两条直线的位置关系（解析版）-2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第09讲两条直线的位置关系

滂总维导图

相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.

概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向

延长线且这两个角有公共顶点.

对顶角

相交线性质：对顶角相等.

互补：如果两个角的和是180。，那么称这两个

角互为补角，也称互补.

互余：如果两个角的和是那么称这两个

互补与互余90°,

角互为余角，也称互余.

性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的

余角相等.

两条直线的位置关系

垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，

那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂

线，它们的交点叫做垂足.

垂线

平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂直的性质

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

平行线：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.在同一个平面

内，不相交的两条直线叫做平行线.

，核心考点聚焦

1.对顶角的定义

2.利用对顶角相等求角度

3.求一个角的余角

4.求一个角的补角

5.与余角、补角有关的综合计算问题

6.垂线定义的理解与应用

7.利用垂线的定义求角的度数

8.点到直线的距离与垂线段最短

一、相交线

1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直

线CD相交于点0.

2.对顶角的概念及性质

对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两

个角叫做对顶角.性质：对顶角相等.

3.互补与互余

互补：如果两个角的和是180。，那么称这两个角互为补角，也称互补.

互余：如果两个角的和是90。，那么称这两个角互为余角，也称互余.

性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.

二、垂线

1.垂直的概念及表示.

两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另

一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“，”表示两条直线互相垂直.如下图，直线A8与直

线CO垂直，记作垂足为O.

垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90。的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条

直线垂直可以得到直角（或90。的角）.

2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线/的垂线，垂足为点8,则线段A8的长度叫做点A到直

线/的距离，此时线段叫垂线段.

"A

_____□______

BI

三、平行线

1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

表示方法：我们通常用“〃”表示平行.如下图所示，A3与CD平行，记作或C0〃AR

平行线三要素：①在同一个平面内；②两条直线；③不相交.三者缺一不可.

A----------------------------------B

C----------------------------------D

BE®®

1.对同角和等角的理解以及同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.

2.利用余角，补角，垂线计算角的综合问题.

»考点剖析

考点一、对顶角的定义

例题1：下列所给的N1和N2中，是对顶角的是（）

【答案】C

【解析】A、两个角没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故A项错误；

B、/I的反向延长线并不是/2的两边，不符合对顶角的定义，故B项错误；

C、/I的反向延长线是N2的两边，且两角有公共顶点，符合对顶角的定义，故C项正确;

D、两个角没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故D项错误.

故选C.

【变式训练】

1.下列各图中，N1与N2是对顶角的是（）

【答案】C

【解析】A、N1的两边不是/2的两边的反向延长线，N1与/2不是对顶角，故该选项不符合题意;

B、N1的两边不是/2的两边的反向延长线，N1与N2不是对顶角，故该选项不符合题意；

C、N1的两边分别是/2的两边的反向延长线，N1与/2是对顶角，故该选项符合题意；

D、N1的两边不是N2的两边的反向延长线，N1与/2不是对顶角，故该选项不合题意.

故选C.

考点二、利用对顶角相等求角度

例题2：如图，两条直线相交于点O,若/1+/2=60。，贝|/2=度.

【答案】30

【解析】因为Nl+N2=60。，Z1=Z2(对顶角相等)，所以N2=30。.故答案为：30.

【变式训练】

1.如图，已知直线和8相交于。点，NDOE=90°,射线OF平分/AOE,ZBOD=22°,求/COR的

度数.

【解析】因为/Z)OE=90。，所以NCOE=18()o—90°=90。，

因为N3O£>=22°,所以ZAOC=ZBOQ=22。，所以NAOE=NAOC+NCOE=112°,

因为O尸平分NAOE,所以440尸=工440石=56。，所以NC=NAOF-NAOC=56。-22。=34。.

2

考点三、求一个角的余角

例题3：若一个角的度数为49。39',则它的余角的大小为.

【答案】40。21

【解析】一个角是49。39',则它的余角=90。-49。3夕=40。21'.故答案为：40。21'.

【变式训练】

1.已知N1与N2互余，若4=46。，则N2的度数为°.

【答案】44

【解析】因为N1与N2互余，所以Zl+N2=90。，因为/1=46。，所以/2=90。-/1=44。，故答案为：44.

2.如果一个角的余角是30。，那么这个角的对顶角是.

【答案】60°

【解析】由题意，得90。-30。=60。，故这个角的对顶角的度数是60。.故答案为：60°.

考点四、求一个角的补角

例题4：已知2=45。50',则/A的补角等于.

【答案】134。10，

【解析】—A的补角为180。-45。50'=134。10',故答案为：134°10,.

【变式训练】

1.已知/a与4?互补，且Na=39。，则.

【答案】141°

【解析】因为/。与少互补，即Na+N£=180。，而Na=39。，

*•4=180°-39°=141°,故答案为：141。.

2.已知/。=21。18',则/a的补角等于—.

【答案】158°42'

【解析】•.•/£/=21。18',.•./£的补角为：180。—21。1&=158。42"故答案为：158°42'.

考点五、与余角、补角有关的综合计算问题

例题5：如图，/AOC与/3OC互为补角，/BOC与NBOD互为余角,OE平分/AOC.

⑴若NBOC=2NBOD,求N8OC的度数；

⑵若/AOC+/EOB=230。，求/BOE的度数.

【解析】(1)因为N30C与/30D互为余角，所以N3OC+/BQD=90。，

22

因为ZBOC=2NBOD,所以ZBOC=—NCOD=-x90°=60°.

33

(2)因为/AOC与N3OC互为补角，所以NAOC+/3OC=180。.

因为OE平分/AOC,所以可设NAOE=NEOC=x,

所以ZAOC=2x,ZEOB=180°-x,

因为ZAOC+Z.EOB=230°,所以2x+180°—x=230°,

解得x=50。,所以Z8OE=130。.

【变式训练】

1.如图，已知点O为直线上一点，ZCOD=90°,OE是/48的平分线.

(1)如图1,若ZCOE=55。，求ZBOD的度数；

(2)如图2,O9是/3OC的平分线，求NEO尸的度数；

⑶在(2)的条件下，0P是/30D的一条三等分线，若ZAOC+/DOF=NEOF,求NFOP的度数.

备用图

【解析】(1)Z.COD=90°,NCOE=55。，/.ZDOE=ZCOD-ZCOE=35°,

•.­OE是ZAOD的平分线，ZAOD=2ZDOE=70°,

ZBOD=180°-ZAOD=180°-70°=110°.

(2)•.•OE'是ZAC©的平分线，；.ZAOE=gzAOD=g(ZAOC+90。)，

•/OF是NBOC的平分线，NBOF=ZCOF=|ZBOC=1(ZBOD+90°),

ZEOF=180°-ZAOE-NBOF=90°-1(ZAOC+ZBOD),

ZAOC+ZBOD=180°-90°=90°,ZEOF=90°--x90°=45°.

2

(3)由(2)得NEO尸=45°.

ZAOC+ZDOF=ZEOF=45°,:.ZDOF=45°-ZAOC.

又­.•ZDOF=ZCOD-ZCOF=90°-1(NBOD+90°)=45°-：ZBOD,

.-.45°-ZAOC=45°--ZBOD,/.ZAOC=-ZBOD.

22

■：ZAOC+ZBOD=90°,ZAOC=30°,ZBOD=60°,/.ZDOF=45°-30°=15°.

当=时，ZDOF=20°,ZFOP=ZDOF+ZDOP=15°+20°=35°.

3

2

当ZDOP=gZBOD时，ZDOP=40°,ZFOP=ZDOF+ZDOP=15°+40°=55°.

综上可得NFOP的度数为：35。或55。.

考点六、垂线定义的理解与应用

例题6：如图所示，下列说法不正确的是()

A

A.点B到AC的垂线段是线段48B.点C到的垂线段是线段AC

C.线段是点D到BC的垂线段D.线段8。是点8到AD的垂线段

【答案】C

【解析】A、点B到AC的垂线段是线段AB,正确，故此选项不符合题意；

B、点C到的垂线段是线段AC,正确，故此选项不符合题意；

C、线段AD是点A到BC的垂线段，原说法错误，故此选项符合题意；

D、线段8D是点8到AO的垂线段，正确，故此选项不符合题意；

故选C.

【变式训练】

1.如图，NACB=90。，CD1AB,垂足为点。，则下面的结论正确的有（）

①2C与AC互相垂直；

②AC与8互相垂直；

③点A到BC的垂线段是线段BC-,

④点C到AB的垂线段是线段CD；

⑤线段AC的长度是点A到BC的距离.

C

【答案】B

【解析】•.•NACB=90。，.1BC与AC互相垂直，故①正确；；CDLAB,垂足为点D,二.AC与CO不垂直,

故②错误；

点A到BC的垂线段是线段AC,故③错误；点C到■的垂线段是线段CD,故④正确；

线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑤正确.故选B.

考点七、利用垂线的定义求角的度数

例题7：如图，直线A3与8相交于点。，0E是NAOC的平分线，OFLCD,OGLOE,/BOD=36。.

⑴求ZAOb的度数；

（2）/£（如与々00是否相等，请说明理由；

（3）直接写出图中ZAOE的所有余角.

【解析】（1）因为CD,所以NCO/=90。,

又因为NAOC与N30D是对顶角,

所以ZAOC=NBOD=56°,

所以ZAOF=NCOF-ZAOC=90°-56°=34°；

(2)相等，理由：

因为,AOC与/。。是对顶角，所以NAOC=N3OD=56。,

因为OE是/AOC的平分线，所以/AOE=!/AOC=28。，

2

又因为OG_LOE,所以NEOG=90。，

所以NBOG=18()o—NAOE—/EOG=62°,

而/EOF=ZAOF+AAOE=34°+28°=62°,

所以/EOF=/BOG；

(3)图中/AOE的所有余角为NEO/，ZCOG,ZBOG.

【变式训练】

1.如图，直线AB,CO相交于点。，EOA.AB,垂足为。.

(1)若NCOE=34。，则Z48的度数为。(直接写出结果);

(2)若/AOD+/COE=170。，求/COE的度数.

【解析】(1)-.-EOIAB,:.NEOB=90°,

ZCOE=34°,Z.COB=Z.COE+ZEOB=124°,

ZAOD=ZCOB=124°,故答案为：124；

(2)ZAOD+ZCOE=170°,:.ZBOC+ZCOE=110°,/.ZBOE+/1COE+Z.COE=170°,:.ZBOE+2ZCOE=170°,

;NBOE=90。,:.ZCOE=40°,.•.NCOE的度数为40。.

考点八、点到直线的距离与垂线段最短

例题8：如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，A,B,C都在格点上.

P-|—[]1-1-11-11—1J1-1J-'1-1p-1~<~rg—~■用

(1)过点A作直线BC的垂线，垂足为G；

(2)过点A作直线AHLAB,垂足为A,直线A”交3c于点H;

(3)点A到直线BC的距离等于个单位长度.

【解析】（1）如图，直线AG即为所求.

（2）如图，直线A”即为所求.

（3）由（1）中图可得，点A到直线BC的距离等于2个单位长度.

【变式训练】

1.如图，网格线的交点叫格点，格点尸是NAQ5的边上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点

画图）.

（1）过点P作的垂线，交于点E；过点P作。4的垂线，垂足为尸；

（2）线段的长度是点尸到直线的距离，线段的长度是点E到直线。8的距离，所以线段

PE、PF、OE这三条线段大小关系是（用号连接），理由是.

【解析】（1）由题意作图如下，尸E是的垂线，PF是Q4的垂线.

（2）线段尸产的长度是点P到。4的距离，线段尸E的长度是点E到直线的距离，

由垂线段最短可知，PF<PE<OE,故答案为：OA,PE,PF<PE<OE,垂线段最短.

»过关检测

一、选择题

1.若一个角是40。，则这个角的余角是（）

A.40°B.50°C,60°D.140°

【答案】B

【解析】因为一个角是40。，所以这个角的余角是90。-40。=50。.故选B.

2.如图，点。在直线AB上，ZCOD=75°.若/AOC=135。，则NBQD的大小为（)

A.15°B.20°C.30°D.45°

【答案】C

【解析】因为NAOC+N3OC=180。，ZAOC=135°,

所以ZBOC=180°-135°=45°,

因为/COD=75。，

所以NBOD=Z.COD-NBOC=75°-45°=30°,

故选C.

C.①②④D.①④

【答案】C

【解析】图①中的N1与N2是同位角，

图②中的N1与N2是同位角，

图③中的/I与N2不是同位角，

图④中的/I与N2是同位角，

所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的/I和/2是同位角.

故选C.

4.如图，尸是直线/外一点，A,B,C三点在直线/上，且于点3,ZAPC=9Q°,则下列结论中正

确的是（）

①线段B尸的长度是点尸到直线/的距离；②线段4尸是A点到直线PC的距离；③在外PB,PC三条线段

中，PB最短;④线段PC的长度是点P到直线/的距离.

P

ABC

A.①②③B.③④C.①③D.①②③④

【答案】C

【解析】因为尸3，/于点B,所以线段3尸的长度是点P到直线1的距离，故①正确，④错误；

因为NAPC=90。，所以线段AP的长度是A点到直线尸C的距离，故②错误；

根据垂线段最短，在延PB,PC三条线段中，PB最短,故③正确；

故选C.

5.如图，平面内ZAO8=NCOZ）=90。，O/平分N4OD,尸为0E反向延长线上一点（图中所有角均指小于180。

的角），有以下结论：®ZAOE=ZDOE；②NAOr>+NCO3=180。；@ZCOB-ZAOD=90°；

④若NFOD：/COE=21,贝i]/FOD=36。.其中结论正确的序号有（）

A

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

【答案】A

【解析】因为OF平分NAOD,所以NAO尸=/£>■,所以180。一/4。尸=180。—/OOP,

即NAOE=NDOE,故结论①正确；

因为ZAO8=NCC©=90。，

所以ZAOD+ZCOB=ZAOD+ZAOC+ZAOB=180°,故结论②正确；

因为ZCOB-ZAOD=ZAOC+ZAOB-ZAOD=ZAOC+90°-ZAOD,

又因为NAOCw/AOD,

所以NCOS-NAODw90。，故结论③不正确；

若NFOD：NCOEd,设=则/COE=7x,ZAOF=NDOF=2x,

因为/COD=90°,所以ZAOC=ZCOD-ZAOF-ZDOF=90°-4x,

又因为NEOF=180°,所以ZAOC=Z.EOF-NCOE-ZAOF=180°—7x-2x=180°-9x,

所以90。-4彳=180。一9巧所以x=18。，所以/=36。，所以结论④正确.

综上所述，结论正确的序号有①②④.

故选A.

二、填空题

6.已知/4=34。42',则/a的余角为,补角为.

【答案】55。这；145°18'

【解析】•1•Za=34042,,Na的余角=90°-34。42,=89。60'-34。42,=55。18',

Za的补角=180。一34。42,=179。60'-34。42,=145。18'.故答案为：55°18,,145。18,.

7.如图，直线48,C。相交于点。，EO1CD,AB平分NEOD,则/30C的度数为

【答案】45°

【解析】•.♦EOLCD，:.ZEOD^90°,AB平分/EOD,:.ZAOD=g/EOD=45。,

:.ZBOC=45°,故答案为：45°.

8.如图，AC±BC,垂足为C,若3c=3cm,AC=4cm,AB=5cm,则点A到2C的距离为cm.

【答案】4

【解析】因为垂足为C,所以点A到5c的距离即为线段AC的长度4cm.故答案为：4.

9.如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ,做法如下：过点A作尸Q于点8,沿着AB

方向铺设排水管道可用料最省.能准确解释这一现象的数学知识是.

【答案】垂线段最短

【解析】由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”，故答案为：垂线段最短.

10.如图①，点。在直线AB上，ZAOC=120°,ODA.AB,将。。绕点O以每秒2。的速度按逆时针方向旋

转（如图②），当。。旋转到第f秒时，0。平分/30C,贝卜的值为.

图①图②

【答案】60

【解析】因为NAOC=120。，所以/BOC=18()o-/AOC=60。，

因为8_LAB,所以NSO£>=90°,

因为将OO绕点。以每秒2。的速度按逆时针方向旋转f秒时，OD平分NBOC,

所以NBOD=30°,则2。/一90。=30。，解得/=60,故答案为：60.

三、解答题

11.如图，直线AB,CD相交于点。，OELCD于。，OD平分NBOF,若NBOE=55°,求ZAO/的度数.

【解析】因为OELCZ),所以NEOD=90。.

因为ZBOE=55°,所以Z.BOD=Z.EOD-Z.BOE=90-55°=35°.

因为0。平分NBOF,所以ZBOF=2NBOD=35°x2=70°,

所以ZAOF=180°-ZBOF=180°-70°=110°.

12.如图，O为直线MN上的一点，且NAO3=90。，OC平分NMOB.

⑴若ZBON=160°,则ZAOC的度数为.

⑵若OD平分NCON,且NAQW=62。，求，30。的度数.

【解析】(1)因为N3ON=160。，

所以Z.MOB=180°-160°=20°,

因为0c平分NMO3,

所以ZCOB=-ZMOB=10°,

2

因为NAO3=90。，

所以ZAOC=90°-10°=80°,

故答案为:80。；

(2)因为NAOB=90。，ZAOM=62°,

所以/3QM=28。.

因为OC平分

所以NBOC=ZMOC=14°,

所以Z.CON=180°-14°=166°.

因为0。平分NCON,

所以NCOD=166°+2=83°,

所以Z.BOD=Z.COD-Z.BOC=83°-14°=69°.

13.如图，已知直线AB,8相交于点0,/CO