2025年人教A版新高二数学暑假专项提升：统计与概率14种常见考法归类（学生版）

第05讲统计与概率14种常见考法归类

《学考目标¥

1.了解简单随机抽样的含义，掌握两种简单的抽样方法：抽签法和随机数法；了解分层随

机抽样，掌握各层样本量比例分配的方法.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设

计恰当的抽样方法解决问题.

2.理解统计图表的含义，能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化

描述，体会合理使用统计图表的重要性.

3.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋

势参数的统计含义.

4.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度

参数的统计含义.

5.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.

6.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.

7.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、

交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.

8.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.

9.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.

10.结合实例，会用频率估计概率.

n.在具体情境中，结合古典概型，了解两个事件相互独立的概念，能计算两个相互独立

事件的概率.

［函基础知识^

---------------------lllllllllllllllllllllllilllllllllllllllll-----------------------

1.随机抽样

（1）简单随机抽样

①定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取〃

个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，

我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未

进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样；

②常用方法：抽签法和随机数法.

（2）分层随机抽样

①定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于

一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一

起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，

如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配；

②分层随机抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机

抽样.

2.常用统计图表

（1）频率分布直方图

①纵轴表示慧’即小长方形的高=糯;

频率

②小长方形的面积=组距X=频率;

组距

③各小长方形的面积的总和等于1.

（2）频率分布表的画法

第一步：求极差，决定组数和组距，组距=堆；

组距

第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.

（3）条形图、折线图及扇形图

①条形图：建立直角坐标系，用横轴（横轴上的数字）表示样本数据类型，用纵轴上的单

位长度表示一定的数量，根据每个样本（或某个范围内的样本）的数量多少画出长短不同的等

宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条

形图；

②折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定

的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线,

用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图;

③扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小

反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形

图.

3.总体百分位数的估计

（1）百分位数

\定义意义

百

一组数据的第2百分位数是这样一个值，它使得这组数据中反映该组数中小

分

至少有2%的数据小于或等于这个值，且至少有（100—0）%的于或等于该百分位数

位

数据大于或等于这个值的分布特点

数

（2）求一组〃个数据的第p百分位数的步骤

第1步：按从小到大排列原始数据；

第2步：计算，=〃Xp%；

第3步：若，不是整数，而大于，的比邻整数为）,则第2百分位数为第/项数据；若，•是

整数，则第p百分位数为第，•项与第C/+D项数据的平均数.

4.总体集中趋势的估计

（1）中位数：将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个

数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

（2）众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；

（3）平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据XI,X2,…，Xn

-1

的平均数X=—（X］+々H---1-X）.

nn

提醒（1）中位数是样本数据所占频率的等分线，不受少数极端值影响；（2）众数体现

了样本数据的最大集中点，一组数据可能有〃个众数，也可能没有众数；（3）与中位数、众

数比较，平均数反映出样本数据的更多信息，对样本数据中的少数极端值更加敏感.

5.总体离散程度的估计

（1）假设一组数据XI,X2,X3,…，无,的平均数为总则：

①标准差

S=j［（Xl&）2+3㈤2+…+（3）2］；

②方差

2-2-2

S=-\_(XI%)+(X2%)2+・・・+(xn—%)].

n

(2)分层随机抽样的均值与方差

分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为行，样本方差为S2.

以分两层抽样的情况为例.假设第一层有机个数据分别为XI,X2,…，X”平均数为您方

差为寸；第二层有〃个数据,分别为yi,…，yn,平均数为歹，方差为4.则元=工£如s"=

mi=l

1m1n1n

2

(x;-x)2,歹=工2卅^2=-Z(y—歹).

11n

mi?L刍;--1

①则访=*-元

②$2=/^｛加应+(%—iv)2]+〃避+(y—iv)2]｝.

6.随机事件

(1)事件的相关概念

/必然事件一定发生)

[｛确定事件小.露件

事—4不可能事件件誓一定不发生)

4随机事件内笨(可能发生也可能不发生)

(2)概率和频率

①在相同的条件S下重复〃次试验，观察某一事件A是否出现，称〃次试验中事件A出

现的次数3为事件A出现的频数，称事件A出现的比例%(A)=皆为事件A出现的频率；

②对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率或(A)随着试验次数的增加稳定于概

率P(A),因此可以用频率%(A)来估计概率尸(A).

7.事件的关系和运算

(1)两个事件的关系和运算

事件的关系和运算含义符号表示

包含关系A发生导致3发生AQB

相等关系B^A且A^BA=B

并事件(和事件)A与3至少有一个发生AU3或A+3

交事件(积事件)A与3同时发生AAB或AB

互斥事件A与3不能同时发生AHB=00

AHB=0,

互为对立事件A与3有且仅有一个发生

AU"。

(2)概率的几个基本性质

①概率的取值范围：0<P(A)<1；

②必然事件的概率尸(。)=1;

③不可能事件的概率P(0)=0.

(3)互斥事件的概率加法公式：如果事件A与事件3互斥，那么P(AUB)=P(A)+

P(B)；

(4)对立事件的概率：如果事件A与事件3互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)或

P(A)=1~P(B).

8.古典概型

(1)古典概型的特征

(2)古典概型的概率公式

>/.、事件A包含的样本点的个数

有限样本空间中样本点的总数'

9.相互独立事件

(1)事件相互独立：在一个随机试验中两个事件A,3是否发生互不影响，则称事件A

与事件5相互独立，当对于〃个事件Ai,A2,…，A”，如果其中任意一个事件发生的概率不

受其他事件是否发生的影响，则称〃个事件Ai,A2,…，4相互独立；

(2)独立事件的概率公式

①若事件A,3相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)；

②若事件Ai,A2,…，4相互独立，则P(A1A2…A”)=P(Ai)P(A2)…P(4).

提醒P(AB)=P(A)P(3)只有在事件A,3相互独立时，公式才成立，

才曲解题策略|

---------------------lllliillillllllllllllllllllllllllllllllll-----------------------

1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)

是不放回抽取；(4)是等可能抽取.

2.简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体

数较多的情况).

3.分层随机抽样问题的类型及解题思路

(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算；

(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，

列比例式进行计算；

(3)分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中，抽样比=金上当=

总样本量

各层样本数量

各层个体数量.

(4)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x,第二层的样本量为〃，

平均值为》则样本的平均值为艺土血.

m+n

4.频率分布直方图的相关结论

(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1；

(2)频率分布直方图中纵轴表示W士，故每组样本的频率为组距义？士，即矩形的面

组距组距

积;

(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率X总数.

5.频率分布直方图中的常见结论

(D众数的估计值为最高矩形底边的中点对应的横坐标；

(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横

坐标之和；

(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.

6.平均数、方差的公式推广

若数据xi,xi,…，X"的平均数为后方差为§2,那么mxi+a,mxi+a,mx3+a,mxn

~\-a的平均数是mx-\-a,方差为m2s2.

7.总体百分位数的估计需要注意的三个问题

(1)总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；

(2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计

一般是估计值而非精确值.

(3)确定要求的2％分位数所在分组［A,B),由频率分布表或频率分布直方图可知，样

本中小于A的频率为a,小于3的频率为0,所以p%分位数=A+组距X等.

8.求众数、中位数、平均数的方法

(1)众数：由定义知，一组数据中出现次数最多的数，即为众数，若有两个或几个数据

出现的次数最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数

据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数；

(2)中位数：若一组数据为奇数个，按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中

间位置的数据就是这组数据的中位数；若一组数据为偶数个，按照从小到大(或从大到小)的

顺序排列，位于中间位置的两个数据的平均数就是这组数据的中位数；

(3)平均数：利用元求解.

ni=l

9.标准差、方差的应用

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的情况.标准差、方差越大，数据的离

散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.

(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.

10.计算分层随机抽样的方差的步骤

(1)确定礼y,s，，sf；

(2)确定通

(3)应用公式d=小1+(x-7J)2]+3[s：+(歹一石)2],计算K

m+nm+n

11.事件关系判断的策略

(1)判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥

事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，

特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生；

(2)判断事件的交、并关系时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的

试验可能出现的全部结果，必栗时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运

用Venn图分析事件.

12.用频率估计概率

(1)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值,

通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计

值.

(2)利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐

步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.

13.古典概型的概率求解步骤

(1)求出所有样本点的个数〃；

(2)求出事件A包含的所有样本点的个数机；

(3)代入公式P(A)=竺求解.

n

14.求样本空间中样本点个数的方法

(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题；

(2)树状图法：适用于需要分步完成的试验结果.树状图在解决求样本点总数和事件A

包含的样本点个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免

造成遗漏或重复；

15.互斥事件概率的两种求法

(1)将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解

概率；

(2)若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面

的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难则反”的思想.常用此方法求“至

少”“至多”型事件的概率.

16.求相互独立事件同时发生的概率的策略

（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示；

（2）厘清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式;

（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；

（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，

再求出符合条件的事件的概率.

l|Q考点剖析

------------------llllllllillllllllllllllllllllllllllllllll-----------------------

考点一：简单随机抽样

例1.【多选】（2022秋.高一单元测试）对于简单随机抽样，下列说法正确的是（）

A.它要求被抽取样本的总体的个体数有限

B.它是从总体中逐个进行抽取的，在实践中操作起来也比较方便

C.它是一种有放回的抽样

D.它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，从而保证了这种

抽样方法的公平性

变式1.（2023春•江西景德镇•高一统考期中）利用简单随机抽样的方法，从〃个个体（”>14）中

抽取14个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为（，则在整个抽样过程中，

每个个体被抽到的可能性为.

变式2.（2023・全国•高一专题练习）下列抽样中适合用抽签法的是（）

A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱50件）产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验

、［例2.（2023・高一单元测试）总体由编号为01,02,-,19,20的20个个体组成，利用下面的

随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左到右依

次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

变式1.（2023春•全国•高一专题练习）欲利用随机数表从00,01,02,L,59这些编号中抽

取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第H列开始向右读取，每次

读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为.

63016378591695556719981950717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

变式2.【多选】（2022秋.高一单元测试）已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数

字编为一组:

080151772745318223742111578253

772147740243236002104552164237

291486625236936872037662113990

685141422546427567889629778822

已知甲班有60位同学，编号为01~60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单

随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99,所以只用随机数表中每组数

字的后两位，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号可能是（）

A.15,27,18,53B.27,02,25,52

C.14,25,27,22D.15,27,18,74

考点二：分层随机抽样

例3.（2023・高一单元测试）简单随机抽样，分层抽样之间的共同点是（）

A.都是从总体中逐个抽取

B.将总体分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取

C.抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的

D.将总体分成几层，然后分层按照比例抽取

变式L【多选】（2023春•湖南长沙•高一雅礼中学校考阶段练习）某公司生产甲、乙、丙三

种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质

监部门用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则（）

A.在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取

B.抽样比为击

C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆

D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的

变式2.【多选】（2023秋•江西南昌•高一统考期末）某市有大、中、小型商店共1500家，且

这三种类型的商店的数量之比为1:5:9,现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽

取60家商店，则下列选项正确的有（）

A.1500家商店是总体

B.样本容量为60

C.大、中、小型商店分别抽取4、20、36家

D.被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本

变式3.（2023春•陕西西安•高一西安市黄河中学校联考阶段练习）光明社区老年合唱队中，

6070岁的有30人，71~75岁的有15人,76岁及以上的有10人.若用分层抽样的方法抽取〃位

老人参加某项活动，已知从71〜75岁的老人中抽取了3人，则〃的值为.

变式4.（2023春・北京顺义・高一牛栏山一中校考阶段练习）当前，国家正分批修建经济适用

房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、

270户、180户.若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭

的住房问题，先采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的

户数为.

变式5.（2023春•江西景德镇•高一统考期中）在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都在家进行

网上上课，某校高一，高二，高三共有学生6000名，为了了解同学们对某授课软件的意见，

计划采用分层抽样的方法从这6000名学生中抽取一个容量60的样本，若从高一，高二，高三

抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则该校高二年级的人数为（）

A.1000B.1500C.2000D.1000

变式6.（2023春•河北邯郸•高一大名县第一中学校考阶段练习）某学校高一、高二、高三三

个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人

数多300,现在按工的比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为

例4.（2022春.广东江门.高一江门市第一中学校考期中）高一某班级有男生35人，女

生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为

70kg,抽出的女生平均体重为50kg,估计该班的平均体重是（）

A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg

变式1.（2023春・江西南昌•高一南昌市外国语学校校考阶段练习）某学校高一年级有300名

男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50,男生平

均成绩为120分，女生平均成绩为H0分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（）

A.110分B.115分C.116分D.120分

变式2.（2023春•宁夏•高一六盘山高级中学校考阶段练习）某校有男教师160人，女教师140

人，为了调查教师的运动量的平均值（通过微信步数），按性别比例分配进行分层随机抽样，通

过对样本的计算，得出男教师平均微信步数为12500步，女教师平均微信步数为8600步，则

该校教师平均微信步数为（）

A.12500B.10680

C.8600D.10550

考点三：扇形（饼状）图

[\例5.【多选】（2023春•陕西西安•高一西安市黄河中学校联考阶段练习）对某地区2023

年的学生人数进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在初中生中，九年级学生人数最

多，八年级学生人数最少，七年级学生人数约为L2万，则（）

A.该地区2023年的学生人数约为15万

B.该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多

C.该地区2023年小学生的人数比初中生、高中生和大学生的人数之和还多

D.该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为34.7%

变式1.（2022春.贵州黔东南.高一统考期末）独角兽企业被视为新经济发展的一个重要风向

标，2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数

量），其中“北上广”三地的独角兽企业数量的总占比为70%.则下列说法正确的是（）

A.房产居家和消费行业的独角兽企业数量的总占比不足10%

B.人工智能，汽车交通以及智能硬件行业的独角兽企业数量的总占比超过50%

C.“北上广”三地的独角兽企业共有170家

D.电子商务行业的独角兽企业数量最多

变式2.（2022春.云南昆明.高一统考期末）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始

人南丁格尔（FlorenceNightingale182291。）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径

长短表示数量大小.某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成

南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误的是（）

A.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加

B.2016年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多

C.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍

D.2016年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增

变式3.（2022.高一单元测试）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合

格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学

生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为4B、C、D、E五个等级.某试点高中

2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选

择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对

该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）

2016年该校“选择考”等级统计2018年该校“选择考”等级统计

，■Z等级28%

）■5等级32%

■C等级30%

。等级8%

W■E等级2%

A.获得A等级的人数减少了

B.获得8等级的人数增加了1.5倍

C.获得。等级的人数减少了一半

D.获得E等级的人数相同

考点四：条形图与折线图

］例6.（2022春.吉林长春.高一长春外国语学校校考期末）某学校为了解高三年级学生

在线学习情况，统计了2021年2月18日-27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例

数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.

根据组合图判断，下列结论正确的是（）

A.前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差

B.前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差

C.这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大

D.这10天学生在线学习人数在逐日增加

变式1.（2023春•江西吉安•高一江西省泰和中学校考期末）某家庭2020年收入的各种用途占

比统计如图1所示，2021年收入的各种用途占比统计如图2所示.已知2021年的“旅行”费用

比2020年增加了500元，则该家庭2021年的“衣食住”费用比2020年增加了（）

A百分比

图2

A.2000元B.2500元C.3000元D.3500元

变式2.（2022秋.北京丰台.高一统考期末）网上一家电子产品店，今年1-4月的电子产品销

售总额如图1,其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2.

A.从1月到4月，电子产品销售总额为290万元

B.该款平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降

C.今年1-4月中，该款平板电脑售额最低的是3月

D.该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了

变式3.（2022春.广西河池.高一统考期末）某保险公司推出了5个险种：甲，一年期短险；

乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.现对5个险种参保客户

进行抽样调查，得出如下的统计图：

用样本估计总体，以下四个选项错误的是（）

A.30~41周岁参保人数最多

B.随着年龄的增长，人均参保费用越来越多

C.54周岁以下的参保人数约占总参保人数的8%

D.定期寿险最受参保人青睐

考点五：频率分布直方图

例7.（2021秋.高一单元测试）某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）

班有40名同学成绩恰在［60,90］内，绘成频率分布直方图（如图所示），从［60,70）中任抽2人

的测试成绩，恰有一人的成绩在［60,65）内的概率是（)

D

1515c1-I

变式1.（2021春•陕西渭南•高一校考期末）某教育机构为了调查学生在课外读物方面的支出

情况，抽出了一个容量为〃的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在［40,50］元的同学

C.1000D.100

变式2.（2021秋.高一单元测试）为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提

升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取100名男生，测试了立

定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图.已知立定跳远195cm及以上成绩为

合格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计全校1000名男生中立定跳远项目合格的

男生有（）

C.970名D.800名

变式3.（2023春・天津南开•高一天津二十五中校考阶段练习）某校举行知识竞赛，对全校参

赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,

［90,100］分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不亚项的是（）

B.得分在［80,100］的人数为400

C.这组数据的极差为50D.这组数据的平均数的估计值为77

变式4.（2022春.天津和平.高一耀华中学校考期末）某中学全体学生参加了数学竞赛，随机

抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当

画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）

A.直方图中x的值为0.035

B.在被抽取的学生中，成绩在区间［70,80）的学生数为30人

C估计全校学生的平均成绩为83分

D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分

考点六：总体百分位数的估计

［、例8.（2023春・河南•高一校联考期末）有一组样本数据如下：56,62,63,63,65,

66,68,69,71,74,76,76,77,78,79,79,82,85,87,88,95,98,则其25%分位数

与75%分位数的和为（）

A.144B.145C.148D.153

变式1.（2022春.云南.高一统考期末）棉花的纤维长度是衡量棉花质量的重要指标.在一批棉

花中随机抽测20根棉花的纤维长度（单位：mm）,按从小到大排序结果如下：

8286113115140143146170175195

202206233236238255260263264265

请你估计这批棉花的第5百分位数是（）

A.84B.86C.99.5D.115

变式2.（2023春•湖南长沙•高一长沙市明德中学校考阶段练习）有一组样本数据如下：

56,62,63,63,65,66,68,69,71,74,76,76,77,78,79,79,82,85,87,88,95,

98

则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（）

A.65,76,82B.66,74,82C.66,76,79D.66,76,82

［、1例9.（2023春•江苏苏州•高一校考阶段练习）下图是根据某班学生在一次体能素质测

试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的80%分位数为（）

A.75B.77.5C.78D.78.5

变式1.（2023春•山西太原•高一校联考阶段练习）少年强则国强，少年智则国智.党和政府

一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质.为了加强对

学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得

数据绘制样本的频率分布直方图如图所示,则下列结论正确的是（）

A.样本的众数为65B.样本的第80百分位数为72.5

C.样本的平均值为67.5D.该校学生中低于65kg的学生大约为1000人

[A]例10.（2023春・江西南昌•高一校考期中）为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持

每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：

高三一班：36.1,36.2,m,36.4,36.5,36.7,36.7,36.8,36.8,37.0（单位：℃）,

高三二班:36.1,36.1,36.3,36.3,36.4,36.4,36.5,36.7,",37.1（单位：℃）

若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则”-机为（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

变式1.（2022春.广东潮州.高一统考期末）一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,x,

7,8（其中XW7）,若该组数据的中位数是众数:倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是

（）

A.y,5B.5,5C.y,6D.5,6

变式2.（2023秋・山东东营•高一统考期末）十名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：

15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其中位数为a,众数为0,第一四分位数为c,

则a,b,c大小关系为（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

考点七：总体集中趋势的估计

|例11.（2023春•四川广元•高一广元中学校考期中）某班有男生20名，女生30名.一

次数学考试（所有学生均参加了考试），男生数学成绩平均为92,女生数学成绩平均分为97,

则该班数学成绩平均分为（）

A.94B.94.5C.95D.95.5

变式1.（2023秋・广西桂林•高一统考期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计

数等共14种算法.某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时

间分别为83,84,80,69,82,81,81（单位:min）.则这组时间数据的（）

A.极差为14B.方差为22C.平均数为80D.中位数为80

[\例12.（2022•高一单元测试）某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在

该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确

的是（）

A.该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间（25,30]内的最少

B.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16

C.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14

D.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456

变式1.（2023・高一单元测试）某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后

画出的频率分布直方图如下，则根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（）

频率

组距

0405060708090100成绩/分

A.该校约有一半学生成绩高于70分B.该校不及格人数比例估计为25%

C.估计该校学生成绩的中位数为70分D.估计该校学生的平均成绩超过了70分

变式2.(2022秋.辽宁铁岭.高一昌图县第一高级中学校考阶段练习)为了调查某市市民对出

行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计

成如图所示的频率分布直方图，其中。=劭.

频率

0.035

0.027

a

0.008

b

O5060708090100芬数

⑴求，、b的值；

(2)求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；

⑶若按照分层抽样从[50,60),[60,70)中随机抽取8人，应如何抽取？

变式3.(2023春・福建三明•高一永安市第九中学校考阶段练习)2021年3月18日，位于孝

感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获

批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外

科口罩,，生产企业.在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业

质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50),[50,60),

[60,70),[90,100],得到如下频率分布直方图.

（1）求出直方图中m的值；

⑵利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同

一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）;

⑶现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利

用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有

多少个.

[V]例13.（2023秋•内蒙古呼和浩特・高一铁路一中校考期末）某班级有50名学生，其中

有30名男生和20名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名

男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93下列说

法一定正确的是（）

A.这种抽样方法是一种分层随机抽样

B.这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数

C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

变式1.（2023・高一单元测试）某公司为了解用户对其产品的满意度，从使用该产品的用户中

随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到如图所示的用户满意度评分的频率

分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为。，,G则（）

O405060708090100满意度评分

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

变式2.（2021春.吉林白山.高一统考期末）某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评

分分别为9.2,9.5,8.8,9.9,8.9,9.5,设该选手得分的平均数为x,中位数为》众数为z,

则（）

A.x<y<zB.x<y=zc.y<无<zD.x<z<y

考点八：总体离散程度的估计

住口例14.（2021秋•高一单元测试）某公司生产的饮水机过滤器滤芯在2020年12月份的

第一周的日生产量（单位：万件）如下表:

日期12.112.212.312.412.512.612.7

日生产量/万件1.100.801.201.100.801.100.90

则该公司这一周的日生产量的方差为（精确到0.01）（）

A.0.02B.0.01C.0.03D.0.04

变式1.（2023春•湖北武汉•高一武汉市第4^一中学校考阶段练习）在高三某次模拟考试中,

甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表，则两个班所有学生的数学成绩的方差为（）.

班级人数平均分数方差

甲40705

乙60808

A.6.5B.13

C.30.8D.31.8

变式2.（2023春•安徽•高一安徽省颍上第一中学校联考阶段练习）小明在整理数据时得到了

该组数据的平均数为20,方差为28,后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21,

另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为"方差

为则（）

A.x>20,52<28B.二<20,52>28C.x=20,s2<28D.x=20,52>28

例15.（2023春・辽宁大连•高一大连市一0三中学校考阶段练习）经过简单随机抽样获

得的样本数据为石，无2,…，斗，且数据占,3,…,X,的平均数为总方差为则下列说法正确的是

()

A.若数据孙孙—方差$2=0,则所有的数据=都为0

B.若数据为，%,,当，的平均数为h=3,则y=2x,+l«=l,2,,〃）的平均数为6

C.若数据占，％，…，无”,的方差为d=3,则％=2%+1«=1,2,,〃）的方差为12

D.若数据%的25%分位数为90,则可以估计总体中有至少有75%的数据不大于90

变式1.（2023春•陕西西安•高一西安市黄河中学校联考阶段练习）已知一组数据小马，，匕的

平均数为元，标准差为S,则数据3%T3x「l,,3为一1的平均数和方差分别为（）

A.3TT,3s-lB.3只3sC.3^-1,9?D.3T-1,9s?T

变式2.（2022春.陕西渭南.高一统考期末）已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年

龄的平均数、中位数、众数均为16,方差为0.8,则三年后，下列判断错误的是（）

A.这五位同学年龄的平均数变为19B.这五位同学年龄的方差变为3.8

C.这五位同学年龄的众数变为19D.这五位同学年龄的中位数变为19

考点九：随机事件关系的判断

△I例16.（2023春・河南洛阳•高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）某饮料

生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料.甲、乙两名同学都购买了这种饮

料，设事件A为“甲、乙都中奖”，则与A互为对立事件的是（）

A.甲、乙恰有一人中奖B.甲、乙都没中奖

C.甲、乙至少有一人中奖D.甲、乙至多有一人中奖

变式1.（2022春.河南省直辖县级单位.高一济源高中校考期末）袋内分别有红、白、黑球3,2,1个，

从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）

A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球

C.恰有一个白球；一个白球一个黑球D.至少有一个白球；红、黑球各一个

变式2.（2021春.陕西渭南.高一统考期末）从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三

件产品，设事件A="三件产品全不是次品"，事件3="三件产品全是次品”，事件C="三件产品

有次品，但不全是次品”，则下列结论中不亚琥的是（）

A.A与C互斥B.3与C互斥

C.A、B、C两两互斥D.A与3对立

变式3.（2023・高一单元测试）某人射击一次，成绩记录环数均为整数.设事件A：“中靶”;

事件8：“击中环数大于5”；事件C：“击中环数大于1且小于6”；事件。：“击中环数大于0

且小于6”.则正确的关系是（）

A.A与。为对立事件B.A与。为互斥事件C.8与C为对立事件D.B

与C为互斥事件

变式4.（2023秋・辽宁•高一校联考期末）从高一（男、女生人数相同，人数很多）抽三名学生

参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件8为“三名学生都是男生"，事件C为“三

名学生至少有一名是男生”，事件。为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（）

A.P（A）=（B.尸（C）WP（0

C.事件A与事件3互斥D.事件A与事件C对立

考点十：用频率估计概率

、:例17.（2023•高一单元测试）将一枚硬币掷10次，正面向上出现了6次，若用A表示

正面向上这一事件，则人（）

A.发生的概率为:B.发生的概率接近：

C.在这十次试验中发生的频率为（D.在这十次试验中发生的频率为6

变式1.（2023•高一单元测试）某人从水库中打了一网鱼共1000条，作上记号再放回水库中，

数日后又从水库中打了一网鱼共”条，其中上条有记号，由此估计水库中共有鱼的条数为（）

1000口1000M

BC.1000/7无法估计

A.~k~--D.

变式2.（2023•高一单元测试）一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是550向，现从中随机抽

取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位