2025年人教A版新高二数学暑假专项提升：平面向量的数量积及其应用5种常见考法归类（学生版）

第01讲平面向量的数量积及其应用5种常见考法归类

学其目标］

1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；

2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意义；

3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角;

||询基础知识1

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1.向量数量积的定义

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a,b,。是平面上的任意一点，作况=访仍=仅如

图所示)，则NA03=e(OW先©叫做向量a与b的夹角.

(2)向量的平行与垂直：当6=0时，a与力同向；当8=71时，a与〃反向；如果a与万的

夹角是，，我们说a与8垂直，记作a,4

(3)向量的数量积：已知两个非零向量a与仇它们的夹角为仇我们把数量|a||8|cos。叫做

向量a与8的数量积(或内积)，记作ab,即a-b=\a\\b\cos0.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

2.向量的投影

(1)定义：如图，设a,方是两个非零向量，A^=a,Cb=b,作如下的变换：过磅的起点

A和终点B,分别作6所在直线的垂线，垂足分别为Ai,Bi,得到髭1,则称上述变换为向

量a向向量b投影，出力1叫做向量a在向量8上的投影向量.

(2)计算：设与8方向相同的单位向量为e,a与8的夹角为仇则向量a在向量8上的投

影向量是|a|cos6e.

注：lalcos。叫做向量a在6方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数；当。为钝角时,

它是负数；当夕为直角时，它是0.

3.平面向量数量积的几何意义

a年的几何意义：数量积等于。的长度⑷与。在。方向上射影I“cos。的乘积.

4.向量数量积的性质

设a,%是非零向量，它们的夹角是仇e是与8方向相同的单位向量，则

(l)a-e=e-a=\a\cos0.

注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量.

(2)4_1_/>田力=0.

注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.

(3)当a与b同向时,。力=|。|仍|；当a与b反向时,—特别地,®a=|aF或⑷=也［.

注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于

求向量的模.

d•b

(4)cos6>^——(|a|传伊0).

|a||*l

注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角.

(5)\a-b\^a\\b\.

注：可用于解决有关“向量不等式”的问题.

5.向量数量积运算的运算律

对于向量a,b,c和实数九有

(l)a-Z>=Z>a；

(2)(%a)为=23仍)="•(2))；

(3)(a+Z>)-c=a-c+Z>-c.

6.数量积的坐标表示

已知非零向量”=(为，M),b=(x2,y2),。为向量。、b的夹角.

结论几何表示坐标表示

模\a\=y[a^a1〃1=9

数量积a-b=\a\\b\cos0a-b=xlx2+yly2

八ab

cos6=----cos*一+产

夹角\a\\b\

a_LZ＞的充

要ab=0%%+M%=0

条件

a//b的充

要〃=25(办。0)=。

条件

1",一与|a力ISa||R(当

I玉%+%%w

\a\\b\且仅当a〃〃时等号

Jk+y：

的关系成立)小;+£

7.数量积的有关结论

(1)(。±»2=。2±2°必+庐.

(2)(a+b)-(a—b)=a1—b2.

(3)层+户=0口=0且b=0.

I雷解题策略

---------------------IllllllllllllUlllilllllllllillUIIIIIIII-----------------------

1、向量数量积的求法

(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量

的夹角是求数量积的关键.(注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为［0，m)

(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式

的乘法运算.

2、求向量模的一般思路及常用公式

(1)求向量模的常见思路

根据。2二|32求|Q|2

开方计算

(2)常用公式

@(a-b)-(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2；

②|a土bF=(a±b)2=a2±2a-b+b2.

3、解决向量垂直问题一般思路

解决向量垂直问题常用向量数量积的性质方台,a仍=0.这是一个重要性质，对于解平面

几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.

4、求向量a,b的夹角。的思路

(1)求向量的夹角的关键是计算ab及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos

。=儒，最后借助。©[0,可，求出。值.

(2)在个别含有|a|,|b|与a-b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos。的

5、解决向量投影问题应注意以下三点

(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos6e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向

量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角。的余弦决定.

(2)向量a在b方向上的投影向量需去

(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投

影向量可表示为|b|cos端.

6、数量积的坐标表示

设a=(xi,州)，b=(X2,”)，贝I

®a-b=x\xi+y\y2-,a2=xi+yh|a|=^/xi+y?.

®a_L=0.

③I-X1X2+了1丁2|9/区+)六/上+货.

④设。是a与8的夹角，则

abX1X2+W2

⑷网[京+小/或+/

考点剖析

考点一：平面向量的数量积运算

例1.已知向量日石满足⑺=2,出1=5,且G与5夹角的余弦值为g则w+2孙(3万-5)=()

A.-28B.-18C.12D.72

变式1:已知九b,"均为单位向量，且2+2石=3乙则72=()

4

A-1BC.1D.

,3-I7

变式2：已知同=2,W=3,M与石的夹角为60。.求:

(l)ab;

(2)(34一Z?〃+b)；

(3)\2a-b\.

2.在边长为6的正AABC中，若点。满足彷=2觉，则而.前=

变式1：在AABC中，C=90。，点。在上，AD=3DB,I而1=4,则屈.函=()

A.8B.10C.12D.16.

变式2：已知等边"BC的边长为3,。是边上的中点，则嬴(诩+觉)=^.

变式3：在AABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，且3c=4,AD=3,则通.0=()

A.-5B.5C.-8D.8

例3.在平行四边形ABCD中，若屁=(1,4),荏=(2,3),则通.而的值为()

A.1B.5C.-1D.-5

变式1：在边长为3的正方形A3CD中，点E满足函=2丽，则衣•诙=()

A.3B.-3C.-4D.4

变式2：在边长为2的正三角形ABC中，AD=^DB,CE=EB,则荏.尻=()

9339

A.--B.-C.--D.-

4224

变式3：【多选】如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,ADJ.AB,AB=2AD=2CD=2,E是

的中点，则()

A.AEBE=--B.EB=-AB--AD

242

­.3—.1―.

C.ACBC=OD.AE=-AB——AD

42

4.在四边形A3CD中,AB=2DC,作。于点凡若DH=2,则丽・丽=()

A.9A/3B.10C.1172D.12

变式1：如图，已知正六边形A3CDER边长为1,点P是其内部一点，(包括边界)，则恭.品

的取值范围为

变式2：在边长为2的正六边形A3CDER中，点尸为其内部或边界上一点，则莅.而的取值

范围为.

考点二：平面向量的垂直问题

［例5.已知向量万=(1,2),1=(一2,3),若他+-5),贝必=.

变式1：已知。为坐标原点，A0,2),若厉则实数机的值为

变式2：已知向量：=(2,1),b=(m,-3),若则实数根=()

A.-6B.6C.-4D.4

变式3设向量£=(3,3),2=(1-1),如果0+篇)，(£-焉)，2>0,那么2=()

A.2B.73C.3D.9

变式4：已知向量2,B的夹角为，且忖=闾*3,若(花+皿2,则八.

考点三:平面向量的模长问题

6.已知向量的夹角为30。，1=网q=3,则|2。+q=)

A.6B.&C.V39D.7

变式1：已知向量2=(2,3),1=(3,2),则|2力|=()

A.yj2B.2C.A/17D.5A/2

变式2：已知向量Z=(2,0),5=(1,2),且(a—3^)〃(2(7+人后)(左eR),则|2a+左耳为()

A.2历B.4国C.2^/61D.4A/61

变式3：若平面向量获了两两的夹角相等且不为0,且向=|力|=1,同=4,则

b+5+W=__________

7.已知向量3=(2,-3),S=(4,m),若卜+2q=1-26，则加=

变式1：已知向量£,7满足2=(-1,2),力=51),卜+%3,则实数X=

变式2：已知向量Z=(x,4),B=(-U),若日+4=归一q，则X的值是()

A.2B.-2C.4D.-4

、］例8.已知平面向量痴满足同=W=1,则B+4的最小值为.

变式1：已知向量九B的夹角为60。，且|引=2日|=2,则|G+B|（feR）的最小值是

变式2：已知向量方的夹角为60。，则同+2忖的最大值为（）

A.3币B.4不C.5不D.6用

考点四：平面向量的夹角问题

例9：在AABC中,ABf,BC=1,AC=2,。是AC的中点，则而与防的夹角为

变式1：设2=（点1）,二1，-用，则向量2，万的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

变式2：已知向量2=1+1,6）,后=（1,0）,a-b=-2,则向量Z+后与石的夹角为.

变式3：若非零向量萩满足纲=W=2,（12B），3,则向量£与B夹角的余弦值为（）

A-1B-ICID」

变式4：已知51=2,向量力在向量B上的投影为山，贝匹与5的夹角为（）

A.£B.C.=D.已

3632

广「|例10.已知向量"=（2,0）,，=（X,2右），且Z与石的夹角为g,则工=.

变式1：已知向量a=(U),^=(1,0),c=Aa+b,〈a,B〉=〈B,c〉，贝1]%=

11.已知:=(1,2),B=(X,4),若Z与5的夹角是锐角，则实数x的取值范围是

变式1：已知向量d=(x-l,2),5=(2,4),则"x>-3"是与土夹角为锐角”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

变式2：已知平面向量£,否满足同=1,忖=2,[3+2b).(2a-b)=-3.

(1)求1-%

(2)若向量B与花+B的夹角为锐角，求实数2的取值范围.

变式3设两个向量萩满足忖=1,小2.

(1)若(2。-6).(。+5)=-3,求。,行的夹角。；

⑵若在B的夹角为60。，向量2^-3与y+用的夹角为钝角，求实数，的取值范围.

考点五：平面向量的投影、投影向量

12.已知向量3=(1,o),B=(右,1),则很在日方向上的投影是

变式1：已知点4-1,1),8(1,2),C(-2,-l),0(3,4),则向量而在前方向上的数量投影为

变式2：设平面向量九B满足同=12,B=(l,20),a-b=lS,则5在Z方向上的投影向量为(

A.-aB.-bC.-aD.-b

8822

变式3：已知非零向量£,B满足同=明=2,且(2闽。则向量B在向量£上的投影为

变式4：已知1(1,⑹，5=(3,a).若加在£方向上的数量投影为3,则实数利=

例13.已知向量|£|=2,⑸=1,且|12臼=加，则行在Z方向上的投影向量为()

变式1：已知同=1,|0=3,归-@=4,则向量Z在向量5上的投影向量为

变式2：已知向量Z=(-2,2),B=(1,1),^.alb,则2=,[/在后方向上的投影向量

的坐标为.

[域真题演I"]

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1.已知向量£出满足|£|=1,出|=石,|£一25|=3,则()

A.-2B.-1C.1D.2

2.已知向量£=(2,1)石=(-2,4),贝巾」|()

A.2B.3C.4D.5

3.已知向量。=(3,4),N=(l,0),c=a+序，若<a,c>=<B,c>,则，=()

A.-6B.-5C.5D.6

4.设向量£,B的夹角的余弦值为g,且同=1,口=3,则(2Z+叶B=

5.已知向量a=(L3),B=(3,4),若—贝！M=.

6.若向量土是满足卜卜3,卜-+5,a%=l,贝帆=.

国过关检测

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1.已知向量商，石满足同=1,ab=-l,则>.（2。+5）=（）

A.4B.3C.2D.1

2.若向量五满足|2|=夜,|石|=2,万JL（万-5）,则一与方的夹角为（）

A.-B.-C.—D.—

4334

3.在四边形A3CD中，AB=DC，且（市+而）•（通-而）=0,那么四边形A3CD为（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

4.已知7和了是两个正交单位向量，a=H+3j,且口-+应，则％=（）

A.2或3B.2或4C.3或5D.3或4

5.已知平面向量之与石的夹角为等，若W=3,忖+勾=m，则同=（）

A.2B.3C.2月D.4

6.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何

图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图

形代表八卦田.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2四,点P是正八边形ABCDEFGH边上

的一