江苏省高考数学二轮复习 专题六 数列 第1讲 等差数列与等比数列课件-人教版高三全册数学课件

第1讲等差数列与等比数列专题六

数

列板块三专题突破核心考点[考情考向分析]1.数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查.2.等差数列、等比数列主要考查等差、等比数列的通项公式、求和公式以及性质的灵活运用，解答题会以等差数列、等比数列推理证明为主，

要求都是C级.热点分类突破真题押题精练内容索引热点分类突破例1

(2018·江苏南京师大附中模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1,2a2,4a4成等比数列，4b2,2b3，b4成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式；热点一等差数列、等比数列的运算解答解设等差数列an的公差为d(d≠0)，等比数列bn的公比为q(q≠1)，解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1，n∈N*.(2)设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k(i<j<k)，使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值.解答解由(1)得，an＝n，bn＝2n－1(n∈N*)，由ambj，amanbi，anbk成等差数列，得2amanbi＝ambj＋anbk，即2mn·2i－1＝m·2j－1＋n·2k－1.由于i<j<k，且为正整数，所以j－i≥1，k－i≥2，所以2mn＝m·2j－i＋n·2k－i≥2m＋4n，所以m＋n的最小值为6，在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量.思维升华解析答案跟踪演练1

(1)若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列.则数列S1，S2，S4的公比为________.4解析设数列{an}的公差为d，∴(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d).解析答案(2)在公差不为零的等差数列{an}中，a5＝7，且三个数a1，a4，a3依次成等比数列.抽出数列{an}的第1,2,22，…，2n项重新构成新数列{bn}，数列{bn}的前n项和Sn＝____________________.2n＋2－13n－4(n∈N*)解析设数列{an}的公差为d，由a1，a4，a3构造成的等比数列的公比为q.∵a5＝7，∴a1＋4d＝7，∴a1＝－9，d＝4.∴an＝4n－13(n∈N*).由题意，数列{an}中的第2n项即为数列{bn}中的第n＋1项.∴bn＝a2n－1＝4×2n－1－13.∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4×(1＋2＋22＋…＋2n－1)－13n＝4×(2n－1)－13n.∴Sn＝2n＋2－13n－4(n∈N*).热点二等差数列、等比数列的证明证明例2

(2018·宿迁一模)已知数列{an}，其前n项和为Sn，满足a1＝2，Sn＝λnan＋μan－1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R.(1)若λ＝0，μ＝4，bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比数列；证明若λ＝0，μ＝4，则Sn＝4an－1(n≥2)，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝4(an－an－1)，即an＋1－2an＝2(an－2an－1)，所以bn＝2bn－1，

又由a1＝2，a1＋a2＝4a1，得a2＝3a1＝6，a2－2a1＝2≠0，即b1≠0，证明证明若a2＝3，由a1＋a2＝2λa2＋μa1，得5＝6λ＋2μ，a3＝4，所以a1，a2，a3成等差数列，即(n－1)an＋1－(n－2)an－2an－1＝0，所以nan＋2－(n－1)an＋1－2an＝0，相减得nan＋2－2(n－1)an＋1＋(n－4)an＋2an－1＝0，所以n(an＋2－2an＋1＋an)＋2(an＋1－2an＋an－1)＝0，因为a1－2a2＋a3＝0，所以an＋2－2an＋1＋an＝0，即数列{an}是等差数列.数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数.②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*).(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法思维升华证明解答(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值.如果数列{bn}是等差数列，则2b2＝b1＋b3，则t2－16t＋48＝0，解得t＝4或12.数列{bn}是等差数列，符合题意；b2＋b4≠2b3，数列{bn}不是等差数列，t＝12不符合题意.综上，若数列{bn}是等差数列，则t＝4.热点三等差数列、等比数列的综合证明例3在数列{an}中，已知a1＝a2＝1，an＋an＋2＝λ＋2an＋1，n∈N*，λ为常数.(1)证明：a1，a4，a5成等差数列；证明因为an＋an＋2＝λ＋2an＋1，a1＝a2＝1，所以a3＝2a2－a1＋λ＝λ＋1.同理，a4＝2a3－a2＋λ＝3λ＋1，a5＝2a4－a3＋λ＝6λ＋1.又因为a4－a1＝3λ，a5－a4＝3λ，所以a1，a4，a5成等差数列.解答(2)设cn＝

，求数列{cn}的前n项和Sn；解由an＋an＋2＝λ＋2an＋1，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋λ，令bn＝an＋1－an，则bn＋1－bn＝λ，b1＝a2－a1＝0，所以{bn}是以0为首项，λ为公差的等差数列，所以bn＝b1＋(n－1)λ＝(n－1)λ，即an＋1－an＝(n－1)λ，所以an＋2－an＝2(an＋1－an)＋λ＝(2n－1)λ，所以cn＝

＝2(2n－1)λ.Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝2λ＋23λ＋25λ＋…＋2(2n－1)λ.当λ＝0时，Sn＝n；解答(3)当λ≠0时，数列{an－1}中是否存在三项as＋1－1，at＋1－1，ap＋1－1成等比数列，且s，t，p也成等比数列？若存在，求出s，t，p的值；若不存在，说明理由.解由(2)知an＋1－an＝(n－1)λ，假设存在三项as＋1－1，at＋1－1，ap＋1－1成等比数列，且s，t，p也成等比数列，则(at＋1－1)2＝(as＋1－1)(ap＋1－1)，因为s，t，p成等比数列，所以t2＝sp，所以(t－1)2＝(s－1)(p－1)，化简得s＋p＝2t，联立t2＝sp，得s＝t＝p，这与题设矛盾.故不存在三项as＋1－1，at＋1－1，ap＋1－1成等比数列，且s，t，p也成等比数列.数列的综合题，常将等差、等比数列结合在一起，形成两者之间的相互联系和相互转化；有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题.思维升华解答跟踪演练3已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2＋k(n∈N*，k∈R)，且a1＝2，a3＋a5＝－4.(1)若k＝0，求数列{an}的前n项和Sn；解当k＝0时，2an＋1＝an＋an＋2，即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}是等差数列.解答(2)若a4＝－1，求数列{an}的通项公式.解由题意得2a4＝a3＋a5＋k，即－2＝－4＋k，所以k＝2.由2a3＝a2＋a4＋2及2a2＝a1＋a3＋2，得a4＝2a3－a2－2＝2(2a2－a1－2)－a2－2＝3a2－2a1－6，所以a2＝3.由2an＋1＝an＋an＋2＋2，得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝－2，所以数列{an＋1－an}是以a2－a1＝1为首项，－2为公差的等差数列，所以an＋1－an＝－2n＋3(n∈N*).当n≥2时，有an－an－1＝－2(n－1)＋3，于是an－1－an－2＝－2(n－2)＋3，an－2－an－3＝－2(n－3)＋3，…，a3－a2＝－2×2＋3，a2－a1＝－2×1＋3，叠加得，an－a1＝－2[1＋2＋…＋(n－1)]＋3(n－1)(n≥2)，又当n＝1时，a1＝2也适合上式.所以数列{an}的通项公式为an＝－n2＋4n－1，n∈N*.真题押题精练答案解析1234532解析设数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠1)，123452.(2018·江苏)已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}.记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞12an＋1成立的n的最小值为________.答案解析271234512345解析经过列举计算可知而a27＝43.12a27＝516，不符合题意.a28＝45,12a28＝540，符合题意.∴使得Sn＞12an＋1成立的n的最小值为27.答案解析12345412345解析设等差数列{an}的公差为d，所以b7＝a7＝2.因为数列{bn}是等比数列，12345答案解析12345解析∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn－Sn－1＝－2SnSn