2025年人教A版新高二数学暑假重难点复习：平面向量与解三角形高频考点突破

第04讲：平面向量与解三角形高频考点突破

【考点梳理】

考点一•向量的有关概念

名称定义备注

既有大小,又有方向的量;向

向量量的大小叫做向量的长度（或平面向量是自由向量

称模）

长度为Q的向量；其方向是任

零向量记作0

意的

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量。的单位向量为啥

Ml

平行向量方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又0与任一向量平行或共线

共线向量

叫做共线向量

两向量只有相等或不等，不能比

相等向量长度相等且方向相同的向量

较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

考点二.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

丁(1)交换律：

a~\~b=b~\~a；

求两个向量和的运a

加法三角形法则(2)结合律：

算

(a+A)+c

a

平行四边形法则=a+(A+c)

求a与8的相反向

减法a~b=a+(—b)

量一8的和的运算

三角形法则

⑴|训=|川⑷；

求实数丸与向量a（2）当%>0时，脑的(2)(2+[i)a=2a+

数乘

的积的运算方向与a的方向相

回；当7<0时，Xa(3)/l(a+A)=/la+

的方向与a的方向油

相反;当7=0时，

2a=0

考点四：.共线向量定理

向量a(aWO)与8共线，当且仅当有唯一一个实数九使8=痴.

1.平面向量基本定理

如果ei、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数

71、22,使a=2iei+2262.

其中，不共线的向量ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

考点五.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a=(xi,yi),b=(x2,yi),贝Ua+Z>=(xi+%2,yi+y2),a—/>=(xi—X2,yi~~y2),Xa=(Axi,Ayi),|a|

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi,yi),3(x2,yi),则AB=(X2—xi,丫2-yi),\AB\=yj(X2—xi)2+(j2—yi)2.

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),b=(X2,yi),其中Z>WO.a、b共线Oxiy；——yi=0.

【知识拓展】

1.若a与〃不共线,痴+面=0,则4=〃=0.

2.设a=(xi,yi),b=(x2,竺)，如果及#0,"WO,则a〃方

%2，2

考点六.向量的夹角

已知两个非零向量a和儿作醇=a,OB=b,则N49B就是向量a与方的夹角,向量夹角的范围是:

[0,n].

考点七：.平面向量的数量积

设两个非零向量。，力的夹角为仇则数量同外cos。叫做〃

定义

与办的数量积，记作a•方

|a|cos3叫做向量a在万方向上的投影，

投影

向cos0叫做向量8在a方向上的投影

数量积ab等于a的长度⑷与〃在a的方向上的投影板|cos0

几何意义

的乘积

考点八：.平面向量数量积的性质

设力都是非零向量，e是单位向量，。为a与仪或e)的夹角.贝I」

(l)e・a=a,e=|a|cos6.(2)a_L8Oa仍=0.(3)当a与力同向时,a-b=\a\\b\；

当a与力反向时，a•办=一|。||回.特别地，aa=|a|2^\a\=y[a^a.

(4)cos6=Zi而.(5)""W|a||瓦

4.平面向量数量积满足的运算律

(l)a-b=b-a；(2)(Aa)-Z>=A(a-b)=为实数)；(3)(a+b)-c=a-c+b-c.

5.平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a=(xi,yi),b=(x2,⑼，贝Ua力=xi「+yiy2,由此得到

(1)若a=(x,y),则|aF=x2+y2或㈤=、廿+丫2.

(2)设A(xi,yi),B(X2,>2),则A,B两点间的距离AB=|AB|=1(X2—xip+g一刀产

(3)设两个非零向量a,b,a=(xi,yi),b=(xi,yi),则a_l_/>Oxix2+yiy2=0.

(4)若a,8都是非零向量，。是a与方的夹角，则cos。=儒=/清贫、.

考点九.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，贝U

定理正弦定理余弦定理

abc…(2)/=b2~\~c2—2bccos

内容(1)•4一•g—•「一2R

'7sinAsinBsinC

A；

左=。2+〃2―20碇05B；

才=42+/一2aZ7cosC

(3)a=2HsinA,Z?=27?sinB,c=2Rsm

/+，一〃2

c；

(7)cosA-2bc；

abc

(4)sinA—2^，sinsinC—?R；C2+(22—Z72

变形cosB-2ac；

(5)a:b:c=sinA:sin5：sinC；

c^+b^—c2

(6)asinB=bsinA,Z?sinC=csinB，cosC—2ab

asinC=csinA

考点十：角形常用面积公式

(l)S=5%(/ia表示边a上的高)；(2)S=5〃Z?sinC=^csinB=^bcsinA；(3)S=54a+b+c)(r为三角形

内切圆半径）.

【题型梳理】

题型一：平面向量的基本概念

L（2023春•上海浦东新•高一统考期末）下列说法正确的是（）

A.若卜卜忖，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

B.若卜卜卜|,且a与b的方向相同，则a=b

C.平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；

D.若a//b,则“与b方向相同或相反

【答案】B

【分析】对于A,利用向量的模的定义即可判断；对于B,利用向量相等的定义判断即可；对于C,

考虑向量的起点位置判断即可；对于D,考虑特殊向量0即可判断.

【详解】对于A,由卜卜W只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误；

对于B,因为卜卜W，且a与6同向，由两向量相等的条件，可得a=b,故B正确；

对于C,只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误；

对于D,依据规定：0与任意向量平行，故当a=0时，a与b的方向不一定相同或相反，故D错误.

故选：B.

2.（2023春•江苏镇江•高一扬中市第二高级中学校考期末）下列说法中正确的是（）

A.若忖咽,则a=B或〃

B.若allb，bile,则allc

C.已知点A（l,3）,3（4,T）,则与向量AB平行的单位向量是匕，-3

D.已知向量“与b的夹角为亨，,=2,|*亚,贝也在0方向上的投影向量是《

【答案】D

【分析】根据向量的模、向量共线、平行向量、单位向量、向量的投影向量等知识对选项进行分析,

从而确定正确答案.

【详解】A选项，当卜卜W时，a与b可能垂直，此时不满足a=b或a=-6,A选项错误.

B选项，allb,bile,当b为。时，a,c不一定平行，B选项错误.

C选项，A（L3）,B（4,-l）,则AB=（3,-4）,3目=5,

AB<34^|ABf34^）

则与向量”平行的单位向量是同=或一网=［一寸二J，C选项错误.

,2x^/2xcos—

D选项，b在〃方向上的投影向量是詈.&=________生£=_@,D选项正确.

|«||«|222

故选：D

3.（2022春•上海浦东新•高一上海中学东校校考期末）下列结论中，正确的是（）

A.零向量只有大小没有方向B.\AB\=\BA\

C.对任一向量a,|。|>0总是成立的D.|A8|与线段班的长度不相等

【答案】B

【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案.

【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；

由于筋与方向相反，长度相等，故B正确；

因为零向量的模为0,故C错误；

|AB|与线段朋的长度相等，故D错误.

故选：B.

题型二：平面向量的线性运算

4.（2023春•江苏无锡•高一辅仁高中校考期末）如图，在,ASC中，点。为8c边的中点，。为线段AD

的中点，连接co并延长交A8于点E,设AB=a,AC=b,则CE=（）

B.-ci—b

4

r1-3，

D.一。—b

34

【答案】C

【分析】设=再根据平面向量基本定理分别表示CO,CE,进而根据向量共线设CE=〃CO,

A=-

代入向量可得进而得到CE.

4二一

3

【详解】设=则CE=AE-AC=/kz-6,又

121□

CO=-CA+-CD=--AC+-(AB-AC)=-AB--AC=-a--b,

2224,4444

设C£=〃CQ,贝[J4〃_/?=//])，

2=-

3

故，

-1=-^4

4=一

43

41

^CE=-CO=-a-b.

故选：C

5.（2021春・浙江,高一期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图

2所示的正八边形ABCDEFGH,其中|。4卜1,给出下列结论:

①0A与。X的夹角为三;

②匹。4=事

DH\;

@OD+OF^OE;

④。4在。。上的投影向量为qe（其中e为与。。同向的单位向量）.

其中正确结论为（）

FE

【答案】B

【分析】对四个选项一一判断：

对于①：直接求出。1与。8的夹角；对于②：利用向量的线性运算直接求解；对于③：利用向量加

法的三角形法则直接求解；对于④：由0A在。。上的投影向量与。。方向相反，即可判断.

【详解】在图2中，正八边形的对角线把周角进行八等分，所以每一份均为产=%

对于①：04与。”的夹角为:故①错误；

对于②：因为。4-OC=C4.

在AOC中，ZA0C=|,|OA|=1,所以|C4|=加厂+依｛=82+12=6.

而|叫=2网=2,所以可一=^\DH\正确.故②正确；

对于③：由向量加法的三角形法则得：OD+OF=V5OEwOE.故③错误；

对于④：由图知，在。。上的投影向量与。。方向相反.故④错误.

故选：B

6.（2022春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末）如图,在ABC中，BC=6DC,则A£>=()

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

66667777

【答案】A

【分析】依题意可得=再根据平面向量线性运算法则计算可得;

6

【详解】解：因为8C=6〃C,所以

6

^\^AD=AB+BD=AB+-BC

6

=AB+|(AC-AB)

=-AB+-AC.

66

故选：A

题型三：平面向量的基本定理

7.（2023春•江苏苏州•高一统考期末）如图，在.ABC中，点。，E分别在边BC和边A8上，D,E分

别为5c和的三等分点，点。靠近点B,点E靠近点A,AD交CE■于点P,设BA=b,则8P=

()

B.—ci~\—b

7777

-13,24

D.—a+—b7

7777

【答案】B

【分析】利用船,BC表示防，结合平面向量基本定理确定其表达式.

【详解】设AP-AD,EP=REC,

BP=AP-AB=AAD-AB=A^BD-BA^-AB,

又BD=gBC,

所以=+

.2-

因为=

^V\BP=BE+EP=-BA+]nEC=-BA+=+JLLBC,

—2="A—L—3

所以:9,解得:，

=/J=-

i414

^\^BP=-BC+-BA=-a+-b,

故选：B.

8.（2023秋•辽宁•高一大连二十四中校联考期末）如图，在，ABC中,=；BC,NC=AAC,直线AM

交BN于点Q,若BQ=*N,则2=（）

A

BMC

A-B—c-D-

5533

【答案】A

UliuL1L1L1LILI

【分析】由A,V,Q三点共线可得存在实数〃使得BQ=RBM+(1-〃)朋,再由AMC三点共线可解得

Auumquum&

A=p利用向量的线性运算化简可得NC=：AC,即2=(

【详解】根据图示可知，A,M,Q三点共线，由共线定理可知，

LILIUUUUUU

存在实数〃使得BQ="BM+(1一〃)朋，

umr1UUDurn、uu®5iuunuir

yiBM=-BC,BQ=-BN9所以=+,

又A,N,C三点共线，所以+解得〃g

111,01111111r

uun23zuiruuinx2/uum、3uir

即可得BN=TC+《R4,所以(a4+AJV)=M®+AC)+TA,

2uumuum71Muum3uun

所以AN'AC，BPAC-NC^-AC,可得NC=gAC,

又NC=2AC,即可得2=

故选：A

9.（2022春•福建福州•高一校联考期末）如图，在，ABC中，ZBAC=AD=2DB,P为CD上一点、,

且满足AP=〃zAC+gAB(meR),若AC=3,AB=4,则APCO的值为).

【答案】C

【分析】由尸、C、。三点共线及4£)=2。3,可求加的值，再用AB、AC作基底表示CD,进而求APCD

即可.

【详解】0AP=mAC+^AB(meR),AD=2DB,

2---21

即AD=-AB^CD=-CB+-CA,

3

0AP=mAC+—A£)(m€R),

31

又C、P、。共线，有祖+『1,BPm=~,

即AP=；AC+；AB,而CB=C4+AB,

2-19-2

^\CD=-(CA+AB)+-CA=CA+-AB=-AB-AC

3333

^AP-CD=(-AC+-AB)(^AB-AC)=-AB2--AB-AC--AC2=--2--=—

4233343412

故选：c

题型四：平行向量的垂直和平行问题

10.(2023秋•辽宁锦州•高一统考期末)已知向量。=(2,0),6=(1,2),且(〃-36)//(2a+时小eR),则忸+砌

为()

A.2历B.4历C.2屈D.4761

【答案】A

【分析】首先求出。-36、2a+成的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数上的值，最

后根据向量模的坐标表示计算可得.

【详解】因为。=(2,0),5=(1,2),所以。-36=(-1,-6),

22+11=2(2,0)+1(,2)=(4+无,2"),

又(a-36)//(2o+好)，所以-1x2"=-6x(4+一),解得上=-6,

所以2a+船=(-2,-12),则"+kb\=^(-2)2+(-12)2=2历.

故选：A

11.(2023春•江苏镇江•高一扬中市第二高级中学校考期末)已知非零向量a,b满足％=,(。用=］，

若(a-b)_La,则向量a在向量〃方向上的投影向量为()

I1/q

A.~bB.—bC.—bD.b

422

【答案】A

【分析】依题意可得（。-4”=0,根据数量积的定义及运算律求出即可求出.山，最后根据“力

计算可得.

【详解】因为（。一6），“，所以=，

回忖2-；丽=0,又6=（61）,所以卜卜=2，则=1或k|=。（舍去），

所以a.b=a=1，

a-b,1,

所以。在6方向上的投影向量为丽力=7/

故选：A.

12.（2021秋•湖南长沙•高一长沙一中校考期末）已知ABC是腰长为2的等腰直角三角形，。点是斜

边⑷5的中点，点。在上，且CP=2P。，则尸（）

八32、10

A•一§B--7

C-D-4

【答案】C

【分析】根据向量的减法及数乘运算表示出尸由向量的数量积运算法则化简转化为关于cb的

表达式，再利用直角三角形性质求出8=也即可得解.

【详解】由题意可知，

->->

PA=CA-CP.PB=CB-CP，

-22

:.PAPB={CA-CP\CB-CP）=CACB-{CA+CB}CP+CP=0—2CDCP+CP

CP=2PD

:.CP=-CD,

3

由。点是斜边A区的中点，可知。。=43=收

2428216

:.PAPB=—2CD—CD+—CD=——CD=——.

3999

故选：C

题型五：平行向量数量积

13.（2023春•江苏南京•高一南京市中华中学校考期末）如图，在中，ZBAC=AD=2DB,P

1LlUU

为CD上一点，且满足AP=mAC+jAB,若|AC|=3,IA3|=4,则APCZ）的值为（）

【答案】D

9

【分析】建立平面直角坐标系，因为点P在。上，则AP=%AC+（1-X）AO=XAC+§（1-4）A2,又

AP^mAC+^AB,利用平面向量的基本定理求出优的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得

APCD的值.

【详解】建立如图所示平面直角坐标系.

uumjr,UUT32m

已知|AC|=3,IAB|=4,ZBAC=-,得|。*=彳，\OC\=^~,

，A(—|,0),2(g,0),

AD=2DB,A£)=|AB=[|,0^)

OD=OA+AD=[-,Q],CZ)=f-,--,

16P(62J'

______2--

因为点P在。上，则AP=/IAC+。一⑷AD=2AC+§(l-/l)A3,

又AP=〃?AC+gA8,且.、AC不共线，

可得加=2,且"”=(，解得加=；.

(3"193石、

AP=-AC+-AB=-,+:（4,。）=

42425、,

..AP.CD=L£一巫X正普

682812

故选：D.

14.（2023春・江苏常州,高一常州市第一中学校考期末）已知向量0与6的夹角为30。，且同=5忖=1,

设加=a+b,n=a-b9则向量机在〃方向上的投影向量为（）

A.2nB.nC.y/3nD.~^~n

【答案】A

【分析】根据投影向量公式求解即可.

【详解】因为知向量a与6的夹角为30。，且同=石，W=leb=gxlx¥q,

m•ftTI（〃+匕）（〃-bja_b

加在〃方向上的投影向量为仃1=Ip=F——F.n=2R-

M\n\\a-b\a-2a-b+b

故选：A.

15.（2022春,陕西商洛•高一统考期末）已知向量a,b,c满足同=卜|=2,忖=3,.,则（a-3c）.伍-3c）

的最大值为（）

A.40-6A/13B.40+6旧C.36-6gD.36+6月

【答案】D

【分析】根据题意设A（2,0）,B（0,3）,C（2cos0,2sin。），即可根据向量运算得出

0-30•伍-3c）=36-6而sin（d+0,再根据三角函数范围得出答案.

【详解】由题意可设42,0）,8（0,3）,C（2cose,2sin。），

贝ljd-3c=(2-6cos^,-6sin,Z?-3c=(-6cos^,3-6sin,

贝1](々一30).仅一34=(2—685。)乂(一6<：056)+(-651116)乂(3—651116),

=36-12cos9-18sin。，

=36-6拒sin(，+/),

?

其中tan4="

-l<sin(0+/?)<l,

则(4-3c).(6-3d)436+6A/13,

故选：D.

题型六：平面向量的综合问题

16.(2023春•四川成都•高一成都外国语学校校考期末)如图，在中，P为线段A3上的一个动

点(不含端点)，且满足=

(1)若彳=；,用向量OA,。2表示OP;

UUU

⑵在(1)的条件下，若1。川=6,|Ofi|=2,且ZAC®=120。，求0PA2的值

31

【答案】⑴0尸=：04+产

(2)-29

【分析】(1)以向量OA,。8为基底，根据向量的线性运算，把。P用向量OA,08表示;

(2)以向量04,为基底，结合(1)中的结论，求OP.A8的直

【详解】(1)因为=所以4尸=不匚42,

2+1

[1Q

所以OP=Q4+AP=QA+——(OB-OA\=——OA+——OB,

2+1v)2+12+1

131

当2二一时,OP=-OA+-OB.

344

31

(2)由(1)可知"=:。4+二。3,

44

所以02.48=(；04+；0“.(08-04)

3uur1uurumiuua

=——|OA|2+-OAOB+-\OB^.

424

UUU

因为|OA|=6,|OB|=2,ZAOB=120°,

所以OP.AB=—：x36+gx6x2x1_；)+；x4=—29,

即OP.AB的值-29.

17.(2022秋•辽宁沈阳,高一沈阳市回民中学校考期末)平面内给定三个向量a=(3,2),k(-l,2),

c=（4,l）.

⑴若R+砌〃侬-Z）,求实数七；

（2）若，满足（2-@〃（£+5）,且卜-C卜石，求5的坐标.

【答案】⑴无=4（

（2）（3,-1）或（5,3）

【分析】（1）易得4+h=（3+依2+上）,2人-4=（-5,2）,再根据（a+Ac）//（26-a）,利用共线向量定理求解;

（2）设d=（尤,y）,得至114-。=（*-4/-1）,〃+。=（2,4）,再根据（<7-<?）〃（“+6）,口-1=石求解.

【详解】（1）解：因为。=（3,2）,k（-l,2）,c=（4,l）,

所以a+h*=（3+4匕2+4）,2/?-々=（一5,2）,

因为（〃+左C）〃（20_Q）,

所以2x（3+4左）一（一5）x（2+/:）=。，

解得％=一存

（2）设）=（%,〉）,

贝!Jd-C=（x-4,y-1）,a+b=（2,4）,

因为（〃_0）〃（〃+》），•一q二«,

4（x-4）-2（y-l）=0

所以

（x-4）2+（y-l）2=5

x=3x=5

解得或

y=-ly=3

所以d=（3,-l）或d=（5,3）.

18.（2022春•上海普陀•高一曹杨二中校考期末）如图，在，OAB中，|。4|=4』。2|=2,2为48边上一点,

且8尸=2尸4

B

(l)^OP=xOA+yOB,求实数x、y的值；

(2)若〈。4。8〉=方，求OP.A8的值；

⑶设点。满足。。=工。4,求证：|PA|=2|PQ|.

【答案】⑴尤=7>="1

(2)-8

⑶证明见解析.

【分析】⑴根据向量的减法运算和线性表示即可求解；⑵利用数量积的运算律求解；⑵用基底。AOB

表示出向量PAPQ,再用数量积运算律表示出模长，即可得证.

【详解】(1)因为BP=2PA，所以OP-OB=2(OA-OP),

2191

所以0P=jOA+§OB,所以x=],y=§；

(2)OPAB=+=-|oA2+|c>B2+^OAOB

3244

=------1----1—=—8o•

333

aii

(3)因为00=件，^VXPQ=OQ-OP=-OA--OB,

21

因OP=—OA+—OB,|OA|=4,|OB|=2,

BA=OA-OB,\B^=|OA|2+|OB|2-20AOB=20-2OA-OB,

所以1PAi2=:&4|2=7|。4。8,

IPO|2=—IOA|2+-|OBP--OA-OB=--—OA-OB,

II1441I91I18918'

所以1PAi2=4|尸。匕即|PA|=2|PQ|,得证.

题型七：正余弦定理的基本计算

19.（2023春•宁夏吴忠・高一吴忠中学校考期末）在,ABC中，角A,B,。所对的边分别是，a,b,c

〃=2,b=,B=2A,贝!JcosA=()

AV?R73rV6nV6

3243

【答案】c

【分析】利用正弦定理可得三=占，再结合倍角正弦公式即可求解.

sinAsmB

【详解】由正弦定理得：

ab2V62灰旗

------=------=>------=--------=------=---------------ncosA=—.

sinAsinBsinAsin2AsinA2sinAcosA4

故选：C

20.（2022春•吉林长春•高一长春市实验中学校考期末）已知在ASC中，3=30。，AB=2g,AC=2,

且ACH5C,则ABC的面积为（）

A.6B.3C.2A/3D.4后

【答案】C

【分析】根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.

【详解】因为3=30。，AB=2相，AC=2,

所以有AC2=3^+BC2-2BABC-cosB^4=12+BC2-2x243BC-

解得8c=4,或3C=2,而已知ACwBC,所以8C=4,

因止匕ABC的面积为g-2A4C.sin2=g*2括x4x；=2一,

故选：C

21.（2022春・四川南充・高一统考期末）在拉钻。中，角43、。所对的边分别为人0、°,若廿+。2-42=石儿,

则sin（B+C）=（）

12B125

A.B-BC±D.

13ll13

【答案】B

【分析】由余弦定理求出COSA,再求出sinA,则Sin（B+C）=sinA代入即可求出答案.

——10b7ev

【详解】因为/+。2-/=^儿,所以b1+C1-a1

cosA==——=一，AG(0,^)J

2bc2bc13l7

所以sinA=A/1-COS2A=—,

sin(B+C)=sinA=—.

故选：B.

题型八：边角互化问题

22.(2023春•江苏常州•高一常州市第一中学校考期末)若(a+6+c)S+c-〃)=36c,且sinA=2sini3cosC,

那么ABC是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角4再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b

即可推理作答.

【详解】由(a+b+c)(b+c—a)=3Z?c,得(b+c)?-/=3bc,

化简得+，—a，=bc,

2

所以由余弦定理得cosA="+：：i=整=。

2bc2bc2

因为A«。㈤，所以A=g,

因为sinA=2sinBcosC,

所以由正余弦定理角化边得a=一,,化简得

所以b=c,

所以ABC为等边三角形，

故选：B

23.(2022春•四川绵阳•高一统考期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sin(C-B)=2sinBcosC,J12sinA+Z7sinB=csinC,贝I］。=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】利用正弦定理sin(C-3)=2sin8cosC可得sinCeos8=3sinBcosC,根据三角形性质和边角互化

得出6=2,2_2加，za+bi,解方程组可得结果.

【详解】因为sin(C-8)=2sinBcosC,所以sinCcos3-cosCsinZ?=2sin3cosC,BPsinCeosB=3sinBcosC；

因为2sinA+%sinB=csinC,由正弦定理可得24+6?=(?①；

因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以sinA=4sinBcosC,

所以"协片+尸工,整理得/=2°2_2加②；

2ab

由①②可得a?=4a,解得a=4或a=。（舍）.

故选：B.

24.（2022春•内蒙古包头•高一统考期末）已知.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下

列说法中错误的是（）

A.若"4=胃=?芷，则ABC一定是等边三角形

abc

B.若6cos3=acosA,则ABC一定是等腰三角形

C.若acos3+bcosA=a,则ABC一定是等腰三角形

D.若廿+c。<片，则..ABC一定是钝角三角形

【答案】B

【分析】根据正余弦定理中，边角互化即可求解.

▼、4isrTTCOSACOSBCOSCCOSACOSBCOSC,„cEAL

【详解】对于A：由正弦定理以及—=^~=——Z得Ft一二=一二=—F=>tanA=tanB=tanC,因为

abcsinAsinBsinC

A,昆Ce（0,7i），所以A=8=C，故.ABC是等边三角形，故A对，

对B:由Z?cosB=〃cosA以及正弦定理得：sinBcosB=sinAcosA=>sin2B=sin2A,

由于A5£（0,7C）,「.2A£（0,27I）,23W（0,2TI）,因止匕25=2A,或者2A+23=兀,即6=A,或者A+B=,故^ABC

为等腰三角形或者直角三角形，故B错误，

对C:由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sinA=>sin（A+5）=sinA,

由于在ABC中，sin（A+B）=sinC,因止匕可得sinA=sinC,

由于A,C£（。,兀）,A+Cv兀，故A=C,故C正确，

7,22_2

对于D由/+°2<片得cosA=<0,故A为钝角，因此D正确

2bc

故选：B

题型九:三角形的面积公式问题

25.（2022春•湖南长沙•高一长沙一中校考期末）在中，内角A凤。的对边分别为。也。，若ABC的

面积为S,且a=l,4yl3S=b2+c2--L,则ABC外接圆的面积为（）

71

A.—B.兀C.2兀D.4TI

2

【答案】B

【分析】根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理及同角三角函数的商数关系，结合正弦

定理及圆的面积公式即可求解.

【详解】由，=1及4后=/+。2—1,得4A=/+/—。2,

所以4百xgxbxcxsinA=2xZ?xcxcosA,BPcosA=73sinA,

于是有tanA=史^,因为。VAVTI,所以A=g

36

Q_1

所以ABC外接圆的半径为'==1=二忍=,

乙xsin

6

所以ABC外接圆的面积为兀产=兀.

故选：B.

26.（2022春・河南安阳,高一统考期末）在ABC中，内角A,3,C所对的边分别为a,6,c,若/+62=02一",

且A3边上的中线CD=1,则ASC面积的最大值为（）

A.拒B.76C.3D.273

【答案】A

【分析】根据余弦定理，结合三角形面积公式和基本不等式进行求解即可.

+BCAB

【详解】由1+〃=C2-必，cosZACB--~-=--^>ZACB=120°,

2AC,BC2

如图，作出平行四边形ACBE,则ABC与38的面积相等.在"CE中，NC4E=60。，CE=2,则

Q2+从_41

cosACAE=-------=一,^ia2+b2—ab=4.

2ab2

又a2+b1-abNab,^\ab<4,

0S=—absin60°=——ab<^/3,

△AAce24▼

故ASC面积的最大值为g.

故选：A

27.（2022春•吉林白山,高一统考期末）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.ABC的

面积为A,且6=2有，cosB=；,则ASC的周长为（）

A.10^5B.875C.40+2占D.2回+2小

【答案】D

【分析】由同角三角函数的基本关系求出sinB,再由面积公式求出女，最后由余弦定理及完全平方

公式求出a+c,即可得解;

【详