积和商的变化规律-小升初数学思维拓展计算问题专项训练

专题14积和商的变化规律

小升初数学思维拓展计算问题专项训练

（知识梳理+典题精讲+专项训练）

知的梳理

1、积的变化规律：

（D如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数不变，那么，它们的积也乘或除以同一个

数。

（2）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变。

2、商的变化规律：

①除数不变，被除数乘（除以）一个数，商也乘（除以）同一个数；

②被除数不变，除数乘（除以）一个数，商除以（乘）同一个数；

③被除数和除数同时乘（除以）同一个数，商不变。

].

典敦器也，

【典例一】aXb的一个因数乘10,另一个因数也乘10,得到的积等于（）

A、原来的积乘10B、原来的积乘20C、原来的积

乘100

【分析】根据积的变比规律：一个因数乘10,另一个因数也乘10,原来的积就乘10X10.据

此进行选择即可.

【解答】解：aXb的一个因数乘10,另一个因数也乘10,得到的积等于原来的积乘100.

故选：C.

【点评】此题考查积的变化规律的运用：一个因数乘（或除以）10,另一个因数也乘（或除

以）10,原来的积就乘（或除以）100.

【典例二】（1）计算下面两组题目的得数。

（2）你有什么发现？用语言或数学符号概括你发现的结论。

（3）试着从数学的角度分析这个结论背后的原因。

【答案】（2）

（2）因数2.5不变，另一个因数越大，所得的积越大；另一个因数越小，所得的积越小。

被除数15.2不变，除数越大，商越小；除数越小，商越大。

（3）两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数扩大到原来的多少倍，积也扩大到原来的

多少倍；另一个因数缩小到原来的几分之几，积也缩小到原来的几分之几。

两数相除，被除数一定时，除数越大，商越小。

【分析】（1）分别计算出各个算式的积和商。

（2）然后根据所得的积（商）概括自己的发现。

（3）根据积的变化规律和商的变化规律解释。

【解答】解：

（1）因数2.5不变，另一个因数越大，所得的积越大；另一个因数越小，所得的积越小。

被除数15.2不变，除数越大，商越小；除数越小，商越大。

（2）两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数扩大到原来的多少倍，积也扩大到原来的

多少倍；另一个因数缩小到原来的几分之几，积也缩小到原来的几分之几。

两数相除，被除数一定时，除数越大，商越小。

【点评】解答本题的关键是熟练掌握积的变化规律和商的变化规律。

a项制精

选择题（共8小题）

1.两个数的商是0.08,被除数扩大到原来的10倍，除数缩小到原来的-L,商是（）

A.8B.0.8C.0.08

A.0.0062B.0.062C.6.2D.620

3.两个数的积是320,一个因数乘10,另一个因数不变，积是（）

A.320B.32C.3200

5.两个数相除的商是0.6,如果被除数扩大到原来的10倍，除数缩小到原来的工，那么商

10

是（）

A.0.06B.0.6C.6D.60

6.两个数相乘的积是420,一个乘数不变，另一个乘数乘5,积是（）

A.2100B.84C.425

A.14.97B.149.7C.538.92D.688.62

二.填空题（共8小题）

9.在横线里填上“>”“<”或“=”。

8x18+7

7

10.甲数除以乙数，商是20,余数是15,若甲、乙两数同时扩大100倍，则商是,余

数是.

13.a除以6,商是2,余数是3,如果a和6同时扩大到原来的100倍，那么商是,

余数是O

三.计算题（共4小题）

19.根据条件，写出下面两题的商或积。

20.找规律。

如表是五年级上册数学书上的一题。让你联想到了六年级将要学到什么知识？

先算一算，再比较每组题的得数，你有什么发现？

我想到了：

四.解答题

21.本学期我们学习了“商的变化规律”，积累了探索规律的经验。如果被除数乘一个数,

除数同时除以相同的数（0除外），则商会怎样变化？请你探索规律，并完成下面的问题。

举例：

我发现：

22.填一填，你能发现什么？

被除数560560560560

除数24816

商

观察表格中的数据，你有什么发现？请写一写。

24.妈妈准备用96元钱买一些花苗来美化自家的院子。

花苗的单价(元)2468

花苗的棵数(株)

————

(1)请将表格填写完整。

(2)你发现了什么？

25.

(1)先计算，再比较商和被除数的大小，你有什么发现？

(2)我的发现：

(3)利用规律，不计算直接在横线里填“>”或。

如果不对，正确的得数应是O

请根据商不变的规律，正确填出下题的得数：

两数相除，商是6,余数是30,如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商是,余

数是O

27.李叔叔计算器的小数点键失灵了，他用计算器做了以下三道题，请你帮他点上积的小数

点。

28.我们已经学习了积的变化规律。想一想：有没有商的变化规律、和的变化规律、差的变

化规律呢？请你选择其中的一个，先提出猜想，再进行验证。

我的猜想：;

我的验证：;

我的结论：O

29.积的变化规律。

提出问题：积的变化可能和什么有关？有怎样的关系？

合理清想：积的变化和乘数有关，乘数越大，积就越大；乘数越小，积就越小。

设法验证：

乘数乘数积积的变化

20360

203x212060x(2)

20600

324060x(4)

330060x(5)

得出结论一个乘数不变，另一个乘数乘几，得到的积就等于原来积乘几。

学完《积的变化规律》，你有什么收获？还有哪些疑问或新的思考？请你结合这节课的板书

谈一谈。

参考答案

选择题（共8小题）

1.【答案】A

【分析】商的变化规律：

①除数不变，被除数乘（除以）一个数（0除外），商也乘（除以）同一个数；

②被除数不变，除数乘（除以）一个数（0除外），商除以（乘）同一个数；

据此解答即可。

故选：A-

【点评】本题考查了商的变化规律的灵活运用。

2.【答案】B

【分析】如果一个因数乘或除以几（0除外），另一个因数除以或乘相同的数，那么，它们的

积不变；据此解答。

故选：B。

【点评】此题考查了积不变性质的运用。

3.【答案】C

【分析】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除

外），积也会随之乘或除以相同的数，据此解答。

答：两个数的积是320,一个因数乘10,另一个因数不变，积是3200。

故选：Co

【点评】此题主要考查积的变化规律的灵活应用。

4.【答案】B

【分析】先计算出各算式的得数，再比较得解。

故选：Bo

【点评】熟练掌握小数乘除法的计算方法是解决此题的关键。

5.【答案】D

【分析】在除法算式中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变；

除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商就扩大或缩小相同的倍数（0除外）；

被除数不变，除数扩大商反而缩小，除数缩小商就扩大，而且倍数也相同（0除外）；

据此解答即可。

故选：Do

【点评】此题考查了商的变化规律的灵活运用，结合题意分析解答即可。

6.【答案】A

【分析】一个乘数不变，另一个乘数乘几，积就乘几。

【解答】解：两个数相乘的积是420,一个乘数不变，另一个乘数乘5,积就乘5。

故选：Ao

【点评】熟悉积的变化规律是解决本题的关键。

7.【答案】C

【分析】一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于原数；一个数（0除外）除以一个大于

1的数，商小于原数；一个数（0除外）乘一个大于1的数，积大于原数。

故选：C。

【点评】熟练掌握积的变化规律是解题的关键。

8.【答案】B

故选：Bo

【点评】熟练掌握乘法分配律的应用是解题的关键。

二.填空题（共8小题）

9.【答案】＜、＜、=、＞o

【分析】根据积的变化规律与商的变化规律解答即可。

一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；

一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；

除以一个非零的数等于乘这个数的倒数；

一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数；

据此解答即可。

故答案为：＜、＜、=、＞O

【点评】本题考查了积的变化规律与商的变化规律的灵活运用。

10.【分析】根据商不变的性质”被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不

变”，可确定商仍然是20；但是余数变了，余数与被除数和除数一样，也扩大了100倍，由

此确定余数是1500.

【解答】解：甲数除以乙数商是20,余数是15,

如果甲数和乙数同时扩大100倍，那么商不变，仍然是20,

余数与被除数和除数一样，也扩大了100倍，应是1500.

故答案为:20,1500.

【点评】此题考查商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除

外），商不变，要注意：余数与被除数和除数一样，也扩大或缩小了相同的倍数.

11.【答案】4.3,7.9o

【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍（0除外），积也扩

大或缩小相同的倍数；

如果两个因数扩大相同的倍数（0除外），积扩大的倍数就等于两个因数扩大倍数的乘积；两

个因数都缩小到原来的几分之几（0除外），积缩小到原来的几分之几等于两个因数缩小到

原来的几分之几的乘积；由此解答。

故答案为：4.3,7.9o

【点评】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用。

12.【答案】7:50□

【分析】在有余数的除法里，被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），商不

变，但余数也随着乘或除以相同的数。据此解答即可。

故答案为：7；50o

【点评】关键是理解商不变的性质：被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），

商不变，但余数也随着乘或除以相同的数。

13.【答案】2,300o

【分析】商不变的性质：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同倍数（。除外），商不变；据

此解答即可，但余数跟着扩大（或缩小）相同的倍数。

故答案为：2,300o

【点评】此题考查了商不变性质的灵活应用。

14.【答案】20。

【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。据此解答

即可。

【解答】解：根据商不变的性质，被除数和除数同时乘2,商不变。

故答案为：20。

【点评】解答此题应明确：只有被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商才不变。

15.【答案】一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几（。除

外）。

【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除

以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个数；两个因数都除

以几（0除外），积就除以两次这个数。据此解答即可。

【解答】解：三道算式在计算道理上有相通之处，是：一个因数不变，另一个因数乘几或除

以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外）。

故答案为：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外）。

【点评】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用。

16.【答案】10.8：450；240o

【解答】解:

故答案为：10.8；450；240=

【点评】熟练掌握积的变化规律和商的变化规律是解题的关键。

三.计算题（共4小题）

17.【答案】33.97；3.397；4.3。

【分析】积的变化规律：

（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍（0除外），另一个因数不变，那么它们的积也扩

大（或缩小）同样的倍数；

（2）如果一个因数扩大若干倍（0除外），另一个因数缩小相同的倍数，那么它们的积不变。

【解答】解：

故答案为：33.97；3.397；4.3。

【点评】此题重点考查积的变化规律的应用。

18.【分析】两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘以几或除以几，积就乘几或除以几；

根据这个性质即可解决问题.

【点评】此题主要考查的是积不变规律的灵活应用.

19.【答案】37037；37037；1176：392。

【分析】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；如果一个因数乘几，另

一个因数除以相同的数（0除外），那么积不变；一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0

除外），积也乘或除以几。

据此填空即可。

【解答】解:

故答案为:37037；37037；1176；392。

【点评】熟练掌握商不变的规律和积的变化规律是解题的关键。

20.【答案】48；1.3;6：48;1.3：6：0.54；7.2；2；0.54：7.2；2；每组得数都相等，

每组算式中乘法中的一个因数等于除法算式中的被除数，乘法中的另一个因数等于除法算式

中除数的倒数；乘积是1的两个数互为倒数。

【分析】先根据小数乘法、除法的计算方法计算出结果，再观察、发现规律、联想即可解答。

【解答】解：

发现：每组得数都相等，每组算式中乘法中的一个因数等于除法算式中的被除数，乘法中的

另一个因数等于除法算式中除数的倒数。

我想到了：乘积是1的两个数互为倒数。

故答案为：乘积是1的两个数互为倒数。

【点评】解答本题要根据计算结果进行发现，总结规律。

四.解答题

【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；如果被除

数乘一个数，除数同时除以相同的数（零除外），则商就连续乘相同的数；据此解答即可。

【解答】解：根据商的变化规律可知，

【点评】此题考查了商的变化规律的灵活运用。

22.【答案】

被除数560560560560

除数24816

商2801407035

【分析】在除法算式中，被除数不变，除数扩大多少倍（0除外），商随着缩小多少不变。

【解答】解：

被除数560560560560

除数24816

商2801407035

【点评】灵活掌握商的变化规律，是解答此题的关键。

【分析】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以一

个相同的数（0除外）。据此判断即可。

【解答】解：不认同聪聪的观点。

【点评】熟练掌握商的变化规律是解题的关键。

24.【答案】（1）48,24,16,12。

（2）我发现花苗总钱数是一定的，花苗的单价越小，买的棵数就越多。

【分析】我们通过认真观察统计表可以发现，总钱数一花苗的单价=花苗的棵数；计算出花

苗的棵数，同时会发现花苗总钱数是一定的，花苗的单价越小，买的棵数就越多。

（1）填表如下：

花苗的单价（元）2468

花苗的棵数（株）48241612

（2）我发现花苗总钱数是一定的，花苗的单价越小，买的棵数就越多。

故答案为：48,24,16,120

【点评】明确“总钱数一花苗的单价=花苗的棵数；”是解答此题的关键。

25.【答案】（1）3；2.28;0.45;15;8.55;2.7。

（2）一个数（0除外）除以一个大于1的数，商小于原数；一个数（0除外）除以一个小于1

的数，商大于原数。

（3）<,>,<,>o

【分析】（1）根据小数除法的计算方法，直接计算出结果即可；

（2）通过比较除数大于1时，商和被除数的大小，除数小于1时，商和被除数的大小关系，

写出发现即可；

（3）直接根据（2）的结论进行判断即可。

【解答】解：（1）

（2）我的发现：一个数（0除外）除以一个大于1的数，商小于原数；一个数（0除外）除以

一个小于1的数，商大于原数。

（3）

故