数学二次根式知识点及练习题含答案1

数学二次根式知识点及练习题含答案(1)一、选择题1.下列计算正确的是

A.
B.
C.
D.
2.下列计算正确的为().A.
B.
C.
D.
3.下列运算正确的是()A.
B.3
＝3 C.
＝﹣2 D.
4.计算
的结果正确的是()A.
B.3 C.6 D.
5．下列运算中,正确的是()A.
=3 B.(
-
)÷
=-1C.
÷
=2 D.(
+
)×
=
6.下列式子一定是二次根式的是()A.
B.－
C.
D.
7．若化简|1-x|-
的结果为2x﹣5,则x的取值范围是()A.x为任意实数 B.1≤x≤4 C.x≥1 D.x≤48．设S=
,则不大于S的最大整数[S]等于()A.98 B.99 C.100 D.1019.下列计算正确的是()A.
B.
C.
D.
10．若|x2﹣4x+4|与
互为相反数,则x+y的值为()A.3 B.4 C.6 D.911．已知实数x、y满足
,则yx值是()A.﹣2 B.4 C.﹣4 D.无法确定12.估计(
)
的值应在()A.1和2之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间二、填空题13.若
,把
化成最简二次根式为________.14.（1）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简
=_____________；(2)已知正整数
,
满足
,则整数对
的个数是_______________;(3)△ABC中,∠A=50°,高BE.CF所在的直线交于点O,∠BOC的度数__________.15．设a﹣b=2+
,b﹣c=2﹣
,则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=_____．16.计算
=________________.17．将1、
、
、
按右侧方式排列.若规定(m,n)表示第m排从左向右第n个数,则(5,4)与(9,4)表示的两数之积是______.18.已知整数
,
满足
,则
__________.19.代数式
有意义,则x的取值范围是_____.20．若
与最简二次根式
能合并成一项,则a=______．三、解答题21.先观察下列等式,再回答问题:①
=1+1=2;②
=2+
=2
;③
=3+
=3
;…(1)根据上面三个等式提供的信息,请猜想第四个等式;（2）请按照上面各等式规律,试写出用n（n为正整数）表示的等式,并用所学知识证明.【答案】（1）


；（2）

,证明见解析．【分析】(1)根据"第一个等式内数字为1,第二个等式内数字为2,第三个等式内数字为3",即可猜想出第四个等式为
4
4
;（2）根据等式的变化,找出变化规律“
n
”,再利用
开方即可证出结论成立．【详解】(1)∵①
1+1=2;②
2
2
;③
3
3
;里面的数字分别为1.2.3,∴④


.(2)观察,发现规律:
1+1=2,
2
2
3
3
4
4
,…,∴

．证明:等式左边
=n
右边.故
n
成立.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类,解题的关键是:(1)猜测出第四个等式中变化的数字为4;(2)找出变化规律"
n
".解决该题型题目时,根据数值的变化找出变化规律是关键.22.已知x=2﹣
,求代数式(7+4
)x2+(2+
)x+
的值.【答案】2+【解析】试题分析:先求出x2,然后代入代数式,根据乘法公式和二次根式的性质,进行计算即可.试题解析：x2=（2﹣
)2=7﹣4
,则原式=(7+4
）(7﹣4
）+(2+
）(2﹣
）+
=49﹣48+1+=2+
.23.阅读下面的解答过程,然后作答:有这样一类题目：将
化简,若你能找到两个数m和n,使m2+n2=a且mn=
,则a+2
可变为m2+n2+2mn,即变成(m+n)2,从而使得
化简．例如:∵5+2
=3+2+2
=（
）2+（
）2+2
=（
+
）2∴==+请你仿照上例将下列各式化简(1)
,(2)
.【答案】（1）1+
;（2）
.【分析】参照范例中的方法进行解答即可.【详解】解:(1)∵
,∴；(2)∵
,∴.24.在学习了二次根式后,小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如:
.善于动脑的小明继续探究:当
为正整数时,若
,则有
,所以
,
.请模仿小明的方法探索并解决下列问题:(1)当
为正整数时,若
,请用含有
的式子分别表示
,得：
,
;（2)填空:
=
-
;(3）若
,且
为正整数,求
的值.【答案】（1）
,
；（2）
；（3）
或46.【解析】试题分析:(1)把等式
右边展开,参考范例中的方法即可求得本题答案;（2)由（1)中结论可得:
,结合
都为正整数可得:m=2,n=1,这样就可得到:
；(3）将
右边展开,整理可得：
,
结合
为正整数,即可先求得
的值,再求
的值即可.试题解析:（1）∵
,∴，∴；(2)由(1)中结论可得:
,∵
都为正整数,∴
或
,∵当m=1,n=2时,
,而当m=2,n=1时,
,∴m=2,n=1,∴；(3)∵
,∴
,
,又∵
为正整数,∴
,或者
,∴当
时,
;当
,
,即
的值为:46或14.25.小明在解决问题:已知a=
,求2a2﹣8a+1的值,他是这样分析与解的:∵a===2﹣∴a﹣2=﹣∴(a﹣2)2=3,a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2(a2﹣4a)+1=2×(﹣1)+1=﹣1请你根据小明的分析过程,解决如下问题：(1)化简
+
+
+…+
(2）若a=
,求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）9；（2）5.【解析】试题分析:(1)此式必须在把分母有理化后才能实现化简,即各分式分子分母同乘以一个因式,使得与分母相乘后,为平方差公式结构,如
.(2)先对a值进行化简得
,若就接着代入求解,计算量偏大．模仿小明做法,可先计算
的值,就能较为简单地算出结果;也可对这个二次三项式进行配方,再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解:（1）原式=
(2)∵
,解法一:∵
,∴
,即
∴原式=解法二∴原式=点睛:(1)把分母
有理化的方法:分子分母同乘以分母的有理化因式
,得
,去掉根号,实现分母有理化.（2）当已知量为根式时,求这类二次三项式的值,直接代入求值,计算量偏大,若能巧妙利用完全平方公式或者配方法,计算要简便得多.26.计算:(1)
;（2）【答案】(1)
;(2)
【解析】试题分析:根据二次根式的性质及分母有理化,化简二次根式,然后合并同类二次根式即可解答.试题解析:（1）
=2-=；（2）===27.计算:
【答案】【分析】先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.【详解】解：===．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算,在进行此类运算时,先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.28.先化简,再求值:
,其中
.【答案】

.【解析】分析:先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将m的值代入计算可得.详解:原式=
÷（
﹣
）=÷=•=﹣=当m=
﹣2时,原式=﹣
=﹣=﹣1+2=．点睛:本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.29.计算:
.【答案】【分析】根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答.【详解】解:原式
.【点睛】本题考查实数的运算,熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键.30.先阅读下面的解题过程,然后再解答.形如
的化简,我们只要找到两个数a,b,使
,
,即
,
,那么便有:
.例如化简:
.解:首先把
化为
,这里
,
,由于
,
,所以，所以.根据上述方法化简:
.【答案】见解析【分析】应先找到哪两个数的和为13,积为42.再判断是选择加法,还是减法.【详解】根据题意,可知
,
,由于
,
,所以
,
,所以.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简,解题关键在于求得
,
.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断.【详解】解:A.
和
不是同类二次根式,不能合并,故错误;B.
=2
,故错误;C、
=
,故错误;D、
=
=2
,故正确.故选D.【点睛】本题考查了二次根式的四则运算.2．D解析：D【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可.【详解】A.
,故A选项错误;B.
与
不能合并,故B选项错误;C.
,故C选项错误；D．
,正确,故选D．【点睛】本题考查了二次根式的运算,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3．D解析：D【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案.【详解】解:A.
与
,不是同类二次根式,无法合并,故此选项错误;B.3
﹣
＝2
,故此选项错误;C.
＝2,故此选项错误;D、
÷
＝2
,正确;故选：D.【点睛】本题考查二次根式的混合运算,熟练掌握计算法则是关键.4．A解析：A【分析】分别根据二次根式的除法和乘法法则以及二次根式的平方计算每一项,再合并即可.【详解】解:原式=
.故选：A.【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算,属于基础题型,熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键.5．D解析：D【分析】根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得.【详解】A.
,此项错误B.
,此项错误C.
,此项错误D.
,此项正确故选：D.【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算,熟记二次根式的运算法则是解题关键.6．A解析：A【分析】根据二次根式的定义,直接判断得结论.【详解】A.
的被开方数是非负数,是二次根式,故A正确;B.
时,－
不是二次根式,故B错误;C.
是三次根式,故C错误;D、
时,
不是二次根式,故D错误;故选：A.【点睛】本题考查了二次根式的定义,形如
(
)是二次根式,注意二次根式的被开方数是非负数.7．B解析：B【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|,然后根据x的取值范围分别讨论,求出符合题意的x的值即可.【详解】原式可化简为|1-x|-|x-4|,当1-x≥0,x-4≥0时,可得x无解,不符合题意;当1-x≥0,x-4≤0时,可得x≤1时,原式=1-x-4+x=-3;当1-x≤0,x-4≥0时,可得x≥4时,原式=x-1-x+4=3;当1-x≤0,x-4≤0时,可得1≤x≤4时,原式=x-1-4+x=2x-5,据以上分析可得当1≤x≤4时,多项式等于2x-5,故选B．【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简,要注意正负号的变化,分类讨论.8．B解析：B【分析】由
,代入数值,求出S=
+
+
+…+
=99+1-
,由此能求出不大于S的最大整数为99.【详解】∵==，∴S=+++…+===100-
,∴不大于S的最大整数为99.故选B.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值,知道
是解答本题的基础.9．B解析：B【分析】根据二次根式加减运算和二次根式的性质逐项排除即可.【详解】
与
不能合并,所以A选项错误;
,所以B选项正确;
,所以C选项错误;
与
不能合并,所以D选项错误;故选答案为B.【点睛】本题考查了二次根式加减运算和二次根式的性质,掌握同类二次根式的定义和二次根式的性质是解答本题的关键.10．A解析：A【解析】根据题意得:|x2–4x+4|+
=0,所以|x2–4x+4|=0,
=0,即（x–2）2=0,2x–y–3=0,所以x=2,y=1,所以x+y=3．故选A．11．C解析：C【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值,然后可得到y的值,最后代入计算即可.【详解】∵实数x、y满足
,∴x＝2,y＝﹣2,∴yx＝
＝-4.故选：C.【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件,熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.12．B解析：B【分析】原式利用多项式除以单项式法则计算,估算确定出范围即可.【详解】解:原式＝
＝＝；∵1＜2＜4,∴1＜
＜2,即3＜2+
＜4,则原式的值应在3和4之间.故选：B.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,以及无理数的估算,解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.二、填空题13.【分析】先判断b的符号,再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵∴∴所以答案是:【点睛】本题考查了二次根式的性质.解析：【分析】先判断b的符号,再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵∴∴所以答案是:
【点睛】本题考查了二次根式的性质.14.(1)2a－2b＋1;(2)3;(3)130°或50°.【解析】(1)∵-1<a<0,b>1,∴＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵,∴,p=20解析:（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】(1)∵-1<a<0,b>1,∴＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵
,∴
,p=2016-6
+9q,∴p=14x3(其中x为正整数),同理可得:q=14y2（其中y为正整数）,则x+3y=12(x、y为正整数)∴,∴整数对有(p,q)=(14
81,14
),或(14
,或(
)。∴满足条件的整数对有3对.(3)①当交点在三角形内部时(如图1),在四边形AFOE中,∠AFC=∠AEB=90°,∠A=50°,根据四边形内角和等于360°得,∠EOF=180°-∠A=180°-50°=130°,故∠BOC=130°;②当交点在三角形外部时（如图2）,在△AFC中,∠A=50°,∠AFC=90°,故∠1=180°-90°-50°=40°,∵∠1=∠2,∴在△CEO中,∠2=40°,∠CEO=90°,∴∠EOF=180°-90°-40°=70°,即∠BOC=50°,综上所述:∠BOC的度数是130°或50°.故答案是:(1).2a－2b＋1(2).3(3).130°或50°.15.15【解析】根据题意,由a﹣b=2+,b﹣c=2﹣,两式相加得,得到a﹣c=4,然后根据配方法,把式子各项变为:a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=====15.故答案为:15.解析:15【解析】根据题意,由a﹣b=2+
,b﹣c=2﹣
,两式相加得,得到a﹣c=4,然后根据配方法,把式子各项变为:a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=
=
=
=
=15.故答案为:15.16.【解析】=，故答案为.解析：【解析】=，故答案为.17.【解析】试题解析:(5,4)表示第5排从左向右第4个数是:,(9,4）表示第9排从左向右第4个数,可以看出奇数排最中间的一个数都是1,第9排是奇数排,最中间的也就是这排的第5个数是1,那么第解析：【解析】试题解析:(5,4)表示第5排从左向右第4个数是:
,(9,4)表示第9排从左向右第4个数,可以看出奇数排最中间的一个数都是1,第9排是奇数排,最中间的也