第03讲角平分线（知识解读题型精讲随堂检测）

第03讲角平分线知识点1：尺规作图作角平分线知识点2：角平分线的性质定理知识点3：角平分线的判定定理角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。【题型1：角平分线的性质定理的应用】【典例1】（2425七年级下·湖南衡阳·期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上．若OD=6，△POD的面积为9，则PC的长为（

）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点P作PE⊥OB于E，根据三角形面积公式求出PE，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键．【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PC，∵OD=6，S△POD∴S∴PE=3，∴PE=PC=3．故选：A．【变式1】（2425八年级下·河南·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB=6，CD=2，则△DBE的面积为（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得DF=CD=2，由线段中点可得BE=1【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴DF=CD=2，∵点E为AB的中点，AB=6，∴BE=1∴△DBE的面积=1故选：A．【变式2】（2425八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点D是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC面积为27cm2，点D到边AC的距离是3cmA．18cm B．9cm C．36cm【答案】A【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作DE⊥AB，DF⊥AC，DG⊥BC，根据角平分线的性质得到DE=DF=DG，再根据三角形的面积公式计算，即可得解．【详解】解：作DE⊥AB，DF⊥AC，DG⊥BC，∵点D是△ABC的三个内角平分线的交点，∴DE=DF=DG，∵点D到边AC的距离是3cm∴DF=3∵△ABC面积为27cm即12∴1AB+AC+BC=27×2即△ABC的周长为18cm故选：A．【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN=3，AD=4MD【答案】9【分析】本题考查了尺规作图作已知角的平分线，角平分线的性质，根据作图步骤可判断BM平分∠ABC，根据角平分线的性质可得出MD=MN=3，结合已知即可求解．【详解】解∶由作图知∶BM平分∠ABC，∵MN⊥AB，MD⊥BC，MN=3，∴MD=MN=3，又AD=4MD，∴AD=12，∴AM=AD−MD=9，故答案为∶9．【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】【典例2】（2425七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（

）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【答案】D【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解．【详解】解：如图所示，根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点P1∴可供选择的地址有4个，故选：D．【变式1】（2425八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（

）A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处C．三条高线的交点处 D．以上都不对【答案】A【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点．故选：A．【变式2】（2324八年级上·辽宁盘锦·期末）纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（

）A．△ABC的三条高线的交点 B．△ABC的三条中线的交点C．△ABC的三条角平分线的交点 D．△ABC的三边垂直平分线的交点【答案】C【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案．【详解】解：∵到三条道路的距离相等的物流仓储基地，∴这个基地应该建在△ABC的三条角平分线的交点，故选：C．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上。重要拓展：1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。∵AD是∠BAC的角平分线；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC【题型3：角平分线的性质的判定】【典例3】（2223八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，∠【答案】见解析【分析】根据D是BC的中点得BD=CD，根据DE⊥AB，DF⊥AC得根据DE⊥AB，DF⊥【详解】解：∵D是BC的中点，∴BD=∵DE⊥AB，∴∠BED在△BDE和△∠∴△BDE∴DE=∵DE⊥AB，DF∴AD是△ABC【点睛】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意掌握角平分线的判定，全等三角形的判定与性质．【变式1】（2324八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线交于点D，过点D作DE⊥AM，DF⊥AN，垂足分别为E，F．(1)若∠A=60°，∠ABC=50°，求∠BCD及∠BDC的度数；(2)连接AD，判断AD是否平分∠BAC？并说明理由．【答案】(1)∠BCD=55°，∠BDC=60°(2)AD平分∠BAC，理由见解析【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题的关键．（1）根据三角形的外角可以得到∠BCN和∠CBM的度数，然后根据角平分线的定义得到∠BCD=12∠BCN（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，根据角平分线的性质得到DE=DH=DF，再根据角平分线的判定即可得到结论．【详解】（1）∵∠A=60°，∠ABC=50°，∴∠BCN=∠A+∠ABC=110°，∠CBM=180°−∠ABC=130°.∵CD平分∠BCN，BD平分∠CBM，∴∠BCD=12∠BCN=55°∴∠BDC=180°−(∠BCD+∠CBD)=60°；（2）AD平分∠BAC；理由：如图，过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵BD平分∠CBM，DE⊥AM，DH⊥BC，∴DE=DH.∵CD平分∠BCN，DF⊥AN，DH⊥BC，∴DF=DH，∴DE=DF，∴AD平分∠BAC.【变式2】（2425八年级上·广东惠州·期中）如图，在△ABC中，AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．(1)求证：BP为∠MBN的平分线．(2)求证：∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了角平分线的判定和性质性质，三角形外角的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．（1）过点P作PD⊥BM，PE⊥AC，PF⊥BN，根据角平分线的性质，得出PD=PF，即可证明结论；（2）由三角形外角的性质和角平分线的定义，得到∠PAC=∠MAP=∠ABP+∠APB，∠PCA=∠NCP=∠CBP+∠BPC，进而得到∠PAC+∠PCA=∠ABP+∠CBP+∠APC，再结合∠ABP=∠CBP=1【详解】（1）证明：如图，过点P作PD⊥BM，PE⊥AC，PF⊥BN，∵AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，∴PD=PE，PE=PF，∴PD=PF，∵PD⊥BM，PF⊥BN，∴BP为∠MBN的平分线；（2）解：∵∠MAP是△ABP的外角，∠NCP是△BCP的外角，∴∠MAP=∠ABP+∠APB，∠NCP=∠CBP+∠BPC，∵AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，∴∠PAC=∠MAP=∠ABP+∠APB，∠PCA=∠NCP=∠CBP+∠BPC，∴∠PAC+∠PCA=∠ABP+∠APB+∠CBP+∠BPC=∠ABP+∠CBP+∠APC，∵BP为∠MBN的平分线，∴∠ABP=∠CBP=1∴∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC．【变式3】（八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求证：AD平分∠CAB．【答案】见解析【分析】利用HL证明Rt△BDE≌Rt△FDC，得到DE=DC，即可得到AD平分∠CAB．【详解】证明：∵DE⊥AB，∴∠BED=∠C＝90°，在Rt△BDE和Rt△FDC中{BD=DF∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴DE=DC，∵DE⊥AB，DC⊥AC，∴AD平分∠CAB．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是熟记全等三角形的判定定理．【题型4：角平分线的性质的判定和性质综合】【典例4】（2425八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB，(1)求证：BO平分∠ABC；(2)若AC=6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长．【答案】(1)证明见解析(2)21【分析】（1）如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，由角平分线的性质可得OF=OG，OH=OG，进而得OF=OH，再根据角平分线的判定即可求证；（2）由△AOC的面积为12可得OG=OF=OH=4，再根据S△ABO+S本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分别为点F、G、H，∵AO平分∠CAD，CO平分∠ACE，∴OF=OG，OH=OG，∴OF=OH，∵OF⊥BD，OH⊥BE，∴点O在∠ABC的角平分线上，即BO平分∠ABC；（2）解：∵△AOC的面积为12，∴12∵AC=6，∴12∴OG=4，∴OF=OH=OG=4，∵S△ABO∴12即12∴AB+BC=15，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=15+6=21．【变式1】（2324八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB、∠CBA的角平分线相交于点E．

(1)求证：点E在∠A的平分线上；(2)过点E作ED⊥BC于点D，ED=4，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为__________．【答案】(1)见解析(2)18【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定，对于（1），先作辅助线，根据角平分线的性质得ED=EF=EG，再根据角平分线的判定定理得出答案；对于（2），结合（1）图，根据大三角形的面积等于3个小三角形的面积列出算式，可得答案．【详解】（1）证明：过E作ED⊥BC于D，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，

∵∠ACB、∠CBA的角平分线相交于点E，∴ED=EF=EG，∴点E在∠A的平分线上；（2）解：∵∠ACB、∠CBA的角平分线相交于点E，点E在∠A的平分线上，ED⊥BC于D，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，∴ED=EF=EG.∵ED=4，△ABC的面积为36，∴=1∴AB+BC+AC=18.故答案为：18．【变式2】（2324八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，

(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC=16，DE=4，BE=2，求四边形AFDB的面积．【答案】(1)见解析(2)52【分析】（1）先根据HL证明Rt△DEB≌Rt△DFC，则可得DE=DF，再根据角平分线的判定方法即可证明AD（2）先根据HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，则可得S△ADE=【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△DEB和RtBD=CDBE=CF∴Rt∴DE=DF，∴AD平分∠BAC．（2）∵在Rt△ADE和RtAD=AD,DE=DF，∴Rt∴S∴S∵Rt∴DF=DE=4,CF=BE=2，∴AF=AC−CF=16−2=14，∴SS△BDE∴S【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，HL定理及用割补法求四边形的面积．熟练掌握以上知识是解题的关键．（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于123、画射线OC，射线OC即为所求。【题型5：尺规作图角平分线】【典例5】（2425七年级下·河南周口·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°．(1)请用无刻度直尺和圆规作∠ABC的平分线，与边AC交于点D（保留作图痕迹，不写作法）．(2)在（1）的作图下，若△ABC的面积是24，AB+BC=16，求CD的长．【答案】(1)图见解析(2)CD=3【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，等积法求出线段的长，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键：（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；（2）根据角平分线的性质，得到D到AB的距离等于CD的长，分割法求三角形的面积，进行求解即可.【详解】（1）解：由题意，作图如下：（2）∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴点D到BC,AB的距离相等，均为CD的长，∵S△ABC=S∴CD=3.【变式1】（2425七年级下·河南驻马店·期末）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD⊥BC，(1)求作：△ABC的角平分线AE；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)求∠BAC与∠EAD的度数．【答案】(1)见解析(2)60°；10°【分析】本题考查作图—作角平分线、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法是解题的关键．（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；（2）由三角形内角和定理可得∠BAC的度数，由角平分线可得∠BAE，进而可求得∠EAD的度数．【详解】（1）解：AE为即为所求：（2）∵∠B=50°，∠C=70°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−50°−70°=60°，∵AE是角平分线，∴∠BAE=1∵AD⊥BC，∴∠BDA=90°∴∠BAD=90°−∠B=90°−50°=40°，∴∠EAD=∠BAD−∠BAE=40°−30°=10°．【变式2】（2425九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在△ABC中.(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD交BC于点D.（保留作图痕迹，不写作法）(2)若AB=8，AC=6，△ABD的面积为12，求△ABC的面积【答案】(1)见解析(2)21【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．（1）根据角平分线的作法作图即可；（2）过点D作DF⊥AB、DE⊥AC，根据角平分线的性质，得到DF=DE，再根据三角形面积公式，求得DE=DF=3，再由S△ABC【详解】（1）解：如图，射线AD即为所求：（2）解：如图，过点D作DF⊥AB交AB与点F，作DE⊥AC交AC与点E，∵AD平分∠BAC，∴DF=DE，∵△ABD的面积为12，∴12∴DF=3=DE，∵AB=8，AC=6，∴S【变式3】（2324八年级上·广东潮州·期中）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°,AB>CD．(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若CE=BE，求证：AE平分∠DAB．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质与判定．（1）根据题意作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE；（2）过点E作EH⊥AD交AD于点H，根据角平分线的性质可得EC=EH，结合已知可得EH=EB，即可证明AE平分∠DAB．即可得证．【详解】（1）（2）证明：如图，过点E作EH⊥AD交AD于点H，∵DE是∠ADC的平分线，∠C=90°∴EC=EH，∵CE=BE∴EH=EB又∵∠B=90°，即EB⊥AB∴AE平分∠DAB一、单选题1．（2025·云南·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=4，AD=2CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．1．5【答案】A【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质，可得CD=DE，即可求解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴CD=DE，∵AD=4，AD=2CD，∴CD=2，∴DE=2，即点D到AB的距离为2．故选：A2．（2425八年级上·广东中山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，则点D到边BC的距离是（

A．2 B．3 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出DE的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于E，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，∴DE=AD=3，∴点D到边BC的距离是3，故选：B．3．（2425八年级上·江苏徐州·期中）用两把完全相同的长方形直尺作出∠AOB的角平分线的方法：如图所示，直尺①边缘压住射线OB，直尺②边缘压住射线OA并且与直尺①交于点P，射线OP就是∠AOB的角平分线．其理论依据是（

）A．等腰三角形两底角相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角平分线上的点到角的两边距离相等D．三线合一【答案】B【分析】此题考查了角平分线的判定定理．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可．【详解】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，∴点P到射线OB，OA的距离相等，∴点P在∠AOB的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．故选：B．4．（2223八年级上·辽宁大连·期中）到三角形三条边的距离都相等的点是（

）A．两条中线的交点 B．两条高的交点C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点【答案】C【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，解答即可．【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴到三角形三条边的距离都相等的点是两条角平分线的交点．故选：C5．（2223八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BC=4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得出DE=AD=2，再根据三角形的面积公式求出答案即可．【详解】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，对角线BD平分∠ABC，∴AD=DE，∵AD=2，∴DE=2，∵BC=4，∴SΔ故选B．【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．6．（2223八年级上·福建福州·开学考试）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（

）A．三角形的三条角平分线的交点处B．三角形的三条中线的交点处C．三角形的三条高的交点处D．以上位置都不对【答案】A【分析】根据角平分线的性质即可解答．【详解】解：根据角平分线的性质可知：集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握将平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．7．（2122七年级下·山东济南·期末）如图，按以下方法作一个角的平分线：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N．（2）分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求．这种作图方法的依据是（

A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA【答案】C【分析】利用基本作图得到OM=ON，CM=CN，又因为OC为公共边，根据全等三角形的判定方法可证明ΔOMC≌【详解】解：由作法得OM=ON，CM=CN，而OC又为公共边，所以根据“SSS”可判定ΔOMC≌所以∠MOC=∠NOC，即OC平分∠MON．故选：C．【点睛】本题主要考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定，角平分线，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．8．（2122八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是（

）A．2 B．7 C．9 D．14【答案】B【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，∴DE=AD=2，∴△BDC的面积=12BC•DE=1故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线的性质是解题的关键．9．（2425九年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠A=50°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点G，连接BG并延长，交AC于点D，则∠ADB的度数是（A．105° B．110° C．115° D．120°【答案】B【分析】本题考查了尺规作图角平分线，直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余得到∠ABC=40°，再根据角平分线以及三角形的外角性质得到∠ADB=∠C+∠DBC，即可求解．【详解】解：∵∠C=90°,∠A=50°，∴∠ABC=90°−∠A=40°，由作图可得BD平分∠ABC，∴∠DBC=1∴∠ADB=∠C+∠DBC=90°+20°=110°，故选：B．10．（2425八年级下·广东揭阳·期中）如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD=4，AB=20，则△AOB的面积是（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过O作OE⊥AB于点E，根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．【详解】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，∴OE=OD=4，∴△AOB的面积=1故选：C．11．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，与BD交于点E，若BC=5，△BCE的面积为5，则ED的长为（）

A．12 B．1 C．2 【答案】C【分析】本题考查的是角平分线的性质，作EF⊥BC，根据三角形的面积公式求出EF，根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：过点E作EF⊥BC于F，

∵△BCE的面积为5，∴12×BC×EF=5，即解得，EF=2，∵CE平分∠ACB，ED⊥AC，EF⊥BC，∴ED=EF=2，故选：C．12．（2015·广东广州·一模）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB上AB于点E，S△ABC=15，DE=3，AB=6，则AC的长是（A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，再由S△ABD【详解】解：作DF⊥AC于F，如图：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3，∵S△ABD∴12∴AC=4．故选：A．二、填空题13．（2425七年级下·山东烟台·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点E，若∠CAE=54°，则∠BEC的度数是．【答案】36°【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长BA，过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，然后证明AE是∠CAH的平分线，进而可得∠CAH的度数，再求出∠BAC的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质．【详解】解：延长BA，过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠CAE=54°，∴∠CAH=2∠CAE=108°，∴∠BAC=180°−∠CAH=72°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ECD，∠ABC=2∠EBC，∵∠ECD=∠BEC+∠EBC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，∴∠BAC=2∠BEC=72°，∴∠BEC=36°；故答案为：36°．14．（2122八年级上·甘肃武威·阶段练习）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于．【答案】8【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点D到斜边AB的距离等于8．【详解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝8，∴点D到斜边AB的距离等于CD∴D到斜边AB的距离为8．故答案为∶8．【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．本题直接运用角平分线的性质即可，比较简单，属于基础题．15．（2025·河南商丘·二模）如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD=2，AB=6，则△ABD的面积是【答案】6【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出DE，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=2，∴S△ABD故答案为：6．16．（2425七年级下·上海长宁·期末）在小学，我们学习过“三角形的内角和为180°”．如图，在△ABC中，∠A=60°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为．【答案】120°【分析】本题考查的是作角平分线，三角形的内角和定理的应用，证明∠OBC=12∠ABC，∠OCB=【详解】解：由作法得BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC∵∠OB