募函数的单调性求参数

【分析】先根据幕函数的性质求出机的值，再根据幕函数的单调性解不等式即可.

【详解】因为募函数/（x）=W-2（meN）的图象关于原点对称，且在（0,+8）上单调递减，

所以加-2＜0且根-2为奇数，

又meN,所以机=1,

mm11

则a1＞（1-2a尸,即为”＞（i-2a/，

因为函数y=的定义域为（0,+8）且为减函数，

a>0

所以，1-2〃>0,解得

a<1-2a

所以实数a的取值范围是（o，£|.

故答案为：（。士；

3.（24-25高一上•甘肃平凉•期末）已知幕函数/（尤）的图象经过点（16,4）,贝（1不等式/（尤?-*+2）>2的解

集为.

【答案】（-8,-1）U（2,+S）

【知识点】求幕函数的解析式、由幕函数的单调性解不等式

【分析】先根据寻函数过点求出函数/（*）=%,再结合函数的单调性列出不等式计算求解.

【详解】设募函数/（幻=尤0,由题意得16。=4,解得a=g,故〃尤）=/，

所以/（4）=2,贝IJ/•（尤2-*+2）>2,即为/（好_彳+2）>/（4）.

令1-％+220,解得xeR.

根据“尤）=£在［0,+8）上为单调递增函数，

贝IJ有/一天+2>4,解得》<一1或x>2,故所求解集为（―,—1）3（2,+s）,

故答案为：（f,-1）52,+8）.

对点集训六：幕函数的奇偶性

典型例题

例题1.（24-25高一上•浙江•期中）已知募函数〃©=（-21+%+2卜"为偶函数，则实数，”的值为（）

A.gB.--C.1D.」或1

222

【答案】C

【知识点】根据函数是幕函数求参数值、幕函数的奇偶性的应用

【分析】由毒函数的定义：系数为1,再结合偶函数求参数机的值.

【详解】由题意，-2m2+m+2=l,RP2m2-m-1=0»解得加=1或一大，

2

当相=1时，〃犬）=/是偶函数，满足题意,

11

当m=—5时，〃力=#，x>0,没有奇偶性，不合题意，

所以机=1.

故选：C.

例题2.(24-25高一上・甘肃兰州•阶段练习)已知幕函数〃口=(一+3"+3*向为偶函数.

(1)求〃力的解析式；

(2)若/(a-1)2/(1+2°),求实数。的取值范围.

【答案】(l)/(%)=x-4

(2)(-^,-2]o[0,l)u(l,+^)

【知识点】根据函数是孱函数求参数值、帚函数的奇偶性的应用、由帚函数的单调性解不等式

【分析】(1)根据孱函数的定义可解得参数加的值，再根据函数/(元)为偶函数即可求解；

(2)结合幕函数的单调性及奇偶性、定义域求解.

【详解】⑴・.•函数〃x)=(疗+3〃Z+3)/T为寻函数，7712+3m+3=1,即I”？+3帆+2=0,解得根=—1

或m=-2.

当〃z=-l时，f(x)=x\满足〃r)=/(x),此时〃尤)为偶函数，符合题意;

当力=—2时,/(x)=x-7,不满足/(-x)=〃x),此时“X)不是偶函数，不符合题意.

综上可得，〃司=尸.

(2)由⑴得〃x)=婷=g,所以〃x)在(0,+e)上单调递减，在(-双0)上单调递增且〃尤)为偶函数，

因为〃a—l)2/(l+2a),

4—1W0

所以，1+2"w0,

|tz-l|<|1+24

解得a<-2或O«a<l或a>L

故实数。的取值范围为(-00,-2]3(),1)51，+8),

精练

1.(24-25高一上•山东淄博•期中)下列函数中，既是偶函数，又在(。,+e)上单调递减的函数是()

A.y=!B.y=-C.y=ED.y=^[x

xx'

【答案】A

【知识点】判断一般帚函数的单调性、幕函数的奇偶性的应用

【分析】根据塞函数的单调性和奇偶性一一分析即可.

【详解】根据孱函数奇偶性知y=工和y=正为奇函数，故BD错误；

X

对c,>=疗=国，当x>0时，y=x,此时单调递增，故c错误；

对A,根据幕函数的性质知其为偶函数且在(0,+8)上单调递减，故A正确.

故选：A.

2.(24-25高一上•新疆•期中)已知函数〃力=/+/—%-3,则“加=3”是"/(x)是奇函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】判断命题的充分不必要条件、帚函数的奇偶性的应用

【分析】根据孱函数奇偶性分别验证充分性和必要性即可.

【详解】当/=3时，/(x)=x3,\/⑴是奇函数，充分性成立；

若/(%)是奇函数，则需m2-2m-3=0»/.m=—1或%=3,

当机=-1时，〃无)=1是奇函数，

当机=3时，/(%)=无3是奇函数，.机=_i或根=3,必要性不成立；

"根=3”是“〃耳是奇函数”的充分不必要条件.

故选：A.

3.(24-25高一上•河北秦皇岛•期末)已知幕函数〃%)=(疗—为偶函数.

(1)求机的值;

(2)若函数g(x)=/(x)-(l)x+l在区间上单调，求实数。的取值范围.

【答案】(1)2;

⑵(-8,-1］口［3,+8)

【知识点】根据函数是孱函数求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、毒函数的奇偶性的应用

【分析】(1)根据鼻函数的定义可得加=2或m=-1,再根据奇偶性可得利=2;

(2)利用二次函数单调性列不等式，可得解.

【详解】(1)由骞函数的定义，有病_机_1=1,解得〃?=2或m=-1,

①当加=-1时，f(x)=x-',函数"X)为奇函数，不合题意；

②当“7=2时，f(x)=x2,函数/⑺为偶函数，满足题意；

由上知，实数加的值为2.

（2）由（1）知，f（x）=x2,有g（x）=d-（<7-l）x+l,

又由函数g（x）的对称轴方程为*=三±

若函数g（x）在区间［-1,1］上单调，有—或3W-1.

可1导a23或a4—1.

故实数。的取值范围为=

一、单选题

1.（24-25高一上•上海长宁•期末）如图是4个帚函数在第一象限内的图像，则（）

C.a<b<d<cD.b<a<d<c

【答案】A

【知识点】由指数函数的单调性解不等式、帚函数的单调性的其他应用

【分析】根已知哥函数图象在x>l或0<x<l时图象上下关系，结合构造函数/（。=尤'，利用指数函数的单

调性做出判断.

【详解】由已知图象可知当x>l时，xa<^<xc<xd,

当0<x<l时,xa>xb>xc>xd,

而函数/⑺在底数X>1时为f的单调增函数，

在底数X满足0<x<l时为f的单调减函数，

a<b<c<d.

故选：A

2.（24-25高三下•上海,阶段练习）幕函数y=x«在（0,+⑹上是严格增函数，且经过,则。的值可能

是（）

23

A.—2B.3C.—D.—

32

【答案】C

【知识点】求孱函数的解析式、判断一般哥函数的单调性

【分析】根据孱函数的单调性可排除A;根据孱函数过点(-1,1),可排除B和D.

【详解】因为褰函数y=x"在(0,+功上是严格增函数，所以a>0,故A错误.

对于B,若0=3,则y=V,当x=-l时，y=(-1)3=-1,y=/不经过,故B错误.

对于C,若a=g,贝=当x=-l时，y=(_甲='(—1)2=],>=了|经过(一1,1),故C正确.

对于D,若则>=始，定义域为(o,+8),不符合题意，故D错误.

故答案为：C.

3.(24-25高一上,辽宁沈阳•阶段练习)幕函数y=(，/-加-1)尤白在(。,+司上为减函数，则实数，"的值

为()

人.2或-1B.0C.1D.2

【答案】D

【知识点】根据函数是幕函数求参数值、由幕函数的单调性求参数

【分析】根据募函数的单调性与定义，建立方程与不等式，可得答案.

【详解】由题意可得病-"2-1=1且-m+1<。，整理可得(加-2)0〃+1)=0且m>1,

解得m=2.

故选：D.

4.(24-25高一下•北京•开学考试)下列函数中，是奇函数且在区间(0,+旬上单调递增的是()

A./(x)=|x|B./(x)=x2C."x)=，D./(x)=x3

X

【答案】D

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般事函数的单调性、判

断五种常见幕函数的奇偶性

【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断即可.

【详解】对于A选项，函数“无)=国的定义域为R，/M=H=/(x),故〃x)=|x|为偶函数,不满足

条件；

对于B选项，函数=d为偶函数，不满足条件；

对于C选项，函数=：为奇函数，且该函数在区间(0,+")上为减函数，不满足条件；

对于D选项，函数/'("=V的定义域为R,/(-x)=(-x)3=-x3=-/(%),

则函数”尤)=/为奇函数，且该函数在(。,+8)上为增函数，满足条件.

故选：D.

5.(24-25高一下,贵州遵义,阶段练习)已知函数/(x)=丁+彳，/(m2-2m+1)+f(-m-5)>0,则机的

取值范围是()

A.(^o,-l)(4,+oo)B.(-1,4)C.(-8,-2)。(3,+8)D.(-2,3)

【答案】A

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般骞函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式、根据函

数的单调性解不等式

【分析】确定函数/Q)的奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式.

【详解】函数/(x)=/+x的定义域为R,/(—x)=(―x)3+(—尤)=—/(x),

函数/(X)是奇函数，又函数y=x3,y=x都是R上的增函数，则/(X)在R上单调递增，

不等式/(m2—2m+1)+f(—m—5)>0<=>f(irr-2m+1)>—f(—m—5)=f(m+5),

贝H-2m+1>加+5,即I??_3加一4>°,解得〃z<—1或优>4,

所以m的取值范围是(力1)J(4,+^).

故选：A

6.(24-25高一下,河南郑州•开学考试)已知左eZ,若幕函数y=/?以一3的图象关于y轴对称，且与x轴

及v轴均无交点，则k的值为.

【答案】-1或1或3

【知识点】根据函数是帚函数求参数值

【分析】由题意，需使F-2"3W0,求出左的范围，再根据AeZ,结合题意逐一验证即得.

【详解】由题意，令好一2左一3<0,解得一1Wk43,因为丘Z,所以左=-1,0,1,2,3；

当人=一1时，k2-2k-3=0,帚函数为y=x°,此时"0,

所以其图象关于y轴成轴对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意；

当左=0时，公-2k-3=-3,骞函数为y=/3,图象关于原点成中心对称，

且与x轴及y轴均无交点，不满足题意；

当左=1时，左2一2左一3=T,孱函数为y=/4,图象关于y轴成轴对称，

且与x轴及y轴均无交点，满足题意；

当左=2时，k2-2k-3=-3,幕函数为y=/3,图象关于原点成中心对称，

且与x轴及y轴均无交点，不满足题意；

当左=3时，k2-2k-3=0,塞函数为y=x。，此时"0,

所以其图象关于y轴成轴对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意；

综上，上的值为-1或1或3.

故答案为：-1或1或3.

7.(2025高三•全国•专题练习)已知募函数〃x)=(--5租+5)--2是R上的偶函数，且函数

g(尤)=/(》)-(2a-6)x在区间［1,3］上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.(-oo,4)B.(-℃,4］C.［6,+oo)D.(-<»,4)U［6,+oo)

【答案】C

【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数是幕函数求参数值

【分析】由幕函数的定义和奇偶性确定加的值，求得g(x)=/-(2a-6)x,利用二次函数的单调性即可确定

参数a的取值范围.

【详解】因骞函数/U)=(m2-5m+5)是R上的偶函数，

则m2—5m+5=1»解得m=1或〃?=4,

当加=1时，fM=x-\该函数是定义域为｛xlxwO｝的奇函数，不合题意；

当机=4时，f(x)=x2,该函数是定义域为R的偶函数，符合题意.

故/(尤)=/,贝llg(x)=Y-(2o-6)x,其对称轴方程为x=a-3,

因为g(x)在区间口,3］上单调递减，则a-323,解得aN6.

故选:C.

8.(24-25高一上•云南昭通•期中)已知募函数〃x)=(苏-3加+3卜"'是R上的偶函数，且函数

g(x)=/(x)-2⑪在区间［1,3］上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.［3,+oo)B.(-co,l］C.D.(-8,1卜［3,+(»)

【答案】A

【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数是幕函数求参数值、判断五种常见毒函数的奇偶性

【分析】根据幕函数的性质得到m=2,则g(x)=f—2依，其对称轴方程为x=a,根据单调性得到不等式，

求出答案.

【详解】因为整函数〃x)=(〃，-3〃z+3卜,'是R上的偶函数，

则加3m+3=1,解得根=1或〃z=2,

当"2=1时，f(x)=X,该函数是奇函数，不合乎题意；

当机=2时，y(x)=x2,该函数是定义域为R的偶函数，合乎题意，所以〃X)=f,

贝1］8(尤)=尤2-2以，其对称轴方程为x=a,

因为g(x)在区间［1,3］上单调递减，则a23.

故选：A.

二、多选题

9.（24-25高一下,江西南昌•阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在区间（。,+e）上单调递增的是（）

A.y=x2-1B.y=-|%|-2

C.y=^pv|D.y=x+—

【答案】AC

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幕函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】利用偶函数的定义结合二次函数与幕函数的性质判断A,C,利用一次函数的性质判断B,利用对

勾函数的性质判断D即可.

【详解】对于A,令y=/（x）=Y-l,而/（x）定义域为R,

则/（-尤）=（―幻~—i=x~-1,得到f（x）=f（—x）,即f（x）=x2—1是偶函数,

由二次函数性质得“X）=必一1在区间（0,+旬上单调递增，故A正确，

对于B,当xe（0,+oo）时，y=-x-2,

由一次函数性质得y=-x-2在区间（0,+8）上单调递减，故B错误，

对于C,令y=g（x）=J耳，而g（x）定义域为R,

则Ig（-x）=g=桐=g"）,得到g（x）是偶函数，

当xe（0,+℃）时,g（x）=y/x=x?,

由幕函数性质得g（尤）=/在区间（0,+8）上单调递增，故C正确，

对于D,由对勾函数性质得y=在（。,企）上单调递减，故D错误.

故选：AC

10.（24-25高三下•湖南长沙•开学考试）下列函数在区间（0,+。）上单调递增且图象关于丫轴对称的是（）

A.7（%）=%3B./（.x）=x2C.f（x）-x~2D./（x）=|x|

【答案】BD

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】根据基本函数的单调性以及奇偶性的定义，即可结合选项逐一求解.

【详解】/（洋=「的定义域为R,在区间（0,+8）上单调递增，但=

即/'（»=彳3不是偶函数，其图象不关于y轴对称，A错误；

，（尤）=/的定义域为R,在区间（。,+8）上单调递增，

且/（—x）=（T）2=x2=/（x）,.・.〃月=/是偶函数，其图象关于y轴对称，即B正确；

〃无）=齐的定义域为（3,0）（0,田），在区间（0,+8）上单调递减，c错误；

〃x）=|x|的定义域为R,在区间（0,+功上单调递增，且〃r）=r|=k|=f（x）,

・.•"*）=国是偶函数，其图象关于，轴对称，即D正确.

故选:BD.

三、填空题

11.（24-25高一上•安徽合肥•期末）若寻函数〃x）=（苏-3m+3）/r“T,且在工«0,内）上是增函数，则

实数加=.

【答案】2

【知识点】根据函数是寻函数求参数值、由募函数的单调性求参数

【分析】根据嘉函数的定义求出山的值，判断在上是增函数即可.

【详解】若嘉函数〃元）=（/-3%+3）--E在区间xe（O,y）上是增函数，

贝！I由机2—3m+3=1解得：m=2或机=1,

根=2时，f（x）=x9是增函数，

根=1时，/（x）=x-'=p在xe（0,y）上是减函数（不合题意，舍去），

故答案为：2.

12.（2025•江西•一模）已知帚函数/（X）=（/-6〃+9*T在（o,+⑹上单调递增，若正数满足M+

43

则3+9的最小值为_________.

ab

【答案】12

【知识点】根据函数是孱函数求参数值、基本不等式“1”的妙用求最值、由募函数的单调性求参数

【分析】由幕函数的定义与单调性可得出关于实数〃的等式或不等式，解出〃=4,可得出3a+4%=4,将

43142

代数式：+（与代数式+46）相乘，展开后利用基本不等式可求得|+1的最小值.

【详解】因为幕函数〃x）=（二-6〃+9卜”3在（0,+8）上单调递增,

[n2-6n+9=l.__

则{,解传z1n=4,

3>0

正数a、Z?满足3a+4〃=4,贝叮+石=1伽+4矶,+石）=1[24+了~+工-）

9a_16b

2

baCI——

当且仅当3〃+4〃=4时，即当,:时，等号成立,

tz>0,Z?>0b=-

2

因此，上4+：3的最小值为12.

ab

故答案为：12.

四、解答题

13.(24-25高一上•河南许昌•期末)已知函数/'(x)=(3加-8m-2)/(加wR)为帚函数，且在(0,+oo)上

单调递增.

(1)求f(x)的解析式；

(2)g/(a+4)+/(-a2+a-1)<0,求实数a的取值范围.

【答案】(1)/(%)=x3

(2)(-co,-l)u(3,+co)

【知识点】求孱函数的解析式、根据函数的单调性解不等式、根据函数是事函数求参数值、由函数奇偶性

解不等式

【分析】(1)根据帚函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得机=3,即得函数解析式；

(2)利用函数/(x)=V的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得.

【详解】⑴因函数/。)=(3布-所-2N(7诃1«)为帚函数，且/'(x)在(0,+⑹上单调递增，

,-8机—2=1,“,

则…解付-3,故/(x)=x;

(2)因为函数/(x)=V为奇函数且在R上单调递增，

所以不等式/(°+4)+/(-储可化为

以a+4<a?-a+1,即/-2a—3>0

解得々〈一1或々>3,

故实数〃的取值范围为(―,T)u(3,+oo).

14.(24-25高一上•陕西西安•期末)已知哥函数〃x)=(加一2加-2)/(〃?cR)在区间(0,+向上单调递增.

(1)求的解析式；

(2)若1a2-6°+6)<”1),求实数a的取值范围.

【答案】(l)f(x)=x3

⑵。，5)

【知识点】求幕函数的解析式、根据函数的单调性解不等式

【分析】(1)根据事函数的定义和性质来求得机的值，从而求得了(X)的解析式.

(2)根据函数的单调性化简不等式，从而求得。的取值范围.

【详解】(1)"X)="-2〃L2)X"，是孱函数，

/.m2-2m-2=l,解得机=3或机=一1,

又塞函数了(%)在区间(0,+。)上单调递增，

/.m=3,即/(x)=x3.

(2))易知/(%)=>在R上单调递增,

又/(1-64+6)<〃1),

o--64+6<1,即67~—6a+5<0,

解得l<a<5,

实数。的取值范围为(L5).

1.、

15.(24-25高一上•广东佛山•阶段练习)已知募函数g(x)=(1-m+1卜”个在区间(°，+8)上单调递增，定