2025上海市八年级升九年级数学暑假提升讲义：二次函数（上海考点练）（九大题型）解析版

第28讲二次函数（上海考点练）（九大题型）

01日出品

学习目标

1、掌握常考考点；

2、熟悉二次函数有关的一些专业术语。

02思维导图

03知识清单

i.掌握上海常考考点或题型；

2.学会上海描述二次函数的一些专业术语（如沿着x轴的正方向看，如果某抛物线在y轴左侧的部分是上

升的；教材顶点式的深刻理解等）

【即学即练1］（23-24九年级上•上海松江•期末）如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧

部分是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式：.

【答案】y=4x2,答案不唯一

【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数.

由于二次函数的顶点在x轴上，且在＞轴的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数，

由此可以确定函数解析式不唯一.

【解析】解：•••二次函数的顶点在X轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，

这个二次函数的二次项系数为正数，

•••符合条件的函数有y=4Y,答案不唯一.

答案为：y=4x2,答案不唯一.

【即学即练2】（23-24九年级上•上海宝山・期末）如果二次函数y=a（x-2）2（a＜0）的图像上有两点那么

2，yJ和弓那么"（填或

【答案】＞

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数值的比较方法.

【解析】解：二次函数y=。（尤-2）2的对称轴为直线x=2,a＜0,

.•.距离对称轴越远的点，函数值越小，

97

-2＜--2,

43

故答案为：＞.

【即学即练3］（23-24九年级上•上海静安•期末）如果二次函数＞=内2+fov+c图像对称轴的右侧部分上升，

它的开口方向是.（填“向上”或“向下”）

【答案】向上

【分析】本题主要考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键.根据对称轴的右侧部分

上升即可得到答案.

【解析】解：,•・对称轴的右侧部分上升，

故函数图像在对称轴的右侧单调递增，

，它的开口方向是向上.

故答案为：向上.

【即学即练4】（2023•上海虹口•一模）已知抛物线y=-无2+bx+c如图所示，那么点P0,c）在第一象限.

【答案】二

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴位置确定6的符号，抛物线与、

轴的交点确定。的符号，即可确定点尸（瓦。）所在的象限.

【解析】解：由抛物线的图象得，c>0,

2a2

：.b<0,

・•・PS©在第二象限.

故答案为：二.

【即学即练5】（2024九年级上•上海・专题练习）已知二次函数的解析式为y=-f+2x,下列关于函数图

象的说法正确的是（）

A.对称轴是直线x=-lB.图象经过原点

C.开口向上D.图象有最低点

【答案】B

【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解.

【解析】解：：y=-*2+2x=-（x-l）2+1,。=-1<0

，抛物线开口向下，对称轴为直线x=l,顶点坐标为（1』），函数图象有最高点（LD,当x=0时，y=0,即

图象过原点.

故选：B.

【即学即练6］（23-24九年级上.上海奉贤.期末）已知抛物线y=（a-2）/一天开口向上，那么。的取值范围

是.

【答案】a>2/2<a

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

利用二次函数y=a/+"+c的性质：〃〉0时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可.

【解析】解：•・•抛物线,=（〃-2）/一%开口向上，

••a—2>0,

6Z>2.

・•.〃的取值范围是：a>2.

故答案为：a>2.

题型精讲

题型1：概念综合

【典例1].（23-24九年级上•上海闵行•阶段练习）二次函数y=/+3x-2°的截距是.

【答案】-1

【分析】题目主要考查二次函数的截距，理解截距的定义是解题关键.

【解析】解：y=x2+3x-2°=X2+3X-1,

当x=0时，y=—1,

截距为-1,

故答案为：-1.

【典例2].（23-24九年级上•上海徐汇・期末）下列抛物线中，对称轴为直线x=l的抛物线的表达式是（）

A.y=x2+lB.y=x2-lC.^=尤?+2XD.y=x2-2x

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法和技巧是解答本题的关键.

分别求出各选项中抛物线的对称轴，由此进行判断，得到答案.

【解析】解：根据题意得：

A选项中，抛物线y=f+l的对称轴为V轴，故本选项不符合题意；

B选项中，抛物线的对称轴为y轴，故本选项不符合题意；

C选项中，抛物线＞=/+2*=（*+1）2-1,该抛物线的对称轴为直线x=-l,故本选项不符合题意；

D选项中，抛物线y=x2-2x=（x-l）2-l,该抛物线的对称轴为直线x=l,故本选项符合题意；

故选：D.

【典例3].（2024•上海杨浦・一模）写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，

这个抛物线的表达式可以是—.

【答案】y=2Y+x（答案不唯一）

【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意写出开口向上，且经过点（。,0）抛物线的表达式即可，

掌握二次函数的图象的性质是解题的关键.

【解析】依题意得，开口向下，经过点（0,0）,

/.抛物线的表达式可以是y=2炉+x,

故答案为：y=2尤2+无.（答案不唯一）

【典例4].（23-24九年级上•上海青浦•期末）如果抛物线丁=/+灰+2的对称轴是直线x=2,那么b的值

等于.

【答案】-4

A

【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，根据二次函数y=/+bx+c（aW0）的对称轴为直线x=-/即

可解答.

【解析】解：•••抛物线y=f+bx+2的对称轴是直线x=2,

:」=2,

2

解得：b=Y,

故答案为：—4.

【典例5].（2024.上海青浦.二模）如果将抛物线y=Y+l向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式

是.

【答案】y=（x-3）2+l

【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解题的关键.根据函数图像平移的

方法：左加右减，上加下减，即可得到答案.

【解析】将抛物线y=1+1向右平移3个单位，所得新抛物线的表达式是y=（x-3）2+l.

故答案为：y=（x-3）2+l.

【典例6].（23-24九年级上•上海松江•期末）如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在〉轴的右侧部分

是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式：.

【答案】y=4x2,答案不唯一

【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数.

由于二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数，

由此可以确定函数解析式不唯一.

【解析】解：•••二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，

/.这个二次函数的二次项系数为正数，

,符合条件的函数有y=4Y,答案不唯一.

答案为：y=4x2,答案不唯一.

题型2：二次函数的平移

【典例7].（2024•上海杨浦.三模）如果函数y=（x-l『+〃z的图像向左平移2个单位后经过原点，那么

【答案】-1

【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是要熟练

掌握二次函数平移规律；根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可；

【解析】把函数y=（x-l）2+加的图像向左平移2个单位后得y=（无一1+2）2+机=（》+1）2+7〃，

；平移后的图像经过原点，

0=（0+1）"+m,

解得：m=-l,

故答案为：-1;

【典例8].(23-24九年级上•上海松江•阶段练习)将抛物线y=2(x+l)2+3平移后与抛物线＞=2/重合，

那么平移的方法可以是()

A.向左平移1个单位，再向上平移3个单位

B.向左平移1个单位，再向下平移3个单位

C.向右平移1个单位，再向上平移3个单位

D.向右平移1个单位，再向下平移3个单位

【答案】D

【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移变换，根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可

解答.将图像的平移转化成顶点的平移是解题的关键.

【解析】解：•••抛物线y=2(x+iy+3的顶点坐标为(-1,3),抛物线y=2/的顶点坐标为(0,0),

顶点由(T，3)到(0,0)需要向右平移1个单位再向下平移3个单位.

故选：D.

【典例9].(23-24九年级上.上海松江期末)在直角坐标平面中，将抛物线y=-(x+l)2+2,先向左平移1

个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是.

【答案】，=-(尤+2)2

【分析】此题考查的是二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规律：括号内左加右减，括号外上加下

减求解即可.

【解析】解：将抛物线y=-(x+iy+2,先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线

表达式是y=-(x+1+1)"+2-2=-(x+2)~,

故答案为：y=-(x+2)2.

【典例10】.(2024•上海•模拟预测)将抛物线＞=春_2了+3沿直线y=-x+l方向平移2五个单位后的解析

式为.

【答案】y=-(x+3y+6或y=-(x-l『+2

【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移

规律是解题的关键.沿直线＞=-》+1方向平移2应个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单

位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案.

【解析】解：对于y=-x+i,当尤=0时，y=i,当尤=2时，y=-1,

即：直线y=-x+l经过4(0,1),3(2,-1),

贝|JAB=J(2一0)2+(-1-1)2=272，

由此可知抛物线y=*-2x+3沿直线y=-x+l方向平移20个单位，

相当于抛物线y=-X2-2X+3=-(X+1)2+4向上平移2个单位，再向左平移2个单位,

此时平移后的解析式为y=-(x+l+2)+4+2=-(x+3)+6；

或抛物线V=-X2-2X+3=-(X+1)2+4向下平移2个单位，再向右平移2个单位，

止匕时平移后的解析式为y=-(x+l-2)2+4-2=y=-(x-if+2；

综上：y=-(X+3)2+6或y=_(x-l)2+2.

题型3：二次函数的图像与性质

【典例111(23-24九年级上•上海静安•期末)如果二次函数丁=存2+公+。图像对称轴的右侧部分上升，

它的开口方向是.(填“向上”或“向下”)

【答案】向上

【分析】本题主要考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键.根据对称轴的右侧部分

上升即可得到答案.

【解析】解：,••对称轴的右侧部分上升，

故函数图像在对称轴的右侧单调递增，

，它的开口方向是向上.

故答案为：向上.

【典例12].(23-24九年级上•上海•阶段练习)已知点A。,%)和5(2,%)在二次函数丁=加+2办+。(。<0)

图像上，则,一%0.(填“才、或“=”)

【答案】>

【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练

地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键.根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是

直线x=-l，根据x>T时，V随工的增大而减小，即可得出答案.

【解析】解：1.,y^ax1+2ax+c(<a<0),

,图象的开口向下，对称轴是直线x=-羊=-1,

2a

x>—i时，y随x的增大而减小，

；•%<%，

%-%>0，

故答案为〉.

【典例13].(23-24九年级上•上海长宁•期末)下列关于抛物线y=2尤2+无一3的描述正确的是()

A.该抛物线是上升的B.该抛物线是下降的

C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的D.在对称轴的右侧该抛物线是上升的

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性

质，可以判断各个选项中的说法是否正确.

【解析】解:•••抛物线，=2炉+尤-3,

...。=2>0,在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，

选项D正确，符合题意；

故选：D.

【典例14】.(2024•上海杨浦・三模)关于抛物线丫=依2一2"下列说法错误的是()

A.该抛物线的对称轴是直线x=l

B.该抛物线的顶点坐标是(LT)

C.该抛物线与x轴有两个交点

D.该抛物线在对称轴的左侧部分，V随尤的增大而增大

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质.根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解.

【解析】解：y=ax2-2ax+a-4

—a(x?-2x+1)-4

=tz(x-l)2-4,

该抛物线的对称轴是直线x=l,顶点坐标是(1,T),故A,B选项正确，不符合题意；

a<0,

：.A=(-2a)2-4a(a-4)=16a<0,该抛物线在对称轴的左侧部分，V随工的增大而增大，

该抛物线与x轴没有交点，，故C选项错误，符合题意；D选项正确，不符合题意；

故选：C

题型4：求参数范围

【典例15】.(2024•上海闵行三模)如果二次函数y=Y-4x+l的图象的一部分是下降的，那么了的取值范

围是

【答案】x<2

【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.根据函数解析式可得抛物线

开口向上，则当x在对称轴左侧时，函数图象下降，所以求出函数的对称轴即可求解.

【解析】解：：y=/-4x+l=(x-2)2-3,又抛物线开口向上，

.•.当x<2时，'随x的增大而减小，图像下降；当xN2时，'随x的增大而增大，图像上升；

二次函数y=x2-4x+l的图像的一部分是下降的，

x<2,

故答案为：x<2.

【典例161（2024.上海.模拟预测）已知A（T,6）,3（4,-1）,若抛物线y="-回一+机与线段A3没有交点，

则加取值范围为.

【答案】机〈土叵或心罂

2240

【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一次函数交点问题，由y=（x-my+机可

得抛物线随机值的变化，抛物线顶点在直线y=x上移动，分抛物线对称轴在点A左侧，在点A右侧，两种

情况讨论即可.

【解析】解：由y=（x-m）2+m可得抛物线的对称轴直线为工=机，顶点坐标为（7〃，m），图象开口向上，

如图，随机值的变化，抛物线顶点在直线y=x上移动，

当对称轴在点A左侧时，m<-l,

把A（—l,6）代入y=（%—机）2+加得6=（-1_加）2+机,

解得加=一3-叵或相=-3+叵（舍去），

22

m<-3-产时，抛物线y=（x-mf+机与线段AB没有交点,

当对称轴在点A右侧时，-IVm,

设线段AB所在直线的解析式为y=kx+b（k丰0）,

16=—上+Z?

将A（—1,可,3（4,-1）代入y=fcc+b（k*0）,得：一3,，

k」

5

解得：

b7=——23

5

二•线段AB所在直线的解析式为y=-37+三23,

723

y=——x-\---

X+/+*生=。，

联立55，得:工2—

5

y=(x-m)2+m

抛物线y=（x-机区+m与线段AB没有交点,

2

2」一m2+机一])<(),

二.A

5

509

---<in,

240

综上，当一<—3个场或1,抛物线y=（尤-机）2+机与线段AB没有交点,

故答案为：加〈弋竺或心器

【典例17】.（2024•上海徐汇・二模）如果二次函数y=2f-4x+l的图像的一部分是上升的，那么x的取值

范围是.

【答案】x>l

【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.根据函数解析式可得抛物线

开口向上，则当X在对称轴右侧时，函数图像上升，所以求出函数的对称轴即可求解.

【解析】解：y=2f-4X+1=2（X-1）2-1,又抛物线开口向上，

，当x<l时，丫随天的增大而减小，图像下降；当龙21时，、随彳的增大而增大，图像上升；

二次函数y=2--4x+l的图像的一部分是上升的，

•二X>1,

故答案为：X>1.

【典例18】.（2024.上海杨浦.一模）已知抛物线y=（祖-2）尤2一3万-1的开口向上，那么机的取值范围

是.

【答案】m>2

【分析】本题考查了抛物线的性质；根据抛物线y=（〃L2）尤2一3*-1的开口向上，得到〃,—2>0,计算即可.

【解析】：抛物线J=（m-2）x2一3彳一1的开口向上，

m—2>0,

解得m>2,

故答案为：m>2.

题型5：坐标轴的交点坐标

【典例19].（23-24九年级上.上海浦东新.阶段练习）二次函数y=2/_8的图象与x轴的交点坐标

是.

【答案】（2,0）,（-2,0）

【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，令y=o,代入函数解析式求出尤的值即可.

【解析】解：y=2f-8

当y=0时，2/-8=0,

解得：%=2,毛=-2,

二次函数y=2X2-8的图象与尤轴的交点坐标是（2,0）,（-2,0）,

故答案为：（2,0）,（-2,0）.

【典例20].（23-24九年级上•上海松江•阶段练习）已知抛物线经过点（5,-2）,其对称轴为直线x=3,则抛

物线一定经过另一点的坐标是—.

【答案】。,-2）

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求解即可，解题的关键是正确

理解二次函数的图象及性质.

【解析】•••点（5,-2）关于对称轴直线x=3的对称点为（1,-2）,

•••抛物线一定经过另一点的坐标是（1,-2）,

故答案为：（1,-2）.

题型6：实际应用

【典例21].（23-24九年级上•上海青浦•期中）某商店一月份销售额为50万元，月平均增长率x（x>0）,

一季度的销售额为'万元，那么'关于月平均增长率x的函数解析式是—.

【答案】y=50x2+150x+150

【分析】本题考查了求函数解析式，根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售

额为y万元即可求出函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键.

【解析】解：根据题意可得，y=50+50（l+x）+50（l+x）2=50X2+150X+150,

故答案为：y=50x2+150%+150.

【典例22].（2024•上海杨浦•一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB宽20米，拱桥的最高

点。到水面A3的距离是4米，如图建立直角坐标平面xOy,如果水面上升了1米，那么此时水面的宽度是一

米.（结果保留根号）

y

【答案】10^3

【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是y=由题意结合图象可知，点(10,Y)在

函数图象上，求出解析式然后把>=-3代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求

二次函数解析式是解题的关键.

【解析】设该抛物线的解析式是、=办2,

由题意结合图象可知，点(10,T)在函数图象上，

代入得：100°=—4,解得：。=—石，

该抛物线的解析式是y=,

则水面上升了1米，此时y=-3,

3=一石X?,解得：x=±5^3,

则此时水面的宽度是米，

故答案为：10括.

题型7：二次函数的图像与参数符号的判断

【典例23].(23-24九年级上•上海崇明・期末)在二次函数yuax'+bx+c中，如果。<0,b>0,c<0,那

么它的图像一定不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数丁=依2+公+~a<0,b>0,c<0和二次函数的性质，

可知该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，然后即可判断该函数图象一定不经过

第二象限.

【解析】解：•.•二次函数y=+bx+c,a<0,b>0,c<0,

.•.该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，

...该函数图象存在三种情况，如图所示，

.♦•它的图象一定不经过第二象限，

故选：B.

【典例24】.（2024•上海•模拟预测）已知二次函数>=依2+"的图像如图所示，则一次函数>=依+6的图

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题.

根据二次函数图象开口向下，可以判断a<0,再根据对称轴判断出b的符号，再由一次函数的性质解答.

【解析】解：根据二次函数的图象可知，a<0,-->0

2a

b>0,

...一次函数、=依+6的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限.

故选：c.

【典例25].（23-24九年级上•上海金山•期末）抛物线、=依2+法+。图像如图所示，下列判断中不正确的

是（）

C.c>0D.a+b+c<0

【答案】D

【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键.由该抛

b

物线开口向下，可知〃<0,即可判断选项A；由该抛物线对称轴为1=-丁<0,结合a<0,可得bvO,

2a

即可判断选项B；由图像可知，当x=0时，可有y=c>0,即可判断选项C；由图像可知，当x=l时，可有

y=a+b+c>0,即可判断选项D.

【解析】解：A.该抛物线开口向下，所以。<0,故该选项正确，不符合题意;

b

B.该抛物线对称轴为x=-丁<0,又因为所以hvO,故该选项正确，不符合题意;

2a

C.由图像可知，当x=0时，可有y=c>0,故该选项正确，不符合题意;

D.由图像可知，当x=l时，可有y=a+6+c>0,故该选项不正确，符合题意.

故选：D.

【典例26].（23-24九年级上•上海•阶段练习）二次函数y=*+bx+c（ax0）的图像如图所示，现有以下

结论:

①。>0；

②abc>0；

(3)a-6+c<0；

®b2-4ac>0;其中正确的结论有（）

C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质；根据抛物线开口方向向上可知。>0即可判定①、抛物线对

称轴在y轴右侧，且交y轴正半轴，可判定b<0,c>0则可判定②；令x=T,由抛物线可知当x=-l时,

函数值大于0,即可判定③；根据抛物线与X轴有两个交点可对④进行判断；灵活运用二次函数图像的性质

成为解题的关键.

【解析】解：•••抛物线开口向上，

/.<7>0,故①正确.

•..抛物线对称轴在y轴右侧，且交y轴正半轴，

b

---->0,c>0,

2a

：.b<0,

abc<0,故②错误,

当x=-1时，y>0,

即a-》+c>0,故③错误，

抛物线与无轴有两个交点，

b1-4<7O0,故④正确，

综上①④正确，

故选：B.

题型8：新定义题

【典例27].（2024•上海・中考真题）对于一个二次函数y=a（无-加产+左（。力0）中存在一点尸（兄V）,使

^x'-m=y'-k^0,则称2|»-讨为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=-g尤?+；龙+3"开口大小,，

为.

【答案】4

【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理

1_1

解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到一5=力，按照定义求

X—

3

解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键.

【解析】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知y-左=〃（工-MP中存在一点网兄,，），使得

y-ki

x!—m=y'—,则。=

(x'-m)2xr-m

-3

23

1x2j+3

2

1211

——Xd--------+3

2399

11___11

・.・\=_：/+：彳+3中存在一点P（x',y）,有2一，1，解得/一：=一2,则2x-w=4,

23x__33

抛物线y=f+；尤+3”开口大小，，为4,

故答案为：4.

【典例28].（23-24九年级下.上海崇明・期中）新定义：我们把抛物线y=af+bx+c,（其中必片0）与抛

物线>=a2+内+。称为“关联抛物线”.例如：抛物线丫=/+2;（:+3的“关联抛物线”为>=2》2+》+3.已知

2

抛物线Ci-.y=6ax+ax+9a-4（a>0）的“关联抛物线”为C2,抛物线C2的顶点为P,且抛物C?与x轴相交于

M、N两点，点尸关于x轴的对称点为Q,若四边形尸MQN是正方形，那么抛物线G的表达式为.

317

【答案】y=-x2+4

【分析】本题考查了抛物线新定义问题，正确理解定义，熟练掌握平行坐标轴直线上两点间距离计算方式

是解题的关键.根据定义，得到抛物线G的表达式，然后利用公式求出顶点尸坐标和对称点。坐标，根据

四边形PM0N是正方形求出距离，然后利用两点间距离公式和一元二次方程根与系数的关系求出。的

值，即可求解.

【解析】解：G:y=6以2+at+9a-4（a>0）,

，“关联抛物线"C?为：y=依,+6以+9。一4（。>0）,

设抛物线a的顶点尸（无,y）,则

b6a4ac—4a（9。—4）—（6a）~.

x=-----=---=—J,y=-----------=------------------------=—4,

2a2a'4a4a

抛物线a的顶点尸（-3,-4）,

.••点P关于X轴的对称点。（-3,4）,

连接P。交x轴于打，如图所示，

・・・四边形加QN是正方形,

・•.MN=8,

C2

设抛物线2：y=ax+6ax+9a-4(«>0)与x轴交点”(再,0),N(x2,0),巧，x2即为方程依z+6av+9(2-4=0

的根,

6a,9〃一44

则菁+%=-一=-6,=9—,

MN(-6)2-4(9--)=J36-36+—=8,

aVa

解得

111Qi7

，抛物线G的表达式为尸%一+产9丁4,即安/+广“

317

故答案为.=h+广“

题型9：解答综合题

【典例29].(24-25九年级上•上海•阶段练习)已知抛物线y=*+6x+c经过人(-2,0)、矶4,0)、C(2,8)三

点.

(1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点M的坐标；

(2)该抛物线经过平移后得到新抛物线y=-/+41+1,求原抛物线平移的方向和距离.

【答案】⑴抛物线的解析式为y=r?+2x+8,抛物线的顶点"的坐标为(1,9)；

(2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线.

【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移.

(1)根据题意设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),将C(2,8)代入求解即可，再配成顶点式，即可写出

顶点的坐标；

(2)先求得新抛物线顶点的坐标为(2,5),利用平移的性质即可求解.

【解析】⑴解：•••抛物线经过4(-2,0)、5(4,0),

设抛物线的解析式为y=o(x+2)(x-4),

将C(2,8)代入得8=a(2+2)(2—4),

解得67=-1,

，抛物线的解析式为y=-(x+2)(尤一4)=一%2+2尤+8=—(％—1)一+9,

抛物线的顶点Af的坐标为(1,9)；

(2)解：Vy=-x2+4^+l=-(x-2)2+5,

...新抛物线顶点的坐标为(2,5),

,/抛物线y=-Y+2x+8的顶点M的坐标为(1,9),

原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线.

【典例30】.(2024•上海徐汇三模)如图，抛物线y=af+bx+c顶点为坐标原点。、且经过点A(3,3),直

线经过点A和点8(0,6).

(1)求抛物线与直线的表达式；

(2)如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点C在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线

的内部相交于点且NCOD=45。，求新抛物线的表达式.

【答案】(1)抛物线表达式为y=g尤,，直线的表达式为y=-x+6

3-3百丫

+』或y=；x-9-3y/5

(2)新抛物线的表达式y=H-----------

432

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)设直线y=-％+6与X轴交于点£,求出石(6,0),设点。的坐标为(加，-机+6),则点。的坐标为

分①当点。在线段AB上时，②当点。在AB延长线上时两种情况讨论即可；

本题考查二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【解析】(1)•••抛物线、=依2+法+,顶点为坐标原点0,

b=0,c=0,

•.•点4(3,3)在二次函数图象上，

/.3=9a,

•••c」!--,

3

.♦•抛物线表达式为

设直线的表达式为y=kx+bt,

•••直线经过点A和点3(0,6),

.f3=3k+bi

.卜二T

,,bl=6,

直线的表达式为y=-x+6.

(2)设直线y=-x+6与无轴交于点E,

.•.当y=0时，x=6,

：.£(6,0),

OE=OB=6,

：.NEBO=45°,

设点O的坐标为(私-优+6),

点C的坐标为［m,；/，

轴，

/.NBOD=NODC,

当点D在线段A3上时，如图,

ZCOD=ZDBO=45°,

JACDO^ADOB,

.CDDO

^~DO~~6B'

:.DO2=CDOB,

OD1=m2+(m—6)2=2m2—12m+36,CD=-m+6-m2,

2m2-12机+36=61一机+6-g机之),

4m2-6m=0，

m0,

...m=—3,

2

点c的坐标为(I，：；

新抛物线的表达式y=1^-|J+|,

当点。在AB延长线上时，延长。C交x轴于点"，在。”的延长线上截取HF=HO,连接R9,

如图，

则ZHFO=ZHOF=ZCOD=45°,DF=6-m-m=6-2m,

NODF=NCDO,

：.ACDO^AODF,

CDDO

DF

・•・DO2=CDDF,

2m2-12m+36=(6—2m)［一m+6-m2,

m3-3m2-9m=0?

*.*根w0,

;>m=3±3^(正值不符合题意，舍去)，

2

一(3-3君9-3后

・••点。的坐标为一-一,一-一.

I22)

•立>/-«->■p.13—3^/59—3^/5

••新抛物线的表达式y=-x-------—H--------—•

05强化训练

L

一、单选题

1.（23-24九年级上•上海松江•期末）下列函数中，属于二次函数的是（）

_2

A.y=x—2B.y—C.y=x2—（x+1）2D.y="豆

x

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如,=办:+bx+c(a>b、。是常

数，。。。）的函数，叫做二次函数.

根据二次函数的定义选择正确的选项即可.

【解析】A、y=%-2是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B、＞=九2符合二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意；

C、y=——（%+1）2=一2x-1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；

2

D、y==不是二次函数，故此选项不符合题意.

x

故选：B.

2.（23-24九年级下•上海宝山•期中）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是()

A.y—2x2+1B.y=-2d+1

C.y=x+lD.y=-x+l

【答案】D

【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键.根

据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解.

【解析】解：A.y=2x2+l,当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当尤>0时，y的值随x值的增大而

增大，故该选项不符合题意；

B.y=-2x2+l,当尤<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小，故该选

项不符合题意；

C.y=x+l,y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意；

D.j=-x+l,y的值随x值的增大而减小，故该选项符合题意；

故选：D.

3.(23-24九年级上上海静安•期末)如果将抛物线y=(x+2『-l平移后得到抛物线>=(》-咪+2,那么它

的平移过程可以是()

A.向右平移3个单位，再向上平移3个单位B.向右平移3个单位，再向下平移3个单位

C.向左平移3个单位，再向上平移3个单位D.向左平移3个单位，再向下平移3个单位

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先求出平移前后抛物线的顶点坐标，再根据点的坐标

判断出平移方式即可.

【解析】解：•••平移前抛物线的顶点坐标为(-2,-1),平移后抛物线的顶点坐标为(1,2),

将抛物线y=(x+2)2-1向右平移3个单位，再向上平移3个单位可得到抛物线y=(x-炉+2,

故选A.

4.(23-24九年级上・上海松江・期末)关于二次函数y=-2(x-l>的图像，下列说法正确的是()

A.开口向上B.经过原点

C.对称轴右侧的部分是下降的D.顶点坐标是(-1,0)

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系；

由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解.

【解析】y=-2(x-l)2,

•••抛物线开口向下，顶点坐标为(1,0),

时，y随％增大而减小，对称轴右侧的部分是下降的，

把x=0代入y=-2(x-l)2得y=-2,

抛物线经过(0,-2),

故选：C.

5.（2024上海虹口二模）已知二次函数y=-（x-4）2,如果函数值V随自变量x的增大而减小，那么x的取

值范围是（）

A.x>4B.x<4C.x>-AD.x<-4

【答案】A

【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键.根据二次函数>=-"-4）2,

可得y=-（x-4）2函数图象开口向下，对称轴为x=4,函数值y随自变量X的增大而减小，则X24,得以解

答.

【解析】解:二次函数y=-（尤-4『,

­.--1<0,

，y=-（x-4）2函数图象开口向下，对称轴为x=4,

x>40t-函数值丫随自变量x的增大而减小，

故选：A.

6.（23-24九年级上•上海青浦・期末）如图，二次函数、=依2+近+°（。*0）的图像的顶点在第一象限，且过

点（0,1）和（—1,0）,下列结论：①c=l；②ab<0；③a-b+c=0；④当x>-l时，y>0.其中正确结论的

个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】将（0,1）代入解析式，可得c=i,即可判断①，根据抛物线开口方向得a<0,利用对称轴在y轴的

右侧得6>0,可得而<0,即可判断②；将点（-1,0）代入解析式可得a-8+c=0,即可判断③，观察函数

图象得到x>-l时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在％轴下方，即可判断④.

【解析】解：二次函数>=依2+法+以。*0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（-1,0）,

/.c=1,a—b+c=0,故①③正确；

,/根据抛物线开口方向得a<0,利用对称轴在y轴的右侧得6>0,

ab<0,故②正确；

观察函数图象得到时，抛物线有部分在无轴上方，有部分在X轴下方，则y>0或y=0或y<0,故④

不正确，

故选：C.

二、填空题

7.(23-24九年级上•上海嘉定・期末)将抛物线y=3+x-2/向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达

式是.

［答案］y=—lx"+x+1

【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加减”

进行求解即可.

【解析】解：将抛物线＞=3+尤-2/向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是

y=3+x—2x——2=—2厂+x+1,

故答案为：，=-2尤2+x+i.

8.(23-24九年级上.上海嘉定.期末)如果抛物线y=f+c经过两点4(2,1)和3(1,6),那么6的值是.

【答案】-2

【分析】本题考查待定系数法求函数解析式.将点A的坐标代入解析式求出。的值，再把点B的坐标代入,

求出6的值即可.

【解析】解：把4(2,1),代入y=/+c,得：。=一3,

y=x2—3,

把3(1/),代入产元2-3,得：b=-2；

故答案为：-2.

9.(23-24九年级上.上海嘉定・期末)二次函数＞一2x+根图像的最高点的横坐标是.

【答案】-1

【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数解析式化为顶点式，由此即可得出答案，熟练掌握二次

函数的性质是解此题的关键.

【解析】解：；y=-/一2尤+m=-(x?+2x)+加=-(尤+1)~+根+1,

.,•二次函数y=-x2-2x+m图像的最高点的横坐标是-1,

故答案为：T.

10.(23-24九年级上•上海奉贤・期末)已知抛物线y=(a-2)--x开口向上，那么。的取值范围

是.

【答案】a＞2/2＜a

【分析】本题主