2025年鲁教版五四制七年级数学上册第三章综合检测试卷及答案

第三章综合素质评价

限时:90分钟满分:120分

一、选择题（每题3分，共30分）

1.在直角三角形中,若两直角边长分别为6和8,则斜边长为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

2.在△4BC中，24Z-B,ZC的对边分别是a,b,c,若乙4+zC=90。，则下列等式中成立的

是（）

A.a2+b2=c2B.b2+c2=a2

C.a2+c2=b2D.2c2—a2=b2

【答案】C

3.下列各组数是勾股数的是（）

A.3,4,7B.1.5,2,2.5C.5,12,13D.1,3,5

【答案】C

4.[[2025•淄博期末]]如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形,

S15,S3是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积.若&=36,S2=64,则S3的值为

()

（第4题）

A.10B.100C.—D.-

TtTt

【答案】B

5.如图，在4x4的正方形网格中，点4B,C都在格点上，则乙4BC=（）

（第5题）

A.30°B.40°C.45°D.60°

【答案】C

6.新视角新定义题对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四

边形ZBCD,对角线AC,BD交于点0.若2。=2,BC=7,则ZB?+CD2等于（）

A.45B.49C.50D.53

【答案】D

7.已知在Rt△ABC中,a,b,c分别是ZB,ZC的对边/C=90°,若a+b=14,c=10,则

ABC的面积是（）

A.24B.36C.48D.60

【答案】A

8.[[2025•泰安期末]]如图，在长方形纸片2BCD中，AB=8cm,=6cm.把长方形纸

片沿直线2C折叠，点B落在点E处，2E交DC于点F,则2F的长为（）

AA.—25cmBC.—15cmC.7cmD.—cm

422

【答案】A

【点拨】因为四边形ZBCD是长方形，所以ZB=ND=90。，BC=2。,由翻折得ZE=2B=

8cm,ZE=ZB=90°,CE=BC,所以NE=Z。，CE=ZD.又因为ZCFE=NZFD,所以△

CFE=△4FD.所以EF=DF.^AF=xcm,则DF=（8—%）cm,在Rt△AFD^,AF2=DF2+

AD2,AD-6cm,所以％2=（8—%/+6?,解得％=空，即2尸的长为变cm.

44

9.如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4,2,9,将一根细线的两头绕盒子的侧面

分别绑在点4B处，不计线头，细线的最短长度为（）

（第9题）

A.12B.15C.18D.21

【答案】B

【点拨】

将长方体盒子的侧面展开，如图所示，连接4B',贝1MB'的长即为所用的最短细线长.由题意知

44'=4+2+4+2=12,A'B'=ZB=9,由勾股定理得ZB?=AA，2+A'B'2=122+92=

225,则4B'=15,即细线的最短长度为15.

10.已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形，把两

个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为Si，均重

叠部分的面积为S2,则（）

A.Si>S2B.Si<S2

C.Si=S2D.Si,S2大小无法确定

【答案】c

【点拨】因为直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,所以该直角三角形的斜边为c,所以

2222222

c—a+b,由题意知Si—c—a—b+b（a+b—c'）—ab+b—be,S2—b（a+b—

c）-ab+b2-be,所以Si=S2，故选C.

二、填空题（每题3分，共18分）

11.情境题生活应用在高5m,长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，则地毯

的长度至少是m.

（第11题）

【答案】17

12.如图，长方体盒子的长、宽、高分别为12cm,4cm,3cm，则能放进盒子中的直木棒最长

为cm.

3cm

4cm

12cm

（第12题）

【答案】13

13.[[2025•重庆沙坪坝区月考]]小宁购买了拳击反应球作为居家健身器材.如图，若将球

体支架最底端。到球体最顶端a看成一条线段当反应球被击打时，可看作线段。a绕着点

。旋转得到线段。4（在安全角度范围内旋转）.小宁击打反应球后点4与支架04的水平距离

为A'B,当4B=50cm时，AB=10cm,则球体支架04=cm.

（第13题）

【答案】130

14.由于大风，山坡上的一棵树甲被从点a处拦腰折断，如图所示，其树梢恰好落在另一棵树

乙的根部C处，已知4B=4m,BC=13m,两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12m,则

这棵树甲原来的高度为m.

（第14题）

【答案】19

【点拨】如图，过点。作。。12B交2B的延长线于点D,

由题意可得BC—13m,DC—12m,

故BD——V132—122——5(m),所以4。=4+5=9(m),贝！MC—y/AD2+CD2-V92+122——

15(m),故ZC+ZB=15+4=19(m).

15.如图，在△ABC中，CE平分乙4CB,CF平分乙4CD,且EF〃BC,交AC于点M,若CM=

7,则。/2十。产的值为.

（第15题）

【答案】196

【点拨】因为CE平分乙4CB,CF平分乙4C。，所以乙4CE=NBCE=｝乙4CB,乙4CF=

乙DCF=3乙ACD,所以zZCE+zaCF=］（Z2CB+Z4CD）=90。，即ZECF=90。.因为

EF//BC,所以NMEC=NBCE,所以NZCE=NMEC,所以EM=CM=7,同理可得FM=

CM=7,所以EF=14,所以。盾+CF2=EF2=142=196.

16.耐回的识情境化如图，学校的长方形操场2DCE的边上有一块空地（阴影部分）需要绿

化，连接2C,测出4。=4,AC=5,BC=12,AB=13,则需要绿化部分的面积为.

E__'C

、B

（第16题）

【答案】24

【点拨】在RtAZCD中，AD=4,AC=5,则由勾股定理可得CD=3.在△ABC中，AC=

5,BC=12,AB=13,所以+BC2=25+144=169=aB2,所以NACB=90。.所以

需要绿化部分的面积=SMBC-S*=|X5X12-|X3X4=24.

三、解答题(共72分)

17.(8分)新考造过程辨析法阅读下列解题过程：

已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足a2c2—匕2c2=。4一〃，试判断△ABC的形状.

解：因为a2c2—b2c2=。4一力4,①

所以。2(02—b2)=(a2—b2)(a2+济).②

所以c2=a2+/.③

所以△ABC是直角三角形.

回答下列问题：

(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：;

⑵错误的原因为；

(3)请你将正确的解答过程写下来.

【答案】(1)③

(2)忽略了a?—炉=0的可能

(3)【解】因为a2c2_b2c2=a4_

所以—b2)=(a2—b2)(a2+b2).

所以。2(。2—b2)—(a2—b2)(a2+h2)=0.

所以(a?—b2)[c2—(a2+b2)]=0.

所以a?—b2—0或0?—(a2+b2)=0.

所以a=b或°?=a2+b2.

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

18.(8分)已知某植物绕着树干向上生长.

A

（1）如果树干的周长（即图中圆柱的底面周长）为30cm,该植物绕行一圈升高（即圆柱的

高）40cm,则该植物绕行一圈的长度是多少？

（2）如果树干的周长为80cm,该植物绕行一圈的长度是100cm,绕10圈到达树顶，则树干

高多少？

【答案】

（1）【解】如图，将圆柱的侧面展开后，该侧面是长方形.由题意可得ZC=30cm/B=

40cm,

cA

所以BC2=AC2+AB2=302+402=2500,所以BC=50cm.

答：植物绕行一圈的长度为50cm.

（2）如图，树干的周长为80cm,即ZC=80cm,

绕行一圈的长度是100cm,即BC—100cm.

因为■=BC2-AC2=1002-802=3600,

所以ZB—60cm,

所以树干高为60x10=600（cm）——6（m）.

答：树干高6m.

19.[[2025•烟台期末]]（8分）福山的月亮广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放

风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝

的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：

①测得水平距离BD的长为15米；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米;

③牵线放风筝的小明的身高为1.7米.

（1）求风筝的垂直高度CE.

（2）如果小明往回收线8米，则此时风筝沿CD方向下降了多少米?

【答案】

（1）【解】由题意，得。后=28=1.7米，

在RtACDB中，BD=15米,BC=25米，

由勾股定理得，CD=yjBC2-BD2=20（米），

所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7（米）,

即风筝的垂直高度CE为21.7米.

（2）如图,设此时风筝下降到点M,由题意得，

BM=BC-8=25-8=17（米），

因为BD=15米，

所以DM=<BM2-BD2=V172-152=8（米），

所以CM=CD-DM=20-8=12（米），

即此时风筝沿CD方向下降了12米.

20.（10分）如图，在AZBC中，。是BC边上的中点，E是ZC边上的中点，连接ZD,BE.

(1)若CD=8,CE=6,AB=20,试说明：ZC=90。；

(2)若ZC=9O。，AD=13,AE=6,求△ABC的面积.

【答案】(1)【解】因为在AZBC中，。是BC边上的中点，E是？1C边上的中点，CD=

8,CE=6,所以CB=2CD=16,CA=2CE=12.易知CF+CA2=162+122=400,AB2=

202=400,所以CF+CA2=叱,所以“=90°.

(2)【解】因为在△ABC中，E为边ZC的中点，ZE=6,所以AC=22E=12.

在Rtzxac。中，NC=90。,4。=13/C=12,由勾股定理可得CD?+=人。2,所以=

5.因为。是BC边上的中点，所以CB=2CD=10,所以SMBC=|^C-CB=|x12x10=60.

一匚2025•济宁月考

21.(10分)新瞳模型思想如图，在设计修建桥洞时，为使车辆顺利通过，一般设计为上

边为半圆形，下边为长方形的桥洞，设计一桥洞下面长方形的一边长是2.3m.

(1)如果设计半圆的直径为2m单行道的桥洞，一辆装满货物的卡车，高2.5m,宽1.6m.那

么，此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由；

(2)为了适应车流量的增加，设计把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m,高为2.8m的卡车能

刚好安全通过，那么此桥洞半圆的直径应设计成多少米？

【答案】

(1)【解】这辆卡车能通过桥洞.理由如下：

如图①，记长方形宽的中点为。，沿中点向两端各取0.8m,MN即为卡车的宽度，

过点M,N作的垂线交半圆于点C,D,过点。作。EIC。，E为垂足，连接。C.

则CD=MN=1.6m,AB=2m,

由作法得，CE=DE=0.8m,

又因为OC=04=lm,

在Rt△OCE中，。E=VOC2-CE2=0.6(m),

所以CM=2.3+0.6=2.9(m)>2.5(m).

所以这辆卡车能通过桥洞.

MN

①

(2)如图②，过点。作04的垂线交DC于点C,在04上截取OF=1.2,过点F作。2的垂线交半

圆于点B,交0C于点E,作BG10C于点G,连接0B.同理(1)，根据题意，知CG=BE=

2.8m,BG=OF=1.2m,EF=AD—2.3m,

所以BF=0.5m,所以木艮据勾股定理得。B2=BF2+OF2=0.52+1.22=1.32.

所以。2=OB=1.3m,1.3x2=2.6(m).

所以此桥洞半圆的直径应设计成2.6m.

DEC

②

22.[[2025•泰安期末]](12分)如图，在△ABC中，乙4BC=45。，CDLAB,BE1

AC,垂足分别为D,E,F为BC中点，BE与DF,DC分别交于点G,H,乙ABE=LCBE.

(1)求证：BH=AC；

(2)求证：BG2-GE2=EA2.

【答案】

(1)【证明】因为CDJ.ZC,所以NBOC==NBEC=90°,所以NZ+

^DCA=90°,AA+乙ABE=90°.所以ZABE=ZDCA又因为zZBC=45°,所以NBC。=

45°=Z.ABC,所以DB=DC,在ADB"和△DCZ中，因为NOB”=zDCZ,BD=CD,

乙BDH=/.CDA,

所以△DBH=△DC2(ASA).所以B”=AC.

(2)【证明】如图，连接CG,因为F为BC的中点，DB=DC,

所以。尸垂直平分BC.所以BG=CG.

因为BE1AC,所以NZEB=乙CEB=90°.

在AZBE和ACBE中，因为=BE=BE,乙ABE=^CBE,

所以△ABESACBE(ASA).

所以EC=EA.

在RtACGE中，由勾股定理得CG2—GE2=EC2.

所以BG2-GE2=EA2.

23.（16分）新视角探究应用题【问题背景】

著名的赵爽弦图（如图①），其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都

为b,斜边长都为c,大正方形的面积可以表示为02,也可以表示为4x]ab+（a-b）2,由此

推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则。2+块=。2.

【探索求证】古今中外，勾股定理有很多种证明方法，已知与Rt^EBC按如图②所

示位置放置，连接CD,其中乙4=NB=Z,DEC=90°,AE=BC=a,AD=EB=b,DE=

EC=c.请你利用图②推导勾股定理.

【问题解决】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点4B,