2024-2025学年海南省创新中学协作校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年海南省创新中学协作校高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为(

)A.12种 B.7种 C.4种 D.3种2.已知函数f(x)=x+lnx，则f′(1e)的值为A.1−e B.−1 C.1+e D.13.在等差数列{an}中，a5=8，A.1 B.2 C.3 D.44.函数f(x)=ex−ex的最小值为A.−e B.−1 C.0 D.15.现要用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色.已知这4个区县的连接关系如下：区A与区B、区C相邻；区B与区A、区D相邻；区C与区A、区D相邻；区D与区B、区C相邻.则共有(    )种不同的着色方法．A.72 B.84 C.96 D.1806.甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为35，310，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为(

)A.712 B.79 C.237.已知函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x−1，且f(0)=1，设数列{an}满足a1=1，当n≥2时，an=1A.1−1n B.2−1n8.定义在(0,+∞)的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知xf′(x)−f(x)=x3且f(1)=0，则下列结论正确的是(

)A.f(x)在(0,+∞)单调递增 B.f(x)在(0,+∞)单调递减

C.f(x)在(0,+∞)上有极小值 D.f(x)在(0,+∞)上有极大值二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.(x+2xA.展开式共7项 B.含x项的系数为480

C.无常数项 D.所有项的二项式系数之和为12810.设函数f(x)=ex−e−x−2xA.f(x)是奇函数 B.f(x)在R上是单调函数

C.f(x)的最小值为1 D.当x>0时，f(x)>011.设函数f(x)=3x+22x+3，数列{xn}满足x1A.x2=1312 B.f(xn)+f(1x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量ξ满足P(ξ=i)=4−i6(i=1,2,3)，则E(ξ)=______；D(ξ)=13.已知曲线y=ln(x+1)在点(0,0)处的切线与曲线y=x2+kx相切，则常数14.已知等差数列{an}的公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1,ab2,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的公差为−2，{bn}是等比数列，a2b2=2a2b1=2b3=4．16.(本小题15分)

为普及学生对AI工具的使用，某校开展了关于AI运用知识的竞赛活动，经过多轮比拼，甲乙两人进入决赛，在决赛中有两道题：一道为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为12；另一道为必答题，甲、乙两人都要回答，已知甲能正确回答每道题的概率均为23，乙能正确回答每道题的概率均为34，且甲、乙两人各题是否答对互不影响．

(1)求抢答题被回答正确的概率；

(2)记正确回答必答题的人数为X，求X17.(本小题15分)

已知函数f(x)=a(x+1)ex．

(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；

(2)若方程f(x)+x218.(本小题17分)

已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+3⋅2n+1．

(1)证明：数列{an2n}为等差数列；

(2)设bn=(n+1)an19.(本小题17分)

若函数f(x)的导函数f′(x)满足f(x)+x(x+1)f′(x)>0对x∈(12,+∞)恒成立，则称f(x)为T函数．

(1)试问g(x)=lnx是否为T函数？说明你的理由．

(2)若f(x)=x2−ax为T函数，求a的取值范围．

(3)若f(x)为参考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.B

6.D

7.D

8.C

9.CD

10.ABD

11.ACD

12.53

513.1

14.120

15.解：(1)等差数列{an}的公差d为−2，{bn}是等比数列，a2b2=2a2b1=2b3=4，

设{bn}的公比为q，

所以q=b2b1=2，故bn=b3qn−3=2n−2．16.(1)根据题意，设“甲抢到抢答题“为事件M，“抢答题被回答正确“为事件N，

甲、乙两人抢到的概率均为12，则P(M)=P(M−)=12，

P(N|M)=23，P(N|M−)=34，

故P(N)=P(M)P(N|M)+P(M−)P(N|M−)=1724；

所以抢答题被回答正确的概率为1724．X012P151期望E(X)=0×117.解：(1)已知函数f(x)=a(x+1)ex．

当a=1时，f(x)=x+1ex，f′(x)=−xex，

令f′(x)=0，解得x=0，

当x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

所以函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．

(2)方程f(x)+x2=a(x+1)ex+x2=0，

当x=−1时，方程左边为0+1=1≠0，

所以x≠−1；

当x≠−1时，方程化为a=−x2exx+1，

令g(x)=−x2exx+1，

则g′(x)=−xex(x2+2x+2)(x+1)2，

当x<0且x≠−1时，g′(x)>0，g(x)在(−∞,−1)和(−1,0)上单调递增，

当x>0时，g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)上单调递减，

x→−∞时，g(x)→0；x→−1−时，g(x)→+∞；x→−1+时，g(x)→−∞；18.解：(1)证明：因为an+1=2an+3⋅2n+1，即an+12n+1−an2n=3，

所以数列{an2n}是以1为首项，3为公差的等差数列．

(2)(i)由(1)知an2n=1+(n−1)⋅3=3n−2，

所以an=(3n−2)⋅2n，bn=(n+1)an3n−2=(n+1)⋅2n，

所以Sn=2⋅21+3⋅22+4⋅23+⋯+n⋅19.解：(1)g(x)=lnx是T函数，理由如下，

令函数ℎ(x)=g(x)+x(x+1)g′(x)=lnx+x(x+1)⋅1x=x+lnx+1，x>12，

由于函数y=x+1、函数y=lnx在区间(12,+∞)上为增函数，因此ℎ(x)在区间(12,+∞)上为增函数，

因此ℎ(x)>ℎ(12)=12+ln12+1=32−ln2>0，

因此g(x)=lnx是T函数．

(2)由于函数f(x)=x2−ax，那么导函数f′(x)=2x−a，

函数p(x)=f(x)+x(x+1)f′(x)=x2−ax+x(x+1)(2x−a)=x[2x2+(3−a)x−2a]，

设函数q(x)=