2025高考数学一轮专项复习：解析几何3（含答案解析）

高考解析几何复习专题三

知识点一根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题

典例1、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过C的长轴，短轴端点的一条直线

方程是X+岳-2=0.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点尸（0,2）作直线交椭圆C于A,2两点，若点B关于＞轴的对称点为夕，证明直

线过定点.

22

随堂练习:已知椭圆一己+方=1（。＞6＞0）经过点MR，。）和点M-痣,1）.

（1求椭圆C的标准方程和离心率；

（2）若A、2为椭圆C上异于点河的两点，且点河在以45为直径的圆上，求证：直线N5

恒过定点.

典例2、已知椭圆C:「+/=l（a>6>0）经过点［6,；），其右顶点为“（2,0）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点尸、。在椭圆C上，且满足直线/尸与的斜率之积为《，证明直线P。经过

定点.

22

随堂练习：已知少是椭圆。：二+与=1（。>6>0）的左焦点，焦距为4,且。过点尸（百,1）.

（1）求。的方程；

（2）过点尸作两条互相垂直的直线，，12,若乙与。交于48两点，/与C交于〃E

两点，记N8的中点为必施的中点为“试判断直线恻是否过定点，若过点，请

求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

典例3、已知椭圆C：W+《=l（a>6>0）过点尸（0,1）,离心率为逅，过点尸作斜率为*k2

ab3

的直线4,4,它们与椭圆的另一交点分别为耳，且左的=1.

（1）求椭圆c的方程；（2）证明：直线4吕过定点.

随堂练习：已知椭圆鸟+\=1（。>6>0）的离心率e=4,上顶点是尸，左、右焦点分别是£,

Clu。

（c

为，若椭圆经过点.

（1）求椭圆的方程；（2）点A和B是椭圆上的两个动点，点A,B,P不共线，直线加

和心的斜率分别是左和心，若左他=；，求证直线经过定点，并求出该定点的坐

标.

知识点二根据a、b、c求椭圆标准方程，求椭圆的离心率或离心率的取值范围，求椭

圆的切线方程，椭圆中三角形（四边形）的面积

典例4、已知点4（0,-2）,椭圆£：W+《=l（a>6>0）的离心率为心，尸是椭圆£的

ab2

右焦点，直线力少的斜率为38,。为坐标原点.

3

⑴求£的方程；（2）设过点［的动直线,与后相交于R0两点.当△。国的面积最大时,

求1的方程.

22

随堂练习：已知椭圆£0+==1（稣。>0）的左、右焦点分别为与F2,过外垂直于x轴的

直线被椭圆E所截得的线段长为。，椭圆£上的点到一个焦点的最大距离为0+1.

（1）求椭圆E的方程；（2）如图，点43为椭圆£上关于原点。对称的两个动点（非

长轴端点），线段阳的延长线与椭圆£交于点C,若。3C的面积为。求直线NC的

方程.

22

典例5、已知尸为椭圆,方=l（a>6>0）上任一点，典外为椭圆的焦点，陷|+|*=4,

离心率为也.

2

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线/：了=履+加（加力o）与椭圆的两交点为4B,线段48的中点C在直线y=；x

上，。为坐标

原点，当AO/3的面积等于行时，求直线/的方程.

随堂练习：已知椭圆C的对称中心为原点。，焦点在X轴上，左、右焦点分别为耳，尸2,

且寓阊=2,点（0）在该椭圆上.

（1）求椭圆。的方程；（2）过久的直线/与椭圆C相交于A,E两点，若小丹3的面积

为军，求以工为圆心且与直线/相切的圆的方程.

典例6、如图，已知椭圆G：［+:=1("6>0)经过点［行亭)，离心率为?.点即0,26),

以0W为直径作圆。2,过点〃作相互垂直的两条直线，分别交椭圆。与圆。2于点4,8和

点N.

(1)求椭圆G的标准方程；(2)当△凹8的面积最大时，求直线AB的方程.

随堂练习：已知椭圆。的左、右焦点分别为耳巴，离心率为：，过点耳且与x轴垂直的

直线与椭圆。在第一象限交于点P,且△片根的面积为4.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点工(3,0)的直线与y轴正半轴交于点S,与曲线。交于点E,团，x轴，过点S

的另一直线与曲线。交于〃，N两点，若S4ss=3S^SEN，求"N所在的直线方程.

高考解析几何复习专题三答案

典例1、答案：（1）0+4=1；（2）见解析

42

解：（1）对于x+岳一2=0,当x=0时，y=6,即6=血，当>=0,x=2,即a=2,

二椭圆的方程为W+三=1,

42

（2）证明：设直线/8:y=fcr+2,（左w0）,设A,B两点的坐标分别为（再,必），（%,了2）,

则3'（-弓％）,

厂丘+得（左2）丘+

联立直线与椭圆得21+2/+84=0,

x2+2y2=4E'

.•.△=64左2-16（1+2r）>0,解得斤2><Xj+x2=-,%尤2=]：2，

L1+，K1+ZK

值,；.直线CM，

4

.人x=0得,=一%+/必=石（优+2）+%（g+2）=2在%2।2=2」1+2左2

1+2-2

+2=—1+2=1,

:•直线/歹过定点。（0,1）

随堂练习：答案：（1）椭圆c的标准方程为一+—=1,离心率为3（2）证明见

422

解析

:二1

a2=4.

解：（1）将点“、N的坐标代入椭圆C的方程可得<,解得』则

I/2+X1

c=yja2—b2=5/2，

所以，椭圆C的标准方程为。+4=1,离心率为e，=克.

42a2

（2）分以下两种情况讨论：

①当直线N3的斜率存在时，设直线的方程为"去+机，设点/（%,必）、5（x2,y2）,

;二：：可得（左？）研机22（2）（2）可得

联立42+lx2+4+22—4=0,A=16ylm-42yl+12m-4>0

m2<4k2+2,

由韦达定理可得西+为=-步，w%=当;

及+12k+1

MA=（再-2,%）=（玉-2,区i+加），同理可得=（马-2,区2+加），

由已知例J_MB,贝—2）（%—2）+（何+加）（区2+加）

（左2+1）（2加之-4）-4km（km-2）

22

=（k+1）再%2+（左加一2）（芭+x2）+m+4+/+4=0

2k2+1

2

所以，4k2+Skm+3m2=0,即（2左+加）（2左+3加）=0,解得机=-2左或切=-§左.

当机=-2左时，直线N8的方程为了=0）,此时直线过点M（2,0）,不合乎题

思；

当机左时，直线45的方程为了二左卜-^,此时直线43过定点g,o）,合乎题

思；

②当直线Mix轴，则点A、B关于x轴对称，所以，网=/，刈=-乂，即点网网,-必）,

222______

由已知4a=1可得才=2吟，疝=（%-2,%），砺=（国-2,-必），由已知

MALMB,

贝IJ加•砺=（因-2）2-y；=（*-2）2-12-：＞斗-4玉+2=。，所以，3^-8%,+4=0,因为-2＜玉＜2,

解得

此时直线45的方程为x=g,则直线N8过点Y，o）.综上所述，直线N8过定点

2

典例2、答案：（1）3+/=1（2）证明见解析

解：（1）由题意可知，”2,将点尸的坐标代入椭圆。的方程可得3可得6=1,

—+v,=1

4b2

2

因此，椭圆C的方程为,+V=l.

（2）证明：若PQU轴，则点尸、。关于x轴对称，则直线N尸与也关于x轴对称,

从而直线，尸与的斜率互为相反数，不合乎题意.

设直线产。方程为＞=云+加，设点尸（石,凹）、Q（x2,y2）,

:二:“彳，可得（公+卜丘+64k2m2（2）（2）可

联立412+84m2-4=0,A=-164?t+lm-1>0,

得加2<4k2+1，

2

由韦达定理可得%+%=-靠'4m-4

中2二赤7

（无+"?）（丘〃）

因为加松=会.会V[2+71

（XJ-2）（X2-2）-20

整理可得（20左2-1）玉々+（20痴+2）（网+尤2）+20"/-4—0,

（20/-1）（4切2-4）8km（2Qkm+2）

即+20〃/-4=0化简得病-加2-6k2=0，

4k2+1

即（加+2左）（加一3左）=0,可得加=-21或加=3%.

当机=-2人时，直线尸。的方程为了=左卜-2）,此时直线尸。过点A,不合乎题意；

当冽=3左时，直线尸。的方程为了=左卜+3）,此时直线尸。过定点（-3,0）,合乎题意.

综上所述，直线尸。过定点（TO）.

随堂练习：答案：⑴4+三=1（2）过定点，定点坐标为

62V2；

a2=b2+4

解：（1）依题意2C=4,C=2,由31，解得°=&/=血，所以椭圆C的方程为

[-1

（2）由题意知，当4,4其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0,此时直线肱v

为X轴;

当4,4的斜率都存在且不为。时，设4:尤=町-2（切片0）,

x=my-2

设么（再,必）,3（工2，%），联立，JJl，整理得（川+3犷--2=。,

I62

4加~2

A=16m2+8（m2+3）＞0,%+%=—~=~~r

m+3m+3

ri-12-62m।

则占+々=必%+%）-4="所以的中点M加2+3'加2+3J'

1。

x=y-2

—6m2—2m

同理由＜、2，可得。E的中点N,则

3m2+1'3m2+1

二+匕=1

[62

2m2m

加2+33加2+1二4加

66m23（m2-1）?

m2+33m2+1

2m4m（6）

所以直线MN的方程为广肃7rW〔X+QJ,化简得

4m2m

y=—r^——rx+—：——

3（加J1）m-1

故直线MV恒过定点综上,直线ACV过定点

r2

典例3、答案：（1）y+v2=l；（2）证明见解析.

解：（1）由于e=乎，故土=之《=1-1=1-手=，所以力=3%

3aaa13）3

2

又椭圆C过点尸（0,1）,故6=1,从而“=3,〃=1,椭圆C的标准方程为（+r=1.

（2）当直线48的斜率不存在时，出[,不合题意，舍去.

当直线PA的斜率存在时，设直线电的方程为y=kx+m（m^l）,

y=kx+m,

得（3左2+1）%2+6配工+3加2_3=0,设＜（石,%）,8（%，%）,

由任v则

+y=17、-

6km3m2-3

23r+1123r+1

又由k\k,=为二1.三二1=（何+]

=得:

x{x2

（左2—1）玉工2+左（加一1）（玉+X,）+（"Z-1）2=0,

所以（左2-1）即^~--k（m-V）+（/w-l）2=0>化简得/+加-2=0,解得加=-2或

'，3左~+13k+1

m=l（舍去）.

当机=-2时，直线4£：y=Ax-2过定点（0,-2）,符合要求.

综上可知，直线々鸟过定点（0「2）.

2

随堂练习：答案：（1）：+「=1；（2）直线N2过定点（。，-3）

cV6"

/7（「氏\e丁亍

解：⑴因为椭圆的离心率e=¥，椭圆经过点6,三,所以4,Xa2=b2+c2,

51r?（丁）

r2

解得/=3,b2=1,/=2,所以椭圆的方程为了+/=1.

（2）证明：设直线的方程为广区+b,A（x1,%），B（%,y2）,

联立=1,得(1+3*)/+6左8+362_3=0,所以xi+xz'—^y,xjx,

j11+3左1+3左

y=kx+b

所以a=必—1均=%-1所以《k=g+b-T仇+6-1=/MJ+ZS—IX.+A0+S—I)2=@—1)22

9Xxxx

八玉'x212\23(B-1)3'

解得6=-3,所以直线过定点(0,-3).

典例4、答案：(1)—+y2=l(2)y=±^-x-2

42

解：（1）设尸（。,0）,因为直线/厂的斜率为38,4（0,-2）所以2=述，c=6.

3c3

7…一f解得—，所以椭圆E的方程为“T.

（2）解：设尸（如必）,。（如必）由题意可设直线/的方程为：y=kx-2,

联立｛彳+了=1'消去V得(1+4公卜2一16履+12=0,

y^kx-2,

当A=16（4左2_3）＞0,所以后2＞土即左＜4或无＞¥时

16k12

再+x

2=币记5=帝记・

/7—^\(i6kV48-4，1+后24412-3

所以|尸=J1+UJ（X]+工2丫-4国了2“爪干记J―帝记=万而

点。到直线/的距离〃=右所以&.=；力尸0卜羊彳，

C="=4V4=1

设血=3=t＞0,则4公=入3,说一/+4,+4-2"一，

t

当且仅当仁2,即左K=2,解得人=±。时取等号，满足左2＞：

所以AOP。的面积最大时直线/的方程为：y=?一2或丫=一?一2.

2

随堂练习：答案：(1)、+/=1(2)x-y+l=0或x+y+l=0

解：（1）设E的半焦距为。，则耳（。,0）,故过工垂直于x轴的直线方程为x=c

与£的方程联立，得卜，|=必，由题意得更=°,所以/=2凡又/=/+02,所

aa

b=c,a=■\f^c,

因为椭圆£上的点到一个焦点的最大距离为直+1,所以°+°=&+1,所以

a=V29b=1,

2

故椭圆E的方程为y+/=l；

（2）由题意，直线4。不垂直于歹轴，设直线力。的方程为x="T,4（国,必），。（、2，%）,

由=2，消去X并整理得（/+2）/-2匹_1=0,

所以A=4/+4（/+2）=8（/+1）＞0,yt+y2=^^,必%=^7，

bI乙CI乙

所以

\AC\=/产+1乂％一%）2=向2+1）［（%+%）2_仪％］=L+1）［号］-4-9=,

因为点。到直线zc的距离〃=石片，且。是线段的中点，所以点B到直线/C

的距离为2d,

所以％尤=*。卜加=2［（：+1）126J/+1

2t+2Vr+1J+2

因为工…。所以子斗解得或」;（舍去），

所以/=±1,此时直线ZC的方程为x=±y-l,即x-y+l=O或x+y+l=O.

22

典例5、答案：（1）—+—=1（2）x+y-6=0或尤+y+g=O

42-

解：（1）由椭圆定义得2a=4,a=2,所以0=碇=0,故6=夜，所以椭圆的方程为

22

(2)设4(出乂)，5(X2,%)，『区+加代入方程?+5=1,得

2

(1+2左2)%2+4kmx+2m—4=0.(*)

-2km7mm1-2km

所以%=五爰y=kx+m=-------,所以解得k=T,

1+2/crcr1+2左2l+2k2~21+2k2

4^6—m2

则(*)式变为3x2-4mx+2m2-4=0,则以5卜亚卜—4|=

3

△048底边48上的高〃,所以AO4B的面积§=亚J（61nlm.

令.J（6一叫加=g,解得机=±百，把左=T,相=土世代入（*）式，经检验，均

3^

满足A>0,

止匕时直线/的方程为x+>—百=0或x+y+6=0.

22

随堂练习：答案：（1）,+：=1；（2）（X-1）2+/=2.

解：（1）由题意知c=l,所以£（T0）,£0,0）,所以，由椭圆定义知：

贝此=2,62=/一。2=3,故椭圆C的方程为三+匚=1.

43

（2）①当直线Ux轴时，令x=-1,可得5+且=1，解得尸土，

432

可取《一1,一），止匕时的面积邑化B=（X2X3=3,与题设矛盾，舍

去.

②当直线/与x轴不垂直时，

设直线/的方程为V=%（》+1）,代入椭圆方程得（3+嫡）x2+Sk2x+吹-12=0,

A=64rt—4（3+4左2）（4左2一12）>0成立，

设/（XQJ,B（x,y）,则再+.=-警,平2=

223I/v3+4公

可得阴=♦+•-J（X]+.）2-2=I；，”-又圆工的半径『=|跖，

一一台的面积为f/B”J2?+£TT=W，

化简得1714+'2-18=0,解得

左=±1,

：.r=42,・••圆月的方程为（％-+/=2.

典例6、答案：（1）~~+y2=1（2）y—±^-x+2

解：（1）将点[亚,号>弋入W+1=l得，4+上=1，又£=e，/=/_〃，得。2=4见

I2J/斤alb-a2

2

所以/=4,b2=l,即?+/=1.

（2）因为M为2）,设直线ZB的方程为y=履+2（后70）,设/（再，必）,5（X2,J2）,

联立「一“，得(1+4左2卜2+16丘+12=0,且△>(),则网+9=一厂%,

[x+4y=4'71+4左

12

V2=iT4F,

则|“闻=①己丑三3,且公>：,直线MV的方程为7=-。龙+2,即

111+4左24k

x+ky-2k=0,

则圆心（0,1）到直线MN的距离为d=-