2025年人教A版新高二数学暑假专项提升：倾斜角与斜率5种常见考法归类（学生版）

第12讲倾斜角与斜率5种常见考法归类

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学习目标

------V-------

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的

直线斜率的计算公式.

||磨基础知识1

------------------IIIIII1III1IIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知识点1直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

当直线I与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线I向上的方向之间所成的角a

叫做直线/的倾斜角.如图所示，直线/的倾斜角是NAPx,直线的倾,斜角

是NBPx.7A

。X-

2.倾斜角的范围

直线的倾斜角a的取值范围是0°<«<180°,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角

为0°.

注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角

②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线

知识点2直线的斜率

1.斜率的定义

一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即Qtana

(aw90°).

2.斜率公式

经过两点尸1(%1,y1),尸2(]2,p2)(%1#X2)的直线的斜率公式为％=含2^・当％1=%2时，直线

P1P2没有斜率.

注：①若直线/经过点P1Q1,V）,尸2（X2,”）（X#X2）,则直线P1P2的方向向量下k的坐标为

（X2-xi,yi-y\）,也可表示为（1,k）,其中左=；_；.

②倾斜角。不是90。的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当斗=々时，直

线与x轴垂直，直线的倾斜角0=90。，斜率不存在；当％=为时，斜率左=0，直线的倾

斜角。=0。，直线与x轴重合或者平行

③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换

知识点3斜率与倾斜角的联系

倾斜角a

。=0°0°<a<90°。=90°90°<«<180°

（范围）

斜率k

k=0k>0人不存在k<Q

（范围）

j豳解题策略

------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIII-----------------------

1'求直线的倾斜角的方法及两点注意

⑴方法：结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角.

⑵两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时，倾斜角为

90°.

②注意直线倾斜角的取值范围是0°<«<180°.

2、利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

⑴运用公式的前提条件是“X1WX2”，即直线不与X轴垂直，因为当直线与X轴垂直时，斜率

是不存在的；

⑵斜率公式与两点P,P2的先后顺序无关，也就是说公式中的XI与X2,V与V可以同时交换

位置.

3、在0°^a<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.

倾斜角a0°30°4560°120°135150°

OO

斜率左01-1—近

一事3

4、斜率与倾斜角的关系

（1）由倾斜角（或范围）求斜率（或范围）利用定义式上=tana（aW90°）解决.

（2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式左=”一义（%12初）求解.

X2—X1

Q考点剖析

--------------llllllllllllllllllllilllllllllllllllllill-----------------------

考点一：求直线的倾斜角

亡]例1.（2023秋・江西九江•高二校考阶段练习）直线的倾斜角a的取值范围是（

)

A.（0,K）B.[0,?t）C.（0,7t]D.[0,7t]

变式1.（2023秋•高二课时练习）对于下列命题：①若夕是直线/的倾斜角，则0。＜。＜180。；

②若直线倾斜角为a,则它斜率左=tana；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一

直线都有斜率，但不一定有倾斜角.其中正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

变式2.（2023春•上海黄浦•高二格致中学校考期中）若直线/的一个方向向量为卜1,6）,则它

的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

变式3.（2023・江苏•高二假期作业）已知直线乙的倾斜角4=15。，直线4与4的交点为A,直

线4和4向上的方向所成的角为120。，如图，则直线4的倾斜角为.

变式4.（2023•江苏•高二假期作业）如图，直线/的倾斜角为（)

A.60°B.120°

C.30°D.150°

变式5.【多选】（2023秋•高二课时练习）若直线I与x轴交于点A,其倾斜角为a,直线

/绕点A顺时针旋转45。后得直线4,则直线4的倾斜角可能为（）

A.tz+45。B.a+135。C.a-45°D.1350-a

变式6.（2023•高二课时练习）直线x+l=0与直线无+y-5=0的夹角为.

考点二：求直线的斜率

,例2.

（2023秋•湖南娄底•高二统考期末）已知直线的倾斜角是则此直线的斜率是

()

A.3B.-V3C.6D.±g

2

变式1.（2023•江苏•高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其

斜率.

(1)4(2,3),3(4,5)；

(2)C(-2,3),D(2,-1);

(3)P(-3,l),g(-3,10).

变式2.（2023秋・天津南开•高二崇化中学校考期末）已知直线/的一个方向向量为注-1,而,

则直线/的斜率为（）

A.1B.60，乎D--V3

变式3.（2023•全国•高二专题练习）如图，已知直线4,4,4的斜率分别为左&，%,则（）

A.kx<k2<k3B.k3<k{<k2

C.k3<k2<kxD.kx<k3<k2

变式4.（2023秋・江西•高二校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜

率为3,则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为,.

变式5.【多选】（2023•全国•高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边

所在直线与x轴的交点分别为（0,0）,（L0）,（2,0）,（4,0）,则正方形A3CD四边所在直线中过点（0,0）

的直线的斜率可以是（）

331

A.2B.-C.-D.-

244

考点三：斜率与倾斜角的关系

（一）由倾斜角求斜率值（范围）

］例3.【多选】（2023春・湖南衡阳•高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点4（5即）和

*2,8）的直线的倾斜角。e1,3,则实数机的可能取值有（）

A.11B.12C.13D.14

变式1.（2023•江苏•高二假期作业）过不重合的帝+2,加一3）,8（3—〃-疗,2旭）两点的直线/的

倾斜角为45°,则机的取值为.

变式2.（2023・江苏•高二假期作业）过两点A（5,y）,3（3,—1）的直线的倾斜角是135。，则y等

于.

变式3.（2023•江苏•高二假期作业）若经过点尸和Q（2〃,3）的直线的倾斜角是钝角，则实

数”的取值范围是.

变式4.（2023秋•安徽六安•高二校考阶段练习）若过点A（3,4）,Q（6,3a）的直线的倾斜角为锐

角，则实数。的取值范围为（）

4444

A.a<—B.a4—C.a>—D.a2—

3333

（二）由斜率求倾斜角的值（范围）

注1例4.（2023春•上海普陀・高二上海市宜川中学校考期末）已知直线/经过点

A（3,若）、B4,l）.直线/的倾斜角是.

变式1.（2023秋•高二课时练习）若直线/的斜率上的取值范围是［。，君），则该直线的倾斜角。

的取值范围是.

变式2.（2023•全国•高三专题练习）若直线的倾斜角。满足。<tana〈百，则a的取值范围是

（r百）

变式3.（2023秋•高二课时练习）直线/的斜率为左，且左e,则直线/的倾斜角的取

值范围是_________..

变式5.（2023秋•安徽六安•高二校考阶段练习）将直线MN绕原点旋转60。得到直线若

直线的斜率为1,则直线的倾斜角是（）

A.105°B.165。C.15。或75°D.105°或165°

考点四：斜率公式的应用（一）利用直线斜率处理共线问题

△1例5.（2023秋・河南•高二校联考阶段练习）判断下列三点是否在同一条直线上：

（l）A（-3,l）,B（2,-4）,C（3,0）；

（2）L>（5,-l）,E（-l,2）,F（-5,4）.

变式1.（2023秋•高二课时练习）已知三点A（3,1）,3（-2㈤,C（8,11）共线，贝必的值为.

变式2.（2023秋•高二课时练习）已知直线/经过三点4（5,-3）,3（4,y）,C（T9）,则直线/的斜

率k=,y=.

变式3.（2023春・上海松江•高二上海市松江二中校考期中）已知点4（0,-8）,8（2,-2）,C（4,m）,

若线段A3,AC,8C不能构成三角形，则机的值是.

（二）斜率公式的几何意义的应用

、1例6.（2023秋•高二课时练习）已知直线/过点引1,3）,且不过第四象限，则直线/的斜

率%的最大值是..

变式1.（2023・全国•高二专题练习）若实数x、>满足、=-尤+3,-1<X<1,则代数式的

x+2

取值范围为_____.

变式2.【多选】（2023•全国•高三专题练习）点/（4%）在函数y=e，的图象上，当

则??可能等于（）

A.-1B.—2C.—3D.0

变式3.（2023秋•广东深圳•高二深圳中学校考期中）已知点4（-2,-1）,5（3,0）,若点M（x,y）在

线段A3上，则上|的取值范围（）

A.口艮+⑹B.一；,3

C.S，T]U[3,+«）D.[-1,3]

考点五：直线与线段的相交关系求斜率的范围

例7.（2023秋•广东佛山•高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知坐标平面内

三点A（-L1）,B（l,1）,C（2,石+1）.

（1）求直线BC,AC的斜率和倾斜角；

⑵若。为AASC的边A3上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角a的取值范围.

变式1.（2023•江苏•高二假期作业）已知两点4-3,4）,3（3,2）,过点尸（1,0）的直线/与线段有

公共点.

⑴求直线/的斜率k的取值范围；

⑵求直线/的倾斜角a的取值范围.

变式2.（2023・江苏•高二假期作业）已知A（3,3）,3（y2）,C（0,-2）.

⑴求直线A3和AC的斜率；

⑵若点。在线段（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.

变式3.（2023秋•江西抚州•高二统考期末）已知坐标平面内三点A（-M）,矶1」）,C（2,6+l）,D

为AABC的边AC上一动点，则直线3。斜率上的变化范围是（）

B.,+co]

A.4

C.

变式4.（2023秋・安徽滁州•高二校考期中）已知点A（T2）,5（2-2）,C（0,3）,若点"（a⑼是

线段A8上的一点（。片。），则直线CM的斜率的取值范围是（）

1

A.4B.-|oJU(o,i]

C.D.o[l,+co)

变式5.（2023秋•安徽芜湖•高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）经过点打。,1）作直线/,

若直线/与连接42,3）,川-1,2）的线段总有公共点,则直线/的斜率的取值范围是

变式6.（2023秋•江苏连云港•高二校考阶段练习）已知点4（-2,3）,3（3,2）,若直线依+y+2=0

与线段48没有交点，则。的取值范围是（)

54

A.—00,----U--—,+00B.

23

_54'(45

C.D.—00,------—,+00

;32

真题演练

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

1.直线y=2与直线x+y-2=。的夹角是（)

A.兀C.兀D

42-T

2.图中的直线的斜率分别为勺&，%,则有（)

h

X

A.kx<k2<k3B.k1>k2>k3

C.k1<k3<k2D.k3<kx<k2

3.若三点A（2,2）,B（a,O）,C（O,b）,（而wO）共线，则：的值等于___________.

ab

l］号过关检测门I

-------------------llllllllllllllilllllillllllllllllllllllll------------------------

一、单选题

1.（2023秋•贵州贵阳•高二统考期末）以下四个命题，正确的是（）

A.若直线/的斜率为1,则其倾斜角为45。或135。

B.经过A。，。），3（T,3）两点的直线的倾斜角为锐角

C.若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应

D.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应

2.（2023•江苏•高二假期作业）已知一直线经过两41,2）,8（凡3）,且倾斜角为135。，则。的值

为（）

A.-6B.-4

C.0D.6

3.（2023秋・北京密云•高二统考期末）已知直线.则下列结论正确的是（）

A.点（2,6）在直线/上B.直线/的倾斜角为］

C.直线/在y轴上的截距为8D.直线/的一个方向向量为炉=（1,-1）

4.（2023秋・山西临汾•高二统考期末）若三点4（2,-3）,3（4,3）,C（5㈤在同一直线上，则实数6等

于（）

A.-12B.-6C.6D.12

5.（2023春•山东滨州•高一校考阶段练习）过点尸02,m）,Q（m,4）的直线的斜率为1,那么

m的值为（）

A.1或4B.4C.1或3D.1

6.（2023春•河南安阳•高二安阳一中校联考开学考试）已知点A（2,3）,3（-l,x）,直线A3的倾斜

角为手，则x=（）

A.3-373B.3+—C.3+3括D.6

3

7.（2023秋•湖南湘潭•高二校联考期末）若直线/的斜率为3且公=3,则直线/的倾斜角为

（）

A.30°或150°B.45°或135°C.60°或120°D.90。或180。

8.（2023秋・山西晋中•高二统考期末）经过点4（0,2）,3（-1,0）的直线的斜率为（）

A.—2B.—C.JD.2

22

9.（2023•江苏•高二假期作业）若直线/经过点M（2,3）,N（4,3）,则直线/的倾斜角为（）

A.0°B.30°

C.60°D.90°

10.（2023秋•四川宜宾•高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线/的斜率为3且

-拒Mk<l,则直线/的倾斜角的取值范围为（）

A.。卧mB.闻唁,兀）

—兀5兀1一「八兀|「5兀）

C.D.o,-U

[46）L4；L6）

U.（2023秋•江苏连云港•高二校考期末）经过两点4（1,加），*m-1,3）的直线的倾斜角是锐角，

则实数机的范围是（）

A.（f-3）u（-2,y）B.（-3,-2）

C.（2,3）D.（-8,2）u（3,+8）

12.（2023春•上海浦东新•高二上海市实验学校校考期中）已知两点A（2「l）,B（-5,-3）,直线

/过点（U）,若直线/与线段相交，则直线/的斜率取值范围是（）

「2、「2一

A.（-co,-2]U-,+0°IB.-2,j

C.D.^-co,--U[2,+oo）

13.（2023秋•江苏连云港•高二校考期末）经过点P（0,-l）作直线/,且直线/与连接点A（L-2）,

/2,1）的线段总有公共点，则直线/的倾斜角。的取值范围是（）

A.]B.[0,-]u[—,7T）

4444

C.[0,衿呼㈤D.吟]

二、多选题

14.（2023•全国•高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（）

A.若直线的倾斜角为，，则sin©>0

B.直线的倾斜角。的取值范围为04。〈万

C.若一条直线的倾斜角为，，则此直线的斜率为tan。

D.若一条直线的斜率为tan。，则此直线的倾斜角为。

15.（2023秋・广西柳州•高二校考期末）下列说法正确的是（）

A.直线的倾斜角a取值范围是0Wa<7i

B.若直线的斜率为tane,则该直线的倾斜角为。

C.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

D.直线的倾斜角越大，其斜率就越大

16.（2023•江苏•高二假期作业）下列各组点中，共线的是（