2026高考数学一轮复习：复数（提高版）解析版

第27讲复数

链教材夯基固本

激活思维

1.已知i为虚数单位，复数z=R，则Z的虚部为（B）

A.0B.-1

C.-iD.1

【解析】因为z=L=2（1_1）=]_j,所以z的虚部为一1.

1+i（l+i）（l-i）

2.（人A必二P94复习参考题1（2））复数工的共轲复数是（B）

i—2

A.2+iB.-2+i

D.2-i

【解析】因为二5(—2—。2-i,所以复数工的共扼复数是一2+i.

i-2(-2+i)(-2-i)1—2

,若Z=一■+”

3.已知i是虚数单位则/=(D)

22

R1g

B.--------1

22

n1应

D.------1

22

【解析】由题可知Z=—-冷

所以z23_

42422

4.（人A必二P80练习T3改）（多选）下列各式计算正确的是（AC）

1+i.

A.-----=i

1-i

B.i(2-i)(l-2i)=2i

C."=1一

3+4i

D.(7+。"=1-3]

-i

【解析】对于A,—=(1+1)(1+1)=i,故A正确.对于B,i(2-i)(l-2i)=(2i-i2)(l

1—i(1—i)(l+i)

-2尸…）（-5,故B错误；对于C,

(—l+i)(2+i)—3+i(—3+i)i

一i,故C正确；对于D,l-3i,故D错误.

—i—i-i2

5.已知i为虚数单位，且zo=f,复数z满足|z—zo|=l,则复数z对应点的轨迹方程

l+2i

为(C)

A.(X-1)2+3+1)2=4

B.(x-l)2+(y-l)2=4

C.(x+l)2+(y+1)2=1

D.(x-l)2+(y-l)2=l

【解析】zo=^——幻。—a1=—1—j.由题意知区―z()|=1,设z=x+yi,x,yGR,

1+2i5

则复数Z对应点的轨迹方程为(尤+1)2+。+1)2=1.

聚焦知识

1.复数的有关概念

(1)定义：形如。+及(a,6CR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=—l,_a_

叫做实部，_力叫做虚部，复数集记作C,即©="区=。+4，a,6GR}.

(2)复数相等：复数zi=a+6i与Z2=c+t/i(a,b,c,dGR)相等u>a=c且6=d.

(3)共辗复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，那么这两个复数叫做互

为共辗复数，即复数z=a+历的共辗复数为z=。一历.

2.复数的分类

对于复数z=a+6i(a,6GR),则z是实数=6=0；z是虚数Q6W0；z是纯虚数Qa=0

且6W0.

3,复数的几何意义

(1)复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x轴叫

做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示虚数.

(2)几何意义：复数z=a+历一二些复平面内的点Z(a,田二二圾向量5k

(3)复数的模：设方=。+历，则向量衣的模叫做复数。+历的模，记作团或|a+历］.由模

的定义知上=|a+6i|=_\/a2+62_.

4.复数的代数运算

已知两个复数2i=a+bi与Z2=c+di(〃，b,c,d£R),那么：

Z1±Z2=(Q±c)+3±t/)i；

z\'zi=(ac—bd)+(ad+bc)\；

z\_a-\~bi(a。+砌

bd)+3c-ai(Z2WO).

z?c+dic2+cP

5.常用结论

(1)(1士i)2=±2i,三=i,E=-i.

1—11+1

(2)i4w=l,i4w+1=i,i4w+2=-l,i4w+3=-i,i4«+i4w+1+i4«+2+i4w+3=0(«FN*).

⑶Z-Z=|z|2=|Z[2,|zE=|z"忸，国="0=限

(4)若0=一1±^i,贝Ijo3±=i/ez),®2+®+l=0.

(5)z=zQZGR.

(6)复数z的方程在复平面上表示的图形

①aW|z|Wb表示以原点。为圆心，以。和6为半径的两圆所夹的圆环;

②匕一(a+历)尸&'>())表示以(a,6)为圆心，r为半径的圆.

研题型素养养成

举题说法

目帧U复数的有关概念

例1(1)(2024・新乡三模)已知z=(l-3i)(a+i)(aeR)为纯虚数，贝Ua=(B)

A.3B.—3

C.一DTA.1

33

a+3=0,

【解析】依题意，z=(tz+3)+(1—3tz)i,由z是纯虚数，得,所以a=一

1—3aW0,

3.

(2)(2024•娄底一模)已知复数2=生叨(aGR)的实部与虚部互为相反数，则复数z对应

2+i

的点在复平面内位于(B)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

a2i

【解析】z=±=^+2i)(2-i)=2^z±2+4^.)其实部为％±2,虚部为口，由题

2+i55555

得瞪+瞪=°,解得6’所以

z=-2+2i,其对应的点为(-2,2),位于第二象限.

<总结提炼A

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件

问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为a+历(a,bdR)的形式，以确定实部和虚部.

变式1(1)(2025•南京零模)(多选)已知复数z,下列结论正确的是(AB)

A.若z+lGR,则zGR

B.若z+iGR,则z的虚部为一1

C.若团=1,则2=±1

D.若Z2£R,则Z£R

【解析】对于A,设z=a+bi,由z+1=(〃+l)+bi£R得6=0,那么2=a+bi也是

实数，故A正确；对于B,设2=a+bi,由z+i=a+(b+l)i£R得b=—1,那么z的虚部

为一1,故B正确；对于C,若2=力则闾=1,此时zW±l,故C错误；对于D,若2=。

Z2=i2=—1为实数，所以Z不一定是实数，故D错误.

(2)(2024・沧州二模)已知(1+。22=2+力则2的虚部为(A)

A.1B.i

C.-D.-i

22

2+i2+i=(2+i)(i)」—2i」j,则%=1+

【解析】由(l+i)2z=2+i,得z

(1+i)22i2i(-i)222

i,所以z的虚部为1.

目帧已复数的运算

例2(1)(2023,全国乙卷理)设z<,贝Iz=(B)

l+i2+i5

A.l-2iB.l+2i

D.2+i

2+i2+ii(2+i)2i-1

【解析】由题意可得z1—2i,则z=l+2i.

l+i2+i51-1+ii2-1

7

(2)(2024・新高考I卷)若——=l+i,则z=(C)

z—1

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

(3)(2025•青岛期初)已知复数2满足(l+2i)2=4+3i,则z的虚部为(A)

A.1B.-1

D.-i

＜总结提炼A

(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.

(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共相复数.

变式2(1)(2023•新高考I卷)已知2=上，贝ijz-z=(A)

2+2i

A.-iB.i

C.0D.1

【解析】因为所以"%z一z=­i.

⑵(2025・临沂期中)(多选)已知z为复数,且z2+z+l=0,则(AD)

A.z3=lB.z+z=1

C.z-z=1D.z-z=1

【解析】设z=〃+bi,a,故(。+历)2+〃+历+1=0,即4+2。历一抉+a+bi+

_1

a=—,

a2—扶+。+1=0,2

2=

1=Q2—ba1+(2ab+b)\0,故解得‘或

2〃b+b=0.

2

21-2，所以

一招=—1,Z—z1

2222

+?=亚z，z

」血1=—1,2—zZ

2

目标闾复数的几何意义

例3(1)(2023•新高考II卷)在复平面内，(l+3i)(3—i)对应的点位于(A)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】因为(l+3i)(3—i)=3+8i—3i2=6+8i,则该复数对应的点为(6,8),位于第

一象限.

(2)(2024•泰州2月调研)若复数z满足|2—l|=|2+i|,则|z—1］的最小值为(B)

B,也

A-2

2

C.1D.也

【解析】设2=%+川，X,y£R.由|z-11=区+i|得A/R—ly+j?=W+g+i'ny=1%,

所以|z—11=\l(x~l)2+y2=\lx2—2x+l+x2=\l2x2~2x+l因此当x=1时,

22

|z—1|取最小值?.

＜总结提炼A

复数的几何意义体现了数形结合思想的运用.处理这类问题常用两种方法：一是利用复

数的代数形式进行求解，即“化虚为实”，思路自然清晰，但运算较复杂；二是利用复数的

几何意义进行求解，简洁明快.另外，关于复数模的问题，一般可化为复平面内两点间的距

离来解决.

变式3(1)(2024•青岛一模)(多选)已知复数z,下列说法正确的是(AC)

A.若z—z=0,贝Hz为实数

B,若z2+z贝！Jz=z=0

C.若|z—i|=L则|z|的最大值为2

D.若区一可=阂+1,则z为纯虚数

【解析】设z=a+6i(a,6GR),则z—a—bi,若z—z=0,即(a+历)一(a—bi)=2bi

=0,即6=0,则Z为实数，故A正确；若Z2+Z2=0,即m+人评+5―所)2=0,化简可得

a2-Z>2+2aM+a2—Z>2—2a/>i=0,BPa2=b2,即a=±6.当a=b时，z=a+ai,z=a-a\,此

时不一定满足z=z=().当°=一%时，z—a—ai,z—a+ai,此时不一定满足2=z=0,

故B错误.若|z—i|=1,即|a+(6—l)i|=\ja2-\-(b—I)2=1,所以<72+(6—1)2=1,即z表不

以(0,1)为圆心，以1为半径的圆上的点，且团表示圆上的点到原点的距离，所以团的最大

值为2,故C正确.若|z—i|=|z|+l,即|z—i|=|a+(Z)—1)i|=~\ja2~\~(b—I)2,|z|+1=~\ja2-\-b2+

1,即—层+(6—i)2=yq2+62+],化简可得6=一1层+4,则0=0且6W0,此时z可能为

实数也可能为纯虚数，故D错误.

(2)(2024・丽水、湖州、衢州二模)若复数z满足网=l(i为虚数单位)，则匕-4+3i|的最

小值是(B)

A.3B.4

C.5D.6

【解析】设2=》+训%,yGR),则iz=i(x+yi)=xi—y,|iz|=|-y+xi\=^x2+(—j^)2=

42+了2.又阿=1,所以出彳7=1,即/+产=1,所以z对应的点(x,y)在以原点为圆心，

1为半径的圆上.匕-4+3i|=|x+yi—4+3i|=Y(x—4y+(y+3)2表示圆x2+y2=1上的点(x,

y)到点(4,—3)的距离，所以|z—4+3i|的最小值是寸(4—0)2+(—3—0)2—1=4.

随堂内化

5(l+i3)

1.(2023•全国甲卷文)=(C)

(2+i)(2-i)

A.-1B.1

C.1-iD.1+i

5(中)=5(1—i-j

【解析】

(2+i)(2-i)5,'

2.(2024•湖北八市3月联考)设复数1+i是关于x的方程ax2-2ax+b=0(a,Z?eR)的一

个根，贝女D)

A.a+2b=0B.a—26=0

C.2a+b=0D.2a-b=0

【解析】将1+i代入方程得q(l+评-2Q(1+i)+b=0,得-2a+b=0,即2a—b=0.

3.（2024•承德、衡水二模）（多选）已知z£C,z是2的共辆复数，贝lj（AB）

ATZ=M，则Z=一

B.若z为纯虚数，则z2<0

C.若z—（2+i）>0,则z>2+i

D.若"={z||z+3i|W3},则集合"所构成区域的面积为6兀

l+3i_(l+3i)2~4+3i—4—7;

【解析】若z则z=4Ji,故A正确.由z为

l-3i(l-3i)(l+3i)55

纯虚数，可设z=6i（6GR,6W0）,所以z2=〃i2,因为j2=—1且6W0,所以z2<0,故B

正确.由z-（2+i）>0,得2=a+:1（0>2）.因为z=a+i（a>2）与2+i均为虚数，所以二者之

间不能比较大小，故C错误.设复数z=a+6i,a,bGR,所以z+3i=a+（6+3）i,由|z+

3i|<3,得02+（6+3）2W9,所以集合/所构成的区域是以（0,—3）为圆心，3为半径的圆，

所以面积为9兀，故D错误.

4.（2025•南京、盐城期末）（多选）设zi,Z2为复数，则下列说法中正确的有（BD）

A.\ZI\+\Z2\~\Z1+Z2\

B.Zl+Z2=Z1+Z2

C.若|Z1|=|Z2>则z，=z3

D.若z?<0,则zi为纯虚数

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I

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一、单项选择题

1.(2024•全国甲卷)若z=5+i,则i(z+z)=(A)

A.lOiB.2i

C.10D.2

2.（2025・泉州期初）若复数2满足（1+次=。一1（其中1是虚数单位，Q£R）,则“|Z|=1

是“。=1”的（B）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解析】由得?如=］，所以

+1,解得a=l或a=—1.故“阂=1”是“a=l”的必要不充分条件.

3.（2024•淮安、连云港期末）若复数z满足（l+i）z=i（i是虚数单位），则z的虚部为

（A）

AB

-2-4

■

【解析】因为(l+i)z=i,所以2='=」口「=匚£=0=1+\，所以复数Z

1+i(l+i)(l-i)1-i21+122

的虚部为上

2

4.（2025•济南期初）若复数z满足（l+2i）-z=2—4i,则|z|=（C）

A.-

2

C.2D.4

2—4i(2—4i)(l—2i)68.

【解析】因为（1+2i>z=2—4i,所以z------1，所以|z|=

l+2i(l+2i)(l-2i)55

郅

th5j=2.

5.（2024•漳州三检）若复数2=^4T，则反一2z|=（C）

B.2

5i5i(3+4i)则所以七=一

【解析】z——-+-i,z=_4_3j,—2z

3-4i(3-4i)(3+4i)555555

1+

+-+-i=l+-i,所以|iz—2z|=?

555

6.（2024•汕头一^莫）在复数范围内，下列命题是真命题的为（D）

A.若zWO,贝ijz—z是纯虚数

B,若z2=—阂2,则Z是纯虚数

C.若z?+z9=0,则Z1=O且Z2=0

D.若Zi,Z2为虚数，则Z1Z2+Z]Z2£R

【解析】对于A,取z=l,则Z=1,所以z—z=0,此时z-Z不是纯虚数，A错

误；对于B,取z=0,则z2=—|z|2成立，但z不是纯虚数，B错误；对于C,取Zi=i,Z2

=1,则z[+zg=0,但Z1W0且Z2W0,C错误；对于D,若Zi,Z2为虚数，设Zi=a+6i,z?

=c+di(%b,c,d£R),贝Uzi=a—bi,z2=c—di,所以Z1Z2+ZiZ2=(〃+bi)(c—di)

+(Q—Z?i)(c+di)=(ac+bd)+(be—ad)\+(ac+bd)+(ad—bc)i=2(ac+bd)R,D正确.

7.(2024•济南、青岛、枣庄三模)已知复数zi,Z2,Z1WZ2,若zi,Z2同时满足|z|=1和|z

-l|=|z-i|,则|Z1—Z2|=(C)

A.1B,3

C.2D.23

【解析】设z=x+yi(x,y£R),则z—l=(x—l)+yi,z—i=x~\-(y—l)i,由团=1和|z

—1|=|z—i\,所以%2+j?=1且(x—I)2-\~y2=(y—l)2+x2,即x2-hy2=1且x=y,解得

所以zi

Z2=Xi]⑺

21=也十啦i（或

2222J,则zi~.Z2=--1--i-

22

Z2=一72—旭。，所以|zi—Z2|=Y（/y+（m）2=2.

二、多项选择题

8.（2025•肇庆期初联考）已知复数z=02—i+（a+i）i,°GR,则下列结论正确的是

（BC）

A.若z为纯虚数，贝Ua=±l

B.若z在复平面内对应的点位于第二象限，则1）

C.若a=0,则z=-1—i

D.若a=0,则团=1

【解析】对于A,若Z为纯虚数，即02—1=0且则。=1,故A错误；对于

.一K0,

B,若z在复平面内对应的点位于第二象限，贝小解得一即°e（—1,

a+l>0,

1）,故B正确；对于C,若a=0,则z=—1+i,z=—I—。故c正确；对于D,若a=0,

则故D错误.

9.（2025•德州期初）若复数z在复平面内对应的点为（1,加）（mdR）,且z-i（i为虚数单位）

的实部为2,则（BD）

A.复数z的虚部为一2i

B.复数z对应的点在第一象限

C.复数z的模为5

D.若复数zo满足|zo|=l,贝收一zo|的最大值为m+1

【解析】因为复数Z在复平面内对应的点为(1,m),所以z=l+冽i,所以Z・i=i(l+加)

2

=i+mi=—m+i9所以加=—2,所以z=l—2i.对于A,复数z的虚部为一2,故A错误；

对于B,复数z=l+2i,其对应的点为(1,2)在第一象限，故B正确；对于C,复数2的

模为|z|='7+(—2)2=示,故C错误；对于D,设复数z,Z0在复平面内对应的点分别为Z,

(

Zo,则Z(l,-2),|OZ0|=1,|00=112+—2)2=/,由复数的几何意义可知，Zo,Z在以

原点为圆心，分别以1,七为半径的圆上运动，故45—1W|Z—ZO|W75+1,所以|z—zo|的最

大值为南+1,故D正确.

10.已知复数Zi,Z2,Z3，下列说法正确的有(ACD)

A.若ziZ1=Z2Z2,则阮尸㈤

B.若z?+z夕=0,则zi=Z2=0

C.若Z1Z2=Z1Z3，贝|JZl=0或Z2=Z3

则日

z1

D.若Z2WO,

z2

【解析】对于A,若Z1Z1=Z2Z2,则㈤2=。|2，所以忻|=析,故A正确.对于B,

令Zi=i,Z2=l,满足条件z++z3=—1+1=0,但Z1WZ2,且均不为0,故B错误.对于C,

因为Z1Z2=Z1Z3,所以Z1(Z2—Z3)=0,所以Zl=0或22—Z3=0,即Zl=0或Z2=Z3,故C正确.对

工rea+6i(a+6i)(c—山)(ac+bd)+(bc-ad)i匕二l_I(ac+bd)—(be—ad)i

J-D，因为(i~~，/TT以~~'-，

Z2c+di(c+di)(c-di)/+，，+解

一历=(a—6i)(c+di)=(ac+6㈤一(6c—所以图=二故D正确

2

z2c~di(c—di)(c+di)c+(fz2

11.(2024・石家庄二模)设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有(BC)

A.若(l+i)2=-i,则团=1

B.对任意复数zi,Z2,\ziZ2\=\zi\,\Z2\

C.对任意复数Zl,Z2,Z1，Z2=Z].Z2

D.在复平面内，若/={z||z—2|W2},则集合M所构成区域的面积为6兀

=—i=—iX(l—i)=T—i

【解析】对于A,由(1+i)z=-i,故|z|=

l+i-(l+i)(l-i)2

T'故A错误；对于B，设zi=a+bi(q,b£R),Z2=c+di(c,d£R),

贝U\ziZ2\=|(。+Z?i)(c+di)\=\ac—bd+(ad+bc)i\=\j(ac—bd)2+(ad+be)2=

\la2c2—2abcd+Z?26/2+a2cP+labed+b2c2=yjc^c2+b1^+c^d1+b2c2,|zi|-|z2|

=Y(Q2+/72)(02+4)=2c2+名屋十。2"+62c2,故匕]Z2]=匕11，区|,故B正确；对于C,设Z1

=a+6i(a"£R),Z2=c+di(c,d£R),有zrz2=(a+bi)(c+di)=ac~bd+(ad+bc)i,则Zi'Z2

=ac-bd一(ad+6c)i,zrz2=(〃-Z>i)(c-di)=ac-bd一(〃d+6c)i,故z「22=zz故

C正确；对于D,设z=x+yi(x,y£R),则有(x—2)2+/<4,集合M所构成区域是以(2,0)

为圆心，2为半径的圆，故5=兀户=4兀，故D错误.

三、填空题

12.(2024•广东大湾区二模)设9£R,i为虚数单位，定义ei&=cos6+i・sin仇则复数

+i的模为回

【解析】依题意，£+i=cos匹+i-sin匹+i=^+：i,所以复数£+i的模为

6622

13.(2025•杭州一模)已知复数zi,Z2的实部和虚部都不为0,且满足：①图=2；②区

=2,则zi=g+Si(答案不唯一),(答案不唯一).(写出满足条件的一组

Z1和Z2)

17•

【解析】设Zi=。+bi,Z2=c+di(abcdWO,a,b,c,d£R),则包=----;=

Z2c+di

(QC+bd)+(be—ad)\

Z1Z2=(a+6i)(c+di)=acbd+(ad+bc)i.由

,+建

|Z1.Cac+bd\?(be—adV

kl=VL2+^J+lc2+^J

22212222

_N(ac+bd^+(be-aeTji2_整理/日tzc+b^+iP-c+ad=4(c+cP),

寸a2c2_|_"摩+62c2+q2/=4,

―c2+^一'

\ziZ2\=\l(ac—bd)2+(ad+be)2=2,

21

日口1层+扶=4(。2+理)，\c+d=l,可取a