2026人教A版高考数学一轮复习专练：导数与函数的最值

第5节导数与函数的最值

考试要求1.理解函数最值与极值的关系.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值.

3.了解最值在现实生活中的应用.

■知识

【知识梳理】

1.函数人x)在区间［a,加上有最值的条件：

如果在区间3,加上函数y=/(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大

值和最小值.

2.求y=/(x)在区间［a,加上的最大(小)值的步骤：

(1)求函数y=/(x)在区间(a,。上的极值;

(2)将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值血)，也)比较，其中最大的一个是最

大值，最小的一个是最小值.

［常用结论与微点提醒］

1.若函数在开区间(a,与内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点.

2.若函数在闭区间［a,切内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点.

3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，

不可想当然认为极值就是最值.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.()

(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.()

(3)函数人x)在区间(a,6)上不存在最值.()

(4)连续函数人x)在区间［a,加上一定存在最值.()

答案(1)X(2)V(3)X(4)V

解析(1)反例：有极值的函数不一定有最值，如图所示，函数4x)有极值，但没

有最值.(3)反例：兀0=/在区间(-1,2)上的最小值为0.

g,r\o/;.

7\Jb%

2.(选修二P98T6改编)已知火x)=/—12x+l,%e-1,1,则人功的最大值为

,最小值为..

134

答案方-10

解析/(X)=3X2-12=3(X-2)(X+2),

因为x©—1,1,所以/(x)<0,

故於)在［―/1］上单调递减，

所以五x)的最大值为(一；)=詈，最小值为五1)=—10.

3.函数人x)=$的最大值为.

答案

--%2—2x4nxi—

———%1—21nx

角牛析由越传/(%)=~A=-3(%>0).

Ji人

令/(x)>0,解得0<x<#；

令/(x)<0,解得x>嗜.

所以函数Hx)的单调递增区间为(0,#),单调递减区间为(嗜，+8),

所以函数人》)=¥的最大值人加)=呼=5.

4.若函数火x)=gx3—4x+机在［0,3］上的最大值为4,则加=.

答案4

解析了(%)=/—4,%e［0,3］,

当%£［0,2)时,/(x)<0；

当xG(2,3］时，f(x)>0,

所以人x)在［0,2)上单调递减，在(2,3］上单调递增.

又K0)=m,汽3)=—3+帆在［0,3］上，»max=X0)=4,

所以m=4.

■考点聚焦突破

考点一求已知函数的最值

例1(1)函数7(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2兀］上的最小值、最大值分别为

()

7171

A—2

C-1,升2D•-拳2+2

答案D

兀

解析/(%)=—sinx+sinx+(x+l)cos^=(x+l)cosx,令/(x)=0,解得x=］,x

=:或x=—1(舍去)，所以在区间(o,野和竹，2兀)上/(x)>0,於)单调递增；在

区间(f，为上了(工)<0,汽x)单调递减.

又五0)=<2兀)=2,用三+2,腭)=一仔+1)+1=一:，

所以於)在区间［0,2兀］上的最小值为一:，最大值为什2,故选D.

•X—CL

⑵已知函数火X)=^——Inx(aGR).

①讨论;(x)的单调性；

②求人x)在7-e上的最大值g(a).

n—x

解①函数人劝的定义域为(0,+8),/(X)=T，

若aWO,则/(x)<0在(0,+8)上恒成立，

所以兀V)在(0,+8)上单调递减；

若t?>0,则当x>a时，/(x)<0；

当0<x<a时，/(x)>0,

所以人x)在(0,0上单调递增，在(a,+8)上单调递减.

„a-x

当aW：时，八》)在T,e上单调递减，

所以«r)max=心)=2—ae；

当:<a<e时，火x)在9，。上单调递增，在［a,e］上单调递减，

cL_D_

所以《/(%)max=/(〃)=-InCl；

当aNe时，於)在T,e上单调递增，

所以汽X)max=/(e)=一

ra、

〃与e,

-

综上，g(〃)=<lna,c

2—〃e,.

ve

感悟提升求函数/(x)在［a,加上最值的方法

(1)若函数在区间［a,加上单调递增或递减，汽a)与五?一个为最大值，一个为最小

值.

⑵若函数在闭区间［a,口内有极值，要先求出［a,加上的极值，与人a),4。)比较，

最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.

训练1(1)函数八x)=e'—x(e为自然对数的底数)在区间［—1,1］上的最大值是

答案e-1

解析f(x)=e-l,令/(x)>0,得无>0,令了(x)<0,得xVO,则函数为)在［-1,

0)上单调递减，在(0,1］上单调递增，且4-1)=院1+在Ol)=e-1,A-1)-/1)

=1+2-e<|+2-e<0,所以火1)〉火一1).

(2)已知函数人x)=@2-2x)ex(x©R,e为自然对数的底数).

①求函数人x)的单调区间；

②求函数人x)在区间［0,河上的最大值和最小值.

解①/(x)=(%2—2x)e》,

求导得了(x)ne，。2—2),ex>0,

令/(x)=ex(f—2)>0,即％2—2>0,

解得x<—表或x>^2.

令2)<0,即％2—2<0,

解得—巾＜x＜yj2.

所以函数1X）的单调递增区间为（一8,—6）,（、R,+8）,单调递减区间为（一6,

6

②（i）当6时，因为人X）在［―/，啦］上递减，所以五X）在区间［0,m］±

的最大值为汽0）=0,最小值为4m）=（加2—2机）e。

（ii）当也＜mW2时，因为危）在［一也，也］上递减，於）在［也，+8）上递增，且

»=/2）=0,

所以Xx）在［0,河上的最大值为X0）=0,最小值为4血）=（2—26）外「

（iii）当机＞2时，因为汽x）在［一止，也］上递减，人x）在［、”，+8）上递增，且向功

＞0=»,所以於）在［0,刈上的最大值为角71）=（源一2加）即，最小值为4\"）=

（2—2-\［2）eyp.

考点二由函数的最值求参数

例2已知函数火%）=（4%2+4以+。2）5，其中。＜0.若H工）在区间［1,4］上的最小值

为8,求。的值.

(10x+a)(2x+a)

解a<09

由/（x）=0得x=一木或％=—2,

当x©（0,一卷）和（―*+8）时，次X）单调递增;

当x©（一%,甘）时，加）单调递减.

易知於）=（2%+科。＞0,且火一多=0.

⑴当一畀1,即一2Wa＜0时，

人x）在［1,4］上的最小值为人1）,

由汽l）=4+4a+/=8,得。=±2陋一2,

均不符合题意.

(2)当IV—畀4,即一8WaV—2时，於)在［1,4］上的最小值为八一多=0,不符

合题意.

⑶当一44,即a<—8时，危)在［1,4］上的最小值可能在x=l或x=4处取得，

而人1)W8,

由次4)=2(64+16。+/)=8得

«=—10或a=-6(舍去)，

当a=-10时，加)在口,4］上单调递减，

兀0在［1,4］上的最小值为C4)=8,符合题意.

综上，a——10.

感悟提升若所给函数人x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调

性，从而得到函数人x)的最值.

训练2(1)已知函数«x)=lnx+ta存在最大值0,则。=.

答案一)

解析因为了(x)=J+a,x>0,

所以当。三0时，〃x)>0恒成立，故人X)单调递增，不存在最大值，

当。<0时，令/(x)=0,得》=一十，

所以当x©(0,一《J时，/(x)>0,函数单调递增，

当工©［一1,+8)时，/(沙<0,函数单调递减，

所以»max={-^=ln［-^-l=0,

得a=一

(2)函数兀0=—1%3+x在(a,10—次)上有最大值,则实数。的取值范围是..

答案L2,1)

解析由于/(%)=—/+1,

易知汽X)在(一8,—1)和(1,+8)上单调递减，在(—1,1)上单调递增，

故若函数兀r)在(a,10—/)上存在最大值，

"VI,

则｛10-«2>1,即一2Wo<L

1/(1)讨(a),

考点三生活中的优化问题

例3我国是一个人口大国，产粮、储粮是关系国计民生的大事.现某储粮机构拟

在长100米，宽80米的长方形地面建立两座完全相同的粮仓(设计要求：顶部为

圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径为1：10,粮仓高为50米，两座粮仓

连体紧靠矩形一边)，已知稻谷容重为600千克每立方米，粮仓厚度忽略不计，估

算两个粮仓最多能储存稻谷(兀取近似值3)()

A.105000吨B.68160吨

C.157000吨D.146500吨

答案A

解析由于粮仓高50米，顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径为

1：10,

设粮仓顶部圆锥形的高为x米，底面直径为10x米，圆柱的高为(50—力米，两座

粮仓总的容积为V=27i(5x)2-(50—x)+5(5x)2》=1,，2(75一%).

’20xW100,

若靠矩形长边建造,

、10xW80,

所以0<xW5；

20xW80,

若靠矩形宽边建造,

IOXWIOO,

所以0<xW4.

因为卜=100兀(50x—X2),当0Vx<50时，U(x)>0,V(x)在(0,50)上单调递增，

所以x=5时，V(x)取最大值I''；。。",

两个粮仓最多能储存稻谷175；0°"*0.6=105000(吨).

感悟提升解决最优化问题，应从以下几个方面入手：

⑴设出变量，找出函数关系式，确定定义域；

(2)在实际应用问题中，若函数加0在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.

训练3某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为3,海岸

线上距离B处100海里有一原油厂C,现计划在BC之间建一石油管道中转站M.

已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油

厂C修建管道的费用最低，则中转站〃到3处的距离应为()

A.56海里：8.|吸海里

C.5就海里D.1M海里

答案B

解析设3M=x(0<x<100),并设单位长度的费用为1,则4"="100+{,MC

=100—羽

所以总费用为人为=3^/100+^+100-X,

3x

则/⑺

令/(x)>0,则岁<x<100,

即汽x)在陛，100)上单调递增；

令/(x)<0，则0Vx〈工^,

即人x)在10,事上单调递减，

所以当x=岁时，汽沙取得最小值，故选B.

~三次函数的图象和性质微点突破

1.定义

定义1：形如人幻二^^+加^+5+或4中。)的函数，称为"三次函数"；

定义2：三次函数的导数/(x)=3af+2笈+c(aWO),把/=4廿一12ac叫做三次函

数导函数的判别式.

2.性质

⑴单调性

一般地，当属一3acW0时，三次函数火jOua^+bf+cx+dlaWO)在R上是单调

函数；

当b2—3ac>0时，三次函数兀^二^^+加^+⑪+或。。。)在R上有三个单调区间.

(根据。>0,。<0两种不同情况进行分类讨论)

⑵对称中心

三次函数于(x)=tzx3+Z?%2+ex+d(a#O)关于点对称，且对称中心为点

证明：设函数兀^=④^+加^+仁元+或〃^。)的对称中心为(加，n).

将函数的图象进行平移，

则所得函数y=fix+m)—n是奇函数，

所以机)+/(—%+机)-2〃=0,

代入化简得：(3m6z+/?)x2+d!m3+Z2m2+cm+J—n=0,

上式对无金区恒成立，故3加〃+/?=0,

所以函数y(x)=ax3+bx2+cx+d(aW0)的对称中心是(一七，/［一&).

⑶三次函数零点的问题

①当/=4〃-12acW0时，由不等式/(x)20恒成立，函数是单调递增的(a>0),

所以三次函数仅有一个零点.

②当A=^b--12ac>0时，由方程/(x)=0有两个不同的实根xi,及，不妨设xi

<X2,可知，以。>0为例，XI为函数的极大值点，X2为函数的极小值点，且函数

y=/(x)在(一8,xi),(X2,+8)上单调递增，在(xi,X2)上单调递减，此时结合函

数图象可知：

(i)若兀《)：/(%2)>0,即函数y=/(x)的极大值和极小值同号，所以函数有且只有一

个零点；

(ii)^>i)->2)<0,即函数y=/(x)的极大值和极小值异号，函数图象与x轴必有

三个交点，所以函数有三个不同零点;

(iii)^>l)->2)=0,则五XI)与火X2)中有且只有一个值为0,所以函数有两个不同

零y占八、、•

一'三次函数的零点问题

例1已知函数兀十加:2—3x(a,6©R),且兀t)在x=l和x=3处取得极值.

(1)求函数五x)的解析式；

(2)设函数g(x)=/(x)+/,若g(x)=/(x)+/有且仅有一个零点，求实数/的取值范围.

解(l»(x)=3ax2+2foc—3,

因为Xx)在x=l和x=3处取得极值，

(1+3=—刍2/?r_1

3aa—

所以x=l和x=3是方程/(x)=0的两个根，贝H解得3,

1X3=一豆，[b=2

经检验符合已知条件，

所以兀v)=一尹③+2x2—3x.

(2)由题意知g(x)=-F'+ZX?—3x~\~t,

g<x)=—%2+4x—3,

当x>3或x<l时，g\x)<0,

当l<x<3时，g，(x)>0,

所以函数g(x)在(一8,1),(3,+8)上递减，在(1,3)上递增，

所以g(x)极大值=g(3)=/,

4

g(x)极小值=g(D=L],

又X取足够大的正数时，g(x)V0,x取足够小的负数时，g(x)>0,

因此，为使曲线y=g(x)与x轴有一个交点，结合g(x)的单调性，

/、4

得：g(x)极大值=f<0或g(x)极小值——w〉°，

、4

.".t<0或?>2，

4

即当/<0或/时，使得曲线y=g(x)与x轴有一个交点.

二'三次函数的切线问题

例2已知函数八%)=—#-%2+肛+3,在x=0处取得极值.

⑴求m的值；

(2)若过(2,。可作曲线y=/(x)的三条切线，求才的取值范围.

解(1)因为/0)=—#一》2+如:：+3,

所以/(%)=一环2—2x~\~m,

因为五x)在x=0处取得极值，

所以了(0)=机=0•经验证机=。符合题意.

(2)设切点A坐标为(xo,一伊一近十3),

由y(x)=一/%3—N+3,得/(x)=—g2—2x,则/(xo)=-$8—2XO,

所以曲线在点A处的方程为y一(一—x§+3)=(一$8—2xo)(x—xo),

将(2,/)代入切线方程，得4xo+3.

3

令g(x)=x1—4x+3,则g，(x)=f—4,

则g[x)=x2—4=0,解得x=±2.

当x<—2或x>2时，g'(x)>0,

所以g(x)在(一8,-2),(2,+8)上单调递增;当一2<x<2时，gr(x)<0,

所以g(x)在(一2,2)上单调递减.

25

所以g(x)的极大值为g(—2)=不，

7

g(x)的极小值为g(2)=—.

因为有三条切线，

所以方程f=g(x)有三个不同的解，y=t与y=g(x)的图象有三个不同的交点,

725

所以一至.

所以f的取值范围是y）

三'三次函数的对称问题

例3（多选）对于三次函数7（x）=ax3+0x2+cx+d（aW0）,给出定义：设y=/（x）是函

数y=/（x）的导数，1（x）是了（x）的导数,若方程r（x）=0有实数解xo,则称点（xo，汽xo））

为函数y=Hx）的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一

个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数4x）=¥—#+注,

则以下说法正确的是（）

A.函数人x）的对称中心是0）

B.函数人x）的对称中心是'，1）

c［需）+孀力+…+d阖+｛制的值是99

口《击）+/1专）+…+《S+d制的值是1

答案BC

解析/（'^）=3%3—2%2-^12=^/（x）=x2~x=>fff（x）=2x—1,

令,（x）=2x—1=0,解得x=g,/d）=3X（2）3—2X（D2+fl=l,

由题意可知：函数汽X）=gx3—；x2+1|的对称中心为g,1）；

由上述可得汽X）+JQ—x）=2,

设S=/B5Hli疝…+儡+儡）,①

所以有s=（需）+《制+…+/（需+《击），②

①+②得，2s=2+2H---F2+2=2X99=S=99,

即•｛击）+孀。）+…+《制葡的值是"•

训练（1）设三次函数火的uar+Of+cx+l的导函数/（x）=3ax（x—1）,且a>2,

则函数人X）的零点个数为（）

A.OB.1

C.2D.3

答案D

解析由/(x)=3ax(x—1)且。>2知，当OVx<l时,/(x)VO,当x<0或x>l时，

r(x)>o,则函数式力在(一8,0),(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

又了(RMBaf+ZOx+cMBaxa—1),则6=一斗，c=0,则火的二4%3一拳?+1,

所以汽0)=1>0,火1)=。一号+1=1—?<0,

又火—1)=一|。+1<0,汽2)=2a+l>0,

所以函数有三个零点.

(2)已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数

且Mxo,而⑹)为曲线尸危)的对称中心，则必有g，(xo)=O(其中函数g(x)=/(x)).

m3+6m2+13m=10>

若实数m,〃满足4,.9.则m+n=()

.3+6n2+13九=-30,

A.-4B.-3

C.-2D.-1

答案A

解析令火工)=尤3+6/+13羽则/(X)=3X2+12X+13,

设h(x)=f(x)=3f+12x+13,

令砥x)=6x+12=0,解得x=—2,

又八-2)=(—2>+6X(-2)2+13X(—2)=-10,

函数五x)的图象关于点(-2,—10)成中心对称.

fm3+6m2+13m=10,

因为、/+6〃2+13〃=-30,

所以人加)+五〃)=-20,

又/(X)=3/+12X+13=3(X+2)2+1>0,

所以函数人X)=》3+6X2+13X在R上单调递增，

所以m+n=2X(—2)=—4.

(3)已知函数«r)满足火工)+/(—x)=4,已知点

M是曲线y=/U)上任意一点，曲线在〃处的切线为/.

①求切线/的倾斜角a的取值范围；

②若过点P(l,可作曲线y=/(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

解①因为1)+/(—%)=4,则1——ax2+(a—l)x+2——一(a—1)%+2=4,

解得〃=0,

所以/(的二1%3—x+2,则/(1)=元2—1,故曲线八元)的切线斜率左三一1,

tana^—1,

「八兀)「3兀、

・・0£0,2ju彳，兀上

・••切线/的倾斜角的a的取值范围是[。，如停，J

②设曲线y=/(x)与过点尸(1,加)(冽三，的切线相切于点(xo,xo+2),

则切线的斜率为左=x8—1,

所以切线方程为y—[g*—xo+2)=(x3—l)(x—xo),

因为点P(l,在切线上，

所以m—[^x^—xo+=(x§—1)(1—xo),

2

即m=—1,

2

设g(x)=-尹3+f+i,则g'(x)=-2x2+2x=-2x(x-1),

令g<x)=O,解得x=0或x=l,

当xVO或x>l时，g'(x)<0,当0<x<l时，g'(x)>0,

所以gQ)在(一8,0),(1,+8)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

故g(x)的极小值为g(0)=1,

4

极大值为g(D=]，

因为过点P(l,加)(心力可作曲线尸危)的三条切线，

所以方程m=g(x)有三个不同的解，y=m与y=g(x)的图象有三个不同的交点，

_4

所以\<m<y

4

-

所以实数机的取值范围是113

■课时分层精练

【A级基础巩固】

1.已知定义在R上的函数五x),其导函数/(X)的大致图象如图所示，则下列叙述正

确的是()

A.»>»>/c)

B.函数兀0在x=c处取得最大值，在x=e处取得最小值

C.函数火》)在x=c处取得极大值，在龙=e处取得极小值

D.函数火工)的最小值为人4

答案C

解析由题图可知，当xWc时，/(x)>0,

所以函数抵%)在(一8,c］上单调递增，

又a<b<c,所以故A不正确；

因为了(c)=0,/(e)=0,且当xVc时，/(x)>0；

当c<x<e时，f(x)<0；当x>e时，f(x)>0.

所以函数兀0在X=c处取得极大值，但不一定取得最大值，在X=e处取得极小值，

不一定是最小值，故B不正确，C正确；

由题图可知，当dWxWe时，/(x)W0,所以函数<x)在［d,e］上单调递减，从而五①

>»,所以D不正确.故选C.

2.函数4x+4在［0,3］上的最值是()

A.最大值是4,最小值是一件4B.最大值是2,最小值是44

C.最大值是4,最小值是一1D.最大值是2,最小值是一g

答案A

解析因为y(x)=|x3—4x+4,

所以/(x)：%2—4,

由/(%)=%2—4>0,得x>2或》<一2,

由/(x)=f—4<0,得一2VxV2,

所以火x）在［0,2）上单调递减，在（2,3］上单调递增，

4

又人0）=4,H2）=—,八3）=1,

所以人x）在［0,3］上的最大值是4,最小值是一小故B,C,D错误.

b

3.当x=l时，函数4x）=alnx+;取得最大值一2,则了（2）等于（）

A..1B.一3

C.1D.1

答案B

解析因为函数4¥）的定义域为（0,+°°）,

了⑴=—2

所以依题意可知《

/(1)=0,

/?=—2,a=一2

所以

a—b=0,[b=~2,

所以/（x）=_1+］=2（ljx）,

因此函数兀0在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减,

当x=l时取最大值，满足题意.

所以了（2）=—1+3=—3,故选B-

4.（多选）已知函数xGR.下列结论正确的是（）

A.函数人x）不存在最大值，也不存在最小值

B.函数八工）存在极大值和极小值

C.函数人x）有且只有1个零点

D.函数人x）的极小值就是汽x）的最小值

答案BCD

解析/(x)=Ne*,xeR,

则/(x)=x(x+2)ex,

令/(x)<0=—2<x<0,

令/(x)>O=x<—2或x>0,

所以函数人乃在(一2,0)上单调递减，在(一8,-2),(0,+8)上单调递增，且

/(0)=0,y(x)=x2ex>0,如图，所以Xx)min=/(0)=0,函数在x=—2处取得极大值，

在x=0处取得极小值，极小值汽0)即为最小值，且函数有且只有一个零点0.

5.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为

p⑦三20)元，销售量为。件，销售量。与零售价p有如下关系：0=8300—170“

-P2,则这批商品的最大毛禾U润(毛利润=销售收入一进货支出)为()

A.30000元B.60000元

C.28000元D.23000元

答案D

解析设毛利润为乙⑦)，

由题意知L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)=(8300-170/?~p2)(p-20)=-p3-150/?2+

11700p-166000,

所以L'(p)=-3p2-300p+ll700.

令)=0,解得夕=30或p=—130(舍去).

此时，£(30)=23000.

因此当20Wp<30时，L'(p)>0,当2>30时，L'(p)<0,

所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)也是最大值，即零售定价为

每件30元时，最大毛利润为23000元.

6.函数外)=#一sinx,若危)在(0,舒上有最小值，则实数a的取值范围是()

A.(0,+8)B.(0,1)

C.(—8,0)D.(—1,0)

答案A

解析由题意，函数y(x)=Wx2—sinx,可得/(x)=ax—cosx,

若aWO,当9时，可得了(x)<0,於)在［o,1上单调递减，

此时函数1x)在(0,野没有最小值，不符合题意；

若4>0,令1(%)=0,即QX—COSX=0,

画出函数丁=狈与y=cosx的图象，如图所示，

可得存在xo©(o,习,使得/(x())=0,

当x©(0,xo)时，/(x)<0,於)单调递减；当x©(xo,舒时，/(x)>0,於)单调递增,

此时函数兀0在(0,舒上有最小值，符合题意，

综上可得，实数。的取值范围是(0,+8).

7.若函数4x)=ex(—■x2+2x+a)在区间(a,。+1)上存在最大值，则实数a的取值范

围是()

B.(-l,2)

C.ID.三T

答案C

解析因为f(x)=eA(—%2+2x+。―2x+2)=e%—f+a+2),且函数五工)在区间(a,

a+1)上存在最大值，故只需〃(x)=—/+。+2满足/z(a)>0,/i(t/+l)<0,所以

—1

—Q2+Q+2>0,—(〃+1)?+〃+2V0,解得2VQ<2.

Y

8.函数火%)=短，x^［0,3］的最小值为.

答案0

解析由题意可得了(%)=亍.

当xE［0,1)时，/(x)>0；

当xG(l,3］时，/(x)<0.

所以函数兀0在［0,1)上单调递增，在(1,3］上单调递减.

3

又人0)=0,火3)=/,

所以/(X)min=/(0)=0.

9.设函数於）=lnx+ln（2~x）+ax（a>0）,若於）在（0,1］上的最大值为今贝！］a=

答案2

解析・.V(x)=ln%+ln(2—%)+〃%的定义域为(0,2),

,112x—2

a,

•W)=-+^+«=x(x-2)

VxG(0,1],a>0,

.2x—2

•\r(x)=x(尤—2)卜a>0,

・・・山）在（0,1］上单调递增,

故汽X）在（0,1］上的最大值为<1）=。=；,

10.甲、乙两地相距240km,汽车从甲地以速度o（km/h）匀速行驶到乙地.已知汽车

每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为

研

而丽元.为使全程运输成本最小，汽车应以___________km/h的速度行驶.

答案80

解析设全程运输成本为y元，

由题意，得丁=4［160+忌j=240解+温面）°>0,

2P]

6400)

令y=o,得0=80.

当。>80时，y>o；当0<。<80时，y<o.

所以函数丁=11160+打而J在（0,80）上单调递减，在（80,+8）上单调递增，

所以当0=80时，全程运输成本最小.

11.（2024・湖北名校联考）已知函数其中a©R.若人x）的图象在

点（0,五0））处的切线方程为2x+勿+1=0.求：

（1）函数人x）的解析式；

（2）函数Hx）在区间［—3,1］上的最值.

解(1)依题意，汽0)=—1,切点(0,—1)在切线2x+勿+1=0上，则6=1,

/(x)=ev(2x2+ax—1)+e'(4x+a)=&I2%2+(a+4)x+a—l］,

而汽x)的图象在点(0,10))处的切线斜率为一2,则/(0)=a—1=—2,解得a=-1,

所以J(x)=eJC(2x2—%—1).

(2)由(1)知，/(x)=e'Qx2+3x—2)=e\x+2)(2%-1),

由/(x)=0得x=~2或x=1,

当一3Wx<-2或］<%^1时，/(x)>0,

当—2<x<W时，/(x)<0,

所以人x)在［—3,-2),1］上单调递增，在(一2,0上单调递减，

-2091

又火—3)=苫，五一2)=下，虹|=一7,火1)=0,

91

所以人乃在［—3,1］上的最大值为盛，最小值为一唱.

12.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距mm,余下的工程只需建

两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预算，一个桥墩的工程费用为256万元;距离为xm

的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+5)万元/m.假设桥墩等距离分布，所有桥

墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下的工