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文档简介

专题13幕函数

预习目标

1、通过具体实例,了解塞函数的定义,会画丁=%,>=/,y=x3,>=尤。,>五个塞函数的图象,

理解它们的性质;

2、通过对募函数的研究,体会研究一类函数的基本内容与方法.

/--------------[HHHK-

(新知速通J

知识点一:暴函数的概念

1、定义:一般地,函数>=/叫做嘉函数,其中%是自变量,a是常数.

2、塞函数的特征

①>中V前的系数为“1”

②>=X。中X。的底数是单个的自变量“x”

③丁二丁中a是常数

知识点二:塞函数的图象与性质

1、五个嘉函数的图象(记忆五个塞函数的图象)

当。=1,2,3,1,-1时,我们得到五个塞函数:

2

23l

/(X)=X;/(X)=X;f(x)=X;/(x)=x2;f(x)=x~

2、五个嘉函数的性质

2

/(X)=X/(x)=x2/(X)=X3/(X)=x2/(X)=/

定义域RRR[0,+8)(一8,0)(0,+co)

值域R[0,+oo)R[0,+co)(-8,0)(0,+co)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数

在(—8,0)上

在R上单单调递减在R上单调在[0,+8)在(-8,0)上单调递减

单调性

调递增在(0,+co)单递增单调递增在(0,+8)上单调递减

调递增

定点(1,1)

3、拓展:

①/(幻=V,当。>0时,/。)=产在(0,+8)单调递增;

②/(幻=V,当。<0时,/(©=产在(0,+8)单调递减.

对点集训一:求募函数的值

典型例题

例题1.(24-25高一下•辽宁抚顺•开学考试)若函数〃元)是幕函数,且〃9)=3〃1),则/(36)=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【知识点】求帚函数的值、求骞函数的解析式

【分析】设出孱函数解析式,根据条件得到方程,求出〃x)=«,代入求值.

【详解】设=由"9)=3/⑴得9。=3,解得C=所以〃X)=4,

所以436)=A/§^=6.

故选:C

例题2.(24-25高一上•重庆•期末)已知募函数y=的图象过点(9,3),则〃4)=()

A.2B.8C.72D.16

【答案】A

【知识点】求孱函数的解析式、求帚函数的值

【分析】由点求得函数解析式即可求解;

【详解】设y=〃x)=x",

贝(13=9",解得:"=

2

所以〃4)=42=2,

故选:A

精练

1.(24-25高一上•云南楚雄•期末)已知事函数〃尤)=尤"满足"9)=3/。),贝IJ/(16)=()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【知识点】求幕函数的值、求幕函数的解析式

【分析】将/(9)=3〃1)代入幕函数〃力=炉的解析式中可求得”的值,进而可求解.

【详解】因为塞函数/("=数满足/(9)=3/(1),

所以9"=3=32",所以"==,

2

贝从而"16)=4.

故选:B.

2.(24-25高一下•安徽马鞍山,开学考试)已知寻函数/(x)=x”的图象过点(0,2忘),则〃-2)=

【答案】-8

【知识点】求帚函数的值、求塞函数的解析式

【分析】利用寻函数过点计算求参,再计算求出函数值.

【详解】毒函数〃x)=严的图象过点(忘,2忘),

f网=g"=2也,解得a=3,

・・•〃尤)=/,贝丫(一2)=(-2)3=-8.

故答案为:-8.

3.(24-25高一上•广西柳州•期末)点A(4,2)在幕函数/⑺的图象上,则〃"9))=.

【答案】G

【知识点】求事函数的解析式、求幕函数的值

【分析】由哥函数所过的点求函数解析式,再求/(/(9))的值.

【详解】令=则/'(4)=4"=2?a故/(x)=«,

所以/(9)=百=3,则/(/(9))=%3)=g.

故答案为:&

对点集训二:求嘉函数的解析式

典型例题

例题1.(24-25高一上■广西百色•期末)已知帚函数y=〃x)的图象过点(2,应),则该函数的解析式为()

23

A.〉=%B.y=xC.v-Y2D.y=x

【答案】c

【知识点】求幕函数的解析式

【分析】设骞函数/(力=/,代入点(2,运算求解即可.

【详解】设备函数

代入点(2,0),可得2。=&=2),则"g,

所以该函数的解析式为^二段.

故选:C.

例题2.(24-25高三上•江苏常州•期末)已知哥函数f(x)满足以下两个条件:①是奇函数,②在(0,+8)上

单调递减.请写出符合要求的/(无)的一个解析式.

【答案】〃x)=:(答案不唯一)

【知识点】判断五种常见幕函数的奇偶性、判断一般幕函数的单调性、求寻函数的解析式

【分析】根据幕函数的奇偶性、第一象限的单调性写出一个满足要求的募函数.

【详解】对于孱函数〃x)=x"在(0,+s)上单调递减,则”0,

函数为奇函数,取。=-1,即〃力=工满足要求.

X

故答案为:/(x)=i(答案不唯一)

精练

1.(24-25高一上•安徽•期中)已知幕函数f(x)的图象过点(8,4),则其解析式/(x)=.

【答案】蓝

【知识点】求孱函数的解析式

【分析】设,。)的解析式,代入点坐标计算即可.

7

【详解】设贝!|4=8",解得,

故答案为:J.

2.(24-25高一上•青海西宁•期中)已知骞函数〃x)=(疗-5根+7卜.,且为偶函数,则

的解析式.

【答案】/(X)=x4

【知识点】由奇偶性求参数、根据函数是孱函数求参数值、求帚函数的解析式

【分析】根据哥函数的定义求出力的值,再根据偶函数的定义写出“X)的解析式.

【详解】因为幕函数〃尤)=(加-5根+7卜.,meR,

m2—5/77+7=1,解得w?=2或"2=3;

又“X)为偶函数,

当〃z=2时,f(x)=x",不合题意,舍去;

当W7=3时,/(无)=尤4,满足题意,

故答案为:/(x)=£

3.(24-25高一上,浙江温州•期中)已知哥函数“X)的图像经过第二象限,且在区间(0,+8)上单调递减,

则一个符合要求的/'")=.

【答案】厂2(答案不唯一,符合题意即可)

【知识点】求孱函数的解析式、求毒函数的定义域、判断一般募函数的单调性

【分析】举例,根据帚函数的性质分析判断即可.

【详解】例如"%)=二=5,可知”X)的定义域为3"0},且〃x)>o,

所以哥函数“X)的图像经过第二象限,且在区间(0,+8)上单调递减,符合题意.

故答案为:(答案不唯一,符合题意即可).

对点集训三:募函数的图象问题

典型例题

例题1.(24-25高一上•浙江杭州•期末)如图所示的寻函数图象对应的解析式可能为()

2

D-y=/

【答案】C

【知识点】根据函数图象选择解析式、幕函数图象的判断及应用

【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质,结合特殊值,即可判断是否符合题意,即得答案.

【详解】对于A,y=定义域为(-8,0)5。,+。),当XV。时,>不符合题意;

对于B,当%=0时,y==0,不符合题意;

y=(,定义域为(-力,。)。(0,+8),函数为偶函数,

对于C,

且y=3在(0,+。)上单调递减,在(一”,0)上单调递增,符合题意;

2

对于D,y=当兀=0时,y=o,不符合题意,

故选:C

例题2.(24-25高一上•辽宁•期末)如图,①②③④对应四个哥函数的图象,则①对应的募函数可以是()

233

y-x3C•y=冗4D・y=x^

【答案】C

【知识点】幕函数图象的判断及应用、由孱函数的单调性求参数

【分析】结合图象及幕函数的性质判断即可.

【详解】由图可知,①对应的募函数:函数的定义域为[0,+8),在第一象限内单调递增,

且图象呈现上凸趋势,则指数a的值满足排除选项AD;

又y=£=份的定义域为R,y=f=4京的定义域为[0,+8),

3

故yV-_x亚符合题意.

故选:C

精练

1.(24-25高一上•湖北武汉•阶段练习)图中C-Q、G为三个骞函数y=J在第一象限内的图象,则指

C.y,—1,3D.—1,g,3

【答案】D

【知识点】寻函数图象的判断及应用

【分析】结合图象及帚函数的性质判断即可.

【详解】由图可知,G:在第一象限内单调递减,则指数a的值满足。<0;

G:在第一象限内单调递增,且图象呈现上凸趋势,则指数a的值满足0<a<l;

C,:在第一象限内单调递增,且图象呈现下凸趋势,则指数a的值满足。>1.

故选:D.

【答案】B

【知识点】函数图像的识别、哥函数图象的判断及应用

【分析】根据嘉函数的奇偶性以及单调性和增长速度判断图象可得结论.

2922

【详解】易知>=/满足(-X)3=/,即函数y=/为偶函数;

图象关于y轴对称,可排除D,

2

易知当xQO,y)时,函数>=户单调递增,可排除C,

且当尤>1时,函数y=j的增长速度越来越慢,其图象在y=x图象下方,排除A;

故选:B

3.(24-25高一上•贵州黔南•期末)已知塞函数y=/(x)的图象过点2,

(1)求函数“X)的解析式,并画出其图象;

(2)判断函数y=/(x)的单调性,并用定义法证明.

【答案】(1)/(%)=£5,图象见解析

(2)在(0,+8)上单调递减,证明见解析

【知识点】幕函数图象的判断及应用、画出具体函数图象、求骞函数的解析式、定义法判断或证明函数的

单调性

【分析】(1)设/(x)=x",代入[2,孝)求出a=得到解析式,并画出图象;

(2)定义法判断函数单调性步骤,取点,作差,变形判号,下结论.

【详解】(1)设=F(a为常数),则2。=乎=2】,所以。=-1,

所以函数“X)的解析式为〃司=/,定义域为(。,+e),其图象如图所示.

(2)函数/'(x)在(0,+e)上单调递减.证明如下:

1

根据题意,得函数/(x)=x”,定义域为(0,+8),

V%,X2G(0,+8),且%<马,

/(石)一/(%2)=~r=1=

7%、入2

因为0cxi<%,所以0<衣所以店一衣>0,

所以/&)一〃尤2)>。,即/(%)>/(马),

所以/(石)-〃%)>0,即/(%)>〃%),

所以函数y=£在区间(0,+e)上单调递减.

对点集训四:塞函数图象过定点问题

典型例题

例题1.(多选)(2025高三•全国•专题练习)以下关于孱函数/卜)=/(。6口)图像的说法,正确的有(

A.〃尤)的图像一定过原点B.〃x)的图像一定过点(1,1)

C.7(元)的图像可能经过第三象限D.的图像可能经过第四象限

【答案】BC

【知识点】幕函数图象的判断及应用、幕函数图象过定点问题

【分析】根据寨函数的定义域,定点,图象等分别判断各个选项即可.

【详解】函数/(%)=/不过原点,A选项错误;

而/。)=芦=1,所有帚函数〃尤)的图像一定过点(1,1),B选项正确;

函数/(x)=33为奇函数,图像经过一、三象限,C选项正确;

当尤>0时,f(x)=xa>0,/(X)的图像不可能在第四象限,D选项错误.

故选:BC.

例题2.(23-24高一上•四川凉山•期末)函数〃x)=(3x-2)"+2的图象恒过点.

【答案】(1,3)

【知识点】幕函数图象过定点问题

【分析】根据幕函数的图象过定点求解.

【详解】令3x-2=l=>x=l,

此时,无论4取何值,者B有/(1)=1"+2=3.

所以函数图象恒过点(1,3).

故答案为:(1,3)

精练

1.(23-24高一上,海南•阶段练习)下列哥函数中,其图象关于y轴对称且过点(0,0)、(1,1)的是()

£21

A・_丫5B.y=x4C.y=x'D.-3

y-A//y-Av

【答案】B

【知识点】判断五种常见孱函数的奇偶性、哥函数图象过定点问题

【分析】由各寻函数的性质判断各项是否符合要求即可.

【详解】A项,函数图象在第一象限,故不关于y轴对称,故不符合;

B项,函数图象关于原点对称,且过(0,0),(1,1),符合;

C项,指数小于0,故其图象不过点(0,0),故不符合;

D项,函数图象关于原点对称,故不符合;

故选:B

2.(24-25高一上•上海,期中)函数y=/+l是有理数)的图象过一定点P,则尸的坐标为.

【答案】(1,2)

【知识点】寻函数图象过定点问题

【分析】根据幕函数恒过定点(U)求解.

【详解】由骞函数的性质可知,y=x"+l恒过定点*1,2),

故答案为:(1,2)

3.(24-25高三上•黑龙江伊春•开学考试)已知为幕函数,,”为常数,且相>1,则函数g(x)="x)+〃,T

的图象经过的定点坐标为()

A.(1,1)B.(1,2)C.(-1,1)D.(-1,2)

【答案】B

【知识点】幕函数图象过定点问题

【分析】结合幕函数的性质计算即可得.

【详解】因为整函数的图象过定点(U),即有了⑴=1,

所以g(l)=/⑴+加2T=1+1=2,

即g(x)的图象经过定点(1,2).

故选:B.

对点集训五:塞函数的单调性及其应用

典型例题

例题1.(24-25高一上•湖北•期末)已知哥函数“X)的图象过点若/(3-2m)<1,则实数小的取

值范围为()

A.(-4)B.

C.(-8,1)口[1,:D.(-8,l)ug,+8j

【答案】D

【知识点】求孱函数的解析式、由寨函数的单调性解不等式

【分析】根据孱函数的概念求得了(x)解析式,再利用毒函数的单调性的性质解不等式即可.

【详解】设〃x)=x3

因为孱函数/(元)的图象过点(2,,

所以2a=g,即£=—1,所以"x)=/=/

于是不等式“3-2M<1可转化为即"W<0,

3-2m3-2m

a

所以(2加-2)(3-2间<0,即加>5或加<1,

故选:D

1

例题2.(24-25高一下•广东•阶段练习)已知帚函数〃同=(2°2+°卜3在定义域内单调递增,则

a—.

【答案】1/0.5

【知识点】根据函数是寻函数求参数值、由毒函数的单调性求参数

【分析】利用孱函数的性质建立方程求解参数,再结合骞函数的单调性取舍即可.

【详解】因为幕函数=(2/+0卜"+在定义域内单调递增,

所以24+“=1,解得%=-1或

5,、

当%=-1时,〃力=”,由嘉函数性质得“X)在定义域内单调递减,不符合题意,

当%V时,〃尤)=/,由幕函数性质得“X)在定义域内单调递增,符合题意.

故答案为:I

精练

1.(23-24高一上•云南昭通•期中)使帚函数〉=产为偶函数,且在(0,+8)上是减函数的a值为()

A.-1B.—C.-2D.2

【答案】C

【知识点】塞函数的奇偶性的应用、由帚函数的单调性求参数

【分析】由毒函数单调性,奇偶性可得答案.

【详解】因丁=无“为偶函数,则a不能为—1,0可以为—2,2.

又、=/在(0,+“)上是减函数,贝!|。=-2.

故选:C

2.(24-25高一上•江苏无锡•期末)已知募函数(meN)的图象关于原点对称,且在(0,+网上

单调递减,若a尤>Q-2a广,则实数”的取值范围是.

【答案】

【知识点】由事函数的单调性解不等式、由募函数的单调性求参数

【分析】先根据幕函数的性质求出机的值,再根据幕函数的单调性解不等式即可.

【详解】因为募函数/(x)=W-2(meN)的图象关于原点对称,且在(0,+8)上单调递减,

所以加-2<0且根-2为奇数,

又meN,所以机=1,

mm11

则a1>(1-2a尸,即为”>(i-2a/,

因为函数y=的定义域为(0,+8)且为减函数,

a>0

所以,1-2〃>0,解得

a<1-2a

所以实数a的取值范围是(o,£|.

故答案为:(。士;

3.(24-25高一上•甘肃平凉•期末)已知幕函数/(尤)的图象经过点(16,4),贝(1不等式/(尤?-*+2)>2的解

集为.

【答案】(-8,-1)U(2,+S)

【知识点】求幕函数的解析式、由幕函数的单调性解不等式

【分析】先根据寻函数过点求出函数/(*)=%,再结合函数的单调性列出不等式计算求解.

【详解】设募函数/(幻=尤0,由题意得16。=4,解得a=g,故〃尤)=/,

所以/(4)=2,贝IJ/•(尤2-*+2)>2,即为/(好_彳+2)>/(4).

令1-%+220,解得xeR.

根据“尤)=£在[0,+8)上为单调递增函数,

贝IJ有/一天+2>4,解得》<一1或x>2,故所求解集为(―,—1)3(2,+s),

故答案为:(f,-1)52,+8).

对点集训六:幕函数的奇偶性

典型例题

例题1.(24-25高一上•浙江•期中)已知募函数〃©=(-21+%+2卜"为偶函数,则实数,”的值为()

A.gB.--C.1D.」或1

222

【答案】C

【知识点】根据函数是幕函数求参数值、幕函数的奇偶性的应用

【分析】由毒函数的定义:系数为1,再结合偶函数求参数机的值.

【详解】由题意,-2m2+m+2=l,RP2m2-m-1=0»解得加=1或一大,

2

当相=1时,〃犬)=/是偶函数,满足题意,

11

当m=—5时,〃力=#,x>0,没有奇偶性,不合题意,

所以机=1.

故选:C.

例题2.(24-25高一上・甘肃兰州•阶段练习)已知幕函数〃口=(一+3"+3*向为偶函数.

(1)求〃力的解析式;

(2)若/(a-1)2/(1+2°),求实数。的取值范围.

【答案】(l)/(%)=x-4

(2)(-^,-2]o[0,l)u(l,+^)

【知识点】根据函数是孱函数求参数值、帚函数的奇偶性的应用、由帚函数的单调性解不等式

【分析】(1)根据孱函数的定义可解得参数加的值,再根据函数/(元)为偶函数即可求解;

(2)结合幕函数的单调性及奇偶性、定义域求解.

【详解】⑴・.•函数〃x)=(疗+3〃Z+3)/T为寻函数,7712+3m+3=1,即I”?+3帆+2=0,解得根=—1

或m=-2.

当〃z=-l时,f(x)=x\满足〃r)=/(x),此时〃尤)为偶函数,符合题意;

当力=—2时,/(x)=x-7,不满足/(-x)=〃x),此时“X)不是偶函数,不符合题意.

综上可得,〃司=尸.

(2)由⑴得〃x)=婷=g,所以〃x)在(0,+e)上单调递减,在(-双0)上单调递增且〃尤)为偶函数,

因为〃a—l)2/(l+2a),

4—1W0

所以,1+2"w0,

|tz-l|<|1+24

解得a<-2或O«a<l或a>L

故实数。的取值范围为(-00,-2]3(),1)51,+8),

精练

1.(24-25高一上•山东淄博•期中)下列函数中,既是偶函数,又在(。,+e)上单调递减的函数是()

A.y=!B.y=-C.y=ED.y=^[x

xx'

【答案】A

【知识点】判断一般帚函数的单调性、幕函数的奇偶性的应用

【分析】根据塞函数的单调性和奇偶性一一分析即可.

【详解】根据孱函数奇偶性知y=工和y=正为奇函数,故BD错误;

X

对c,>=疗=国,当x>0时,y=x,此时单调递增,故c错误;

对A,根据幕函数的性质知其为偶函数且在(0,+8)上单调递减,故A正确.

故选:A.

2.(24-25高一上•新疆•期中)已知函数〃力=/+/—%-3,则“加=3”是"/(x)是奇函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】判断命题的充分不必要条件、帚函数的奇偶性的应用

【分析】根据孱函数奇偶性分别验证充分性和必要性即可.

【详解】当/=3时,/(x)=x3,\/⑴是奇函数,充分性成立;

若/(%)是奇函数,则需m2-2m-3=0»/.m=—1或%=3,

当机=-1时,〃无)=1是奇函数,

当机=3时,/(%)=无3是奇函数,.机=_i或根=3,必要性不成立;

"根=3”是“〃耳是奇函数”的充分不必要条件.

故选:A.

3.(24-25高一上•河北秦皇岛•期末)已知幕函数〃%)=(疗—为偶函数.

(1)求机的值;

(2)若函数g(x)=/(x)-(l)x+l在区间上单调,求实数。的取值范围.

【答案】(1)2;

⑵(-8,-1]口[3,+8)

【知识点】根据函数是孱函数求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、毒函数的奇偶性的应用

【分析】(1)根据鼻函数的定义可得加=2或m=-1,再根据奇偶性可得利=2;

(2)利用二次函数单调性列不等式,可得解.

【详解】(1)由骞函数的定义,有病_机_1=1,解得〃?=2或m=-1,

①当加=-1时,f(x)=x-',函数"X)为奇函数,不合题意;

②当“7=2时,f(x)=x2,函数/⑺为偶函数,满足题意;

由上知,实数加的值为2.

(2)由(1)知,f(x)=x2,有g(x)=d-(<7-l)x+l,

又由函数g(x)的对称轴方程为*=三±

若函数g(x)在区间[-1,1]上单调,有—或3W-1.

可1导a23或a4—1.

故实数。的取值范围为=

一、单选题

1.(24-25高一上•上海长宁•期末)如图是4个帚函数在第一象限内的图像,则()

C.a<b<d<cD.b<a<d<c

【答案】A

【知识点】由指数函数的单调性解不等式、帚函数的单调性的其他应用

【分析】根已知哥函数图象在x>l或0<x<l时图象上下关系,结合构造函数/(。=尤',利用指数函数的单

调性做出判断.

【详解】由已知图象可知当x>l时,xa<^<xc<xd,

当0<x<l时,xa>xb>xc>xd,

而函数/⑺在底数X>1时为f的单调增函数,

在底数X满足0<x<l时为f的单调减函数,

a<b<c<d.

故选:A

2.(24-25高三下•上海,阶段练习)幕函数y=x«在(0,+⑹上是严格增函数,且经过,则。的值可能

是()

23

A.—2B.3C.—D.—

32

【答案】C

【知识点】求孱函数的解析式、判断一般哥函数的单调性

【分析】根据孱函数的单调性可排除A;根据孱函数过点(-1,1),可排除B和D.

【详解】因为褰函数y=x"在(0,+功上是严格增函数,所以a>0,故A错误.

对于B,若0=3,则y=V,当x=-l时,y=(-1)3=-1,y=/不经过,故B错误.

对于C,若a=g,贝=当x=-l时,y=(_甲='(—1)2=],>=了|经过(一1,1),故C正确.

对于D,若则>=始,定义域为(o,+8),不符合题意,故D错误.

故答案为:C.

3.(24-25高一上,辽宁沈阳•阶段练习)幕函数y=(,/-加-1)尤白在(。,+司上为减函数,则实数,"的值

为()

人.2或-1B.0C.1D.2

【答案】D

【知识点】根据函数是幕函数求参数值、由幕函数的单调性求参数

【分析】根据募函数的单调性与定义,建立方程与不等式,可得答案.

【详解】由题意可得病-"2-1=1且-m+1<。,整理可得(加-2)0〃+1)=0且m>1,

解得m=2.

故选:D.

4.(24-25高一下•北京•开学考试)下列函数中,是奇函数且在区间(0,+旬上单调递增的是()

A./(x)=|x|B./(x)=x2C."x)=,D./(x)=x3

X

【答案】D

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般事函数的单调性、判

断五种常见幕函数的奇偶性

【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断即可.

【详解】对于A选项,函数“无)=国的定义域为R,/M=H=/(x),故〃x)=|x|为偶函数,不满足

条件;

对于B选项,函数=d为偶函数,不满足条件;

对于C选项,函数=:为奇函数,且该函数在区间(0,+")上为减函数,不满足条件;

对于D选项,函数/'("=V的定义域为R,/(-x)=(-x)3=-x3=-/(%),

则函数”尤)=/为奇函数,且该函数在(。,+8)上为增函数,满足条件.

故选:D.

5.(24-25高一下,贵州遵义,阶段练习)已知函数/(x)=丁+彳,/(m2-2m+1)+f(-m-5)>0,则机的

取值范围是()

A.(^o,-l)(4,+oo)B.(-1,4)C.(-8,-2)。(3,+8)D.(-2,3)

【答案】A

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般骞函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式、根据函

数的单调性解不等式

【分析】确定函数/Q)的奇偶性和单调性,再利用性质求解不等式.

【详解】函数/(x)=/+x的定义域为R,/(—x)=(―x)3+(—尤)=—/(x),

函数/(X)是奇函数,又函数y=x3,y=x都是R上的增函数,则/(X)在R上单调递增,

不等式/(m2—2m+1)+f(—m—5)>0<=>f(irr-2m+1)>—f(—m—5)=f(m+5),

贝H-2m+1>加+5,即I??_3加一4>°,解得〃z<—1或优>4,

所以m的取值范围是(力1)J(4,+^).

故选:A

6.(24-25高一下,河南郑州•开学考试)已知左eZ,若幕函数y=/?以一3的图象关于y轴对称,且与x轴

及v轴均无交点,则k的值为.

【答案】-1或1或3

【知识点】根据函数是帚函数求参数值

【分析】由题意,需使F-2"3W0,求出左的范围,再根据AeZ,结合题意逐一验证即得.

【详解】由题意,令好一2左一3<0,解得一1Wk43,因为丘Z,所以左=-1,0,1,2,3;

当人=一1时,k2-2k-3=0,帚函数为y=x°,此时"0,

所以其图象关于y轴成轴对称,且与x轴及y轴均无交点,满足题意;

当左=0时,公-2k-3=-3,骞函数为y=/3,图象关于原点成中心对称,

且与x轴及y轴均无交点,不满足题意;

当左=1时,左2一2左一3=T,孱函数为y=/4,图象关于y轴成轴对称,

且与x轴及y轴均无交点,满足题意;

当左=2时,k2-2k-3=-3,幕函数为y=/3,图象关于原点成中心对称,

且与x轴及y轴均无交点,不满足题意;

当左=3时,k2-2k-3=0,塞函数为y=x。,此时"0,

所以其图象关于y轴成轴对称,且与x轴及y轴均无交点,满足题意;

综上,上的值为-1或1或3.

故答案为:-1或1或3.

7.(2025高三•全国•专题练习)已知募函数〃x)=(--5租+5)--2是R上的偶函数,且函数

g(尤)=/(》)-(2a-6)x在区间[1,3]上单调递减,则实数a的取值范围是()

A.(-oo,4)B.(-℃,4]C.[6,+oo)D.(-<»,4)U[6,+oo)

【答案】C

【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数是幕函数求参数值

【分析】由幕函数的定义和奇偶性确定加的值,求得g(x)=/-(2a-6)x,利用二次函数的单调性即可确定

参数a的取值范围.

【详解】因骞函数/U)=(m2-5m+5)是R上的偶函数,

则m2—5m+5=1»解得m=1或〃?=4,

当加=1时,fM=x-\该函数是定义域为{xlxwO}的奇函数,不合题意;

当机=4时,f(x)=x2,该函数是定义域为R的偶函数,符合题意.

故/(尤)=/,贝llg(x)=Y-(2o-6)x,其对称轴方程为x=a-3,

因为g(x)在区间口,3]上单调递减,则a-323,解得aN6.

故选:C.

8.(24-25高一上•云南昭通•期中)已知募函数〃x)=(苏-3加+3卜"'是R上的偶函数,且函数

g(x)=/(x)-2⑪在区间[1,3]上单调递减,则实数a的取值范围是()

A.[3,+oo)B.(-co,l]C.D.(-8,1卜[3,+(»)

【答案】A

【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数是幕函数求参数值、判断五种常见毒函数的奇偶性

【分析】根据幕函数的性质得到m=2,则g(x)=f—2依,其对称轴方程为x=a,根据单调性得到不等式,

求出答案.

【详解】因为整函数〃x)=(〃,-3〃z+3卜,'是R上的偶函数,

则加3m+3=1,解得根=1或〃z=2,

当"2=1时,f(x)=X,该函数是奇函数,不合乎题意;

当机=2时,y(x)=x2,该函数是定义域为R的偶函数,合乎题意,所以〃X)=f,

贝1]8(尤)=尤2-2以,其对称轴方程为x=a,

因为g(x)在区间[1,3]上单调递减,则a23.

故选:A.

二、多选题

9.(24-25高一下,江西南昌•阶段练习)下列函数中,既是偶函数又在区间(。,+e)上单调递增的是()

A.y=x2-1B.y=-|%|-2

C.y=^pv|D.y=x+—

【答案】AC

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幕函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】利用偶函数的定义结合二次函数与幕函数的性质判断A,C,利用一次函数的性质判断B,利用对

勾函数的性质判断D即可.

【详解】对于A,令y=/(x)=Y-l,而/(x)定义域为R,

则/(-尤)=(―幻~—i=x~-1,得到f(x)=f(—x),即f(x)=x2—1是偶函数,

由二次函数性质得“X)=必一1在区间(0,+旬上单调递增,故A正确,

对于B,当xe(0,+oo)时,y=-x-2,

由一次函数性质得y=-x-2在区间(0,+8)上单调递减,故B错误,

对于C,令y=g(x)=J耳,而g(x)定义域为R,

则Ig(-x)=g=桐=g"),得到g(x)是偶函数,

当xe(0,+℃)时,g(x)=y/x=x?,

由幕函数性质得g(尤)=/在区间(0,+8)上单调递增,故C正确,

对于D,由对勾函数性质得y=在(。,企)上单调递减,故D错误.

故选:AC

10.(24-25高三下•湖南长沙•开学考试)下列函数在区间(0,+。)上单调递增且图象关于丫轴对称的是()

A.7(%)=%3B./(.x)=x2C.f(x)-x~2D./(x)=|x|

【答案】BD

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】根据基本函数的单调性以及奇偶性的定义,即可结合选项逐一求解.

【详解】/(洋=「的定义域为R,在区间(0,+8)上单调递增,但=

即/'(»=彳3不是偶函数,其图象不关于y轴对称,A错误;

,(尤)=/的定义域为R,在区间(。,+8)上单调递增,

且/(—x)=(T)2=x2=/(x),.・.〃月=/是偶函数,其图象关于y轴对称,即B正确;

〃无)=齐的定义域为(3,0)(0,田),在区间(0,+8)上单调递减,c错误;

〃x)=|x|的定义域为R,在区间(0,+功上单调递增,且〃r)=r|=k|=f(x),

・.•"*)=国是偶函数,其图象关于,轴对称,即D正确.

故选:BD.

三、填空题

11.(24-25高一上•安徽合肥•期末)若寻函数〃x)=(苏-3m+3)/r“T,且在工«0,内)上是增函数,则

实数加=.

【答案】2

【知识点】根据函数是寻函数求参数值、由募函数的单调性求参数

【分析】根据嘉函数的定义求出山的值,判断在上是增函数即可.

【详解】若嘉函数〃元)=(/-3%+3)--E在区间xe(O,y)上是增函数,

贝!I由机2—3m+3=1解得:m=2或机=1,

根=2时,f(x)=x9是增函数,

根=1时,/(x)=x-'=p在xe(0,y)上是减函数(不合题意,舍去),

故答案为:2.

12.(2025•江西•一模)已知帚函数/(X)=(/-6〃+9*T在(o,+⑹上单调递增,若正数满足M+

43

则3+9的最小值为_________.

ab

【答案】12

【知识点】根据函数是孱函数求参数值、基本不等式“1”的妙用求最值、由募函数的单调性求参数

【分析】由幕函数的定义与单调性可得出关于实数〃的等式或不等式,解出〃=4,可得出3a+4%=4,将

43142

代数式:+(与代数式+46)相乘,展开后利用基本不等式可求得|+1的最小值.

【详解】因为幕函数〃x)=(二-6〃+9卜”3在(0,+8)上单调递增,

[n2-6n+9=l.__

则{,解传z1n=4,

3>0

正数a、Z?满足3a+4〃=4,贝叮+石=1伽+4矶,+石)=1[24+了~+工-)

9a_16b

2

baCI——

当且仅当3〃+4〃=4时,即当,:时,等号成立,

tz>0,Z?>0b=-

2

因此,上4+:3的最小值为12.

ab

故答案为:12.

四、解答题

13.(24-25高一上•河南许昌•期末)已知函数/'(x)=(3加-8m-2)/(加wR)为帚函数,且在(0,+oo)上

单调递增.

(1)求f(x)的解析式;

(2)g/(a+4)+/(-a2+a-1)<0,求实数a的取值范围.

【答案】(1)/(%)=x3

(2)(-co,-l)u(3,+co)

【知识点】求孱函数的解析式、根据函数的单调性解不等式、根据函数是事函数求参数值、由函数奇偶性

解不等式

【分析】(1)根据帚函数的定义和单调性,可得不等式组,解之可得机=3,即得函数解析式;

(2)利用函数/(x)=V的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式,解之即得.

【详解】⑴因函数/。)=(3布-所-2N(7诃1«)为帚函数,且/'(x)在(0,+⑹上单调递增,

,-8机—2=1,“,

则…解付-3,故/(x)=x;

(2)因为函数/(x)=V为奇函数且在R上单调递增,

所以不等式/(°+4)+/(-储可化为

以a+4<a?-a+1,即/-2a—3>0

解得々〈一1或々>3,

故实数〃的取值范围为(―,T)u(3,+oo).

14.(24-25高一上•陕西西安•期末)已知哥函数〃x)=(加一2加-2)/(〃?cR)在区间(0,+向上单调递增.

(1)求的解析式;

(2)若1a2-6°+6)<”1),求实数a的取值范围.

【答案】(l)f(x)=x3

⑵。,5)

【知识点】求幕函数的解析式、根据函数的单调性解不等式

【分析】(1)根据事函数的定义和性质来求得机的值,从而求得了(X)的解析式.

(2)根据函数的单调性化简不等式,从而求得。的取值范围.

【详解】(1)"X)="-2〃L2)X",是孱函数,

/.m2-2m-2=l,解得机=3或机=一1,

又塞函数了(%)在区间(0,+。)上单调递增,

/.m=3,即/(x)=x3.

(2))易知/(%)=>在R上单调递增,

又/(1-64+6)<〃1),

o--64+6<1,即67~—6a+5<0,

解得l<a<5,

实数。的取值范围为(L5).

1.、

15.(24-25高一上•广东佛山•阶段练习)已知募函数g(x)=(1-m+1卜”个在区间(°,+8)上单调递增,定

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