河北省石家庄市赵县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（含解析）

2024-2025学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分）

1.（3分）若依二不在实数范围内有意义，则。的取值范围是（)

A.a>0B.a>5C.“25D.

解：・・・V^二不在实数范围内有意义,

.\a-520,

解得〃25.

故选：C.

2.（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

'X

A.V8B.3bC.D.Va2+4

解：A、V8=2V2,不是最简二次根式，不符合题意;

B、3b=\a\y/3abf不是最简二次根式，不符合题意;

£=孚，不是最简二次根式，不符合题意;

D、"用是最简二次根式，符合题意;

故选：D.

3.（3分）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（

A.

C.D.

解：根据三角形的面积公式，四个选项中阴影部分三角形的高是相等的，若底相等，则面积相等,

：.B,C,。三个选项中阴影部分的面积是相等的,

故选：A.

4.（3分）如图是一个底面半径为5c",高为24on的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效

果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（）

A.24cmB.26cmC.28cmD.30cm

解：如图所示：AC为圆柱形花器底面圆的直径，BC为圆柱形花器高,

线段A8的长度就是圆柱形花器内所能龙虾的最长花茎的长度，

在RtZXABC中，AC=5X2=10cm,BC=24cm,

由勾股定理得：-2=7AC2+BC2=26（cm）.

答：需预留花茎最长为26。加

故选：B.

5.（3分）如图，梯子斜靠在墙面上，点尸是梯子的中点，梯子滑动时，点8沿BC滑向墙角C点,

点A水平远离墙角C点，尸点和C点的距离（）

A.始终不变B.不断变小

C.不断变大D.先变小后变大

解：由题知，

VBC1AC,且点尸为A3的中点，

：.CP为RtAABC斜边上的中线，

1

：.CP=^AB.

・・,梯子的长度不变，

・・・P点和C点的距离始终不变.

故选：A.

6.（3分）设鱼=〃，V3=b,则用含b的式子表示，150,可得（）

A.25abB.5VabC.SabD.25y/~ab

解：VV2=a,V3=b,

/.V2XV3=ab,

BPV6=ab,

.,-V150=V25x6=5A/6=5ab,

故选：C.

7.（3分）如图，在5义5的正方形网格图中有A、B、。三点，网格中以A、B、。三点为顶点的平行四边

形有（）个.

IAIl

B

r-nrr-n

।____।i___i

c

A.1B.2C.3D.无数

解：如图,

在5X5的正方形网格图中有A、B、C三点，网格中以A、B、C三点为顶点的平行四边形，”有:

以BC为对角可画平行四边形ACDB,以AC为对角线可画平行四边形ABCZh,共两个，

故选：B.

8.（3分）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相

连构成一个三角形.如图2,若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（）

A.2,3,5B.3,4,5C.6,8,13D.5,12,14

解：图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形.如图2,中间的三角形为直角三角形,

图2

ZACB=90°,

在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2+BC1=AB2,

：.以AC为边长的正方形面积+以BC为边长的正方形面积=以AB为边长的正方形的面积，

：2+3=5,3+4W5,6+8K13,5+12W14,

...三个正方形纸片的面积可以是2,3,5,

故选：A.

9.（3分）小迅家有一个长6而z,宽3dm,高4d.的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头

屑掉在了鱼缸顶部的点B处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点A处出发，想吃到鱼缸顶部2处的馒头屑，它爬

行的最短路程是（）

A.V97dmB.（2V13+3）dm

C.13dmD.9dm

解：如图，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，

A

则这个长方形的长和宽分别是9和4,

则所走的最短线段AB=、92+42=（dm）；

故选:A.

10.（3分）为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边

形框架ABCZ）,并在A与C,8与。两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC,用左手向

右推动框架至（如图2）,观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（）

①四边形A8CD由平行四边形变为矩形；②B、。两点之间的距离不变；③四边形的面积不变;

④四边形ABCD的周长不变.

BCBC

图1图2

A.①②B.①④C.①②④D.①③④

解：①由有一个角是直角的四边形是矩形可知此时四边形ABC。由平行四边形变为矩形，

故①正确；

②B、。两点之间的距离不断变化，

故②错误；

③由底不变，高不断变化可知，四边形A8CD的面积不断变化，

故③错误；

④由四边形的长度不变可知四边形ABCD的周长不变，

故④正确.

所以正确的说法有①④.

故选：B.

11.（3分）正方形ABC。、正方形CEFG如图放置，点8,C,E在同一条直线上，点尸在边上，出=

PF,且NAPE=90°,连接交于H,有下列结论：®BP=CE；®AP=AH；③NBAP=NGFP；

@BC+CE-|AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG=2SAAPF.以上结论正确的个数有（

D

C.3个D.2个

解：VZAPF=90°,

AZAPB+ZFPE=90°,

而NAPB+NBAP=90°,

：.ZBAP=ZFPE,

在AAB尸和中

2BAP=乙EPF

AB=Z.E，

AP=PF

：.△ABPQXPEF,

:・BP=EF,

・・,四边形C功G都是正方形，

:・CE=EF,

：.BP=CE,所以①正确；

•：NBAPW/DAH,

：.不能判断△ASP之△AOH,

・••不能确定AP=AH,所以②错误;

・・,四边形C功G都是正方形

：.GF//CEf

:・/EPF=/GFP,

而/BAP=NEPF,

；.NBAP=NGFP,所以③正确；

VZAPF=90°,AP=PF,

.•.△APP为等腰直角三角形，

：.AF=V2AP,

：.AP2=%产，

'：AP2=AB2+BP2,

ffi]AB^BC,BP=CE,

:.BC2+CE2=1AF2,所以④错误；

■.*S正方形ABCD+S正方形CEFG=AB2+CE^=Ap2,

SAAPF=%#，

S正方形ABCD+S正方形CEFG=2SAAPF,所以⑤正确.

故选：c.

12.（3分）如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,尸为边5C上一动点PE_LAB于E,PFLAC^F,

M为■中点，当点尸从点B运动到点。，点M运动的路径长为（）

BPC

A.1.5B.2C.2.4D.2.5

解：连接AP,

由题意可得：

AB2+AC2=32+42=25,BC2=52=25,

:.AB1+AC2=BC2,

：.AABC是直角三角形，

：.ZBAC=9Q°,

9：PELAB,PF±AC,

：.ZPEA=ZPFA=90°,

・•・四边形AEP/是矩形，

：.EF=AP,

・・•点M是EF的中点，

・••点”是■与A尸的交点，

1

：.AM=MP=^AP,

取A5的中点为,AC的中点为，连接MM',M'M",

BPC

由题意可得：MM'是△ABP的中位线，

：.MM'//BP,

：.ZAM'M=/B,

是定值，

?.ZAM'M也是定值，

VA,M'是定点，

在W所在的直线上运动，

"：M'M"是△ABC的中位线，

=^BC=2x5=2.5,M'M"||BC,

：.ZAM'M"=ZB=ZAM'M,

：.M',M、M"三点共线，

1

'：AM=^AP,

当尸与8点重台时，M与重合，当尸与C点重合时，/与重合,

的运动路径长为AT的长度，即M运动的路径长为2.5,

故选：D.

一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分）

13.（3分）比较大小：377<4枚（填">”“<”或“=”）.

解：（3V7）2=63,（4V6）2=96,

；.63<96,

.•.3V7<4V6,

故答案为：<.

【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方法比较大小是解题的关键.

14.（3分）如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要17米长.

解：根据勾股定理，楼梯水平长度为V132-楼=12米,则红地毯至少要12+5=17米长.

15.（3分）如图，nABCD中，AD=5cm,CD=3cm,AE平分/BA。，则EC=2cm.

解：在口ABC。中，BC=AD=5cm,AB=CD=3cm,AD//BC,

平分/BAQ,

ZBAE=DAE,

'：AD//BC,

:./BEA=DAE,

：.ZBAE=BAE,

'.BE—AB—3cm,

：.CE=BC-BE=5-3=2{cm},

故答案为：2cm.

16.（3分）如图：点A在线段BC上，AB=4,AC=6,△DAB是等边三角形，四边形ADEF是正方形，点

尸是BE上一个动点，连接B4,PC则B4+PC的最小值为_2回—.

E

/

F

CAB

解：作A点关于BE的对称点A',连接A'B与BE交点、为P,

：.PA+PC=PA'+PC2CA',

•••ADAB是等边三角形，四边形ADEF是正方形，

：.BD=AD=DE,ZBDE=ZBDC+ZADE=150°,ZDBC=60°,

:.NEBD=15°,

:./EBC=45°,

由轴对称的性质可得NA'BE=NEBC=45°,

：.ZA'8c=90°,

：.AB=A'8=4,

在RtzXA'BC中，BC=AB+AC=4+6=10,A'B=4,

：.A'C=y/A'B2+BC2=V102+42=2V29.

J.PA+PC的最小值为2回，

故答案为：2例.

三、解答题(本大题共8道小题，共72分)

17.(7分)计算：

(1)2V12+V27-3V48；

(2)—18—2g)+V2+(yj2,+1)(V^—1).

解：⑴2V12+V27-3V48

=4V3+3V3-12V3

=—5V3；

(2)(V18-2J1)V2+(V2+1)(V2-1)

—(3V2—2^^)+V2+(2—1)

=3-孚+1

=4-f

18.（8分）课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成以下问题.（方格纸中每个小方格的边长为1）

（1）如图1,线段AB的长为3,请以AB为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，三角形的顶点均为

格点，使得一条边为遥，则第三边的长为_2七；

（2）截取出方格纸的局部如图2,将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图2中用实线画出剪切

线，在图3中画出拼成的正方形.

解：（1）如图1,三角形ABC即为所求.

由勾股定理得，BC=V42+22=2底

第三边的长为2曲.

故答案为：2遍.

（2）由图2可知，剪拼成的无重叠无缝隙的正方形的面积为1X5=5,

剪拼成的无重叠无缝隙的正方形的边长为近.

如图2、图3所示.

图2图3

19.（8分）如图，在。ABC。中，G是边C£＞上一点，8G的延长线交AD的延长线于点E,AF=CG.

（1）求证：四边形。EBG是平行四边形.

（2）若/。GE=105°,求44即的度数.

证明：(1),:口ABCD,

NA=NC,AD=CB,

又AP=CG,

:.AADF经ACBG(SAS)

：.DF=BG,

(2);AADF2ACBG,

ZAFD=NBGC=ZDGE=105°

20.(8分)阅读材料，回答问题：

（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”.这句话的意思是:

“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5.”上述记载表明了：在R£A2C中，如果/

C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,那么a,6,c三者之间的数量关系是：层+廿二。？,利用此数量

关系解决以下问题；

(2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，

去本八尺而索尽.问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱

上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽.问

绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索48的长为x尺，根据题意，可列方程为3-3)2+82

(3)如图2,把矩形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为EF,如果AB=4,BC=8,求8E的长.

今

系

有

MH索

木

木

委

用

索

地

却

三

行

尺

图2

解：(1)在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,

由勾股定理得：a2+b2^c2,

故答案为：/+必=02；

(2)设绳索AC的长为无尺，则的长为(%-3)尺,

在RtAABC中，由勾股定理得AB2+BC2=AC2,

(x-3)2+82=X2,

故答案为:(x-3)2+8?=/；

(3)把矩形ABC。折叠，使点C与点A重合，折痕为EF,如果AB=4,BC=8,设BE=x,贝|EC=8

-x,

.,.AE=EC=8-x,

由矩形的性质可得/B=90°,

在RtAABE中，由勾股定理得AE1=AB2+BE1,

(8-x)2=42+^,

解得，尤=3,

则BE的长为3.

21.(9分)我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”.

(1)在我们学过的下列四边形；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，这些四边形中是“宁美四

边形”的有④(填序号)；

(2)如图，在正方形A8CD中，E为BC上一点、,连接AE,过点8作8GLAE于点从交于点G,

连接AG、EG.求证：四边形A2EG是“宁美四边形”.

(1)解：•••平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分,

①②③选项中的图形不是“宁美四边形”；

\•正方形的对角线互相垂直平分且相等，

④选项中的正方形是“宁美四边形”，

故答案为：④；

(2)证明：在正方形ABC。中，于点”，

AZABC=ZBCD=90°,ZBAE+ZABG=90°,

：.ZABG+ZCBG=90°,

：.ZBAE=ZCBG,

在△ABE和△BCG中，

2BAE="BG

AB=BC,

zABE=乙BCG

.'.△ABE段ABCG(ASA),

：.AE=BG,

XVBGXAE,

四边形ABEG是“宁美四边形”.

22.(9分)请阅读下列材料：

问题：已知》=有+2,求代数式/-4x-7的值.小明根据二次根式的性质：(6)2=a.

联想到了以下的解题方法：

由x=4+2得x-2=V5,贝ij(x-2)2=5,

即x2-4x+4=5,-4尤=1,

把f-4x作为整体，得：x2-4%-7=1-7=-6.

请回答下列问题：

(1)已知久=百一3,求代数式尤?+6X+8的值.

(2)已知》=与L求代数式/+*/的值.

解：(1)由3,x+3=V3»

贝1J(x+3)2=/+6X+9=3,

.,•f+6x=-6,

.*.X2+6X+8=2；

(2)由得2x+l=贝I(2x+l)2=4.f+4x+l=2,

••JC+X=-T,

•*.X3+-7X2

=/（4/+4x+x）

=%14（/+x）+x]

=%（4x1+x）

1，、

=4X（zx+1）

=4x（f+尤）

=71X71

44

1

=16-

23.（11分）【问题提出】

（1）如图①，在△ABC中，AB=1,BC=亚,AC=网,则△ABC是直角三角形；（填“直角”

“锐角”或“钝角”）

【问题探究】

（2）如图②，NAOB=45°,点C为射线上一点，且0c=2,点。为射线上的动点，当△0C。

为等腰三角形时，求0D的长；（结果保留根号）

【问题解决】

（3）如图③，TXABC为某植物园的一片绿化区域，且48=10米，2C=50米，2C=10房米，己知在

54的延长线上，距离A点40米的点。处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划

沿CD修一条小路，并在CD上找一点E,在AADE中种植桅子花，请你计算种植桅子花的区域△ADE

为等腰三角形时，CE的长.（结果保留根号）

A

A

CA

解：(1)在△ABC中，AB=a-b,BC=2y/ab.AC=a+b,

2222222222

.9.AB=(a-b)=a-lab+b,AC=(〃+Z?)=a+2ab+b9BC=(2Vo^)=4ab,

AB2+BC2=c^+lab+b1=AC2,

・•・△ABC是直角三角形,

故答案为：直角;

(2)①如图②-1,当0。=。。=2时，则NCDO=NCOZ)=45°,

：.ZOCD=1SO°-45°-45°=90°,

图②一1

②如图②-2,当。时，则NOCD=NCOZ)=45

：.ZODC=180°-45°-45°=90°,

在直角三角形0C。中，由勾股定理得：OC=7OD2+0C2=近OD,

：.0D=^0C=V2；

③当满足OO=OC=2时，△OCD也满足是等腰三角形；

综上所述，当△OCD为等腰三角形时，。。=2鱼或鱼或2；

(3)：A8=10米，8C=50米，4c=10屈米，

AB2+BC2=102+502=2600,AC2^(10V26)2=2600,

：.AB2+BC2=AC2,

.,.△ABC是直角三角形，且/ABC=90°,

又：&。=40米，且点。在54延长线上，

：.BD=AB+BD=10+40=50米，

.•.8C=BO=50米，

...△D8C为等腰直角三角形，

AZD=45°,

在直角三角形BCD中，由勾股定理得：CD=7BD2+BC2=50鱼米,

①当DE=AE时，如图③-1,则/。，

AZA£D=180°-45°-45°=90

在直角三角形AOE中，由勾股定理得：AD=y/AE2+DE2=<2DE,

VAZ)=40米，

：.DE=20鱼米，

CE=CD-DE=5距-20V2=30鱼米，

②当AD=AE时，如图③-2,则40=44即=45

图③一2

；.ND4E=180°-45°-45°=90°,

在直角三角形AOE中，由勾股定理得：DE=7AD2+g=40&米,

：.CE=CD-Z)£=50V2-40V2=10/米，

③当4。=。5=40米时，如图③-3,

图所3

则CE=CD-DE=（50V2-40）米，

综上所述，为等腰三角形时，CE的长为30鱼米或10鱼米或（50鱼-40）米.

24.（12分）综合与实践课上，老师让数学兴趣小组以“画菱形”为主题开展数学活动.请仔细阅读，并完

成相应的任务.操作判断：

将三角板ABC(NACB=30°)放置在图纸上，延长直角边氏4,以点C为圆心、C4长为半径作弧，以

点A为圆心、AC长为半径作弧，交54的延长线于点E,交前弧于点。，连接CD,DE,则四边形ACDE

为菱形，如图①.

(1)在上述操作中，判断四边形ACDE是菱形的依据可能是①③④(填序号).

①四条边都相等的四边形是菱形

②对角线互相垂直的四边形是菱形

③有一组邻边相等的平行四边形是菱形

④对角线互相垂直的平行四边形是菱形

迁移探究：

(2)数学兴趣小组继续探究，过程如下：如图②，作半圆。及其直径A2.分别以点。，B为圆心、大

于一半的长为半径作弧，两弧交于点M,N,作直线M