勾股定理的逆定理与简单应用 -苏科版新八年级数学暑假自学提升讲义

第09讲勾股定理的逆定理与简单应用

思维导图

8析教材学知识

②知识点1勾股定理的逆定理

1.上节课我们学习了勾股定理，回顾一下勾股定理的内容。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

2.如果一个三角形的两条边的平方和等于第三步的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？

如图，在AABC中a2+b2=c2,AABC是否为直角三角形？

是。作Rt三角形ABC,使得BC』a,AC=bA

：NA，CB=90。'

/.A'B^aHb2

,."AB2=a2+b2b

.•.AB』AB2

CB

，AB=AB

在AABC和▲A，B，C中

A'B'=AB

<B，C，=BC

A'C'=AC

，▲ABCg^ABC'(SSS

...zc=zc

AAABC是直角三角形

因此，如果三角形的三边长分别为a、b、c,且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，这

个称为勾股定理的逆定理。

3.根据三边长度，判断下面的三角形形状。

（1）3,4,3；锐角三角形

（2）3,4,5；直角三角形

（3）3,4,6；钝角三角形

（4）5,12,13.一直角三角形

锐角三角形：a2+b2>c2

直角三角形：a2+b2=c2

钝角三角形：a2+b2〈c2

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.

4.根据勾股定理填写表格。

a36912•••3n

b481216•••4〃

c5101520•••5n

所以在求勾股定理的时候，还可以用比例解。

5.若AABC的两边长为3和4,则能使AABC为直角三角形的第三边的平方是（C）

A,5；B.7；C.5或7；D.8.

②知识点2勾股定理的简单应用

一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有3米远，如图所示,

求荷叶的高度和水面的深度.

解：设Q4=C®=x米，则OC=(x-l)米，BC=3米，在Rt^OBC中，由勾股定理得：OC-+BC-=OB2,

：.(X-1)2+32=X2,解得x=5,；.0A=5(米)，OC=x—1=4(米)，答：荷叶的高度为5米，水面的深度为4

米.

方法：解设x勾股定理。

m练习题讲典例

解：(1)根据勾股数扩大相同的正整

教材习题01数倍仍是勾股数,得到两组勾股数为

法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如

(6,8,10),(9,12,15).

V+y2=z2的关系式，显然，满足这个关系式的％y，z

故答案为：6,8,10；9,12,15.

有无数组.当x,y,z都为正整数时，我们把这样的三个(2)证明：/+,2=(2〃『+(〃2_］『

数x,y,z叫做勾股数，如，3,4,5就是一组勾股数.

=4H2+n4-2n2+1

(1)请你再写出两组勾股数：_；

=+2/+1

(2)古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果〃表示大

=(H2+1)2

于1的整数，x=2n,y=n2-l,z=n2+l,那么，尤,％2

2

为勾股数，请你加以证明.=z

即无，y，z为勾股数.

解：「AT（是AABC的中线，BC=14

教材习题02

;.BD=；BC=7

如图，AD是VABC的中线，

AD=24,AB=25,BC=14,求AC.BD2+AD2=72+242=625,

AAB2=252=625

A

BD1+AD1=AB-

是直角三角形，且

ZADB=90°

垂直平分3C

BDC

.-.AC=AB=25.

教材习题03解：设竹子折断处离地面有无尺，

《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本由题意得：ZC=90°,3c=4,

四尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一AC+AB=10,AC=x,

丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地,AB=10—x,

着地处离原竹子根部4尺远.问：竹子折断处离地面则：X2+42=(10-X)2,

有几尺？（1丈=10尺）

解得：x=4.2.

答：竹子折断处离地面有4.2尺.

.•.4000x15=60000（元）

答：最节约铺设水管的费用为60000

元.

解：在RtaACD中，CD=4,

教材习题05

围墙内一棵大树被风吹歪后斜靠在旁边的围墙上，然后在围AD=3,

22

墙的顶部被折断，树梢着地（如图），已知围墙高CD=4m,AC=AD-+CD=32+42=25,

树的根部到围墙的距离AD=3m,树梢着地点到围墙的距离AC=5(m).

BD=Sm,CDLAB.求大树折断前的高度.在RtABCD中，C£>=4,BD=8,

BC-=BD2+CD2=82+42=80,

BC=4V5(m).

AC+BC=5+4y/5(m)

因此，大树折断前的高度为

(5+4V5)m

8练考点强知识

考点一、勾股数

1.下列几组数是勾股数的是（）

A.1,2,3B.5,12,13C.0.3,0.4,0.5D.1,近

【答案】B

【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键.根据勾股数的定义

解答即可.

【详解】解：A,12+22^3\错误，不是勾股数，不符合题意；

B、52+122=132,正确，是勾股数，符合题意；

C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意；

D、也不是正整数，错误，不是勾股数，不符合题意

故选：B.

2.勾股数，①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；…根据你发现的规律，请你写出

有以上规律的第⑤组勾股数：.

【答案】11,60,61

【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照规律进行解答.根据所给的

几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第⑤组勾股数.

【详解】解：••,①3=2xl+l,4=2xlx(l+l),5=2xlx(l+l)+l,

②5=2x2+l,12=2x2x(2+l),13=2x2x(2+l)+l,

③7=2x3+l,24=2x3x(3+l),25=2x3x(3+l)+l,

二第⑤组勾股数：2x5+1=11,2x5x(5+l)=60,2x5x(5+l)+l=61,

故答案为：11,60,61.

3.数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”.指导老师首先提出一个猜想：如果〃表示大于1的整数，

则2w,/-I,+1为勾股数.例如：当〃=2时，2〃=4,"2—1=3,M2+1=5.

32+42=52,

.•.数据3,4,5是勾股数.

对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明：

"：n>\,

+1—2〃=(〃-1)>0,

①一2".(填""或“<”)

•/«2+1-(«2-1)=2>0,

••"2+1>”2-1.

•••(n2-l)2+(24二②一二③一，(/+4=④」

(I—1)+(2/)2=(〃2+1),

2"一I,”“为勾股数.

(1)请补全横线上所缺的内容.

(2)若数据8,a,6为勾股数，且a<6,求a,6的值.

【答案】(1)①〉；②"4-2/+1+4,/；③4+2"+1；④/+2/+1.

(2)a=15,6=17或。=6,6=10.

【分析】本题考查了勾股数及其应用.

(1)根据解题过程，结合上下文即可完成；

(2)分三种情况：2〃=8；«2-1=8;"+1=8,分别求出“，由(1)中结论即可求出余下两个数.

【详解】(1)解：

+1—2M=(n—1)->0,

+1>2〃.

•/n2+l-(n2-l)=2>0,

•■rr+\>rr-\-

'：(n2-1)2+(2/?)2=H4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1,(w2+1)2=n4+2n2+1,

(n2-l)2+(2??)2=(/72+l)2,

/.+i为勾股数.

①〉；②]-2"2+l+4〃2；③〃4+2//+1；④〃4+2/+1.

(2)解：分三种情况：

①若2/7=8,贝U〃=4,

n2-l=15,;j2+l=17,

a=15,/?=17；

②若〃2_I=8,贝!j〃=3,

2九=6,九2+1=10,

a=6,b=10；

③若1+1=8,贝卜=近不是有理数，故舍去.

综上所述，。=15,8=17或a=6,fo=10.

考点二、构成直角三角形

1.已知。，b,。是VABC的三条边，则下列条件能判定VABC为直角三角形的是()

A.a:b:c=l:2:3B.(a+b^~+(a—=2c2

C.ZA:ZB:ZC=2:3:4D.ZA=ZB=2ZC

【答案】B

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理逆定理是解题的

关键.

根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答.

【详解】解：A.由a:6:c=l:2:3,设。=左,6=2匕c=3左，则左z+4左左？，即。能判定VABC

不是直角三角形，不合题意；

B.由(4+6)2+(4-6)2=202可得/+》2=c2,能判定VABC是直角三角形，符合题意；

C.由NA:NB:NC=2:3:4可得/A=40。，ZB=60°,/C=80。，不能判定VABC是直角三角形，不合题意；

D.由/4=々=2/。可得/4=72。，ZB=72°,ZC=36°,不能判定VABC是直角三角形，不合题意.

故选：B.

2.已知三角形三边长分别为1,3,回,则这个三角形的面积为.

3

【答案】-/1-5

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键.

根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可.

【详解】解：：F+32=io,(Ji6『=io,

/.12+32=(A/10)2,

...以1,3,V10,为三角形三边的三角形是直角三角形，

13

.•.这个三角形的面积为彳xlx3=彳，

22

3

故答案为：—.

3.阅读下列内容：

设a,6,c是一个三角形的三条边的长，且。是最长边，我们可以利用b,c三边长间的关系来判断这

个三角形的形状：①若片=〃+02,则该三角形是直角三角形；②若/>从+02,则该三角形是钝角三角

形；③若片<62+02,则该三角形是锐角三角形.例如：若一个三角形的三边长分别是4,5,6,则最长

边是6,由于6?=36<4?+5?,由结论③可知该三角形是锐角三角形.请解答以下问题：

(1)若一个三角形的三边长分别是6,7,8,则该三角形是________三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”)；

(2)若一个三角形的三边长分别是5,12,x,且这个三角形是直角三角形，则x的值为.

【答案】(1)锐角；

⑵13或而？

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据阅读材料中提供的思路进行判断即可.

⑴根据题意，三角形的三边长分别是6,7,8,其中最长边是8,计算出8?和6z+72的大小，从而可以判

断三角形的形状；

(2)当x是最长边时，可得方程炉=52+122,解方程求出x即可，当12是最长边时，可得方程122=52+/,

解方程求出x即可.

【详解】(1)解：三角形的三边长分别是6,7,8,其中最长边是8,

•.•82<62+72,

•・•该三角形是锐角三角形，

故答案为：锐角；

(2)解：•.•三角形的三边长分别是5,12,x,且这个三角形是直角三角形，

当x是最长边时，

可得：X2=52+122,

解得：x=13,

当12是最长边时，

可得：122=52+X2,

解得：x=J119,

故答案为：13或标.

考点三、计算三角形、四边形的面积

1.为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜.八

年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为2.5m,6m,6.5m,则三角形菜地的面积

是()

A.7.5m2B.8.125m2C.15m2D.19.5m2

【答案】A

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边6、c

满足/+>2=02,那么这个三角形为直角三角形.先根据勾股定理的逆定理证明三角形菜地为直角三角形，

然后根据三角形面积公式进行求解即可.

【详解】解：：2.52+62=42.25=6.52，

三角形菜地为直角三角形，

•••三角形菜地的面积为；x6x2.5=7.5(n?).

故选：A.

2.如图，凸四边形ABCD的四边AB,BC,CO和DA的长分别是3,4,12和13,ABC=90°,则四边

形ABCD的面积5=.

【答案】36

【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，连接AC,在直角AABC中，根据勾股定理可以求得

AC=5,在AACD中，BJ^AC2+CD2=AD2,根据勾股定理的逆定理确定AAOC为直角三角形，四边形

ABCD的面积为AACD和AABC面积之和.

【详解】解：连接AC,

D

在直角AABC中，AB=3,BC=4,

AC=y/AB2+BC2=5-

又,:AC2+CD2=52+122=169=132=AD2，,AACD为直角三角形，

RW5C的面积为:x3x4=6,RsACD的面积为:x5xl2=30,

四边形ABCD的面积为AACD和44BC面积之和，即5=30+6=36.

故答案为：36.

3.如图，四边形ABCD中，2B90?,AB=4,BC=3,CD=13,AD=12,求四边形ABCD的面积.

【答案】36

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理,熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键.先利用勾股定理在

Rt/SA5c中求出AC,再结合CD=13,AD=12,判定AAS是直角三角形，且NG4£>=90。，再利用

S四边形ABC£)=^Z\ABC+^AACD即可求解.

【详解】解：如图，连接AC,

B°-^C

V?B90?,AB=4,BC=3,

AC=JAB?+BC2=,不+3?=5，

VCD=13,AD=12,

/.AC2+m=25+144=169=CD2，

...△ACD是直角三角形，且NC4D=90。，

S四边形MCO=+S-CO=548,BC+gAC，AD=5*4*3+万*5><12=36.

考点四、勾股定理的应用——梯子滑落问题

1.一架长5m的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙1.4m,如果梯子的顶端下滑0.8m,那么

他的底部滑行了()

h\\

A.0.8mB.ImC.1.2mD.1.6m

【答案】D

【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得AB=4.8m,设它的底部滑

行了疝!，则有3E=(1.4+x)m,然后根据勾股定理可建立方程进行求解.

；•AB=^AC2-BC-=4.8m，

**•BD=AB—AD=4m,

设它的底部滑行了的，则有3E=(L4+x)m,

42+(1.4+X)2=52,

解得：x=1.6；

故选D.

2.如图，滑杆在机械槽内运动，/ACB为直角，已知滑杆A3长25m,顶端A在AC上运动，量得滑杆底

端B距点C的距离为15m,当底端B向右移动5m达点D,顶端A到达点E时，求滑杆顶端A下滑米.

【答案】5

【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得AC、CE,进而求得AE即可求解.

【详解】解：由题意，在中，AB=25m,BC=15m,

/.AC2=AB2-BC2=252-152=400，

/.AC=20（m）；

在RtzXECZ）中，DE=25m,CD=BC+BD=20m,

：.CE2=DE2-CD2=252-202=225,

/.CE=15m,

AE=AC-CE=20-15=5（m）,

故滑杆顶端A下滑5米，

故答案为：5.

3.如图，一根长为25m的梯子A3斜靠在垂直于地面的墙上,这时梯子的底端8点离墙根E点的距离为7m,

如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动8m到。点处，试求梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC为多

【答案】4m

【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得BE=7m,AB=CD=25m,BD=8m,

ZE=90°,由勾股定理求出AE,CE的长，即可求解.

【详解】解：由题意得，BE=1m,AB=CD=25m,BD=8m,ZE=90°,

/.DE=BE+BD=15m,

在Rt^AEB中，由勾股定理得.=^AB2-BE2=V252-72=24m，

在RtACED中，由勾股定理得CE=^CEr-DE1=7252-152=20m-

:.AC=AE-CE=4m,

答：梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC为4m.

考点五、勾股定理的应用——旗杆高度问题

1.如图，学校需要测量升旗杆的高度.同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这

条绳子的长度未知.经测量，绳子多出的部分长度为2m,将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端6m,

A.10mB.9mC.8mD.7m

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为疝!，则AC=(x+2)m,在中，由勾股

定理得出方程求解即可.

【详解】解：设旗杆的高度为由，则AC=(x+2)m,

由题意可知BC-6m,

在Rt^ABC中，由勾股定理得，

AB2+BC2=AC2,

即无2+62=(X+2)2,

解得x=8,

即旗杆的高度为8m,

故选：C.

2.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之

前的高度是.

【答案】18m

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.

根据勾股定理求出A3的长，再加上BC的长度即可求解.

【详解】解：由题意得：AC=12m,BC=5m,

在RtZXABC中，根据勾股定理得：AB=VAC2+BC2=V122+52=13(m),

二旗杆折断之前的高度是BC+AB=5+13=18(m),

故答案为：18m.

3.八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE,测得如下数据:

①测得3。的长度为8米：(注：BDLCE)

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；

③牵线放风筝的松松身高L6米.

(1)求风筝的高度CE.

(2)若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？

【答案】⑴16.6米

⑵7米

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键;

(1)利用勾股定理求出CO的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；

(2)根据勾股定理即可得到结论：

【详解】(1)解：在RtZXCftB中，

由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=172-82=225

所以，CD=15(负值舍去)，

所以，CE=CD+DE=15+1.6=16.6(米)，

答：风筝的高度CE为16.6米；

(2)如图：由题意得，CN=9米，。0=6米，

BM2=DM2+BD1=82+62=100,

BM=10米，

:.BC-BM=1（米），

.•.他应该往回收线7米.

考点六、勾股定理的应用——方向问题

1.如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100m,以点。为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，

并将同心圆平均分成十二等分.一艘海洋科考船在点。处用雷达发现A,B两处鱼群，那么A,B两处鱼群

的距离是（）

A.5mB.100mC.500mD.300m

【答案】C

【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理.根据题意得出/AO3=90。

及。1、后即可根据勾股定理求解.

【详解】解：如图，连接AB,数轴交点为0,

由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为360。+12*3=90。,

.•.ZAOB=90°,

又1个单位长度代表100m,

二.OA=300m,OB=400m,

「•根据勾股定理可得，

，及AAOB中，AB=y/o^+OB2=500m.

故选：C.

2.如图，已知一货轮以30海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一集装箱船以40海里/时的速

度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距海里.

【答案】100

【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.根据勾股定理进行计算

即可.

【详解】解：设轮船向东北航行到8,向东南方向航行到C,

由题意得，45=30x2=60海里，

AC=40*2=80海里，

BC=y]AB2+AC2=100-

故答案为：100.

3.钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化.如图，甲、乙两艘海警船同

时从位于南北方向的海岸线上某港口产出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，

乙船每小时航行8海里.

(1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于Q、R处(图1),且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东72。方

向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由.

(2)若甲船沿北偏东60。方向航行(图2),从港口P离开经过两个小时后位于点C处，此时船上有名乘客需

要以最快的速度回到海岸线上，若他从C处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟

内回到海岸线吗？请说明理由.（参考数据：石句.7）

【答案】（1）乙船沿南偏东18。方向航行，理由见解析

（2）他能在14分钟内到海岸线，理由见解析

【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出APQR是直角三角形进行解答.

（1）根据勾股定理的逆定理得出APQR是直角三角形，进而解答即可；

（2）作CD1AS于。,根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得8的长，进一步计算得出答案.

【详解】（1）解：由题意可得：入针。=70。，PQ=6xl=6（海里），

PR=8xl=8（海里），

在APQR中，

,/PQ2+PR2=62+82=100,Q7?2=102=100,

/.PQ2+PR2=QR2,

是直角三角形，且/。m=90。，

NBPR=180。一ZAPQ-ZQRP=180°-72°-90°=18°,

乙船沿南偏东18。方向航行；

（2）过点C作于。，

。乙----7c

p/

B

由题知NCPD=60。，则/C=30。，PC=2x6=12（海里），

尸。=」尸。=6海里，

2

CD=A/122-62=6A/3~10.2（海里），

14

45X—=10.5（海里），

60

10.5>10,2,

他能在14分钟内到海岸线.

考点七、勾股定理的应用——《九章算术》问题

1.《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：

一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，间折断处离地面几尺？设折

断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）

B.X2-102=（6+X）2

C.32=102-X2D.X2=(10+X)2

【答案】A

【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为无尺，根据勾股定理列出方程即

可.

【详解】解：设折断处离地面的高度为尤尺，

由题意得，%2+32=(10-X)2,

故选：A.

2.如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽.问索长几

何.译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部

分有三尺(绳索比木柱长3尺)，牵着绳索退行，在距木柱底部8尺(8C=8)处时而绳索用尽.则木柱长

【答案】苧/91

66

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理解题.设木柱长为无尺，则绳索

长为(x+3),然后根据勾股定理列式求解即可.

【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得：

AB2+BC2=AC2,

则尤2+82=(尤+3)2,

解得：X=苧，

6

答：木柱长为芋尺.

0

故答案为：--.

0

3.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，

适与岸齐.问水深、葭长各几何.(1丈=10尺)，大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，

在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池

边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形(如图所示)，其中水面宽AB=10尺，线段CD,CB表

示芦苇，CDLAB于点E.

C

(1)图中OE=尺，EB=尺；

(2)求水池中水的深度.

【答案】(1)1,5

(2)水深为12尺

【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识.

(1)根据题意即可求解；

(2)设水深x尺，则芦苇CD=BC=(x+l)尺，在RtVECB中，根据勾股定理列方程5?+/=(工+1)2,解方

程即可求解.

【详解】(1)解：由题意可得：DE=1尺,BE=^AB=5K.

故答案为：1,5；

(2)解：设水深尤尺，

则芦苇CD=3C=(x+l)尺，

在RtVECB中，52+x2=(x+l)\

解得：x—12,

答：水深为12尺.

考点八、勾股定理的逆定理求解

1.如图，在VA3C中，AC=15,BC=25,点。在边BC上，且AD13C,AD=12.

A

(1)求A3的长；

(2)判断VABC的形状，并说明理由.

【答案】(1)20

(2)VABC是直角三角形，理由见解析

【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键.

(1)在直角"DC中利用勾股定理得CD=9,进而求得即=16,在中，勾股定理即可求解.

(2)利用勾股定理的逆定理即可判断.

【详解】(1)解：•.•ACBC,

.•.△ADC是直角三角形，ZADC=ZADB=90°.

DC=y/AC2-AD2=A/152-122=9-

BD=BC-CD=25-9=16

在Rt^ABD中，AB=^AIJr+BEr=7122+162=20

(2)VABC是直角三角形，理由如下：

VAB=20,AC=15,BC=25

■,-152+202=252,

.•.△ABC是直角三角形，/B4c是直角.

2.如图，在VA3C中，NC=90。，AC=8,BC=6,DE是的边AB上的高，且43=5,BD=50

求DE的长.

【答案】竽

2

【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，先由勾股定理算出入=以。2+笈2=10,再结合

AD2+BD2^AB2,则/ADB=90。，故△ABD的面积=gABME=；AD4。，然后代入数值计算，即可作

答.

【详解】解：••・NC=90。，AC=8,BC=6,

AB=A/AC2+BC2=>/82+62=10，

22

AD+BD=5?+1⑹°=100=AB2,

.•.△ABO是直角三角形，ZADB=90°,

.△ABD的面积=[AB•OE=[AD•8D,

22

“ADBD5x57356

AB102

3.定义：在VABC中，若5c=a,AC=b,AB=c,且a,b,c满足的+/二〃，则称这个三角形为“类勾

股三角形”.

请根据以上定义解决下列问题：

图1图2

⑴如图1,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形"，AB=BC,AOAB,求NC的度数.

(2)如图2,在VABC中，ZB=2ZA,S.ZACB>ZA,。是AB上的点，连接C，满足AT>=CE>,过点C作

CEJ.AB,垂足为E.求证：VA3C为“类勾股三角形”.

【答案】(1)45。

(2)见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握各性质是解题的关键.

(1)设BC=a,AC=b,AB=c,根据类勾股三角形的特征ac+a2=〃，把a=c代入运算求解即可.

(2)设BC=a,AC=b,AB=c,利用角的等量代换证出N3=NCD8,得到CD=CB=a,利用等腰三角

形的性质得到DE=BE=R,再利用勾股定理列式求解即可.

【详解】(1)解：设BC=a,AC=b,AB=c,

；VABC是“类勾股三角形”，

•■etc+ci~=b~,

AB=BC,

：.a=c,

c2+a2=b2>

.IB90?,

.VABC是等腰直角三角形,

.ZC=45°；

(2)证明：设BC=a,AC=b,AB=c,

AD=CD,

：.ZA=ZDCA,

：.ZCDB=ZA+ZDCA=2ZA,

又・.・NB=2NA,

ZB=ZCDB,

CD=CB=a,

AD=CD=a,

•：CE_LAB,

c—n

.・.DE=BE=——，

在RtzXAEC中，AE=AD+DE=a+C^a-=C^,由勾股定理得CE?=4^-AE?=6一(”

222

2222

在RtACED中，由勾股定理得CE=CD-DE=a

••b~=ci~+etc»

VABC为“类勾股三角形”.

考点九、最短问题

1.综合与实践

【主题】自制环保笔筒

【素材】如1图，一个直径为8cm,高14cm的纸筒卷，一张长30cm,宽20cm的包装纸，一张边长为10cm

的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶.

出

纸筒卷包装纸纸板绳子剪刀固体胶

【实践操作】

步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸;

步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面；

步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面；

步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒.

(1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；(结果保留兀)

(2)如3图，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的5点，求所需绳子的最短长度.(结果保

【答案】⑴11271cm2

(2)2,647?+49cm

【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题

的关键.

(1)根据圆柱侧面展开图为长方形即可求解；

(2)画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解.

【详解】(1)解：如图所示为笔筒卷的侧面展开图

A,------------------------------1。

B'-----------------------'C

由题意得：裁剪出的包装纸的面积等于圆柱形的侧面积S恻=8兀*14=112兀(0112)

，裁剪出的包装纸的面积为112兀cm2

(2)解：如图所示，作点B关于点C的对称点尸，连结A尸交CO于点E,连结BE,由题意可知点E是CO

的中点，AE=BE,此时3E+AE最短，即绳子缠绕笔筒2圈，所需绳子的长度最短，

BC=-F

...绕2圈所需绳子的最短长度为而cm

2.唐代诗人李欣《古从军行》里有这样一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.由此引申出一系列有

趣的数学问题，后来人们通常称之为“将军饮马”问题.

图1图2图3图4

【经典再现】如图1,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的点尸饮马后再到点5宿

营.请问怎样走才能使总的路程最短？

某课题组在探究这一问题时把这一情境抽象出数学模型：直线/同旁有两个定点A,8,在直线/上存在点P,

使得B4+PB的值最小.

解法如下：如图2,作点8关于直线/的对称点？，连接AQ,则A9与直线/的交点即为P,且B4+PB的

最小值为AB'的长.

【数学思考】学习了三角形之后，我们发现有很多问题都可用类似的方法去思考解决.

任务一:如图3,在等边三角形A3c中，是BC边上的高，E为A3的中点，P为AD上一动点，若AB=8VL

求△P3E周长的最小值；

任务二：如图4,在VA3C中，AB^AC=5,AD是中线，点E是AB上一动点，尸为AD上一动点，若VABC

的面积等于6,则尸3+PE的最小值为.

12

【答案】任务一：12+46；任务二：—

【分析】任务一：连接CE,则CE的长度即为PE+网的最小值，再加上BE的长即可求得△P3E周长的最

小值；

12

任务二：作CE工AS于E,交AD于点尸，由VA8C的面积等于6,求得CE=^,由等腰三角形的性质得

PB=PC,由点到直线的距离垂线段最短知：P3+PE的最小值为CE,即可求解.

【详解】解：任务一：如图5,连接CE,与AD交于点P,此时尸E+M最小，

图5

:.PC=PB,

：.PE+PB=PC+PE=CE,即CE就是PE+PB的最小值,

AB=873,E为A3的中点，VABC是等边三角形，

BE=45/3,CE.LAB,BC=AB=8B

:.CE=YBC2-BE2=12'

.•aPBE周长的最小值为：BE+PE+PB=12+4y/3;

任务二：作CE1工AB于E,交AD于点P,如图6,

图6

:.-ABCE=6,

2

・•,AD是中线，AB^AC,

AD是8c边上的高线，即AD垂直平分BC,

:.PB=PC,

:.EP+PC=EP+BP=CE=—,

5

12

•••夫5+尸£的最小值为了，

,12

故答案为：—.

【点睛】本题考查了轴对称一最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理，熟

练掌握以上知识点是解答本题的关键.

3.【模型建立】

“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题.

例：求代数式心+31+J(12-蛾+22的最小值.

分析：4r百和712-无『+2?是勾股定理的形式,正方是直角边分别是尤和3的直角三角形的斜边，

J(12-X『+22是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边,因此，我们构造两个直角VABC和

并使直角边2C和跖在同一直线上(图1),向右平移直角AABC使点2和£重合(图2),这时

CF=x+n-x=n,AC=3,=2,问题就变成“点8在线段CP的何处时，A8+OB最短？”根据两点间

线段最短，得到线段就是它们的最小值.

(1)代数式42+32+912-力2+22的最小值为_；

⑵变式训练：利用图3,求代数式J尤2+4+，(5一元)2+1的最小值;

【模型拓展】

(3)已知正数x满足，36-(+&4—32=10,求x的值.

【答案】(1)13；(2)734：(3)4.8

【知识点】用勾股定理构造图形解决问题

【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题.

(1)根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；

(2)根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；

(3)先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可.

【详解】(1)AH=3+2=5,HD=12,

AD=6+侬=13,

Vx2+32+7(12-X)2+22的最小值是13,

故答案为13；

(2)如图，

AH=2+1=3,HD=5,

AD=V32+52=V34>

y/x2+4+7(5-X)2+1的最小值是;

(3)构造AASGCD_LBC于O,AC=6,BC=S,如图所示:

c

设CD=X,则AD=，36—x2,BD=q64-炉，

:.AB=V36-x2+A/64-X2=10，

•.•62+82=102,

:.ZACB=90°,

—x6x8=—xlOxx,

22

."=4.8,

**•方程的解是x=4.8.

串知识识框架

知识导图记忆

过关测稳提升

1.下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（）

A.1,2,2B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据一组数中的三个数是否满足片+/='2,若

能则能构成直角三角形三边，否则不能构成直角三角形三边.

【详解】解：A选项：•.•『+22=5/于，2,2不能构成直角三角形三边，故A选项不符合题意；

B选项：­.-22+32=13^42,:.2,3,4不能构成直角三角形三边，故B选项不符合题意；

C选项：•.•32+42=25=52,.13,4,5能构成直角三角形三边，故C选项符合题意；

D选项：；42+52=41/62,,4,5.6不能构成直角三角形三边，故D选项不符合题意.

故选：C.

2.下列各组数为勾股数的是（）

A.7,12,13B.3,3,4C.0.3,0.4,0.5D.9,12,15

【答案】D

【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数满足/+f=c2,那么这三个正整数就是勾股数，解决本题的

关键是根据勾股数的定义进行判断.

【详解】解：A,v72+122^132,

；.7,12,13不是勾股数，故该选项不符合题意；

B,­.-32+32^42,

••.3,3,4不是勾股数，故该选项不符合题意；

C