平行线的性质（原卷版）-2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第11讲平行线的性质

善思维导图

两直线平行，同位角相等

平行线的性质两直线平行，内错角相等

两直线平行，同旁内角互补

，核心考点聚焦

1.两直线平行，同位角相等

2.两直线平行，内错角相等

3.两直线平行，同旁内角互补

4.根据平行线的性质求角度

5.平行线的性质在生活中的应用

6.平行线的性质与判定综合应用

7.根据平行线的性质与判定探究角的关系

®s@®

平行线的性质：

(1)文字表达：

①两条平行线被第三条直线所截，同位角±1笠，内错角相笠，同旁内角互补;

②简单说成：

两直线平行，同位角相等;

两直线平行，内错角相等;

两直线平行，同旁内角互补;

(2)几何语言表述：

已知，如图所示，若AB〃CD,

E

I

则①同位角：Nl=/5（或N2=N6，Z4=Z8,Z3=Z7）；

②内错角：/2=/*（或/3=N5）；

③同旁内角：N2+/£=180。（或/3+/葬180。）.

1.平行线的性质是由平行得到角的关系，即同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.

2.根据两直线平行的关系去探究角的数量关系.

»考点剖析

考点一、两直线平行，同位角相等

例题：如图，AB//CD,ZCEF=85°,则NA的度数是（）

AE

BD

A.85°B.95°C.105°D.115°

【答案】B

【解析】-.-ZCEF=85°,

ZDEF=180°-ZCEF=180°-85°=95°,

■.■AB//CD,

ZA=ZDEF=95°,

故选B.

【变式训练】

1.如图，直线直线若4=50。，贝吐2=()

2a

A

A.30°B.40°C.50°D.60°

2.如图，a〃心点B在直线6上，且XI=36°,那么N2=()

考点二、两直线平行，内错角相等

例题：如图，直线。〃匕，直线/与直线。相交于点P,直线/与直线b相交于点Q,正河，/于点。若/1=55。,

贝1/2=°.

【解析】如图，,•・直线。〃人，・•.N3=N1=55。，

又于点P,.,.NMPQ=90。，Z2=90°-Z3=90°-55°=35°.故答案为：35.

【变式训练】

1.如图，已知a〃8，直角三角板的直角顶点在直线。上，若/1=40。，则/2等于

2.如图，点8是△ADC的边AD的延长线上一点,1把〃AC,若NC=50。，NBDE=60°,则/CD8的度

数等于.

考点三、两直线平行，同旁内角互补

例题：如图，已知A5〃C。，若4=30。，则ND的度数为

【解析】如图，；AB〃CD，；.N2+NO=180。，

VZl=Z2=30°,AZD=180o-Z2=180°-30o=150°,故答案为：150°.

【变式训练】

1.如图，已知AB〃CD,ZABD^40°,BE平分/ABC,且交CO于点。，则/C的度数为

2.如图，直线AC〃双入AE平分ZBAC交直线8£＞于点E,若4=62。，则NA£E＞的度数为度.

考点四、根据平行线的性质求角度

例题：如图，8是/ACB的平分线，DE//BC,ZA£D=80°,求/ECD的度数.

A

【解析】-.-DE//BC,

:.ZACB=ZAED=80°,

•.•CD平分NACB,

.-.Z£CD=-ZACB=40°.

2

【变式训练】

1.如图，AB//CD,直线E尸分别交A3、CD于点E、F,EG平分/AEF,Zl=3°5,求N2的度数.

2.已知：AB//CD,OE平分ZAOD,。尸,底于。，"=60。，求NBOF的度数.

考点五、平行线的性质在生活中的应用

例题：一条古称在称物时的状态如图所示，已知4=80°,贝!)/2=

【答案】100

【解析】如图,

AC

1

2

B

AD

由题意可得:AB//CD,4=80°,

ZBCZ)=Z1=80°,

.".Z2=180o-80°=100o,

故答案为：100.

【变式训练】

1.如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架AO与底座OE垂直，支架AB,为固定支撑杆,

当灯体与底座OE平行时，/840=138。，/BCD=154。,则—3的度数为

2.光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的

两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且Nl=122。，则N2=.

考点六、平行线的性质与判定综合应用

例题：如图，点E在上，点尸在CO上，CE、SF分别交AO于点G、H,已知ZA=ZAGE,ZD=ZDGC.

(1)A8与平行吗？请说明理由；

⑵若N2+4=180。，且/3£C=2/3+30。，求NC的度数.

【解析】(1)AB//CD,理由如下：

VZA=ZAGE,ZD=ZDGC,又,：ZAGE=NDGC,：.ZA=ZD,：.AB//CD■,

(2)VZ2+Z1=18O°,ZCGD+Z2=180°,

AZi=ZCGD,：.CE//BF,：.ZC=ZBFD,NBEC+NB=180。,

,?NBEC=2/3+30°,/.NBEC+ZB=2ZB+30°+ZB=3NB+30°=180°,AZB=50°,

'：AB//CD,；.ZB=ZBFD,/.ZC=ZB=50°.

【变式训练】

1.已知AB〃C©，点E是A3上一点，EM平分—MD交8于点Af.

(2)如图2,若平分NEMC,ENLEM,ZBEN=30°,判断与DE之间的位置关系，并说明理由.

2.如图，己知AB〃OC,AD〃BC,"CE=90。，点£在线段AB上，N/CG=90°,点尸在直线AT)上,

ZAHG=90°.ZECF=6Q°.

⑴求证：ZB=ZD；

(2)如图，当点尸在线段AD上时，求N3CD的度数；

(3)在点C运动过程中，点C(点C不与点2、反重合)从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不

变，请求出ZBAb的度数.

考点七、根据平行线的性质与判定探究角的关系

例题：如图，已知加0〃8N,NA=64。.点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC、8。分别平分

ZABP^ZPBN,分别交射线AM于点C,D.

⑴NABN的度数是

⑵求/C8O的度数；

(3)当点尸运动时，/AP8与/AOB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系,

并说明理由：若变化，请写出变化规律.

【解析】(1)\'AM//BN,ZA=64°,：.ZABN=1SO0-ZA=116°,故答案为116。；

(2)'CAM//BN,：.ZABN+ZA=]S0°,

：./ABN=180°-64°=116°,Z.ZABP+ZPBN^U60,

平分NABP,BD平分■/PBN,；./ABP=2/CBP,ZPBN=2ZDBP,

：.2ZCBP+2ZDBP=116°,/.NCBD=NCBP+/DBP=58°；

(3)不变，ZAPB=2ZADB,理由如下：

'JAM//BN,：.ZAPB=ZPBN,ZADB=ZDBN,

,:BD平分NPBN,：.ZPBN=2ZDBN,：.ZAPB=2ZADB.

【变式训练】

1.如图，己知连接AD,8c.AE,CE分别是NBAANBC。的角平分线(点E在平行线钻、CD

之间)，已知4DC=54。，

2.把一块含60。角的直角三角尺EFG(其中NEFG=90。，NEGb=60。)按下图所示的方式摆放在两条平

行线AB,CD之间.

(1)如图1,若三角形的60。角的顶点G落在8上，且N2=N1,则N1的度数为.

(2)如图2,若把三角尺的直角顶点产放在CD上，30。角的顶点E落在上，则/AEG与尸G的数量

关系为.

»过关检测

一、选择题

1.如图，直线转,。被直线E尸所截，AB//CD,Zl=61°,则N2的度数为()

E

\2

C------------V-D

A.109°B.119°C.129°D.139°

2.如图，已知AB〃CD,Zl=109°,Z2=120°,则/EFC的度数是（）

3.如图，AC//DF,AB〃EF,点、D、E分别在A3、AC上，若N2=50。，则N1的大小是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.如图，直线加〃明点A在直线〃上，点B在直线机上，连接AB,过点A作ACLAfi,交直线，"于点C.若

/1=50。，则N2的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

5.如图，一条街道有两个拐角/ABC和ZB8,已知AB〃CD,若ZABC=150°,则NBCD的度数是（）

C.130°D.150°

二、填空题

6.如图，若IJAJJ/L，若Nl=116。，则N2的度数为

ZC=40°,BE//CD,则

9.如图，含有30。角的直角三角板的两个顶点区尸放在一个长方形的对边上，点E为直角顶点,

Z£FG=30°,延长EG交8于点P,如果/1=65。，那么/2的度数是

10.一副直角三角尺如图1叠放，现将含45。的三角尺ADE固定不动，将含30。的三角尺A3C绕顶点A顺

时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行.如图2,当/BAD=15。时，有一组边BC〃DE,再继续转

动三角尺ABC的过程中，请你写出符合要求的13AD（15。＜/区4。＜180。）的度数是,.度.

A

图2

11.如图，EF//AD,Z1=Z2,ZBAC=1O°,将求ZAGD的过程填写完整.

因为£F〃AD,所以N2=(),

又因为Nl=/2,

所以/1=N3(),

所以ABP(),

所以/BAC+=180°(),

因为ZB4C=70。，所以/AG£)=.

12.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZBAD=102°.

⑴求23的度数；

⑵若AE平分1540交BC于点E,/BCD=51。,试说明AE〃DC.

13.已知：如图，AB//DC,AC和80相交于点。，E是CD上一点，尸是0D上一点，且4=44.

(1)求证：FE//OC；

⑵若ZB=40°,Z1=60°,求ZOFE的度数.

14.如图，已知点£、P在直线AB上，点G在线段8上，ED与FG交于点H,ZD+ZAED=180°,

NC=NEFG.

M

⑴求证：AB//CD；

(2)若NCED=75。，求ZfWD度数.

15.(1)问题发现：如图①，直线AB〃CD,E是A5与8之间的一点，连接BE,CE,可以发现

NB+NC=NBEC.

请把下面的证明过程补充完整：