2025年人教A版新高二数学暑假专项提升：空间向量及其运算的坐标表示10种常见考法归类-新高二暑假衔接（人教版）

第09讲空间向量及其运算的坐标表示10种常见考法归类

学宅目标彳

理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空

间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明.

||凿基础知识^

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知识点1空间直角坐标系

1.空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点。和一个单位正交基底｛i,j,k｝,以。为原点，分

别以i,左的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们

都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系。町2

(2)相关概念：。叫做原点，i,j,女都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标

平面，分别称为。町平面、。户平面、05平面，它们把空间分成八个部分.

注意点：

(1)基向量：\i\=\j\=\k\=l,i-j=i-k=j-k=0.

(2)画空间直角坐标系。孙z时，一般使NxOy=135。(或45。)，ZyOz=90°.

(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正

方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标

系.

2.空间一点的坐标'向量的坐标

(1)空间点的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,左为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向量温，

且点A的位置由向量况唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,j,z),

使况=xi+W+法.在单位正交基底｛i,身下与向量以对应的有序实数组(x,y,z),叫做点

A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵

坐标，z叫做点A的竖坐标.

注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点

点的位置X轴上y轴上z轴上

坐标的形式(x,0,0)(0,j,0)(0,0,z)

点的位置。孙平面内。户平面内平面内

坐标的形式(X,j,0)(0,y,z)(x,0,z)

(2)空间点的对称问题

①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律,

才能准确求解.

②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.

(3)空间向量的坐标

向量的坐标：在空间直角坐标系。xyz中，给定向量作况=。，由空间向量基本定理，

存在唯一的有序实数组(x,j,z),使a=xi+j:/+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐

标系。盯z中的坐标，可简记作a=(x,y,z).

知识点2空间向量的坐标运算

1.空间向量的坐标运算法则

设向量a=(ai,«2»«3),b=(bi,历，仇),4WR,那么

向量运算向量表示坐标表示

加法a+b(ai+bi,ai+bn的+。3)

减法a—b(ai-bi,ai—bi,的一方3)

数乘la义。2,义。3)

数量积a・b。川1+。2岳+。3岳

注意点：

(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致.

(2)设4(X1,山,Zl),5(*2,J2,Z2),则助=(*2—Xl,J2—Jl,Z2-Z1).即一个空间向量的坐标

等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

(3)运用公式可以简化运算：(a±〃)2=a2±2a.)+方2；(a+妙5一方)=(/2—比

⑷向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量.

2.空间向量相关结论的坐标表示

设a=(ai,a?,a3),b=(bi,bi,b3),则有

(1)平行关系：当厚0时，a//b<^a=Xb<^a\=kbi,(12=油2,。3=劝3(2e对；

(2)垂直关系：a_Lb<^a-b=Odi岳+a2b2+a3b3=0.

(3)|a|=\[a-a=74彳+=+/.

a・b的历+。2岳+。313

(4)cos<a,b)=丽=而用洋薪丽西

注意点：

⑴要证明aA-b,就是证明a-b=O；要证明a//b,就是证明a=2A(厚0).

(2)a=(xi,ji,zi),b=(x2,72,Z2),若a〃b,贝(1*2=)2=%2成立的条件是工M22邦.

3.空间两点间的距离公式

在空间直角坐标系中，设P1(X1,yi,Nl),P1(X1,J2,Z2).

(1)P1P2^=(X2—X1,J2—Jl,Z2—Z1).

2-22

(2)P1P2=|P\P1'I=^/X2—XI+J2Ji+Z2-zi.

(3)若。(0,0,0),P(x,y,z),则I分尸由^+[2+22.

注：空间两点间的距离公式推导过程

如图，建立空间直角坐标系。町石

设P1(X1,yi,Z1),尸2(*2,)2,Z2)是空间中任意两点，TiP^=Op2—OPl=(X2—Xl,J2~Jl,Z2

—Zl),

于是I右再1=4再耳•石耳=J(%2—%)2+(为一X)2+(7-Z2)2

所以尸1尸2=|尸1尸29J(V-FA+(%-V)2+(Z]-Z2＞，

222

因此，空间中已知两点A(xi,yi,zi),b(X2,y2,Z2),则AB=\Ai\=^(x2-^)+(y2-yj+(z1-z2).

*圈解题策略I

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1.建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要

使尽量多的点落在坐标轴上.充分利用几何图形的对称性.

2.求某点M的坐标的方法

作MAT垂直于平面Oxy,垂足为M',求AT的横坐标x,纵坐标y,即点M的横坐标x,

纵坐标y,再求M点在z轴上射影的竖坐标z,即为M点的竖坐标z,于是得到M点的坐标(x,

7，z).

3.空间向量坐标运算的规律及注意点

(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.

已知空间点的坐标、A(X1,J1,Z1),5(*2,)2,0)向量NN的坐标等于终点坐标减起点坐

标.即AB>=(X2—X1,J2—JoZ2—Z1).

(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.

(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.

4.解决空间向量垂直、平行问题的有关思路

(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标.例如，设向量a=(x,y,z).

(2)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件，在有关平行的问

题中，通常需要引入参数.例如，已知a〃儿则引入参数九有。=M，再转化为方程组求解；

已知两向量平行或垂直求参数值,则利用平行、垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系，

列方程(组)求解.

(3)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向

量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.

5.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤

（1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；

⑵利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；

（3）利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线

所成的角.

6.利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤

（1）建立适当的空间直角坐标系；

（2）求出线段端点的坐标；

（3）利用两点间的距离公式求出线段的长.

Q考点剖析

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考点一：空间中点的坐标表示

例1.（2023秋・北京西城•高二北师大二附中校考期中）已知点A（4,-l,2）,B（2,-3,0）,

点c满足衣=函，则点C的坐标是

【答案】（3,-2,1）

【分析】直接代入空间向量的坐标公式列方程计算即可.

【详解】设c（”z）,

贝1衣=(x-4,y+l,z-2),CB=(2-x,-3-y,-z)

由题可得

x-4=2-xx=3

y+l=-3-y,解得＜y=-2

z—2=-zZ=1

即点c的坐标是（3,-2,1）.

故答案为：（3,-2,1）.

变式1.（2022.高二课时练习）若△ABC顶点入（2,-5,3）,且丽=（4,1,2）,BC=（3-2,5）,则点C

坐标是.

【答案】（9,-6,10）

【分析】根据向量的坐标表示有在=（%-%»-%，ZB-ZQ、BC^{xc-xB,yc-yB,zc-zB）,即可

求C坐标.

【详解】由4（2,-5,3）,AB=（XB-2,yB+5,zB-3）=（4,1,2）,可得:矶6,-4,5）,

又反=（3,-2,5）,同理可得：C（9,-6.10）.

故答案为：（9,F10）

变式2.（2022.全国.高二专题练习）平行六面体ABCD-4B|G〃中，AC=（1,2,3）,G（-1,2,4）,则

点A的坐标为（）

A.（0,4,7）B.（-2,0,1）C.（2,0,-1）D.（2,0,1）

【答案】B

【分析】利用空间向量的坐标表示，即得.

【详解】设AG，*）,

VAC=（1,2,3）,q（-1,2,4）,又前=R,

/.（l,2,3）=（-l-x,2-y,4-z）,

解得x=-2,y=0,z=l,即A（—2,0,l）.

故选：B.

变式3.（2023•全国•高二专题练习）已知点M（L0,2）,N（-l,l,0）,MN=2MP,则点尸的坐标为

【答案】［o,1,lp（0,0.5,1）

【分析】先求出向量丽的坐标，设点P（x,y,z）,得出丽的坐标，根据条件得出方程组可得答

案.

【详解】点”（1，。，2）,N（-l,I,0）,则丽=（-2,1,-2）

设点尸（x，%z）,贝U娇=（x-l,y,z—2）

2x—2=—2(x=0

由丽=2祈？，贝叶2丁=1，即卜=5

2z-4=-2lz=1

所以点尸的坐标为［o，g，i

故答案为：［o，：，i

变式4.（2023春•高二课时练习）若4（3,2,4）、8（1,2,-8）,点C在线段A3上，且盥=；,则

点C的坐标是—

【答案】《,2,-4

【分析】设点C的坐标为（x,y,z）,由题意可得尼=|通，即可得到方程组，解得即可求得c的

坐标.

【详解】解：•••点4（324）、8（1,2,-8）,C为线段钻上一点，且点=|，

―.2--

以AC=§AB,AB=(—2,0,—12)

设点C的坐标为(x,y,z),则XS=(x-3,y-2,z-4),

x-3=--

3

2

贝lj(x—3,y—2,z—4)=g(—2,0,—12),即＜y—2=0

z—4=—8

5

x=—

3

即C(|,2,~4

解得,y=2，

z=-4

故答案为：||，2,-

变式5.（2023・高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点A（4,l,3）、川2,-5,1）、C（-3,7,-5）,

则顶点。的坐标为

【答案】（T13,-3）

【分析】设。（苞/2，然后利用荏=况求解即可.

【详解】设仇％y，z),因为四边形ABCD为平行四边形,

所以9=配，所以(-2,-6,-2)=(-3-x,7-y,-5-z),

-3-x=-2元=-1

所以，7-y=-6所以y=13,即。（一1,13,-3）.

-5-z=-2z=-3

故答案为：(T13,-3).

考点二：空间点的对称问题

例2.(2023春•高二课时练习)在空间直角坐标系中，点(-2,L4)关于X轴对称的点坐标

是()

A.(-2,1,^)B.(2,1,-4)C.(-2,-1,-4)D.(2,-1,4)

【答案】C

【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.

【详解】在空间直角坐标系中，点(-2,1,4)关于x轴对称的点坐标为(-2,-1,-4).

故选：C.

变式1.(2023•全国•高二专题练习)已知点监，也分别与点加(1，-2,3)关于x轴和z轴对称，

则而跖=()

A.(-2,0,6)B,(2,0,-6)C.(0,4,-6)D.(0,-4,6)

【答案】A

【分析】在空间直角坐标系中，求出点W-2,3)关于x轴和z轴对称的坐标，再利用向量的坐

标表示即可得解.

【详解】依题意，点MQ，-2,3)关于x轴对称点必(1,2,-3),关于z轴对称点心(-1,2,3),

所以两；=(—2,0,6).

故选：A

变式2.(2023春•江苏常州•高二校联考阶段练习)已知点4(123)关于电平面的对称点为8,

而点8关于X轴的对称点为c,则|明=()

A.2MB.2V13C.2V15D.8

【答案】B

IUUUI

【分析】由对称性分别求出3、C,则有起，即可求得旧4

【详解】由题意3=。,2,-3),则C=(L-2,3),

故配=(O,<6),|BC|=716+36=2713.

故选：B

变式3.(2023秋・河北石家庄•高二石家庄市第十七中学校考阶段练习)在空间直角坐标系。孙z

中，P是坐标平面X。》内一动点，“(4,2,2),0(7,5,4),当|加|+卢。|最小时P的坐标为

【答案】(5,3,0)

【分析】先利用对称找出尸的位置，再结合三角形相似以及空间向量的运算即可求解

【详解】过点M作平面垂线加4,垂足为A,延长到N,使得MA=A/V,

过点。作平面X0V垂线A®,垂足为8,

则4(4,2,0),N(4,2,-2),3(7,5,0),

因为M与N关于平面xOy对称，

所以\PM\+\PQ\=\PN\+\PQ\习Ng,

所以当|2叫+|尸0最小时点P是连接NQ与平面xOy的交点，

连接A8,易知M,A,N,8,Q,尸共面，且AAVP与尸相似，

,jAPAN21

明以而一的一1一］，

所以Q而，

设尸(x,y,0),则1?=(%-4»-2,0)，!而=#7-4,5-2,0)=(1,1,0),

所以x-4=l,y-2=l,解得x=5,y=3,

所以P的坐标为(5,3,0),

故答案为：(5,3,0)

考点三：空间向量的坐标表示

0^例3.(2023春•高二课时练习)已知点A(3,8,-5),3(-2,0,8),则向量存的坐标为..

【答案】(-5,-8,13)

【分析】利用向量的坐标运算求解.

【详解】AB=(-2,0,8)-(3,8,-5)=(-5,-8,13).

故答案为：(-5,-8,13)

变式1.(2023春•高二课时练习)已知”，耳是空间的一个单位正交基底，向量B=用

坐标形式可表示为.

【答案】(-5,0,2)

【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答.

【详解】因为｛访，可是空间的一个单位正交基底,则有石=-5?+2月=(-5,0,2).

所以向量1=-57+2左用坐标形式表示为(-5,0,2).

故答案为：(-5,0,2)

变式2.(2022秋・广东广州•高二校联考期末)如图，正方体耳G的棱长为2,EwB,B,

且切=2E瓦，贝1］砺=()

A.（2,2,1）B.（2,2,2）c.（2,24D.（2,2,g]

【答案】D

【分析】根据已知条件求得玩.

24

【详解】依题意，EB=2EB},所以硬=§义2=葭

所以在=（2,2,g]

故选：D

变式3.（2023•全国•高二专题练习）已知空间直角坐标系中，点A（-M,2）,3（-3,0,4）,若口=6,

工与屈同向，则向量"的坐标为.

【答案】《-2,4）

【分析】求出而坐标，根据给条件表示出"坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.

【详解】因4T1,2）,5（-3,0,4）,则荏=（-2,-1,2）,

因2与而同向，则设；/罚=（-2九-九2为”>0）,因此，|c|=7（-22）2+（-2）2+（22）2=32,

于是得32=6,解得4=2,则"=（-4,-2,4）,

所以向量工的坐标为UK）.

故答案为：《-2,4）

变式4.【多选】（2022秋.黑龙江大庆.高二大庆二中校考阶段练习）已知四边形ABCD的顶点

分别是A（3,T2）,C（-l,l,-3）,D（3,-5,3）,那么以下说话中正确的是（）

A.AB=（-2,3-3）B.丽=（T,6,-6）

C.AC的中点坐标为（-2,0,-1）D.四边形A5CD是一个梯形

【答案】AD

【分析】根据向量的坐标运算判断A,B,C,通过判断济，丽的关系，判断四边形ABCD的

形状，由此判断D.

【详解】设点。为坐标原点，因为A(3,T,2),5(1,2,-1),C(-l,l,-3),D(3,-5,3),

所以函=(3,-1,2),08=(1,2.-1),OC=(-l,l,-3),砺=(3,-5,3),

所以刀=砺-函=(-2,3,-3),A正确；

所以而=历-云=(4,-6,6),B错误；

设AC的中点为点E,则诙=诋+荏=西+*=(3,一1,2)+12,1,一|||o,-1,

所以点E的坐标为枷，-共，C错误；

因为:W=(-2,3,-3),CD=(4-6,6),所以说=一2而，所以AB//CD,AB=^CD,所以四边形ABCD

是一个梯形，D正确；

故选：AD.

考点四：空间向量的坐标运算

例4.(2022秋・北京丰台•高二统考期末)已知日=(1,0,-1),心(2,1,1),则%-彼=.

【答案】(0,-1,-3)

【分析】以向量的代数运算律解之即可.

【详解】由。=(1,。,-1),6=(2,1,1)

可得2Z-B=2(1,0,-1)-(2,1.1)=(2,0,-2)-(2,1,1)=(0,-1,-3)

故答案为：QT-3)

变式1.(2023・全国•高二专题练习)向量商=(1,1,0),&=(0,1,1),2=(1,0,1),2=(1,0,-1)中，共

面的三个向量是()

A.a,b,cB.b,c,dC.c,d,aD.d,a,b

【答案】D

【分析】根据向量共面满足的坐标关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】A：若再如共面,贝(妨+滓,即(l,l,O)=(O,x,x)+(y,共y),

即y=l,x=l,x+y=O,显然不存在苍，满足题意，故氏品不共面；

同理，B,C中的三个向量也不共面；

D：若,5共面,^\d=xa+yb,即(l,O,-l)=(x,x,O)+(O,y,y),

即x=l,x+y=O,y=-l,故存在x=l,y=-l满足题意,则3,包5共面.

故选：D.

变式2.(2023秋•湖北•高二统考期末)已知向量”(2,0,2),&=(0,2-1),"(3,4,〃?)，若向量

a,b,己共面，则实数加的值为.

【答案】1

【分析】依题意可得存在实数x,y使得e=点+防，从得到方程组，解得即可.

【详解】解：因为向量b,乙共面，所以存在实数x,y使得八坨+防，

'3

2%=3x~2

BP(3,4,m)=(2x,2y,2x-y),所以＜2y=4,解得，y=2.

m=2x-ym=l

故答案为：1

变式3.(2023秋・北京丰台•高二北京市第十二中学校考期末)在空间直角坐标系中，已知三

点。(0,0,0),4(1,2,1),3(1,-1,0),若点C在平面Q4S内，则点C的坐标可能是()

A.(-1-1,3)B.(3,0,1)C.(1,1,2)D.(1,-1,2)

【答案】B

【分析】根据向量的运算可得函=(121),OB=d,-l,0),由西，砺不共线，结合向量基本定

理可得历=2西+〃而=(2+〃,24-〃，㈤，求得。点坐标为(九+〃,24-刈")，代入验算即可得解.

【详解】由西=(1,2,1),05=(1-1,0),

显然砺，而不共线，

根据向量基本定理可得反=AOA+pOB=(X+〃,24-〃,2),

故C点坐标为(几+"，2"〃,㈤，

经验算只有B选项符合条件，

止匕时A=1,//=2,

故选：B

变式4.【多选】(2023秋•辽宁葫芦岛•高二统考期末)已知在空间直角坐标系中，。为坐标

原点,且点1,0,2),8(-1,1,1),C(3,1,2),则下列结论正确的是()

A.|AB|=3B.(AB+AC)BC=-1

C.AB1ACD.^OP^OA+\OB+^-OC,则P,A,B,C四点共

236

面

【答案】BD

UUUULUUULU

【分析】由条件求AB,AC,BC,根据向量的模的个数，数量积运算公式，数量积的性质，向量

共面定理依次判断各选项.

【详解】因为竟(L0,2),8(—1,1,1),C(3,1,2),

所以荏=(-2,1,-1),恁=(2,1,0),南=(4,0,1),

所以|通|=>/4+1+1=逸,A错误；

(AB+AC)-BC=0x4+2x0+(-l)xl=-l,B正确；

AB-AC=(-2)x2+lxl+(-l)xO=-3,所以荏，而不垂直，C错误；

因为无=［况+=砺+，玄，所以6历=3况+2砺+交，

236

^^X3OA-3OP+2OB-2OP+OC-OP=6,

所以3丽+2丽+正=6,即正=-3百-2而，

所以定，可，而共面，

所以P,A,B,C四点共面，D正确；

故选：BD.

变式5.(2023春•重庆・高一重庆一中校考期中)下列几组空间向量中，不能作为空间向量基

底的是()

A.a=(l,O,O),5=(O,l,O),c=(O,O,l)

B.5=(1,l,O),&=(l,O,l),c=(0,1,1)

C.a=(l,l,2),^=(l,l,0),c=(l,0,1)

D.a=(l,l,l),^=(l,o,l),c=(1,2,1)

【答案】D

【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.

【详解】对于A,设(1,0,0)=40,1,0)+〃(。，。，1)，无解，即2瓦1不共面，故可以作为空间向量一

个基底，故A错误；

对于B,设。,1,0)=处1,0,1)+〃(0,1,1),无解，即1石忑不共面，故可以作为空间向量一个基底，

故B错误；

对于C,设(1,1,2)=〃1,1,0)+〃(1,0,1),无解，即日出忑不共面，故可以作为空间向量一个基底，

故C错误；

对于D,设(1,1,1)=41,0,1)+〃(1,2,1),解得所以4,5忑共面，故不可以作为空间向量一

个基底，故D正确.

故选：D

变式6.(2022.高二课时练习)在AABC中，若布=(2,-2,0),AC=(4,2,-1),则"RC是()

A.顶角为锐角的等腰三角形B.等腰直角三角形

C.等边三角形D.顶角为钝角的等腰三角形

【答案】A

【分析】利用空间向量的坐标运算计算就的坐标，由模长公式分别计算|而|,|就|而|的值，

可得|向|=|就|,再计算再.屈>0可判断-C为锐角，进而可得正确答案.

【详解】BC=AC-AB=(4,2,-1)-(2,-2,0)=(2,4,-1),

|AB|=V4+4+0=272,JAC|=716+4+1=721,|fic|=74+16+1=A/21,

所以国=同=内,

因为互=-XT=(-4,-2,1),CB=-BC=(-2,-4,l),

因为百•丽=(T)x(—2)+(—2)x(T)+lxl=17>0,

所以/C为锐角，

所以AABC是顶角为锐角的等腰三角形，

故选：A.

考点五：空间向量的平行问题

例5.例022•高二课时练习)若Z=(2x,l,3)4=(1,-2弘9),且2与1共线,求x,y的值.

13

【答案】

62

【分析】先判断XH0,然后根据题意可得到比例式，求得答案.

【详解】Z=(2x/,3),B=(l,-2y,9),且真与［共线,

当x=0时，显然Z=(2x,1,3),B=(1,-2%9)不共线,

2x13

故go,则由题意得：T=^T=O，

口口13

即.

o2

变式1.(2023春•高二课时练习)已知向量Z=(l,2,l),>=(3,2,2),且储+&//0-2田，则实数

k的值为()

A.--B.—

1212

C--D-

」22

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线条件列式计算作答.

【详解】向量2=(1,21),5=(3,2,2),则历+后=(4+3,2左+2,左+2)4—2]=(—5,—2,—3),

因为(Ki+B)//(12分,则胃=#=句[,解得人=-4，

一〉—2—J2

所以实数上的值为-;.

故选：C

变式2.【多选】(2023秋•湖南衡阳•高二衡阳市田家炳实验中学校考期中)与向量£=(2,3,6)共

线的单位向量是()

A.I777)B.1777)C.<71747^；D.(1—-7碧7

【答案】AC

,a

【分析】根据单位向量的概念，求出与向量Z共线的单位向量土口即可

【详解】因为向量2=（236）,所以同=@+32+6=7,

所以与向量2=（2,3,6）共线的单位向量为

故选：AC

变式3.（2023秋・吉林长春•高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知空间两点42,1,1）,

8（3,2,1）,下列选项中的：与蓝共线的是（）

A.0=（1,0,1）B.a=（2，1,1）C.a=（2）-2,°）D.a=（2）2,。）

【答案】D

【分析】由题得G=（l，1,。），再利用空间向量共线定理判断得解.

【详解】解：由点42,1,1）,8（3,2,1）,

所以e=（1，1，。），

对于A,〃=（1，0,1）,不满足：=几7^，所以方与蓝不共线；

对于B,«=（2，1,1）,不满足［=几凝，所以商与上不共线；

对于C,1（2，-2,0）,不满足）=2低，所以,与几不共线；

对于D,；=（2,2,0）,满足］=26，所以：与矗共线.

故选：D

变式4.（2022秋•广东江门•高二江门市第二中学校考期中）已知空间直角坐标系中，点A（T,1,2）,

3（-3,0,4）,若『=6,且"与m反向共线，贝隆=.

【答案】（4,2,Y）

【分析】根据向量"与前反向共线，设Z=X丽=（-24-42团"<0,利用/|=6列方程求得X,即

得答案.

【详解】由A(-U,2),8(-3,0,4),可得血=(-2,-1,2),

由于"与句反向共线,设"=4通=-2九-"),2<0,

由=6可得«一2储②+(-好+(2X)2=6,解得2=-2,2=2(舍去)，

故c=(4,2,-4),

故答案为：(4,2,Y)

变式5.(2022秋・福建泉州•高二福建省永春第一中学校考期末)在空间直角坐标系Oxyz中,

4(2,1』),5(/7,0,5),C(0,c,4),若四边形QRC为平行四边形,则b+c=.

【答案】1

【分析】由四边形。4BC为平行四边形，可得双=回，再根据向量的坐标运算求解即可.

【详解】解：6=(2,1,1),CB=(b-c,l),

因为四边形Q4BC为平行四边形，

所以函=函，

所以2=6,l=-c,

则b+c-1.

故答案为：L

考点六：利用坐标运算解决数量积问题

小7|例6.(2022.全国.高二专题练习)若A(2,-4,-1),8(-1,5,1),C(3,-4,1),则4.心=()

A.-11B.3C.4D.15

【答案】C

【分析】先求出国国的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可

【详解】由已知,CA=(2—3,—4—(-4),-1—1)=(—1,0,—2),

CB=(-1-3,5-(-4),1-1)=(-4,9,0),

C4-C§=4+0+0=4.

故选：C.

变式1.(2022.高二单元测试)若向量£=(2,1,-2),5=(6,-3,2),则7(£+2石)=.

【答案】19

【分析】根据空间向量的坐标运算，求得Z+2行的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示求得

答案.

【详解】Va=(2,l.-2),g=(6,-3,2),/.5+2^=(2,1,-2)+2(6,-3,2)=(14-5,2),

70+2))=(2」,一2).04,—5,2)=19,

故答案为：19

变式2(2023秋・广东深圳•高二统考期末)已知向量1(1,1,x),7(-223),若式-五石=1,则》=

()

A.-3B.3C.-1D.6

【答案】B

【分析】根据空间向量的坐标运算可得力d=(4,(),2x.3),结合空间向量数量积的坐标表示计

算即可求解.

【详解】由题意知，2Z-石=(4,0,2尤-3)

由(2a-b)-b=\,得4x(—2)+0x2+(2x—3)x3=1,

解得x=3.

故选：B.

变式3.(2022秋•江苏徐州•高二校考阶段练习)在AABC中，A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5).

⑴求顶点反C的坐标；

⑵求日.反\

【答案】(1)8(6,-4,5),C(9,-6,10)

(2)C4,BC=-58

【分析】根据向量的坐标表示求出民。的坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得而.而.

【详解】(1)设B(XB，yB,zB),AB=(xB—xA,yB—yA,zB—zA)=(xB—2,yB+5,—3)=(4,1,2),

Xg—2=4xg—6

<%+5=1/%-4,B(6,-4,5).

—3=2=5

设C(xc,yc,zc),BC=(xc—xB,yc—yB,zc—zB)=(xc—6,yc+4,zc—5)=(3,—2,5),

xc-6=3fxc=9

yc+4=-2,=-6,C(9,-6,10).

ZQ—5=5ZQ—10

(2)C4=(-7,1,-7),BC=(3,-2,5),

.-.CA-BC=-21-2-35=-58.

考点七：空间向量的垂直问题

例7.(2023秋•高二课时练习)已知1(1,0,-1)方=(1,-1,0),单位向量％满足7，之2,5,

则n=.

【答案】修，[J或卜字-%邛]

IY—Z=0

【分析】设向量心(x,y,z),其中Y+y2+z2=l,由石，原石，5,得到方程组".进而求得

[x-y=0

x，y，z的值，即可求解.

【详解】设向量”=(x,y,z),其中Y+V+z'i,

因为Z=(l,0,-1)石=(1,-1,0)且万，可得:"一八，即z=x,y=z,

=0

将z=x,y=z代入J+y+z?=i,

用泰日有66前出班6

倚%=？"，'=石*=《~或工=_飞~°=_7/=一号，

所以向量■的坐标为仁号山或

故答案为:惇考书或昌K]

变式1.(2023春•江苏盐城•高二盐城中学校考期中)已知向量。=(2,1,2)石=(-2,x,l)忑=(4,3,2),

若分，他+3，则x的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据题中条件，求出a+守的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出

结果.

【详解】因为巾=(2因2)石=(—2,苍1),1=(4,3,2),

所以花+乙=(6,4,4),

又伍+可，所以-12+4」+4=0,解得x=2.

故选：D.

变式2.(2022秋.广东阳江.高二阳江市阳东区第一中学校考期中)已知向量£=(2,-1,1),

&=(-1,1.x),若&与方垂直，则忖+2同=.

【答案】5V2

【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出X,再结合向量的坐标运算及模的运算计算作

答.

【详解】向量。=(2,-1,1)与B=(-l/,x)垂直，则有2x(-1)+(-l)xl+x=。，解得彳=3,

于是M+25=(2,-1,1)+2(-1,1,3)=(0,1,7),

所以1+2同=JO?+F+72=5夜.

故答案为：572

变式3.(2022秋・河南•高二校联考阶段练习)已知空间有三点A(2,0,-1),3(0,4,1),C(5,2,4),

若直线AB上存在一点满足"，加，则点”的坐标为.

【答案】。20)

【分析】设丽=2通，根据空间向量的坐标表示求得点"的坐标，再根据制，招，可得数

量积为0,从而可求出2,即可得解.

【详解】解：设丽=2南，

由荏=(-2,4,2),^AM=AAB=(-2A,42,22),

故〃(2-2几4424_1),则由=(_2几_3,44_2,2；1_5),

因为"±AB,

所以成.通=-2(-2X-3)+4(44-2)+2(2/l-5)=0,解得彳=g,

所以"(1,2,0).

故答案为：0,2,0).

变式4.(2022秋.山东济宁.高二统考期中)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-l,1,2),C(-3,0,4),

设荏=£,AC=b.

⑴求向量Z与向量B的坐标；

⑵若心+B与启-2B互相垂直，求实数上的值.

【答案】(1)£=(1,1,0),5=(-1,0,2);

⑵左=2或左=-1

【分析】(1)根据空间向量坐标表示公式进行求解即可；

(2)根据空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】(1)£=(1,1,0),b=(-l,0,2);

(2)Vka+b=(k—l,k,2),ka—2b=(k+2,k,—4),

且左a+B与左a+B互相垂直，

A(k-1,k,2)•伏+2,k,—4)=2/+左—10=0

解得％=2或%=

变式5.(2023•全国•高二专题练习)在空间直角坐标系中，若三点A。,Ta),3(2,a,0),C(l,«,-2)

满足(市-2衣)，肥，则实数a的值为().

A.-B.1C.D.--

222

【答案】C

【分析】先求出丽/，起的坐标，再由(福-2次)，前，^^AB-2AC\BC=O,解方程可求出

实数a的值

【详解】因为A(1,T。)，3(2,a,0),C(l,a,-2),

所以羽=(l,“+l,-a),AC=(0,a+1,-2-a),BC=(-l,0,-2),

AB-2AC=(1,6/+1,-a)-2(0,a+1,-2-a)=(1,-a-1,a+4),

因为例-2lS)_L肥，所以例-2码.前=0,

0

所以-l+0-2(a+4)=0,解得°=

故选：C

变式6.(2023秋•河南南阳•高二南阳中学校考阶段练习)已知长方体ABCD-A®CD中，AB=3,

BC=4,A4'=5,BP=ABC'^若A'P^BC'则2=()

1B竺C"D竺

A■2425C，41,34

【答案】C

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】解：根据题意，如图，建立空间直角坐标系，因为钻=3,BC=4,AA/^5,

4(0,0,5),£(0,3,5),C'(4,3,5),B(0,3,0),

所以比=(4,0,5),小尸=/3+而=小3+/1说，=(0,3,-5)+2(4,0,5)=(4/1,3,5/1-5),

因为A'PJ_3C',

4425

所以A；p/=16X+25X-25=0，解得“=而

故选：C.

考点八：利用坐标运算解决夹角问题

例8.(2023・全国・高三对口高考)已知向量4=。,2,3)石=(-2,-4,-6),同=内，若但+5"=7,

则①忑〉=.

【答案】120°

【分析】设八(x，y，z),依题意可得下:二再根据向量夹角公式即可求解.

【详解】设忑=(%%2),：向量商=(1,2,3),5=(-2,-4,-6),同=后,,+孙不=7,

222

y/x+y+z=A/14八a-cx+2y+3z1

.,.〃+/?=(—1,—2,—3),设Z与"的夹角为e,cos0=m=mm=^

-x-2y-3z=7

v0o<6><180°,;.0=l2ff.

故答案为：120。.

变式1.(2023春•重庆北修・高二西南大学附中校考阶段练习)已知2=(x,0,3),B=(l,2,-l),C=(l,z,l),

aLb,aIIc,则7与5+E的夹角为()

【答案】B

【分析】根据空间向量的平行、垂直关系求x，z,再根据空间向量的坐标运算求夹角.

【详解】••七45,Axxl+0x2+3x(-l)=x-3=0,解得x=3,即5=(3,0,3).

X'.'a//c,注意到则m/leR,使得/=(34,0,34),

f32=1A--1.、

，z=0，解得3，故c=(l,01).

1[z=0

/.i+c=(2,2,0),|^|=V32+02+32=3A/2,|^+C|=V22+22+02=2^,L(^+C)=3X2+0X2+3X0=6,

r(Ir\

/rrr\(i'\D+c\61/rrr\

C0T'b+cr花同==P又3"c”[(M,

/,^a,b+c^=^.

故选：B.

变式2.（2023春•江苏•高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量方=（1,Z1）,B=（2,-1,-2）,且

商与石夹角的余弦值为正，则彳等于（）

6

A.-72B.72C.一6,或亚D.2

【答案】A

【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.

【详解】因为商=。,41解=（2,-1,-2）,

=2-A-2=-A.,同=也+彳2,忖=：4+1+4=3,

又商与石夹角的余弦值为骼，d'b=同忖85（万,5）,

所以一彳=,2+八3><且,解得分=2,

6

注意到々>。，即4<0,所以彳=-五.

故选：A.

祢¥19.（2023春•高二课时练习）若£=（2,-1,4））=（-1,.2）,若Z与石的夹角是锐角，则f

的值的取值范围为.

【答案】（9,-1。）

【分析】根据空间向量£与石的夹角是锐角可得且Z与石不同向共线，结合数量积的坐标

表示计算即可求解.

【详解】因为£与石的夹角是锐角，所以7B>o,

即_2T-8>0,解得/<-10,

若£与后的夹角为0。，则存在2，使£=",

2=—A

即（2,-1,4）=彳（-1/,-2）,所以-1=幼，解得公;.

4=-22

故/的取值范围是（/，T0）.

故答案为：（f,-io）.

变式1.（20