2025年人教A版新高二数学暑假专项提升：空间向量及其线性运算4种常见考法归类（学生版）

第06讲空间向量及其线性运算4种常见考法归类

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学习目标

------V-------

1.理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的

相关运算及空间距离的求解.

2.利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.

||磨基础知识1

------------------IIIIIIIIIIIIIIIIII1IIII1IIIIIIIIIII1IIIII-----------------------

知识点1空间向量的有关概念

1.在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度

或模.

注:数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，

空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.表不法：

(D几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的氏度表示空间向量的模

(2)字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A,终点是B,则a也可记作其

模记为⑷或|曲

3.几类特殊的空间向量

名称定义表示法

零向

规定长度为0的向量叫做零向量记为0

量

单位|a|=l或

模为J_的向量叫做单位向量

向量|A5'|=1

相反

与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量记为一〃

向量

共线如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些a//b或

向量向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量壬后，即对于任

AB'

意向量a,都有02a

//CD

a=b或

相等方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段

ABy=

向量表示同一向量或相等向量

CI)

注意点:

(1)平面向量是一种特殊的空间向量.

⑵两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.

⑶向量不能比较大小.

(4)共线向量不一定具备传递性，比如0.

易错辨析：

(1)空间向量就是空间中的一条有向线段？答：有向线段是空间向量的一种表示形式，

但不能把二者完全等同起来.

(2)单位向量都相等？答：单位向量长度相等，方向不确定

(3)共线的单位向量都相等？答：共线的单位向量是相等向量或相反向量

(4)若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆？答：将所有空间单

位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球

(5)任一向量与它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与

零向量是相等的.

(6)若⑷=|回，则m方的长度相等而方向相同或相反?答：|a|=|回只能说明a,b的长度

相等而方向不确定

(7)若向量防，6满足|曲则曲＞6?答：向量不能比较大小

(8)空间中，a//b,b//c,则。〃c?答：平行向量不一定具有传递性，当8=0时，a与

c不一定平行

(9)若空间向量加，n,p满足用=〃，n=p,则m=p?答：向量的相等满足传递性

(10)若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同？答：当两个空间向量的起

点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点

也相同

知识点2空间向量的线性运算

(-)空间向量的加减运算

语言叙

首尾顺次相接，首指向尾为和

述

三角形

法则图形叙/\

加法运

算语言叙共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为

平行四边形法述和

则图形叙

U0a，

语二叙

口口”共起点，连终点，方向指向被减向量

减法运三角形述

算法则图形叙b人

述a玉

加法运交换律a~\~b=b~\~a

算结合律（a+办）+c=a+S+c）

(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形

法则和三角形法则.而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并;

(2)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点.

(3)空间向量加法的运算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，

即：4A+4A+4A+...+4Z4=AA

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，

即：高+HX+AX+…+北4+胸="；

A

A

4n4

(二)空间向量的数乘运算

与平面向量一样，实数2与空间向量a的乘积瓶仍然是一个向量，称为空间向量

定义

的数乘

A>02a号向量a的方向相同

几何意A<0―与向量a的方向相反

义

A=0%=0,其方向是任意的

Aa的长度是a的长度的血倍

结合律=

运算律

分配律(4+〃)a=/la+〃a,A(a+Z>)=Aa+AZ>

(1)当4=0或a=0时，觞=0.

(2况的正负影响着向量痴的方向，A的绝对值的大小影响着痴的长度.

(3)向量痴与向量。一定是共线向量.非零向量a与初(羽0)的方向要么相同，要么相反.

(4)由于向量a,6可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间

向量也满足数乘运算的分配律.

(5)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立.

(6)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如壮。无法运算.

知识点3共线向量与共面向量

1.共线向量与共面向量的区别

共线(平行向量共面向量

表示若干空间向量的有向线段所在的

定

直线互相平行或重合,这些向量叫做平行于同一个平面的向量叫做共面向量

义

共线向量或平行向量

注：规定：零向量与任意向量平行,

即对任意向量a,都有0〃a.

共线向量定理：对于空间任意两个向

量a,bSRO),a//b的充要条件是存

共面向量定理：若两个向量a,8不共线，则向量

在实数入使a=昉.

p与向量a,方共面的充要条件是存在唯一的有序

注：(1)益//执5*0)二＞存在唯一实数

实数对(x,y),使。=取+1瓦

X,使得(2)存在唯一实数X,

充使得@=4(3*0),则。/区.注意：

要5/0不可丢掉，否则实数4就不唯一.

条1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在

件

有序实数对(x,y),使翁=x显+照或对空间任意

对空间任一点。，~O^=x~dX+一点。，有舁=51+1+康.

yOB(x+j=l).2、空间中P,A5c四点共面的充要条件是存在有

序实数对(x,y,z),使得对空间中任意一点。，都

有OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）

共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；(进而证线面

平行)

②证明三点共线。

注意：证明平行时，先从两直线上取

共面向量定理的用途：

用有向线段表示两个向量，然后利用向

①证明四点共面

途量的线性运算证明向量共线，进而可

②线面平行(进而证面面平行)。

以得到线线平行，这是证明平行问题

的一种重要方法。证明三点共线问题,

通常不用图形，直接利用向量的线性

运算即可，但一定要注意所表示的向

量必须有一个公共点。

2.直线/的方向向量

如图。在直线/上取非零向量a,设尸为/上的任意一点，贝归2SR使得

of=2a./a

定义：把与a平行的非零向量称为直线/的方向向量./"

3.与空间向量的线性运算相关的结论

(1)~AB=~OB~~O^.

(2)在平行六面体A5CD-A151GD1中，有而=瓦»+工方+无仃.

(3)若。为空间中任意一点，则

①点尸是线段A5中点的充要条件是而=；(市+市)；

②若G为AASC的重心，则皆4=上市+市+/).

易错辨析：

(1)若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量？

答：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.所以,

任意两个空间向量总是共面，而三个向量可能共面也可能不共面

(2)在平面内共线的向量在空间不一定共线？

答：在平面内共线的向量在空间一定共线

(3)在空间共线的向量在平面内不一定共线？

答：在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线

，豳解题策略

---------------------lllllilllllllllllllllllllllllllllllllllll-----------------------

1、空间向量有关概念问题的解题策略

(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模

相等是两个向量相等的必要不充分条件.

(2)空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、

相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.熟练掌握

空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关

键.

2、解决空间向量线性运算问题的方法

进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量

求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向

量放到同一个三角形或平行四边形中.

注：(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.

(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量.

3、空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反

向量可使向量首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和

向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.

4、利用数乘运算进行向量表示的技巧

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法

则，将目标向量转化为已知向量.

(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.

5、空间向量线性运算中的三个关键点

结合图形，明确图形中各线段的几

何关系

正确运用向量加、减、数乘运算的

几何意义

平面向量的三角形法则、平行四边

形法则在空间向量中仍然成立

6、判定空间图形中的两向量共线技巧

要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量

运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量

共线.

7、证明空间三点P,A,6共线的方法

(1)-RT=XPB(AGR).

⑵对空间任一点。，~OP=~OA+fABQCR).

(3)对空间任一点。，~0P=xOA+yOB(x+y=l).

8、解决向量共面的策略

⑴若已知点P在平面ABC内，则有工产=xAB+y京或而=xOA+yOB+zOC(x+y

+z=l),然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.

(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量

的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.

9、证明空间四点P,M,A,5共面的等价结论

(1)~MP=xMA+yMB；

(2)对空间任一点O,~0P=~OM+xMA+yMB；

(3)对空间任一点。，~0P=xOA+yOB+zOM(x+y+z=l)；

(4)PM/7AB(或次〃痴或子不〃为I).

10、证明三点共线和空间四点共面的方法比较

l|Q考点剖析

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考点一：空间向量的概念辨析

例L(2023春•高二课时练习)下列命题中，正确的是().

A.若则口TB.若问>欠，则£>]

C.若Z=则口=忖D.若口=『则2=石

变式L【多选】(2023春•福建宁德•高二校联考期中)下列说法正确的是()

A.空间向量都与丽的长度相等

B.平行于同一个平面的向量叫做共面向量

C.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆

D.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底

变式2.（2023春•高二课时练习）下列命题中是假命题的是（）

A.任意向量与它的相反向量不相等

B.和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小

C.如果同=0,则商=。

D.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

变式3.（2023・全国•高二专题练习）下列命题为真命题的是（）

A.若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B.若口=忖，则入9的长度相等且方向相同

C.若向量丽、前满足画＞|西，且方与丽同向，则通〉前

D.若两个非零向量而与而满足4+①=6,则通〃包.

变式4.（2023春•高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，

终点也相同;②若空间向量布满足口邛|，则2=石；③在正方体中，必有数=宿;

④若空间向量加反,万满足而=九n=p,则方=限其中正确的个数为（）.

A.4B.3C.2D.1

例2.（2023春•高二课时练习）如图所示，以长方体A8CD-4BCQ的八个顶点的两点

为起点和终点的向量中,

⑴试写出与血相等的所有向量;

（2）试写出丽的相反向量;

UUUL

(3)若AB=AD=2,A4=l,求向量AQ的模.

变式1.（2023•江苏•高二专题练习）如图所示，已知ABC。-为平行六面体，若以此平

行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：

(1)与瓯相等的向量;

(2)与风相反的向量;

(3)与瓯平行的向量.

变式2.(2023•江苏•高二专题练习)在平行六面体ABCD-A4CQ中，下列四对向量：①而与

飙；②患与西；③而与印；④亚与麻淇中互为相反向量的有〃对，则〃等于()

变式3.(2023・全国•高三专题练习)如图，已知正方体A3CD-4氏的中心为。，则下列

结论中

DyCi

小

c

AB

①次+历与况1+前1是一对相反向量;

②赤-玄1与反-丽1是一对相反向量;

③应il+而1+配1+丽1与丽+反+而+就是一对相反向量;

④祝-函与元1-次1是一对相反向量.

正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

考点二：空间向量的线性运算

例3.（2023・全国•高三对口高考）；,+25-3司-3（万-25-司=（）

555-35-9

A.——a-4cB.——a+4b-2cC.——a+7b+—cD.——a-5b——c

222222

变式1.（2023秋•高二课时练习）已知是三个不共面向量，已知向量

a=^—J+k,b=5i—2j—k贝[）4彳_35=.

dj例4.（2023春•江苏淮安•高二校考阶段练习）在长方体ABCD-ABCR中，AB+AD+BB；

等于（）

A.ACB.AC[C.BC[D.西

变式1.（2023春•江苏常州•高二华罗庚中学校考阶段练习）在正方体ABCD-型汨。中，下列

各式中运算的结果为向量西的是（）.

①（西-不卜晒③（而-朔-2西；④（9+9）+西.

A.①②B.②③C.③④D.①④

变式2.（2023秋•高二课时练习）根据如图的平行六面体ASCD-A宣CD,化简下列各式：

（DAB+B^-W+FS-BC；

（2）AC-AC+AD-AA.

变式3.（2023秋•高二课时练习）已知平行六面体ABC。-A宣CD,则下列四式中:

①前-无=Ji?；

(2)^=AB+BZ^+CC7；

③*=宓；

@AB+BB'+BC+CC=AC.

正确的是

例5.（2023春•河南信阳•高二统考期中）在斜三棱柱ABCYBC中，8c的中点为M,

A4=a，AG=B，AA=C,贝1J瓦访可用日，及工表示为

变式1.（2023秋•山东滨州•高二统考期末）如图，在四面体。43c中，应=〃，OB^b,而，.点

航在。4上，且满足而7=3福，N为BC的中点，则砺=（）

1-3f1-2-1-1-1-2-1-3-1-1一

A.—a——b+—cB.——a+—b+—cC.—〃——b+—cD.——a+—b+—c

242322232422

变式2.（2023春•江苏淮安•高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体O-ABC中，OP=3PA,Q

是BC的中点，M是P。的中点，设OA=M,OB-byOC=c,则OM=（）

11-1

A.—a+—b+—cB.』一+，

466444

C.-a+-b+-cD.—a+—b+—c

844344

变式3.（2023春•江苏徐州•高二统考期中）如图，在平行六面体ABC。-44GA中，尸是CA的

中点，点Q在*上，且CQ：OA=4:1,设通工，AD=b,A^=c.则（）

C.QP=^a+-b--cD.QP=^-a+-b+-c

101010101010

d］例6.（2023秋•辽宁鞍山•高二鞍山一中校联考期末）在四面体A5co中，E是棱8的

中点，且屁=x；W+y：W+z而，则x+y+z的值为.

变式1.（2023秋・安徽宣城•高三统考期末）四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是平行四边形，

点E为棱PC的中点，若忿=尤而+y正+z而，则x+y+z等于（）

变式2.（2023春•高二课时练习）如图，在正方体ABCD-A与GR中，点E是上底面的

考点三：空间向量共线问题

（一）空间向量共线的判断

d］例7.（2023•江苏•高二专题练习）下列向量中，真命题是.（填序号）

①若A、B、C、。在一条直线上，则通与前是共线向量；

②若A、B、C,。不在一条直线上，则而与而不是共线向量；

③向量属与①是共线向量，则A、B、C、。四点必在一条直线上;

④向量M与前是共线向量，则A、B、。三点必在一条直线上.

__.9__.

变式1.（2023春.高二课时练习）如图，正方体ABCD-A.B^D,中，。为4c上一点，且A。=g衣,

3。与AC交于点求证：G，O,W三点共线.

变式2.（2023•江苏•高二专题练习）已知0、A、B、C、。、E、F、G、H为空间的9个点

（如图所示），并且砺=々画，OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.求证:

AC//EG.

在1例8.（2023春•福建莆田•高二校考阶段练习）已知不共线向量,,OP^-2e；+e；,

所=-51-61+4不，砺=71+2]-23，则一定共线的三个点是（）

A.O,P,QB.P,Q,R

C.O,Q,RD.O,P,R

变式1.（2023春•高二课时练习）如图，已知M,N分别为四面体A-3CD的面BCD与面ACD

的重心，G为AM上一点，且GM：G4=1：3.求证：B,G,N三点共线.

A

（二）由空间向量共线求参数值

例9.（2023春•高二课时练习）对于空间任意两个非零向量£,石，“Z〃B”是“色@=0”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

变式1.（2023春•高二课时练习）若空间非零向量录高不共线，则使2痴-［与［+2伏+1.

共线的左的值为.

变式2.（2023春•高二课时练习）设",是空间两个不共线的非零向量，已知福=2冢+皈'，

枇=冢+3］，/=2&而,且A,B,。三点共线，求实数左的值.

变式3.（2023春•高二课时练习）设小乙是两个不共线的空间向量，若方=21-心血=3年+31,

阴=之+点，且A,C,。三点共线，则实数左的值为.

（三）空间共线向量定理的推论及其应用

例10.（2023春•高二课时练习）已知A、8、P共线，。为空间任意一点（0、A、8不

共线），且存在实数a、/，使/=aE+4而，求a+A的直

变式1.（2023•江苏•高二专题练习）在正方体ABCD-AgGA中，点E在对角线。8上，且

0同=；忸/，点R在棱QG上，若A、E、R三点共线，则口司=|FCj.

变式2.【多选】（2023春•高二课时练习）如图，在三棱柱ABC-中，P为空间一点，且

满足而=2反+〃瓯,九〃科0,1],则)

A.当2=1时，点P在棱B与上B.当〃=1时，点P在棱4G上

C.当2+〃=1时，点P在线段8c上D.当彳=〃时，点尸在线段BG上

考点四：空间向量共面问题

（一）空间向量共面的判断

金1例11.【多选】（2023春•高二课时练习）下列说法错误的是（）

A.空间的任意三个向量都不共面

B.空间的任意两个向量都共面

C.三个向量共面，即它们所在的直线共面

D.若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面

变式1.（2023春•江苏淮安•高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（）

A.若万与共面，则存在实数苍心使万=尤£+防

B.若存在实数x，y,使向量力=耘+访，则》与海共面

C.若点A3四点共面，则存在实数苍兀使声一加+y砺

D.若存在实数尤,心使砺=x^+y砺，则点四点共面

变式2.（2023秋•图二课时练习）当|3|=|很伏。，且打、5不共线时，〃+5与的关系是（）

A.共面B.不共面C.共线D.无法确定

变式3.（2023春•高二课时练习）如图，在长方体ABCD-AEC。中，向量正，访，而是

向量（填“共面”或“不共面）

例12.（2023秋•高二课时练习）已知71上是不共面向量,

a=i-2j+k,b=-i+3j+2k,c=-3i+lj,证明这三个向量共面.

变式1.（2023春•高二课时练习）已知向量荏,也分别在两条异面直线上，M，N分别为线段

AC,即的中点，求证：向量福m丽共面.

变式2.（2023春・江苏宿迁•高二校考阶段练习）已知向量冢，公不共线，通=冢+可，AC=2^+8^,

AD=3^-5^,则（）

A.而与ZT共线B.通与国共线

C.A,B,C,D四点不共面D.A,B,C,。四点共面

变式3.（2023春•高二课时练习）设空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若点P满足

向量关系无=工西+丫赤+Z而（其中x+y+z=l）,试问：P,A,B,C四点是否共面？

（二）空间向量共面求参数

例13.（2023秋•辽宁锦州•高二统考期末）已知向量心b,C是空间向量的一组基底，

AB=2a+b,AC=a+c,AD=b+Ac,若A,B,C,。四点共面.则实数九的值为.

变式1.（2023・全国•高二专题练习）已知7/Z是不共面向量，

a=i-j+k,b=-i+4j-2k,c=7i+2j+Ak,若a,反c三个向量共面，则实数2=.

变式2.（2023春•上海奉贤•高二校考阶段练习）已知A,B,C,。四点共面且任意三点不共

线，平面ABCD外一点。，^^OD=3OA+2OB+AOC,贝|%.

变式3.（2023春•高一课时练习）已知A民c三点不共线，0是平面ABC外任意一点，若

__.__.7__.i__,

OM=1XOA+-OB+-OC,则4,比CM四点共面的充要条件是（）

5o

13171713

A.A=—B.4C.%=---D.A=~—

60606060

变式4.（2023秋・山西吕梁・高二统考期末）在三棱锥P-ABC中，M是平面ABC上一点，且

3PM=4PA+tPB+2MC,贝！），=（）

A.1B.—1C.■—D.y

52

变式5.（2023春•四川绵阳•高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知。为空间任意一点，

ABC尸四点共面，但任意三点不共线.如果加=根次+赤+反，则机的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

变式6.（2023春•高二课时练习）如图，平面A3C内的小方格均为正方形，点尸为平面A3C内的

一点，。为平面ABC外一点，设存=7位?+“砺+2文，则〃?+”的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

变式7.（2023・全国•高二专题练习）已知点。在AABC确定的平面内，。是平面ABC外任意一

点，实数D满足历=x》+y砺-反，贝匠+丁的最小值为（）

A.-B.也C.1D.2

55

变式8.（2023•江苏•高二专题练习）已知点48,C不共线，。是空间任意一点，点尸在平面A8C

内，且丽=y函-尤2而+x丽，则（）

33

A.y有最小值工B.y有最大值ac.y有最小值1D.y有最大值1

变式9.（2023春•高一课时练习）在正方体ABCD-Ag中，E为cq中点，

BM=2MC,B^N=AB^B,Bx,yeR,使得型=x^+y荏，则2=（）

124

A.1B.IC.1D.-

z33

变式10.（2023秋・浙江温州•高二校考期末）在正四面体尸-ABC中，点P在平面ABC内的投

影为。，点又是线段P。的中点，过w的平面分别与PA,PB,PC交于E,F,G三点.

（\^AO=aPA+f3PB+yPC,求0+6+/的值；

⑵设通=x玄，PF=yPB,TG=zPC,求g+；+!的值.

（三）空间共面向量定理的推论及其应用

、M14.（2023•高二校考课时练习）对于空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,有如

.1—,1—.1.

下关系：OP=-OA+-OB+-OC,则（）

632

A.。ABC四点必共面B.P,A氏C四点必共面

C.。，尸,B,C四点必共面D.0,RA2,C五点必共面

变式1.（2023春•宁夏银川・高二银川一中校考期中）对于空间一点。和不共线三点A,B,C,

且有2成一西+砺+2云，则（）

A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面

C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面

变式2.（2023春•上海闵行•高二上海市七宝中学校考开学考试）已知A、B、C是空间中不共

线的三个点，若点。满足万+2赤+3玄=6,则下列说法正确的一项是（）

A.点。是唯一的，且一定与A、B、C共面

B.点。不唯一，但一定与A、B、C共面

C.点。是唯一的，但不一定与A、B、C共面

D.点。不唯一，也不一定与AB、C共面

变式3.【多选】（2023春•高二课时练习）下列条件中，使M与A,3,C一定共面的是（）

A.OM=3OA-OB-OC

-1,1—1—.

B.OM=-OA+-OB+-OC

532

uuuiumuuuui

C.MA+MB+MC=0

D.OM+OA+OB+OC=6

变式4.【多选】（2023春•江苏盐城•高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）以下能判定

空间四点P、M、A、3共面的条件是（）

A.MP=2MA+3MBB.OP=^-OA+^OB+^OM

uuuuuu

C.PMAB=OD.PMIIAB

l|西真题演练

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1.在平行六面体ABCD-AgC.中，M为AC与3。的交点，若福=。，\Dx=b,7^A=c,则

下列向量中与丽相等的向量是（）.

2222

2.已知空间向量2，b,且通=2+2况BC=-5a+6b,CD=1a-2b,则一定共线的三点是（）

A.A、B、CB.B、C、DC.A、B、DD.A、C、D

3.如图，在三棱锥尸—9C中，ABJ.BC,AB^2,BC=2拒,PB=PC=布,3P,AP,BC的中点

⑴求证：£F〃平面ADO；

⑵若NPOF=120°,求三棱锥P-ABC的体积.

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一、单选题

1.（2022秋.广西钦州.高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（）

A.空间任意两个向量共面

B.向量商、5、忑共面即它们所在直线共面

C.若日〃b//c,贝U商与C所在直线平行

D.若,/厉，则存在唯一的实数2,使”必

2.（2023春•甘肃金昌•高二永昌县第一高级中学校考期中）下列四个命题中为真命题的是（）

A.已知A,B,C,D,E是空间任意五点，则在+反1+丽+屁+丽=0

B.若两个非零向量通与成满足通=配，则四边形ABCD是菱形

C.若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向

量

D.对于空间的任意一点。和不共线的三点A,B,C,若历7为+丫丽+z元（x,y,zeR）,则P,

A,B,C四点共面

3.（2022秋.河南.高二校联考阶段练习）如图，在ABC。中，点分别是棱AD,8的中点,

则:（而+丽）（而+或）化简的结果是（）

A.CAB.ACC.NMD.MN

4.（2023秋・天津•高二校联考期末）在四面体O-ABC中，OP=iPA,。是BC的中点，且M

为PQ的中点，若砺=,,OB=b»OC=c,则砺=（）.

11-1

A.B.-aT—bH—c

466643

11111fl

C.—a+—br+—cD.—a+—b+—c

264344

5.（2022秋•高二单元测试）在平行六面体ABCD-A笈Ca中，设检=及，AD=b,丽=?，则

以25忑为基底表示西=（）

D\G

A.b+c-aB.c+a-bC.a+b-cD.a-b-c

6.（2023秋.广西防城港.高二统考期末）如图，设。为平行四边形ABC。所在平面外任意一点,

E为0c的中点，^OE=^OD+xOA+yOB,贝p+V的值是（）

7.（2023春•高二课时练习）平面a内有五点A,B,C,D,E,其中无三点共线，。为空间

一点，^^OA=~OB+xOC+yOD,OB=2xOC+^OD+yOE,贝口+3y等于（）

A。B—C-D—

'6'6'3'3

8.（2023秋•高二课时练习）已知34BC,8瓦为三条不共