寒假作业02 三角形有关的角与多边形的内角和（解析版）-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

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寒假作业02三角形有关的角与多边形的内角和

1.三角形内角和定理

(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形相邻两边的夹角.每个内角均大于0。且小于180。.

(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180。.

(3)两个角互余的三角形是直角三角形.

2.三角形的外角性质

(1)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

(2)三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°.②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的

和.③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

3.多边形

(1)多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

(2)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

(3)正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

4.多边形内角与外角

(1)多边形内角和定理：(〃-2)・180。(论3且w为整数)；

(2)多边形的外角和等于360。.

M巩固提升练

1.已知在直角AABC中，NC为直角，是NA的2倍，则NA的度数是()

A.30°B.50°C.70°D.90°

【答案】A

【解析】设ZA=x,则N3=2ZA=2x,

由题意得：ZA+ZB=90°,即x+2x=90。，解得x=30。，即NA=30。，故选A.

2.下列说法错误的是()

A.多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形

B.四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形

C.多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形

D.多边形是三角形，但三角形不一定是多边形

【答案】D

【解析】A.由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，所以多边形是平

面图形，平面图形不一定是多边形，故本选项正确，不符合题意；

B.在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，四边形由四条线段组成，但四条线

段组成的图形不一定是四边形，故本选项正确，不符合题意；

C.多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，例如圆，故本选项正确，不符合题意；

D.多边形构成要素：组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形，本选项错误，符合题意；

故选D.

3.一个多边形从一个顶点可引出7条对角线，那么这个多边形的边数是（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】A

【解析】设该多边形为“边形，•••从w边形的一个顶点引对角线条数为：w-3,

'.n-3=7,解得：w=10.故选A.

4.湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业

献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（）

A.720°B.900°C.1080°D.1440°

【答案】C

【解析】（n-2）*180=（8-2）xl80°=1080°.

故这个八边形的内角和是1080。.故选C.

5.在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择

的组合是（）

A.正六边形，正八边形B.正方形，正七边形C.正五边形，正六边形D.正三角形，正方形

【答案】D

【解析】•.•正三角形的每个内角是60。，正方形的每个内角是90。，

正五边形的每个内角是108。，正六边形的每个内角是120。，正七边形的每个内角是1―=]〒.

正八边形的每个内角是180。-360。+8=135。，...能够组合的是正三角形，正方形，故选D.

6.已知在中，ZC=56°,点。在线段54的延长线上，过点。作。尸，3C,垂足为P,若403=20。，

则的度数为（）

A.76°B.65°C.56°D.54°

【答案】D

【解析】•/DFA.BC,ZDFB=90°,在中，•.•NFD8=20°,.•./8=180°-90°-20°=70°,

在△ABC中，•.•NC=56°,.-^045=180°-70°-56°=54°,故选D.

7.如图，N1为△ABC的一个外角，点E为边AB上一点，延长C4到点尸，连接砂，则下列结论错误

的是(

A.Z2>Z3B.Z1=Z2+ZBC.ZF>ZSD.Z1>Z3+ZF

【答案】C

【解析】；/2=/3+/歹，，N2>N3,故A选项正确，不符合题意；

由三角形外角性质即可直接得出N1=N2+N8,故B选项正确，不符合题意；

没有条件可以证明出D3和NR的关系，故C选项错误，符合题意；

VZ1=Z2+ZB,Z2=Z3+ZF,Z1=Z3+ZF+ZB,

.*.Z1>Z3+ZF,故D选项正确，不符合题意.故选C.

8.在“02中，B0=A0,。尸交AB于点C,量角器的摆放如图所示，贝吐8cp=()

A.80°B.90°C.85°D.95°

【答案】C

【解析】'：BO=AO,ZAOB=130°,：.ZCAO=25°,

又：/AOP=70°,AZBCP^ZACO^180°-ZCAO-/AOC=180。-25°-70°=85°,故选C.

9.如图，把一副七巧板按如图所示进行①〜⑦编号，①〜⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号①对应的

面积等于2,则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于.

【答案】16

【解析】由七巧板的原理可设⑤，⑥的面积为无，则②，③的面积为4x,①的面积为2x,④的面积为2x,

⑦的面积为2x,,①对应的面积等于2,即2x=2,则x=l,

，这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于x+无+4x+4x+2x+2x+2x=16x=16,故答案为：16.

10.如图，把八45。纸片沿。E折叠，使点B落在图中的8'处，设ZgEC=/l,/BD4=/2.若

4=25。，贝U/2—/1=

【答案】50

【解析】•:/B=25°,；.NB=NB=25。,

•.•/3=/l+C=/l+25°,

.•.Z2—Nl=50°,故答案为50.

11.用两种方法证明“三角形的外角和等于360。”如图，/BAE、NFBC、NQCA是AABC的三个外角.

求证：ZBAE+ZFBC+ZDCA=360°.

（1）第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格:

(2)根据第二种思路，完成证明.

第二种思路：在图中添加辅助线，

将三角形的三个外角“集中”到同

一顶点处，证明它们的和是360.

【解析】(1)①NBAC+NABC+NACB=180。；②ZBAC；③ZACB,④三角形的外角等于与它不相邻的两

个内角的和.

提示：①根据后面推论可以推测是根据三角形内角和，故答案为：ZBAC+ZABC+ZACB=180°；

②根据左右两边的等式可以推测是根据外角的性质，填写NFBC=Z&4C+N4cB,故答案为：ZBAC,

③ZACB,④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

(2)过8作/〃AC,ZEAB=ZMBF,ZECD=ZMBC,

,/ZFBC+ZMBF+ZMBC=360°,ZBAE+ZFBC+ZDCA=360°.

12.【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角.如图，

将AA8C中/AC8的边CB反向延长，与另一边AC形成的/ACD即为AACB的一个外角.三角形外角和与

三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和.

【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和.

如图，国ABC的外角和=(180°-ZACB)+(180°-/CAB)+(180°-/ABC)=540。-(ZACB+ZABC+

/CAB)=540°-180°=360°.

【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：(1)将下列表格补充完整.

(2)如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数.

【解析】(1)内角和分别为：四边形内角和是(4-2)x180°=360°,

五边形内角和是(5-2)xl80°=540°,〃边形内角和是(n-2)180°；

外角和分别为：360。、360°,360°.

故答案为:360。、540。、(〃-2)180°,360。、360。、360°；

(2)这个八边形一个内角的度数是：

方法一：(8-2)xl80°+8=135°,方法二：180°-360°^8=135°.

*2能力培优练

13.如图，在△ABC中，ZF=16°,BD、CD分别平分NABC、ZACB,M、N、。分别在£)5、DC、

的延长线上，BE、CE分别平分/MB。、NBCN,BF、。尸分别平分ZEfiC、NECQ,则

Z.A=•

A

【答案】52°

【解析】BF、CF分别平分NEBC、ZECQ,Z5=Z6,N2=N3+N4,

•.•Z3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE',

即N2=Z5+N产，2N2=2Z5+NE,，2ZF=NE=32°,

■.■BE,CE分别平分/MB。、ZBCN,

Z5+Z6=|zMfiC,Z1=；NNCB,N5+N6+N1=；(/MBC+NNC3),

ZE=180°-(Z5+Z6+Zl)=32°,/.Z5+Z6+Z1=148°,/.ZMBC+ZNCB=2(Z5+Z6+Zl)=296°,

QBD、CD分别平分/ABC、ZACB,

ZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

/.NO3C+ZDC8=180O-NM8C+180O-NNCB=360O-(NMBC+NNC8)=64。，

ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°-2(ZDBC+ZDCB)=52°,故答案为：52°.

14.如图1,ZAXBC,ZAC”的角平分线84、C4相交于点4.

(1)如果N4=64。，那么/人的度数是多少，试说明理由并完成填空;

(2)如图2,乙4,=64。，如果N48C,的角平分线区43、C4相交于点&,请直接写出N4

度数；

(3)如图2,重复上述过程，^AniBC,NATCM的角平分线34、C。相交于点A“得到NA〃，设

/A=＞，请用。表示的度数（直接写出答案）.

解：（1）结论：/4=度.

说理如下：因为C4平分NA13C和NAOW（己知），

所以NABC=2N1,乙41cM=2/2（角平分线的意义）.

因为NACAf=NABC+NA,N2=N1+N&（）,

（完成以下说理过程）

【解析】（1）结论：幺=32。.理由如下：

BA,C4分别平分NAjBC和NACM（已知）一

Z^BC=2Z1,ZA,CM=2Z2（角平分线的定义），

-Z^CM=ZAlBC+ZAl,N2=N1+N4（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

NA=Z^CM-Z^BC,N&=N2—N1（等式性质），

NA=2N2—2N1=2N4（等量代换），N&=32。.

（2）4=16。.

提示：•.•N4BC,的角平分线84、C4相交于点A3，

/.ZABC=2ZA3BM,ZA.CM=2ZA.CM（角平分线的定义），

VZA.CM=Z45C+Z4，ZA3CM=ZA3BM+ZA3（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角

的和），

ZA,=Z^CM-ZA.BC,ZAi=ZAiCM-ZA^BM（等式性质），

N4=2ZA.CM-2ZA3BM=2N4（等量代换），；.NA,=16°.

（3）4=（干?

0

提示：•.•NA=64°,Z4=32°,N4=16°,.•.当/4=。。时，NA〃=（F）°.

15.如图1,已知NMON=60。，A,8两点同时从点。出发，点A沿射线&V运动，点8沿射线ON运动.

M.M.M.

图1图2图3

（1）如图2,点C为△ABO三条内角平分线的交点，连接3C,在点A,8的运动过程中，/ACB

的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由;

（2）如图3,在（1）的条件下，连接OC并延长，与的平分线交于点P,与AB交于点Q.

①一尸与的数量关系为

②在△3CP中，如果有一个角是另一个角的2倍，求/BAO的度数.

【解析】（1）的度数不变，理由如下：

•・・点C为/XABO三条内角平分线交点，.•.NC7M=；NO8A,ZCAB^^ZOAB,

ZCBA+ZCAB=1ZOBA+1ZOAB=1(ZOBA+NOAB),

ZMON=60°,ZOBA+ZOAB=120°,

ZCBA+ZCAB=60°,ZACB=120°,

即ZACB的度数不变.

(2)①•••点C为△ABO三条内角平分线交点，.•.ZBQ4=2ZBOP,ZBAO=2ZBAC,

：.ZMBA=ZBOA+ZBAO=60°+ZBAO,

•.♦8尸为NABM的平分线，;.ZMBA=2ZMBP,：.&)°+ZBAO=2ZMBP,

■：ZMBP=ZBOP+ZP=30°+ZP,‘°+”胡°=3()o+“,

2

整理得：ZBAO=2ZP.

②设NO54=m,贝=ZBAO=120°-m,

•.•3尸为NABM的平分线，ZABP=90°

•.•NMON=60。，点C为△ABO三条内角平分线交点，

:.ZABC=-m,Z.BCP=ZBOC+ZOBC^30°+-m,ZCBP=ZABC+ZABP=90°,

22

.-.ZP=1800-ZCBP-ZBCP=60°--m,

2

△BCP中有一个角是另一个角的2倍，分四种情况：

(a)ZCBP=2ZBCP,贝l|90°=2(30°+；川)，

解得〃2=30。，止匕时44。=120。-〃z=90。;

(b)NCBP=2NP,贝lj90°=2(60°-J机)，

解得m=30°,此时ZBAO=120°一利=90。；

(c)ZBCP=2ZP,贝l|30°+：〃z=2(60°-J〃z),

解得m=60°,此时N&40=120。一利=60。；

(d)NP=2ZBCP,贝lj60°-；〃z=2(30°+；%),

解得/"=。。，故舍去，

...ABCP中有一个角是另一个角的2倍，则NA4O为90。或60。.

W3拓展突破练

16.阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样

的三角形我们称为“梦想三角形”，例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形

就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形"，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内

角的度数是另一个内角度数的3倍.

（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为.

（2）如图，已知NMON=60°，在射线0M上取一点A,过点A作交ON于点3,以A为端

点作射线A。，交线段0B于点C（点C不与。、3重合），若NACfi=80。，判定△495、△AOC是

否是“梦想三角形"，为什么？

【解析】（1）36。或18。.

提示：当108。是三角形的一个内角的3倍时，则这个内角为36。，第三个内角也是36。，故最小的内角是36。；

当另外两个内角是3倍关系时，则另外两个内角分别为：54。，18。，故最小的内角是18。.

故答案为:36。或18。.

（2）结论：AAOB，△49C都是“梦想三角形”.

理由：-.-ABLOM,：.ZOAB^9Qa，ZABO=900-ZMON=30°.

NOLB=3NABO,.•.△A05是“梦想三角形”，

ZMON=60°>ZAC3=80°，ZACB=ZOAC+AMON.

ZOAC=80°-60°=20。，.・.ZAOB=3AOAC,:.^AOC是“梦想三角形

17.如图1,赤道式日号是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、号面、号针三部分组成，其中底坐

面与日辱所处地球半径垂直，其示意图如图2.

(1)号针与唇面夹角为;

(2)如图2,日辱所处纬度a为50°,若太阳光(平行光)与日唇底座面夹角为60°,则太阳光与该号面

所夹的锐角度数为.

【解析】⑴90°.

提示：根据题意号面与赤道平行，地轴与赤道垂直，，地轴与劈面垂直,

又•••唇针与地轴平行，，劈针与唇面垂直.即劈针与号面夹角为90。.

(2)20°.

提示：可将题干中图简化为如图:

根据题意结合图形可知：AB//CD,GO1EF,ZAOG=50°,NEIJ=60。.

•••AB//CD,/.ZAOG+ZCHO=180°,即50°+NCW=180°,

AZCHO=13Q°,gpZJH/=130°.

,/NEIJ=60°,ZJIH=90°-60°=30°.

ZIJH=180°-ZJIH-ZJHI=180°-30°-130°=20°.

ZKJC=NIJH=20°.即太阳光与该号面所夹的锐角度数为20。.

W3仿真考场练

18.（2023•浙江衢州•统考中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出cobb角/O的大

小，需将NO转化为与它相等的角，则图中与/O相等的角是（）

A.ZBEAB.NDEBC.ZECAD.ZADO

【答案】B

【解析】由示意图可知：△DOA和都是直角三角形，

:.ZO+ZADO=90°,NDEB+ZADO=90°,:"DEB=NO,故选B.

19.（2023・辽宁•统考中考真题）如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC,ZB=20°,点。是边BC上的动点,

将三角形纸片沿AD对折，使点8落在点"处，当？DL3C时，—54。的度数为.

【答案】25。或115。

【解析】由折叠的性质得：ZADB'=ZADB.,：B'D±BC,：.ZBDB'=90°.

①当夕在BC下方时，如图，ZADB+ZADB'+ZBDB'=360°,

ZADB=|x(360°-90°)=135°,/.ZBAD=180°-ZB-ZADS=25°；

②当8'在8C上方时，如图,

"?ZADB+ZADB'=9Q0,ZADB=-x90°=45°,/.ZBAD=1800-ZB-ZADB=115°.

2

综上，44£）的度数为25。或115。.故答案为：25。或115。.

20.（2021•河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与3D的交点为C,且NA，SB,

NE保持不变.为了舒适，需调整ND的大小，使NE7Z>=110。，则图中ND应___________（填“增加”

或“减少”）__________度.

【答案】减少，10

【解析】VZA+ZB=50°+60°=110o,：.ZACB=180°-110o=70°,:.NDCE=70°,

如图，连接CP并延长,

二ZDFM=ZD+ZDCF=2Q0+ZDCF,ZEFM=ZE+ZECF=3O°+ZECF,

：.ZEFD=ZDFM+ZEFM=20°+ZDCF+300+ZECF=5O°+ZDCE=5O°+yO°=120°,

要使NEF£)=110。，则NEfD减少了10。，若只调整/。的大小，

由ZEFD=ZDFM+NEFM=ZD+ZDCF+ZE+ZECF=