2.1等式与不等式性质（第1课时）（教学设计）数学人教A版2019

2.1等式与不等式性质（第1课时）教学设计教学内容本节是第二章“一元二次函数、方程与不等式”的起始课，聚焦等式与不等式的基本性质。教材通过生活实例抽象出不等关系，引导学生掌握不等式的性质、推论及应用，为后续解不等式、基本不等式奠基。内容解析等式与不等式是数量关系的两种基本语言。等式性质是学生初中熟悉的“工具”，但常停留在“操作”层面，缺少“条件—结论”意识；不等式性质是高中新知，符号方向、乘负数变号、同向可加不可减等细节容易出错；本节既为后续“基本不等式” “一元二次不等式”奠基，又提供了“类比—猜想—验证”的数学建模范例。教学目标1.掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2.进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． 3.通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。目标解析达成上述目标的标志是：能独立完成“限速40km/h”等生活问题的不等式建模。准确用作差法比较x2+1与在小组合作中，能举例验证不等式性质的合理性（如传递性）。等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.基于以上分析，确定本节课的教学重点：掌握不等式性质及其应用；不等式性质的探究与应用（如传递性、可加性、可乘性）。教学难点：不等式性质的条件限制（如乘负数时不等号方向改变）及实际问题的建模转化。课堂导入1情境1：奶茶店“第二杯半价”【教师展示广告】“所有顾客购买第二杯奶茶一律半价！”追问：若广告语是假的，如何否定？（引出“存在一位顾客第二杯不半价”）【设计意图】用商业广告激发兴趣，自然过渡到“全称命题的否定”，为类比不等式性质埋下伏笔。【教学建议】追问学生：“半价”是否包含“免费”？强化“≤”与“<”的区别。情境2：电梯限载标志【展示图片】电梯口标“限载8人，总重不超过1000kg”。问题链：如何用不等式表示“总重不超过1000kg”？（设总重为W，则W≤若改为“限载8人且总重至少800kg”，如何列式？（W≥【设计意图】通过身边场景抽象不等关系，突出“文字→符号”的转化过程。【教学建议】让学生现场估算自身体重，计算电梯满载时的总重范围，强化数据意识。温故知新活动：回顾等式性质（如等式两边加同数仍相等），类比猜测不等式性质。【设计意图】利用正迁移，降低新知难度。【教学建议】板书等式性质，学生分组改写为不等式形式（如a>导入新知大家知道，相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系．例如长与短、远与近的比较；例如同学们之间高与矮、轻与重的比较；例如国家人口的多少、面积的大小的比较；再例如新冠疫苗接种速度的快与慢的比较．正所谓，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．问题1生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志，你知道它们的含义吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？探究点1：不等式性质的“等式迁移”问题2你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．①你能写出其他的可能情况吗？①你能写出其他的可能情况吗？以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式．接着，就可以用不等式研究相应的问题了．探究点2：不等式性质问题3某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围．如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．知识梳理常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤注意点：(1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致．(2)用适当的不等号连接．(3)多个不等关系用不等式组表示．实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．关于实数大小的比较，有以下基本事实：这个基本事实可以表示为从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”探究点3：作差法比较大小分析：通过考查这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．这是解决不等式问题的常用方法．注意点：(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小．(3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小．典例分析探究图2.13是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？问题4你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？提示设直角三角形的两条直角边的长为a，b(a≠b)，则正方形的边长为eq\r(a2＋b2).这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b2>2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab.于是就有a2＋b2≥2ab.问题5你能证明问题4中得到的不等式吗？事实上，利用完全平方公式，得反思感悟用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．(2)适当地设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．1.公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（

）【答案】B【知识点】用不等式表示不等关系【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案.故选：B.【答案】A【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】根据不等式的性质可判断.故选：A.3.下列结论不正确的是A．若a＞b，c＞0，则ac＞bc B．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c【答案】D【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、判断命题的真假【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于选项A：由于a＞b，c＞0，根据不等式性质2，则ac＞bc，故正确.对于选项B：由于a＞b，根据不等式性质1，则a﹣c＞b﹣c，故正确.对于选项C：由于ac2＞bc2，根据不等式性质2，则a＞b，故正确.对于选项D：当a＝0，b＝﹣1时，没有意义，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查判断命题的真假，熟记不等式的性质，灵活运用特殊值法处理即可，属于常考题型.【答案】D【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【解析】因为该题为选择题，故可以用特值法，取符合条件的，代入进行比较即可.故选：D.【点睛】本题主要考查不等式比较大小，属于基础题.【答案】C【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】通过特殊值判断A，B，D，由不等式的性质判断C即可故选：C6.已知a＞b，则下列不等式一定正确的是（）【答案】C【知识点】由不等式的性质证明不等式、由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】分别找到特例，说明A，B，D三个选项不成立，从而得到答案.所以正确答案为C项.【点睛】本题考查不等式的性质，通过列举反例，排除法得到答案，属于简单题.【答案】A【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】对于A，举例判断，对于BCD，利用不等式的性质判断.故选：A.【答案】A【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确故选：A.9.(多选题)若x<a<0，则下列不等式不一定成立的是（

）A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax【答案】ACD【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】利用作差法比较得出B选项正确，即可判定选项.【详解】∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2，∴x2>ax>a2，故选项B一定成立.故选：ACD．【答案】CD【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确故选：【点睛】本题考查了不等式正误判断，意在考查学生对于不等式性质的综合运用.【答案】C【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】对A、D，可借助特殊值法举出反例即可得；对B、C，借助不等式的基本性质即可得.故选：C.【答案】B【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【解析】根据不等式的性质分析ABC，采用举例的方式分析D，由此得到正确的结果.故选：B.3.（2025高一·上海·专题练习）下列说法不正确的是（

）【答案】A【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小【分析】根据不等式的性质一一判断即可.故选：A【答案】C【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确故选：C1．知识清单：(1)用不等式(组)表示不等关系．(2)作差法比较大小．(3)重要不等式．2．方法归纳：作差法．3．常见误区：实际问题中变量的实际意义．2.

不等式的基本性质3.重要不等式它有两个常见的变式:(1)整理本节课的题型；(2)课本P39的练习1~3题；(3)课本P42的练习1~2题；(4)课本习题2.1的3、4、5、6、7、8题.附教材P39练习及参考答案练习（第39页）1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：（1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度从地面算起不能超过4m；（2）与的和为非负实数；（3）如图，在一个面积小于350的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长大于宽的4倍．【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。