数学基础知识单元练习题集

数学基础知识单元练习题集引言数学基础知识是构建高阶思维的基石，本练习题集聚焦有理数、整式的加减、一元一次方程、图形初步四大核心单元，通过"知识点梳理+分层练习+详细解析"的结构，帮助学生系统巩固概念、强化技能、提升应用能力。练习难度分基础达标（覆盖基本概念与技能）、能力提升（侧重技巧与综合）、思维拓展（考查应用与逻辑），适合初中阶段同步练习或复习使用。一、有理数单元练习题（一）单元知识点梳理1.有理数分类：整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数）；2.数轴：三要素（原点、正方向、单位长度），数轴上的点与有理数一一对应；3.相反数：符号相反、绝对值相等的两个数（0的相反数是0）；4.绝对值：数轴上表示数的点到原点的距离（非负性，即$|a|\geq0$）；5.有理数运算：加减：同号相加取相同符号，异号相加取绝对值大的符号；乘除：同号得正，异号得负，绝对值相乘除；乘方：求$n$个相同因数乘积的运算（注意：负数的奇次幂为负，偶次幂为正）。（二）单元练习题1.基础达标（1）将下列各数填入对应集合（填序号）：①$-5$，②$0$，③$\frac{1}{3}$，④$-0.7$，⑤$2.1$，⑥$+8$，⑦$-\sqrt{3}$（非有理数，不填）。整数集合：$\{\quad\}$；分数集合：$\{\quad\}$；正数集合：$\{\quad\}$；负数集合：$\{\quad\}$。（2）求下列数的相反数与绝对值：$-3$的相反数是______，绝对值是______；$0$的相反数是______，绝对值是______；$\frac{2}{5}$的相反数是______，绝对值是______。（3）计算：①$(-2)+3=$______；②$(-4)\times(-5)=$______；③$12\div(-3)=$______；④$(-1)^3=$______。2.能力提升（1）简便计算：①$(-3.2)+5.8+(-6.8)+4.2$；②$(-\frac{1}{2})\times(-4)+(-3)\div\frac{1}{3}$。（2）若$|a|=5$，$|b|=3$，且$a<b$，求$a+b$的值。3.思维拓展数轴上点$A$表示$-1$，点$B$表示$4$，点$P$从$A$出发，以每秒$1$个单位长度向正方向运动；点$Q$从$B$出发，以每秒$2$个单位长度向负方向运动。问：（1）经过多少秒后，$P$、$Q$两点相遇？（2）相遇时，点$P$对应的数是多少？（三）答案与解析1.基础达标（1）整数集合：①②⑥；分数集合：③④⑤；正数集合：③⑤⑥；负数集合：①④。（解析：整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数；正数大于0，负数小于0。）（2）$-3$的相反数是$3$，绝对值是$3$；$0$的相反数是$0$，绝对值是$0$；$\frac{2}{5}$的相反数是$-\frac{2}{5}$，绝对值是$\frac{2}{5}$。（解析：相反数改变符号，绝对值是非负数。）（3）①$1$；②$20$；③$-4$；④$-1$。（解析：有理数运算遵循"先乘方，后乘除，再加减"顺序，注意符号。）2.能力提升（1）①原式$=[(-3.2)+(-6.8)]+(5.8+4.2)=-10+10=0$；（解析：利用加法交换律与结合律，将互为相反数的数或凑整的数结合。）②原式$=2+(-3)\times3=2-9=-7$；（解析：先算乘除，再算加减，除以分数等于乘倒数。）（2）由$|a|=5$得$a=\pm5$，由$|b|=3$得$b=\pm3$。因为$a<b$，所以$a=-5$，$b=3$或$a=-5$，$b=-3$（舍去，因为$-5<-3$不成立）。故$a+b=-5+3=-2$。（解析：绝对值的几何意义是距离，需结合大小关系确定符号。）3.思维拓展（1）设经过$t$秒后相遇，点$P$的位置为$-1+t$，点$Q$的位置为$4-2t$。相遇时位置相等，列方程：$-1+t=4-2t$，解得$t=\frac{5}{3}$（秒）。（2）将$t=\frac{5}{3}$代入$P$的位置表达式：$-1+\frac{5}{3}=\frac{2}{3}$。（解析：数轴上动点问题需用时间$t$表示位置，通过相遇条件列方程求解。）二、整式的加减单元练习题（一）单元知识点梳理1.整式：单项式（数字与字母的乘积，单独一个数或字母也是单项式）、多项式（几个单项式的和）；2.单项式：系数（数字部分，包括符号）、次数（所有字母的指数和）；3.多项式：项（每个单项式）、次数（最高次项的次数）、常数项（不含字母的项）；4.同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项（常数项都是同类项）；5.整式加减：合并同类项（系数相加，字母及指数不变）、去括号（括号前是"+"，括号内不变号；括号前是"-"，括号内全变号）。（二）单元练习题1.基础达标（1）判断下列整式的类型（单项式/多项式）及相关参数：$-2x^2y$：______，系数______，次数______；$3x-5$：______，项数______，次数______，常数项______。（2）下列各组是同类项的是（）A.$3x$与$3y$B.$2x^2$与$2x^3$C.$-5xy$与$5yx$D.$4xy^2$与$4x^2y$（3）合并同类项：①$3a+2a=$______；②$5x^2-3x^2=$______；③$-4xy+2xy=$______。2.能力提升（1）化简：$2(3x^2-xy)-3(x^2+2xy-1)$。（2）先化简，再求值：$3(x^2-2xy)-(2x^2-xy)$，其中$x=-1$，$y=2$。3.思维拓展用棋子按规律摆图形（如图），第1个图形用3枚，第2个用5枚，第3个用7枚，第4个用9枚……（1）第$n$个图形用多少枚棋子？（用含$n$的代数式表示）（2）第100个图形用多少枚棋子？（三）答案与解析1.基础达标（1）$-2x^2y$：单项式，系数$-2$，次数$3$（$2+1$）；$3x-5$：多项式，项数$2$，次数$1$，常数项$-5$。（解析：单项式次数是所有字母指数和，多项式次数是最高次项的次数。）（2）C（解析：同类项需满足"字母相同+指数相同"，C选项中$xy$与$yx$是同一单项式的不同排列。）（3）①$5a$；②$2x^2$；③$-2xy$。（解析：合并同类项仅系数相加，字母及指数不变。）2.能力提升（1）原式$=6x^2-2xy-3x^2-6xy+3=(6x^2-3x^2)+(-2xy-6xy)+3=3x^2-8xy+3$；（解析：去括号时，括号前的系数要乘括号内每一项，注意符号。）（2）化简：$3x^2-6xy-2x^2+xy=(3x^2-2x^2)+(-6xy+xy)=x^2-5xy$；代入$x=-1$，$y=2$：$(-1)^2-5\times(-1)\times2=1+10=11$。（解析：化简后再求值可减少计算量，注意负数平方为正。）3.思维拓展（1）第1个图形：$3=2\times1+1$；第2个：$5=2\times2+1$；第3个：$7=2\times3+1$；……第$n$个：$2n+1$；（2）第100个：$2\times100+1=201$（枚）。（解析：通过观察前几个图形的数量，寻找等差数列规律（公差为2）。）三、一元一次方程单元练习题（一）单元知识点梳理1.一元一次方程：只含一个未知数，未知数次数为1，且等式两边都是整式（形如$ax+b=0$，$a\neq0$）；2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值；3.解方程步骤：去分母（两边乘最小公倍数，注意不含分母的项也要乘）；去括号（遵循去括号法则）；移项（把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号）；合并同类项（化简为$ax=b$形式）；系数化为1（两边除以$a$，注意$a\neq0$）。（二）单元练习题1.基础达标（1）下列方程是一元一次方程的是（）A.$x^2-2x=0$B.$x+3y=5$C.$\frac{1}{x}+2=3$D.$2x-1=3$（2）解方程：①$3x+5=14$；②$2(x-3)=8$。2.能力提升（1）若方程$2x+a=5$与方程$3x-2=4$的解相同，求$a$的值。（2）某数的3倍比它的2倍多5，求这个数（列方程解答）。3.思维拓展某商店销售一种服装，标价为每件120元，打8折出售后，仍可获利20%。求每件服装的成本价（列方程解答）。（三）答案与解析1.基础达标（1）D（解析：一元一次方程需满足"一元（一个未知数）+一次（次数为1）+整式"，A是二次，B是二元，C是分式。）（2）①移项得$3x=14-5$，即$3x=9$，系数化为1得$x=3$；②去括号得$2x-6=8$，移项得$2x=14$，系数化为1得$x=7$。（解析：严格遵循解方程步骤，注意移项变号。）2.能力提升（1）解$3x-2=4$得$3x=6$，$x=2$；代入$2x+a=5$：$2\times2+a=5$，解得$a=1$。（解析：同解方程需先求出一个方程的解，再代入另一个方程求参数。）（2）设这个数为$x$，列方程：$3x-2x=5$，解得$x=5$。（解析："3倍比2倍多5"即3x-2x=5。）3.思维拓展设成本价为$x$元，售价为$120\times0.8=96$元，利润为$96-x$元。根据利润率公式：$\frac{利润}{成本价}=20\%$，即$\frac{96-x}{x}=0.2$；解方程：$96-x=0.2x$，$96=1.2x$，$x=80$。答：每件服装的成本价为80元。（解析：利润率=利润/成本价，售价=标价×折扣，利润=售价-成本价。）四、图形初步单元练习题（一）单元知识点梳理1.线段、射线、直线：线段：有两个端点，可度量长度；射线：有一个端点，向一方无限延伸；直线：没有端点，向两方无限延伸；性质：两点确定一条直线；两点之间线段最短。2.线段中点：把线段分成相等的两段的点（若$C$是$AB$中点，则$AC=BC=\frac{1}{2}AB$）；3.角：由公共端点的两条射线组成的图形（顶点+边）；分类：锐角（$0^\circ<\alpha<90^\circ$）、直角（$\alpha=90^\circ$）、钝角（$90^\circ<\alpha<180^\circ$）；余角：和为$90^\circ$的两个角（$\alpha$的余角为$90^\circ-\alpha$）；补角：和为$180^\circ$的两个角（$\alpha$的补角为$180^\circ-\alpha$）；角平分线：把角分成相等的两个角的射线（若$OC$平分$\angleAOB$，则$\angleAOC=\angleBOC=\frac{1}{2}\angleAOB$）。（二）单元练习题1.基础达标（1）下列说法正确的是（）A.延长射线$AB$B.直线比线段长C.两点之间线段最短D.射线有两个端点（2）线段$AB=10$cm，点$C$是$AB$中点，点$D$是$AC$中点，则$BD=$______cm。（3）角$\alpha=40^\circ$，则它的余角是______，补角是______。2.能力提升（1）如图，$\angleAOB=120^\circ$，$OC$平分$\angleAOB$，$OD$平分$\angleAOC$，求$\angleBOD$的度数。（2）一个角的补角比它的余角大$20^\circ$，求这个角的度数（列方程解答）。3.思维拓展从点$O$出发，射线$OA$表示北偏东$25^\circ$，射线$OB$表示南偏东$35^\circ$，求$\angleAOB$的度数。（三）答案与解析1.基础达标（1）C（解析：A选项射线只能反向延长；B选项直线与线段无法比较长度；D选项射线有一个端点。）（2）$BD=BC+CD=5+2.5=7.5$cm（或$BD=AB-AD=10-2.5=7.5$cm）；（解析：$C$是$AB$中点，$AC=BC=5$cm；$D$是$AC$中点，$AD=CD=2.5$cm。）（3）余角$50^\circ$（$90^\circ-40^\circ$），补角$140^\circ$（$180^\circ-40^\circ$）。（解析：余角和为$90^\circ$，补角和为$180^\circ$。）2.能力提升（1）$\becauseOC$平分$\angleAOB$，$\therefore\angleAOC=\angleBOC=\frac{1}{2}\times120^\circ=60^\circ$；$\becauseOD$平分$\angleAOC$，$\therefore\angleAOD=\angleCOD=\frac{1}{2}\times60^\circ=30^\circ$；$\therefore\angleBOD=\angleBOC+\angleCOD=60^\circ+30^\circ=90^\circ$。（解析：角平分线将角分成相等的两部分，逐步计算各角大小。）（2）设这个角为$x$，则补角为$180^\circ-