2025年高中数学必修第一册第二章综合检测卷（培优B卷）解析版

高中数学人教A版必修第一册第二章综合检测卷（培优B卷）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1.下列命题为真命题的是（）

A.若a>6>0,贝！］々。2>庆2B.若c>d,则—d

C.若a>5>0,c<0,则工>，D.若则

ab

【答案】C

【分析】利用特值法和作差法依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A,若a>6>0,c=0,贝!］碇2=A2,故人错误；

对选项B,若a=4,Z?=3,c=3,d=2,满足c>d,

则〃_c=Z?—d=l,故B错误.

“、小岳Cccbc-acc(b-a\

对选项C,__-=——=7.

ababa7b

因为a>A>0,c<0,所以仍>0,c仅一。)>0,则必二0>o,即£>£,

故c正确.

对选项D,因为<7<6<o,所以d-"=(a+b)(a-b)>0,故片>〃.

所以廿一"=。)<0,所以〃<如，故D错误.

故选：C

2.已知。>0/>0,加=&+而,N=贝1J()

A.M>NB.M=NC.M<ND.不能确定

【答案】A

【分析】先利用作差法比较加2与N2,再由于大于零，从而可比较出的大小.

【详解】因为a>O,b>O,M=&+N=Ja+b,

所以加2_铸=(&+可+7=2荷>0,

所以”>解，

因为M,N大于零，

所以M>N,

故选：A.

3.已知命题p:*eR,f+(。-l)x+l<0,若命题p是假命题，则。的取值范围为()

A.l<a<3B.-l<a<3C.-l<a<3D.0<a<2

【答案】B

【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案.

【详解】由题意:命题pHxeR,x2+(a_l)x+i<0是假命题,

其否定：。：VxeR,尤2+(“-1)尤+120为真命题，

BPA=(a-l)2-4<0,解得-LWaW3,

故选：B

21

4.若%>0,y>。，且-+―=1,x+2y>加2+7加恒成立，则实数机的取值范围是()

xy

A.-8<m<1B.根<一8或勿>1

C.m<一1或相>8D.-l<m<8

【答案】A

【分析】先由基本不等式求出x+2y的最小值，进而列出关于用的一元二次不等式，可求解.

21

【详解】因为：+；；="

%y

由基本不等得x+2y=(―H■-1(^+2^)=—+—+4>2/—•—+4=8

y)%yN*y

当且仅当竺=2时，等号成立，所以x+2y的最小值为8

xy

2

由题可知，m+7m<(x+2y)n.n=8即加2+7加一8<0,解得-8<m<1,

故选：A

5.下列不等式中正确的是()

,1三的最小值为

A.xH—--21B.2

x2+l

空2

C.XT—之2D.

xyjab

【答案】A

【分析】利用基本不等式及取特殊值逐项分析即可.

【详解】由士=(、+】)+三一・西一1=1,

当且仅当/+1=47=工=。时取等号，故A正确，

X+1

+4Vx+4，尤+4V&+4

当且仅当==1无解，故取不到最小值2,

+4

故选项B错误；

当x>0时，X+』Q=2,当且仅当尤=1时取等号，

当xvO时，x+-=-(-x)+f-—

V2#-。一2,

X[_<x)

当且仅当产-1时取等号，故C不正确；

取。=一1,/?=一2时，竿擀22不成立，故D不正确.

7ab

故选：A.

6.若。>0,)>0,且a+Z?=l,则下列说法正确的是()

12、3

A.—+----->—+B.

ab+12

_7

C.---b>2石-2D.2Q9+b>—

a+18

【答案】A

【分析】由基本不等式可判断A、B、C；因为2a2+6=2a2+(l_4)=2(a_(j+；,再由二次函数

的性质可判断D.

>3+20

【详解】对于A：

__2-「

故A正确;

对于B：回a+bW小2(/+〃),0a2+Z?2>|,故B错误;

对于C：—--b=---=—+(a+l)-2>2^-2,

<3+1a+1'7a+1'7

当且仅当。=百-1时取等号，故C错误;

对于D：2a2+b=2a2+(l-a)=2^a-^故D错误.

故选：A.

7.方程/+办_2=0在区间［1,5］上有根，则实数。的取值范围为()

23「231

A.(—■—,+°°)B.(1,+°°)C.__4D.(―°o,-］

【答案】C

【分析】由于方程Y+依-2=0有解，4=分+8>0,设它的两个解分别为由,X2,则X〃X2=-2<0,

故方程Y+依一2=0在区间［1,5］上有唯一解.

设於)=d+分一2,则有加加5尸0,即(a-D(5a+23)40,

23

解得：

故选C.

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

⑴直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围;

⑵分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

⑶数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合

求解.

8.已知实数转0＞，且2+4=1，则工-丫的最小值是（）

x+zi—y

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.

【详解】3。”等式占+乙=1恒成立，*尹3++2+1“++占

由于所以1—y>0,2+x>0,

11(^+2+l-y)=2+^^+^1>2+2.£±13=4,

x+21—yl—yx+2

当且仅当》+2=1-y时，即x=O,y=-l时取等号.

.\x-y+3>4,:.x-y>l,故光一V的最小值为1.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.已知aeR,关于％的不等式必11＞。的解集可能是（）

x-a

A.(⑷B.(-oo,l)D(a,+oo)

C.(-^»,a)u(l,-H»)D.0

【答案】BCD

【分析】分。<。，a=0,0<a<l,a=l,a>l,利用一兀二次不等式的解法求解.

【详解】当“<。时，不等式等价于（x-D（x-a）<0,解得a<x<l；

当。=0时，不等式的解集是0；

当0<°<1时,不等式等价于解得X>1或x<a；

当。=1时，不等式等价于（*_丁>（）,解得於1；

当时，不等式等价于（%-l）（x-a）>0,解得x>a或x<l.

故选：BCD

10.下列说法正确的是（）

A.关于x的方程告=7的解集中只含有一个元素，则左=-1

x—1X-X

B.若x<0,则函数y=X+，有最大值，无最小值.

X

C.函数>=十二的最小值为2

Vx+2

D.若>be2贝!Ja>b

【答案】BD

【分析】取左=0验证可判断A,注意增根；利用基本不等式可判断B；由基本不等式等号成立

条件可判断C；由不等式的性质可判断D.

【详解】由方程上7可知XR0且cl,方程可化简为无2+2x4=。，

x-1X-X

当上=0时，解得x=-2或x=0（舍去），所以此时原方程的解集中只有一个元素-2,故A错误；

若x<0,则y=-［（—尤）+（-工）］V-2J（-尤）•（二）=一2,当且仅当尸-1时等号成立，故B正确；

xVx

y-¥+3_x：+2+l一/22广］>2

yee际，

因为乒^=/=一1无实数解可知，所以不等式取不到等号，故C错误；

若ac?>be?,则，>o,即3>0,所以/乂二〉》/*所以〃>/?,故D正确.

ccc

故选：BD

11.已知不等式加+b%+c>0的解集为{%|帆<%<〃},其中〃>相>。，则以下选项正确的有（）

A.a<0

B.b>0

C.c/+法+々>0的解集为卜

[\nmJ

D.c^+fov+o>。的解集为，[无<，或无

[|nmJ

【答案】ABC

【分析】根据二次不等式的解法，结合二次函数的性质，可得各参数的与零的大小关系，再结

合韦达定理，可得选项中二次方程的解，可得答案.

【详解】；不等式依2+法+。>0的解集为故A正确；

-：n>m>Q,f（x）=ax2+bx+c,.'.-^>0,即6>0,故B正确；

由上所述，易知〃。）<。，c<0,

_bQ

由题意可得相，”为一元二次方程加+foc+c=0,则"?+〃=一，mn=~,

aa

力

11a11m+nbart11?oA…

贝!j-----=一，-+—=----二一一，即J——为方程ex+ZZX+Q=0的斛，

nmcnmmncnm

则可知不等式C/+法+。>。的解集为故c正确，D错误.

[\nmJ

故选：ABC.

12.已知。>。力>。，且a+1=l,则（）

b

A.1+b的最小值为4B.4+占的最小值为:

ab4

C.!的最大值为:D.〃的最小值为0-1

b42

【答案】ACD

【分析】结合已知等式，运用基本不等式、配方法逐一判断即可.

_j_

【详解】—+/?=|—+/?Y«+—|=1+1+«/?+—>2+2./«/?•—=4,当且仅当而=i,即“=5’时取等

[a八切y

aababb=2

号，则A正确;

1

a=—

即当且仅当必=1,即，2’时取等号，则B错误;

6=2

一匕__仕_12L当：=；,即6=2时，r=；,则C正确;

b~b~b1~[b2j4b2⑴a4

A八r—[=1_V2

=>一*=£一1$：一1=&一1,当且仅当2时取等号，则D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若正实数x,y满足x+2y=4,则^+3]]+3卜勺最小值是

【答案】25

【分析】利用整体代入法化简式子，再利用基本不等式即可求出最小值.

【详解】因为正实数x,y满足x+2y=4,

[MUI三+“詈++"?仕+皿7+割”7+2町分

当且仅当生=曳且无+2y=4,即x=2y=2时，等号成立，

yx

所以、+31；+3]的最小值是25.

故答案为：25.

14.已知函数y=-f+3x-a与y=x+l的图像上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围是

【答案】a<5

【分析】根据题意，点（加㈤关于无轴对称点为即对于任意的点（〃W）在y=上，

则点（根,-〃）在y=x+l上，列出方程即可得到结果.

【详解】设点（〃?，"）在函数y=-无2+3x-a上，则”=—m2+3m—a

则点（加，一力）在函数〉=x+l上，gp-n=m+l

所以—G"+l）=—>+3〃z-a,化简可得;a?-4〃z+a-1=0

gpA=（-4）2-4x（a-l）>0,解得a<5

故答案为：a<5

15.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费

用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则乂=吨.

【答案】20

【详解】该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买处次，运费为4万

X

元/次，一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为（必-4+4x）万元，%4

XX

+4x2160,当咽=4x,即x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.

X

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中

“正"（即条件要求中字母为正数）、“定"（不等式的另一边必须为定值）、"等"（等号取得的条件）的

条件才能应用，否则会出现错误.

16.不等式产-〃20对所有的aw[T，l]都成立，则t的取值范围是.

【答案】（f,T]U{0}U[i,+8）

【解析】看作关于。的一次函数，根据一次函数恒成立问题列出不等式组，求得r的范围.

【详解】设〃由/㈤2。

团用一即仁；；解得—1或』或止1，

故答案为：(―,_i]U{O}UU，+«>).

【点睛】本题主要考查一次不等式恒成立问题，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础

题.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.比较大小：

(1)已知x>5,比较x3+5x与5x?+x的大小.

(2)比较色和1的大小.

4+Q

4/7

【答案】(1)X3+5X>5X2+X；(2)-^4<1.

【分析】⑴利用作差法比较，分解因式判断正负即可；

⑵利用作差法比较，通分整理判断正负即可.

【详解】解：(1)取>5

0X3+5X-(5X2+X)=X3+4X-5X2=X(X2-5x+4)=x[x(x-5)+4]>0

0X3+5X>5X2+X.

2

(2)4_1=4«-4-fl=_

4+(r4+a4+a

【点睛】本题考查了作差法比较大小，属于基础题.

18.已知命题。:不等式q2-5a-3N3恒成立；命题/不等式f+6+2<0有解，若。是真命题，4

是假命题，求。的取值范围.

【答案】卜2也一1]

【分析】根据一元二次不等式的解法、一元二次不等式无解可分别求得。为真和4为假时a的

范围，取交集即可得到结果.

【详解】若。为真命题，则/一5a-620恒成立，解得：aW-1或/6；

若夕为假命题，则Y+冰+2<0无解，.'.A=a2-8<0,解得：-2A/2<a<242

综上所述：若〃是真命题，是假命题，则。的取值范围为

19.已知关于x的不等式苏-2工+。>0（。*。）.

（1）若不等式的解集为R，求实数。的取值范围；

（2）若不等式的解集为。，求实数。的取值范围.

【答案】（1）（L-）；（2）（-«,-1].

【解析】在。力0时，利用二次函数的性质求解.

【详解】（1）因为原不等式解集为我，

则\=4-4/<0，解得"1，

回。的取值范围是（1，内）.

（2）因为原不等式的解集为4,

则《二…，解得

回实数。的取值范围为（-叫T].

【点睛】方法点睛：本题考查一元二次不等式的解集问题，解题关键是掌握三个二次之间的关

系，一般解一元二次不等式，我们都是把二次项系数化为正数，然后求解，而在二次项系数含

有参数时，可以结合二次函数的图象与性质研究不等式的解，如依2+云+°>0恒成立，对应二

次函数图象在X轴上方，不等式以2+法+c>0解集为空集，则对应二次函数图象在X轴下方，这

样可由二次函数性质完成求解.

20.某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测

算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）

与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为02预计安装后该企业每年需缴纳

的水费C（单位：万元）与设备占地面积X之间的函数关系为c（尤”秦（x>0）.将该企业的净

水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）.

（1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积X的取值范围；

⑵设备占地面积x为多少时，y的值最小？

【答案】⑴[11，20]；⑵设备占地面积为15m2时，y的值最小.

【分析】（1）由题意解不等式0.2X+?<7.2,即可求得；

（2）利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）由题意得了=0.2尤+2（x>0）.

犬+5、7

要满足题意，则》<7.2,

即0.2%+——W7.2,解得：ll<x<20.

x+5

即设备占地面积X的取值范围为[11,20].

八。80x+580>lx+580-,/771-7

（2）y=0.2x+----=----+------122J----x------1=2o716-1=7,

x+55x+5V5x+5

当且仅当W=2=尤=15时等号成立.

5x+5

所以设备占地面积为15m2时，>的值最小.

21.已知a,b为正实数，且工+；=2次.

（1）求+"的最小值；

（2）若（4-6）*436）3,求ab的值.

【答案】（1）1;（2）1.

【分析】（1）根据，+[=2应和/+/22仍可得结果；

abVab

（2）由，+