平面向量的数量积及其应用（八大题型）（讲义）解析版-2025年高考数学一轮复习

第02讲平面向量的数量积及其应用

目录

01考情透视目标导航.............................................................2

02知识导图思维引航.............................................................3

03考点突破•题型探究.............................................................4

知识点1：平面向量的数量积......................................................4

知识点2：数量积的运算律........................................................5

知识点3：数量积的性质..........................................................5

知识点4：数量积的坐标运算......................................................6

解题方法总结....................................................................7

题型一：平面向量的数量积运算....................................................7

题型二：平面向量的夹角问题.....................................................10

题型三：平面向量的模长.........................................................13

题型四：平面向量的投影、投影向量...............................................15

题型五：平面向量的垂直问题.....................................................19

题型六：建立坐标系解决向量问题.................................................20

题型七：平面向量的实际应用.....................................................26

题型八：向量回路恒等式.........................................................31

04真题练习•命题洞见............................................................32

05课本典例高考素材............................................................34

06易错分析答题模板............................................................38

易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错...................................38

答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积.......................................38

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

平面向量数量积的运算、化简'证明及数量

积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考

2024年I卷第3题，5分的内容，单独命题时，一般以选择'填空形式出

2024年H卷第3题，5分现.交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函

（1）平面向量的数量积

2023年I卷第3题，5分数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工

（2）平面向量数量积的

2023年H卷第13题，5分具出现.向量的应用是跨学科知识的一个交汇

几何意义

2023年甲卷（理）第4题，5分点，务必引起重视.

2022年H卷第4题，5分预测命题时考查平面向量数量积的几何意义

及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合

的解答题也是热点.

复习目标：

（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义

（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系.

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算

（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题

已知两个亦零向量5与鼠我们把数埴同砒。sH叫做］与方的数量枳（或内枳），

T平面向量数量积的定义

记作i8即Z④=|司司cosO,规定：零向量与仆一向星:的数埴枳为0.

平面向量的数量后）|永心。叫做向量3在5方向上的投影数量，

当。为锐角时，它是正数；

T向量的投影

当。为钝角时，它是仇数；

T平面向量数量积的几何意义「当。为直角时，它是0.

J（排石的几何意义）—（数量枳£石等的长度向与WG方向上射影B|cose的乘积.）

a-b=b-a

数量枳的运算律（高）防=人市@=3•（力）J

(a+b)-c=a-c+b-c

Te'a=a'e=\a\cosQ)

[〃JB4=wS=Oj

j当£与同司向时，a-d=|a||d|；

•■v当初与否反向时,0•方=•向历

磊响

/|q.d|<|g||d|)

已知非零向量方=&，乂），h=（x2,y2）,。为向量方、力的夹角.

结论几何表示坐标表示

模|a|=y/a-a1方1=收+/

数量枳

a-b=|方||b|cos0ah=xlx2+yly1

c三“x.x,+y.y-,

夹角cose=,।

向闻yjx-+y-->jx；+yl

a1b的充要条件a-b=0占勺+及乃=°

a//b的充要条件a=Ai)(bH0)芭%-*2“=0

|方.方|引方Ml的\a-b\^a\\b\（当hl仅

1Y+兑名|W收+兑■收+乂

美系当方〃，时等号成立）

老占突曲・题理探密

-----H-H-c

知识JJ

知识点1:平面向量的数量积

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量力与在，我们把数量I&II日Icos。叫做a与B的数量积（或内积），记作展B,即4

=|万1151cos。，规定：零向量与任一向量的数量积为0.

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：I石Icosd叫做向量日在B方向上的投影数量，当6为锐角时，它是正数；当〃为钝角

时，它是负数；当6为直角时，它是0.

②2%的几何意义：数量积2%等于石的长度|%|与3在3方向上射影|3|COS6的乘积.

③设方是两个非零向量，它们的夹角是与5是方向相同的单位向量，AB^a,CD^b,过通

的起点A和终点3,分别作诙所在直线的垂线，垂足分别为4,4,得到4瓦，我们称上述变换为向量4

向向量B投影，耳可叫做向量力在向量5上的投影向量.记为|Zf|cos6»e.

CA）B,D

【诊断自测】（2024•安徽安庆・三模）已知线段A3是圆。的一条长为4的弦，则血.血=（）

A.4B.6C.8D.16

【答案】C

【解析】取A5中点C,连接。C,

易知OC_LAB,所以〃.福=（衣+前）•荏=2x4xl+0=8.

故选：C.

知识点2：数量积的运算律

已知向量)、B、3和实数彳，则：

①石石=b-a；

②(2a)-b=A(a-b)=a-(Ab)；

(3)(a+b)-c=a-c+b-c.

【诊断自测】(2024•四川雅安.模拟预测)在AASC中，AB=4,AC=3,且通，蔗，则荏.敬=

()

A.16B.-16C.20D.-20

【答案】B

【解析】因为丽_Ll?,所以福•蔗=0，

ABBC=AB(JC-AB^=ABAC-AB2=0-42=-16.

故选：B

知识点3：数量积的性质

设,、B都是非零向量，0是与B方向相同的单位向量，。是3与0的夹角，则

(T)e-a=a-e=|o|cos0.@a±b<^a-b=0.

③当日与刃同向时，a-b=]d\\b\-,当日与刃反向时，a-b=-\a\\b\.

特别地，五工=|冽2或|包=瓦房.

④cos6=""(\a\\b0).⑤12£|W|G||31.

\a\\b\

【诊断自测】(2024•西藏・模拟预测)已知向量2=卜1+三卜in、+4]，

B='os[a+,),sin[a+葛)：若(2£+B)_L(£+xB),则实数x的值是()

A.—2B.—C.—D.2

22

【答案】A

【解析】由题意得向=w=i,a巾+*S++鼻

（7T5兀、

=cosa-\---a------=cos=0,因为（2%+B）_L（W+妨）,

I36J

所以（2a+B）（a+xB）=0,所以2k|+x|q=0,所以2+x=0,解得x=—2.

故选：A.

知识点4：数量积的坐标运算

已知非零向量4=(为，％),b=(x2,y2),。为向量五、9的夹角.

结论几何表示坐标表示

模|a\=\la-a131=4+/

数量积

a-b=\a\\b\cos0a-b=x1x2+yxy2

M--L卬

0=

夹角cos'gJx；+y；.Jx；+y；

\a\\b\

a±b的充要

a-b=QX］尤2+X%=°

条件

，〃3的充要

a=AbCbwO）为%-=。

条件

\a-b\<\a\\b\(当

\a-b\^1尤J?+弘力iw

且仅当2〃加时等号成"才+才•收+£

|日||）|的关系

立)

【诊断自测】已知平面向量苕=(1,@石=("1),且近®-何，则实数2的值为()

【答案】B

【解析】由已知得同=/+(6/=

2,a•5=lxg+gxl=2G

又万_10_几万)，所以商•伍_彳4)=0,即无S—a片=0,

所以2痒42=0,解得2=走.

2

故选：B.

解题方法总结

(1)B在2上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0.

(2)数量积的运算要注意M=0时，a-b=Q,但5•石=0时不能得至U汇=0或石=0,因为五_1_方时，

也有商方=0.

(3)根据平面向量数量积的性质：|西=疝万，cos6>=,4_L5O洒5=0等，所以平面向量

\a\\b\

数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题.

(4)若〃、b、。是实数，贝(J"==c(〃w0)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量

a>b>3满足。・5=无^(商。0),则不一定有B=即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时

乘以一个向量.

(5)数量积运算不适合结合律，即(小5)吃。无(5・3，这是由于心力卜乙表示一个与^共线的向量，

a•(&-c)表示一个与方共线的向量，而M与乙不一定共线，因此口•"吃与小(小丹不一定相等.

题型一：平面向量的数量积运算

【典例1-1】设平面向量£=(1,3),I方1=2,K\a-b\=y/io,则(2%+项万-5)=()

A.1B.14C.714D.V10

【答案】B

【解析】因为Z=(L3),所以同=屈，又|5|=2,

贝IJ酹一万/=/-2万0+/=14-2万•方=10,

所以=2,

贝|J(2a+3),乙_石)=32-a-b—b2

=20-2-4=14,

故选：B.

【典例1-2】在Rt^ASC中，ZC=90°,AB=4,AC=2,。为AABC的外心，则通.就=()

A.5B.2C.—4D.—6

【答案】D

【解析】在RMABC中，AB=4,AC=2,；,BC=^-^=273>々=30。

崎=150。

又。为AABC的外心，是AB的中点，"0=2

uiimuim|Utrai|叫叫fiA

:.AOBC=\AO|■|BC|•cosl500=2x2A/3xI--I=-6

故选：D

【方法技巧】

（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路.

（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量

数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛.

【变式1-1］（2024•高三吉林四平•期末）已知向量心方满足|同=2,向=石，且1与5的夹角为，

贝［］k+孙（2万-5）=（）

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【解析】'

由|4=2,向=石，且方与5的夹角为‘

/Trrrrrrr

所以+wx=2〃2+a'b-b2

=2口2+用门*4

=2x2?+2x岳咚一（⑹2=8.

故选：B.

【变式1-2］已知同=6,问=3,向量方在方方向上投影向量是4鼠则小6为（）

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【解析】4在方方向上投影向量为同COS。•工=4工，

/.|a|cos0=4,a-b=|fl||5|cos^=4x3=12.

故选:A

【变式1-3］（2024•安徽芜湖•模拟预测）已知边长为1的正方形A8CO,点E,尸分别是BC,CO的中

点，贝1后.访=（）

【答案】D

UL1UUUUI------JI-------J

【解析】边长为1的正方形ABC。，ABAD=O>|AB|=|AD|=1,

AE=AB+BE=AB+^AD,EF=^BD=^(M)-AB),

所以荏•访=［血+<砺砺南)二;方病

4

故选：D.

【变式1・4】（2024•陕西安康•模拟预测）菱形ABCD的边长为2/043=60。，以。为圆心作圆且与

AQAE

相切于是。。与8的交点，则

A3E,Q\mAE\=一_____.

【答案】1+6/后+1

【解析】由题可知|m=6,|阿=i则国|=5

所以通.通=|而卜荏|cos60°=l,而.湿=|加八亚|cos0°=6,

故亚通=（而+而）•通=15•通+诙•近=1+5

__»1___

【变式1-5］（2024•浙江宁波.模拟预测）已知AABC是边长为1的正三角形，AN=qNC,P是BNk一

—.­.2—►

点且AP=mAS+§AC,则存.血=()

A2BD.1

-9-1c|

【答案】A

__,i__ULiriuuiruuinuum71111r1x08uir

【解析】■.■AN=-NC,k;.AN=-AC,S.AP=mAB+-AC=mAB+-AN,

Q1

而尸，氏N三点共线，.•.根+g=l,即根=3,

tun1tun21111r

AP=-AB+-AC,

99

所以福•荏=("而+j/:丽=g+jxcos60°=g.

故选：A.

题型二：平面向量的夹角问题

【典例2-1】（2024.陕西安康.模拟预测）己知单位向量满足,-3可=3,则COSR,5）=

【答案】

6

【解析】因为卜-3同=3,且|=|51=1,

所以|5-3坂|2=9,

所以求一6济5+9后=9,

一1

即无力=:

又1=|^|♦|^|cos^,^\,|^|=|^|=1,

所以cos伍B)=

'/6

故答案为：—.

6

【典例2・2】（2024・陕西・二模）已知2,则向量。石的夹角的余弦值为

【答案】7

5日

八於5

【解析】设向量落5夹角为。,则侬"丽=~w

故答案为:党

【方法技巧】

求夹角，用数量积，由|利？|B|cosq得cosq=_a/EL+进而求得

iLbi向W7F

向量口石的夹角.

【变式2-1](2024•江西宜春•三模)已知小石均为非零向量，若|2々一司=)|=2|£|,则Z与石的夹角

为一.

【答案】j

【解析】由|2力|=|臼,可得|22-必=时，即4|2|2_4%%+出|2=|讦,解得7B=|£「，

因为|年2|£|,所以cos(Z,B)=f2

''\a\\b\2面2

又因为所以,@=4.

故答案为：y.

【变式2-2]已知2=(2/)/=化,-2),左eR,万与5的夹角为。.若。为钝角，则上的取值范围是—.

【答案】左＜1且4hT

八a-b2k-2

【解析】由cose=^1=67^77,且6为钝角，所以2左-2＜o,解得左＜i,

当Z//B时，贝i]2x(-2)—%=0,解得左=Y,此时才与石夹角为兀，不成立，

.,.左＜1且左wT.

故答案为：左vl且左wT.

【变式2-3](2024.高三.天津宁河.期末)已知单位向量，与区的夹角为三，则向量N+ZA与纭-31

的夹角为—.

【答案】—/120°

【解析】因为单位向量[与贰的夹角为三，

所以[£=同.同cos]=lxlx；=；,

以（G+2弓）•（26-3弓）—2,+%,e?-6弓—2+——6=——,

（6+24）=e：+4q•%+442=1+4X；+4=7,故卜1+24卜近，

（2ex—3e2j=4e：_12G.e2十%?=4-12x：+9=7,故12,—34卜近,

（G+2«2卜（2q—）2

3G1

所以COS（1+2£2[_30

,+2可|2冢一3可币义币2

又卜i+2e2,2^-3e2^e[0,7i],

___K2JT

所以向量q+2e2与2q-3e2的夹角为y.

故答案为：—

【变式2-4](2024・四川绵阳•模拟预测)平面向量G与后相互垂直，已知万=(6,-8),旧|=5,且B与

向量(1,0)的夹角是钝角，贝1]5=—.

【答案】I,-3)

【解析】设B=(x,y),・.•万_L5,；aB=0，，6x-8y=o,①，|昨次+,=5,②，

因为石与向量(L0)夹角为钝角，，x<0,③，

由①②③解得<-.-.5=(-4,-3).

[y=-3

故答案为：(-4,-3).

【变式2-5](2024.四川绵阳.模拟预测)己知非零向量幅满足2同=问，且2”万同，则获的夹角

大小为.

【答案】|

【解析】因为万，,-5),设向量£与石的夹角为6,

所以无(4_母=隶=同~-|a|-|z?|cos0=O,

又因为2同=忖，

1

所以同9—2同.同cos6=0,所以cos。=5.

jr

因为04。<兀，所以。=§.

所以向量ZB的夹角大小为土

故答案为：—■

【变式2-6］（2024.上海•模拟预测）已知向量b,工满足向=川=1,同=3,且,+5+不=6,则

4

【答案】y/0.8

【解析】由题1+力=」，故（苕+盯=（一靖=片即庐+2乙3=22,

n1+1+2a»b=2，n万・b=0;

a+c=-b故（少+"2=卜6）二后即五2+片+2万・"=宜，

nl+2+2M・c=l，=>a»c=—1;

b+c^-a，故伍+C『=（V）2=k即户+/+25.2=求，

=>1+2+2几。=1,=>5・c=—1，

所以伍_1乂5_，=2石_（万+5）不+不2=2/=4,

4

故答案为：—.

题型三：平面向量的模长

【典例3-1］（2024・重庆•模拟预测）已知向量25满足同=1，忖=3,a-b=（2,y［6）,贝1］加+同=

【答案】3H

【解析】同=1,忸|=3,M—5=（2,V^）可得归―可=a+b-2a-b-22+^A/6j=10=>a-b=0,

i^a+b^^a2+6a-b=y/9+9=372，

故答案为：3亚

【典例3-2](2024•浙江温州•二模)平面向量a,5满足商=(2,1),aHb,a-b=-^i0,则问=—.

【答案】72

【解析】设向量B=(x,y),由可得搭=「

又@石=-回,则2x+y=-M，

故答案为：V2

【方法技巧】

求模长，用平方，|。|=后.

【变式3-1](2024•安徽池州•模拟预测)已知向量。=(4,-2),石=(-2㈤，且。与方共线，则

8+22=_.

【答案】46

【解析】因为方与5共线，

所以4/-(-2)?(2)=0?I1,

所以加=(-2,1),

所以北+25=3(4,-2)+2(-2,1)=(8,-4),

所以杭+2.=^82+(-4)2=4百，

故答案为：4下.

【变式3-2](2024.江苏连云港.模拟预测)若向量沅，为满足恸=1,同=2,且(比-为壮阳，则

|m-n|=()

A.1B.V3C.V7D.2

【答案】B

【解析】因为(比-为)_L玩，所以(加-万)•而=0,

所以|玩『训万|cos6>=0,所以cosd=；,其中。是稔万的夹角，

所以忸_司=J（玩_方）2l+4-2x2xlx1=73.

故选：B.

【变式3-3］（2024.高三.上海奉贤.期中）已知平面向量Z,3的夹角为:，若同=1,忸-@=布，则

w的值为.

【答案】3亚

1rli

【解析】由12aM两边平方得（21回I=10,46?--4a-b+b~=4-4xlx|5|-cos-^+|/?|=10,

|邛-2后卡,6=0,(W-3&)(忖+&)=0,解得任=3亚

故答案为：3亚

题型四：平面向量的投影、投影向量

【典例4-1】（2024•福建泉州•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点尸在直线x+2y+l=0上.若向量

。=（1,2）,则而在Z上的投影向量为（）

12j_2

A.B.

5,5

55、

二叵2^5

D.(-1,-2)

C.一7'一-5"

7

【答案】A

【解析】由题可设尸（-2-1/）,则而=（-2”1,。，

所以破£=(-21,/>(1,2)=-1,又|LI=Vi2+22=布,

故而在£上的投影向量为

OP，aaOP»a一1一12

\dp\cos(OP,aj-^=\op\d------CI—

\0P\\a\\a\|a|2555

故选：A.

【典例4-2】（2024•新疆喀什•二模）在直角梯形ABCD中，9//5。且3。=2仞,4^，4）,4?与3。

交于点。，则向量所在向量而上的投影向量为（）

1—.2-►3-►

A.-BAB.—BAC.-BAD.-BA

2334

【答案】C

【解析】在直角梯形ABCD中，旬//861且3。=24£）,48,4。，过。作OEJ_AB于E,

从而B曾E\2_2

忸国+1冏2+1-3,

因此丽・丽=|丽||丽|cosNO8E=|屉||丽|=一|丽『，

3

BOBA—.2--

所以向量而在向量而上的投影向量为BA=-BA

\BA\23

故选：C

【方法技巧】

设M，B是两个非零向量，它们的夹角是与5是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过通的

起点A和终点3,分别作6所在直线的垂线，垂足分别为4，4，得到4瓦，我们称上述变换为向量万向

向量B投影，网叫做向量日在向量B上的投影向量.记为3|cos由.

【变式4-1］（2024.黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知向量混满足同=2石=（3,0）,卜-旧=质，则向量Z

在向量B方向上的投影向量为（）

从［川B,Q,0）C.］川D.（1,0）

【答案】C

【解析】因为同=2,忖=3,卜一.=质，

所以卜―可=a2-2a-b+b2=22-2a-b+32=10,得力电=万,

_3

所以向量£在向量3方向上的投影向量为驾啰=25」（3,0）=仕,01.

|s|96V7uJ

故选：C

【变式4-2］（2024•广东深圳•模拟预测）已知向量2=（3,-4）,5=（2,0）,贝工在石上的投影向量为

（）

A.f1,0jB.（3,0）C.（2,0）D.（6,0）

【答案】B

【解析】因为2=(3,T),B=(2,0),所以73=6，恸=2,

a-bb6b3公小小小

所以£在石上的投影向量为恸/=5'5=5('°)=(3⑼.

故选:B

【变式4-3］在三角形A3C中，若荏=0,比=2的，则向量正在向量旗上的投影向量

为.

【答案】|AB

【解析】因为配=2的，所以。为线段BC的中点,

因为荏•航=0，所以荏_!_/，所以/BAC=90。,

所以Q4=Q5=OC,

所以AAQB为等腰三角形，

所以向量衣在向量径上的投影向量为

AOABAB|叫网cosNBAO题

故答案为：—.

【变式4・4】已知向量Z与石的夹角为胃，同=网阳设£在Z上的投影向量为4人则人()

2

B.D.

2cI2

【答案】A

b—a]-a%_

【解析】石_£在上的投影向量为，=痴,

zaz,即W

一一一2

。b-a-a

则有2=1一12

H

又向量z与石的夹角为g,问=码屹

所以人3

3"2

故选：A.

22

【变式4-5】已知双曲线C："方=1（°>0/>0）的左、右焦点分别为8,C,以8C为直径的圆与渐近线

交与点4连接A8与另一条渐近线交与点E,。为原点，OE//AC,且=2.若丽在就上的投影向量

3unn

为彳BC，则而.祝（）

4

A.-4B.-2A/3C.-2D.-石

【答案】A

【解析】以BC为直径的圆与渐近线交与点4与另一条渐近线交与点E,

则/SAC=90。，由OE〃AC,所以OE_LAB,NEOB=ZAOC=ZACB,

又Q4=OC,则Na4C=NAOC=NACB,即AAOC是等边三角形，

陷=2,则国=4,

由丽在丽上的投影向量网cosB.g1=；初，即

所以说,比=|丽卜前|cosB=宁困2=12,

由图得，AOBC=（BO-BA）BC=WBC-BABC=S-n=-4.

故选：A.

题型五：平面向量的垂直问题

【典例5-1】(2024•西藏林芝•模拟预测)已知向量4=(x,3),B=(2,%+5),若一_L(万-B),则％=()

A.2或3B.—2或—3C.1或—6D.-1或6

【答案】D

【解析】由题意，向量方=(x,3),匕=(2,%+5),可得。—Z?=(%—2,—2—兀)，

因为M_L(M-S),贝！Jx(x—2)+3(—2—x)=。，即％2_5兀-6=0,解得x=—1或6.

故选：D

【典例5-2】(2024.甘肃张掖.模拟预测)已知向量圆方满足向=帆=1,且若

(丸商+B)_L(4+以方)，贝IJ()

A.X+〃=0B.%+"=-1

C.即=一1D.2//=0

【答案】A

【解析】根据题意，alb，所以五％=0，

又(/IH+B)_L(左+〃5),所以(丸4+5)•(少+〃5)=o,

即痛2+(1+川”出+渥=0,因为向=M=1,

所以％+〃=0.

故选：A.

【方法技巧】

五j_B=a・5=o=xxx2+必必=0

【变式5-1](2024•辽宁・模拟预测)若5是夹角为60°的两个单位向量，4商+B与2互-5垂直，则

4二()

A.0B.2C.-1D.-2

【答案】A

【解析】£,B是夹角为60°的两个单位向量，

则同=问=1,a-b=lxlxcos60°=—,

因为;lZ+石与215垂直，

则(4万+—=2A,O2+(2—X)a-b—b2=0,

BP2/1—1+(2—A)x—=0,解得4=0.

故选：A.

【变式5・2】（2024•浙江绍兴・二模）已知，，1是单位向量，且它们的夹角是60。，若Z=21+晟，

b=Xex—e2,且£_LB,贝!J%=（）

24

A.—B.—C.1D.2

【答案】B

992-2

【角窣析】由〃_13得，a-b=（2e1+e2）-（2^—e2）=2^ex+（A—2）-e2—e2=0,即2Xd—----1=0,解得

匕

故选:B.

【变式5・3】（2024・重庆・模拟预测）已知|刈=1,|5|=2,且益与5不共线，若向量2+后与防互相

垂直，则实数上的值为（）

A.—B.!C.±-D.+2

222

【答案】C

【解析】因为向量a+防与防互相垂直，

所以（2+防）标一防）=。，即泞=（）,

即F-/X22=0,解得左=±；.

故选：C

题型六：建立坐标系解决向量问题

【典例6-1】（2024.全国•模拟预测）已知在菱形A3CD中，AB=BD=6,若点M在线段A。上运动,

则立.的的取值范围为—.

【答案】[-18,18].

【解析】AB=BC=BD,

记AC,的交点为。，以。为原点，AC,即所在直线分别为x,y轴建立如图1所示的平面直角坐标系,

则3（0,3）,C（-3A/3,0）,BC=（-3A/3,-3）,A（3后0）,D（0,-3）,

故AM=XAD=（―3出4一3彳），0W/W1,

贝|］川34-3⑨,-3彳）,

故丽=（3尺3扇,-3"3）,XBC=（-3^,-3）

则BC-W=362-18G[-18,18].

图1

【典例6-2】如图，已知正方形ABCD的边长为3,且2就=3而+诟，连接8E交8于歹，则

【答案】-69

【解析】以B为坐标原点，3C为x轴正方向，54为〉轴正方向，建立直角坐标系，则C（3,0）,A（0,3）,

设E（x,y）,可得AE=（x,y_3）,EC=（3_x,_y）,

因为2团=3而+南，贝!］而+丽=2（屉-前），可得赤=2反,

x—2

即解得即E的坐标为（2,1）,

y-3=-2y

设“3,〃?），则丽=（2,1）,BF=（3,m）,

_,__3

由3E//B/可得2加=3,解得机=/,

则阱=（3,|,C4=（-3,3）,可得百+2丽=（3,6）,；目一4丽=（-13,-5）

所以（而+2而回-4丽］=3（_13）+6x（_5）=_69.

故答案为：-69.

【方法技巧］

平行四边形直角梯形等腰梯形圆

【变式6-1】（2024.高三.河南濮阳.开学考试）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介

绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形ABC。,跖G”均为正方形,

AD=AE=2,则而.而=.

【答案】16

【解析】以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，因为">=