《数字信号处理》课件第1章时域离散时间信号和时域离散系统

1本章主要内容时域离散信号的基本概念及典型序列时域离散系统的定义及其性质模拟信号数字处理方法确定性信号的相关函数线性时不变系统的输入/输出

δ(n)求解法时域离散系统的输入输出法：线性常系数差分方程21.1引言信号的分类系统的分类3信号的分类时域连续信号（模拟信号）：信号的自变量和函数值都取连续值，例如语言信号、温度信号等；时域离散信号：如果自变量取离散值，而函数值取连续值，这种信号通常来源于对模拟信号的采样；数字信号：信号的自变量和函数值均取离散值。4

采样间隔T=0.005s进行等间隔采样，得时域离散信号x(n)，

={…

，0.0，0.6364，0.9，0.6364，0.0，-0.6364，-0.9，-0.6364，…}显然,时域离散信号是时间离散化的模拟信号。如果用四位二进制数表示该时域离散信号，得到相应的数字信号x［n］={…，0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111，1.101，…

}数字信号是幅度、时间均离散化的模拟信号，或者说是幅度离散化的时域离散信号。

模拟信号5系统的分类模拟系统时域离散系统数字系统模拟网络和数字网络构成的混合系统61.2时域离散信号—序列序列的定义及表示序列的基本运算常用的典型序列序列的周期性用单位脉冲序列表示任意序列71.2.1序列的定义及表示序列的定义数字序列：离散时间信号{-2,5,-6,8,3,-7}一般只在均匀间隔的离散时间nT上给出数值{…,x(-2T),X(-1T),X(0),X(T),X(2T),…}序列的表示用集合符号表示用公式表示用图形表示8序列表示x(n)={x(n)}，-∞＜n＜+∞n代表nTnT指均匀间隔的离散时间点T采样时间间隔n为非整数时没有定义，不能认为此时x(n)的值是零

用集合符号表示x(n)={……,x(-2),x(-1),x(0),x(1),x(2),….}用公式表示9

序列表示用图形表示101.2.1常用的典型序列单位脉冲序列单位阶跃序列矩形序列实指数序列正弦序列复指数序列周期序列任意序列表示11单位脉冲序列δ(n)只在n=0时取确定值1，其它均为零δ(n)类似于δ(t)，注意二者的定义与区别δ(n-m)只有在n=m时取确定值1，而其余点取值均为零

12单位阶跃序列u(n)类似于u(t)u(t)在t=0时常不定义u(n)在n=0时为u(0)=1

δ(n)和u(n)的关系：δ(n)=u(n)-u(n-1)

13矩形序列

N为矩形序列的长度

和u(n)、δ(n)的关系

：14实指数序列a为实数当|a|＜1时序列收敛当|a|＞1时序列发散

15正弦序列

A为幅度ω为数字域频率φ为起始相位

设x(n)由x(t)=sinΩt取样得到（A、φ与频率无关

不考虑）x(n)=Asin(ωn+φ)

ω=ΩT=Ω/fs,ω与Ω线性关系,ω的单位为rad16复指数序列

ω为数字域频率用实部与虚部表示

用极坐标表示

只考虑频率令σ=0，序列频率ω呈现以2π为周期的周期性后续研究中频率域只考虑或就够了17

周期序列

对于序列x(n)，如果对所有n存在一个最小的正整数N，对任意整数m满足x(n)=x(n+mN)则序列x(n)是周期序列，最小周期为N。以正弦序列为例讨论周期性设x(n)=Asin(ωn+φ)

则有

x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωN+ωn+φ)

若满足条件ωN=2kπ，则x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωn+φ)=x(n)18周期序列N、k为整数，k的取值满足条件，且保证N最小正整数。其周期为

2π/ω为整数时，取k=1，保证为最小正整数。此时为周期序列，周期为2π/ω。

例1.4

序列，因为2π/ω=8，所以是一个周期序列，其周期N=8。

19周期序列2π/ω为有理数而非整数时，仍然是周期序列，周期大于2π/ω。例1.5

序列，2π/ω=8/3是有理数，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。

2π/ω为无理数时，任何k都不能使N为正整数，这时正弦序列不是周期序列。例序列指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。

20

用单位脉冲序列表示任意序列

任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表示，即x(n)可看成是x(n)和δ(n)的卷积和，式中例1.6

211.2.2序列的基本运算和积移位标乘翻转累加差分时间尺度变换序列能量卷积和22基本运算—序列的和

设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)=x(n)+y(n)

表示两个序列的和，定义为同序号的序列值逐项对应相加。23例：序列的和例：

设序列计算序列的和x(n)+y(n)。解：24例：序列求和图示25基本运算—序列的积

设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)=x(n)•y(n)

表示两个序列的积，定义为同序号的序列值逐项对应相乘。26例：序列的积例：

设序列计算序列的和x(n)•y(n)。解：27例：序列求积图示x(n)28基本运算—序列的移位

设序列为x(n)，则序列y(n)=x(n-m)表示将序列x(n)进行移位。

m为正时x(n-m)：x(n)逐项依次延时(右移)m位x(n+m)：x(n)逐项依次超前(左移)m位

m为负时，则相反。29例：序列的移位例：

设序列计算序列的和x(n+1)。解：30例：序列移位图示x(n)31基本运算—序列的标乘

设序列为x(n)，a为常数(a≠0)，则序列y(n)=ax(n)

表示将序列x(n)的标乘，定义为各序列值均乘以a，使新序列的幅度为原序列的a倍。32例：序列的标乘例：

设序列计算序列4x(n)。解：33基本运算—序列的翻转

设序列为x(n)，则序列y(n)=x(-n)

表示以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。34例：序列的翻转例：

设序列计算序列x(-n)。解：35基本运算—序列的累加

设序列为x(n)，则序列

定义为对x(n)的累加，表示将n以前的所有x(n)值求和。36基本运算—序列的差分前向差分：将序列先进行左移，再相减Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分：将序列先进行右移，再相减

▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此，容易得出▽x(n)=Δx(n-1)37基本运算—时间尺度(比例)变换

设序列为x(n)，m为正整数，则序列

抽取序列

y(n)=x(mn)

x(mn)和x(n/m)定义为对x(n)的时间尺度变换。

插值序列

38插值序列x(n/m)：对x(n)进行零值内插运算表示在原序列x(n)相邻两点之间插入m-1个零值点

保留

x(0)39基本运算—序列的能量

设序列为x(n)，则序列

定义为序列的能量，表示序列各取样值的平方之和；

若为复序列，取模值后再求平方和。401.3时域离散系统

时域离散系统的定义及表示

线性时不变系统

线性时不变系统h(n)与I/O关系线性时不变系统的性质

系统的因果性和稳定性

41时域离散系统的定义及表示时域离散系统定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的惟一变换或运算。以T[·]表示这种运算y(n)=T[x(n)]对变换T[·]加以不同的约束条件，所定义的系统就具有不同的特性和功能。线性时不变系统:最重要、最常用，可表征许多物理过程。421.3.1、1.3.2线性时不变系统

线性系统满足叠加原理叠加原理包含可加性和齐次性两方面性质

时不变系统系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关运算关系在整个运算过程中不随时间而变化

线性时不变系统

既满足叠加原理，又满足时不变性的系统

43线性系统

设系统的输入序列与输出分别为可加性:如果系统的输入之和与输出之和满足齐次性(或比例性):设a为常数，系统的输入增大a倍，输出也增大a倍线性系统、非线性系统（不满足可加性与齐次性）44例：证明一个线性系统注意：必须证明系统同时满足可加性和齐次性，且信号及比例常数都可以是复数。例：

试分析下列系统是否是线性系统

(1)y(n)=2x(n)-3，(2)y(n)=x(Mn)，其中M为正整数。不满足叠加原理，非线性系统

满足叠加原理，线性系统

45时不变系统

输入序列x(n)移动任意m位后，输出序列y(n)也移动m位，数值却保持不变。

m为任意常整数

时不变系统也称为移不变系统

46例：证明一个时不变系统例：

试分析下列系统的时不变性

(1)y(n)=2x(n)-3，(2)y(n)=x(Mn)，其中M为正整数。二者相等，具有时不变性

时变系统

471.3.3线性时不变系统h(n)与I/O关系

单位脉冲响应(单位取样响应)h(n)=T[δ(n)]线性时不变系统输入为δ(n)时的零状态响应线性时不变系统特性都可以用它的单位脉冲响应h(n)来表征已知h(n)

可得到线性时不变系统对任意输入的输出

时域离散系统：

完全响应=零输入响应+零状态响应48I/O关系推导

用δ(n)表示x(n)系统输出

叠加原理

时不变性

I/O关系:

线性时不变系统的输出等于输入序列和单位脉冲响应h(n)的卷积。

49

线性时不变系统的性质

交换律结合律分配律可以推广到多个系统的情况，由卷积和的定义可以很容易加以证明。

50

序列的卷积和

设序列为x(n)和z(n)，则序列

定义为x(n)和z(n)的卷积和。卷积和又称为离散卷积或线性卷积，是很重要的公式。

线性时不变系统的I/O关系：

就是序列卷积和的运算！51卷积和计算的四个步骤(1)翻转：x(m)，x(m)→x(-m)(2)移位：z(m)→

z(n-m)n为正数时，右移n位

n为负数时，左移n位

(3)相乘：x(m)z(n-m),（m值相同）

(4)相加：y(n)=∑x(m)z(n-m)52对应点相乘！例：卷积和计算例

设序列求y(n)=x(n)*z(n)。解：

n＜0时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。

0≤n≤4时，对应点相乘！53例：卷积和计算

4＜n≤6时，6＜n≤10时，n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。

54

例：已知x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。解计算卷积的基本运算是翻转、移位、相乘和相加。计算方法：图解法、解析法线性时不变系统的I/O求解55例1.3线性卷积首先将h(n)用h(m)表示，并将波形翻转，得到h(－m)，然后将h(－m)移位n，得到h(n－m)，n>0,序列右移；n<0，序列左移。如n=1，得到h(1-m)，接着将h(m)和h(n－m)相乘后，再相加,得到y(n)的一个值。对所有的n重复这种计算,最后得到卷积结果，如图1.3.2(f)所示,y(n)表达式为y(n)={1,2,3,4,3,2,1}

图解法56表1.3图解法（列表法）

57

例：设x(n)=anu

(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解

关键：根据求和号内的两个信号乘积的非零值区间确定求和的上、下限。因为n≥m时，u(n-m)才能取非零值；0≤m≤3时，R4(m)取非零值；所以，求和区间中m要同时满足下面两式：

m≤n

0≤m≤3这样求和限与n有关系，必须将n进行分段然后计算。解析法58n<0时，y(n)=00≤n≤3时，乘积的非零值范围为0≤m≤n，因此n≥4时，乘积的非零区间为0≤m≤3，因此写成统一表达式591.3.4系统的因果性和稳定性一般因果系统定义

系统某时刻的输出y(n)只取决于此时刻x(n)和以前的输入x(n-1)，x(n-2)，…，而和此时刻以后的输入x(n+1)，x(n+2)，…无关。先因后果

因果系统的响应不会出现于外加输入之前。非因果系统

当前的输出还取决于未来的输入，不符合因果关系。60因果性的充分必要条件

线性时不变系统具有因果性的充要条件

h(n)=0，n＜0证明充分条件若n＜0时，h(n)=0，则m>n时，h(n)=0因而

n0时刻的输出

可见，y(n0)只与m≤n0时的x(m)有关，因而是因果系统。61因果条件证明证明利用反证法证明必要条件假设因果系统，n＜0时h(n)≠0，则

在所设条件下，第二个求和式中至少有一项不为零，y(n)将至少和m＞n时的某一个x(n)值有关，这不符合因果性，假设不成立。62例：判断因果系统例：

判断差分系统的因果性。(1)前向差分系统:y(n)=x(n+1)-x(n);(2)后向差分系统:y(n)=x(n)-x(n-1)

。解

因为前向差分系统的y(n)决定于x(n+1)，故系统为非因果的。而后向差分系统定义为y(n)=x(n)-x(n-1)，显然是因果的。63稳定系统一般稳定系统定义

系统的每个有界输入，对应产生的输出都有界。如果输入满足|x(n)|≤M＜+∞(M为正常数)，有输出|y(n)|≤P＜+∞(P为正常数)。

判断系统不稳定只要找出一个特别的有界输入，对应的输出是无界的，则该系统就是不稳定的。

判断系统稳定必须证明所有有界输入，其输出都是有界的。64稳定性的充分必要条件

线性时不变系统具有稳定性的充要条件是其单位脉冲响应绝对可和，即证明充分条件若式成立，对于所有n都有|x(n)|≤M，得

即输出y(n)有界，系统稳定。

65稳定条件证明证明利用反证法证明必要条件假设系统稳定，但单位脉冲响应不绝对可和

定义一个有界输入计算输出，令n=0则有即y(0)无界，系统不稳定，因此假设不成立。

66例：判断稳定系统例：

判断累加器系统的稳定性解

考虑有界输入x(n)=u(n)，累加器的输出为

虽然n为有限值时，系统输出也为有限值，但对于所有n值(包括+∞)不存在有限值P，使得(n+1)≤P＜+∞，故系统输出无界。系统不稳定

67例：判断因果稳定系统例：

已知线性时不变系统的单位脉冲响应解

因为n＜0时，u(-n-1)=1，所以h(n)≠0，故系统是非因果系统。

所以|a|＞1时系统稳定，|a|≤1时不稳定。

式中a为实常数，讨论其因果性和稳定性。

收敛序列：如|a|＞1时，h(n)模值随n加大而减小发散序列：如|a|≤1时，h(n)模值随n加大而加大因为1.4时域离散系统的输入输出描述法

——线性常系数差分方程描述一个系统可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述系统的输出与输入之间的关系，这种描述法被称为输入输出描述法。微分方程模拟系统差分方程时域离散系统状态变量描述法线性时不变系统线性常系数差分方程T[·]x(n)y(n)时域离散系统用方程来描述两种不同的描述方法返回1.4.1线性常系数差分方程一个N阶线性常系数差分方程用下式描述：或，a0=1式中，x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系数ai和bi均为常系数，且x(n-i)和y(n-i)只有次幂，也没有相互交叉的线性相乘项，故称为线性常系数差分方程。1.4.2线性常系数差分方程的求解已知系统的输入信号和描述系统的线性常系数差分方程，求解系统的输出一般有三种方法：经典解法:和求解微分方程解法类似，齐次解＋特解递推解法：由初始值和输入值递推解出系统以后输出值Z变换解法：适合计算机求解递推解法：

观察上式，如果已知输入信号x(n)，求n时刻的输出，需要知道输入信号x(n)，以及n时刻以前的N个输出信号值：y(n-1)，y(n-2)，y(n-3)，…，y(n-N)。这N个输出信号值就构成初始条件。可以看到，上式是一个递推方程。如果已知输入信号x(n)和N个初始条件，就可以求出n个时刻的输出；如果将这公式中的n用n+1代替，就可求出n+1时刻的输出，依此类推，可求出各个时刻的输出。线性常系数差分方程的递推解法72【例2.14】设系统用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，输入序列x(n)=δ(n)，求输出序列y(n)。解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。递推法求差分方程

（1）设初始条件:（2）设初始条件:

731.5模拟信号数字处理方法74

1.5.1采样定理及A/D变换式中δ(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式：75对进行傅里叶变换，得到式中，Ωs=2π/T，称为采样角频率，单位是rad/s76理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率Ωs重复出现一次，或者说理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以Ωs为周期，进行周期性延拓而成的。77图1.5.3采样信号的频谱78采样恢复79采样恢复图1.5.4采样恢复80设xa(t)是带限信号，最高频率为Ωc，其频谱Xa(jΩ)如图1.5.3(a)所示。pδ(t)的频谱Pδ(jΩ)如图1.5.3(b)所示，那么按照（1.5.5）式，的频谱

如图1.5.3(c)所示，图中原模拟信号的频谱称为基带频谱。如果满足Ωs≥2Ωc，或者用频率表示该式，即满足Fs≥2fc，基带谱与其它周期延拓形成的谱不重叠，如图1.5.3(c)所示情况，可以用理想低通滤波器G(jΩ)从采样信号中不失真地提取原模拟信号，如图1.5.4所示。但如果选择采样频率太低，或者说信号最高截止频率过高，使Fs<2fc,Xa(jΩ)按照采样频率Fs周期延拓时，形成频谱混叠现象，用图1.5.3(d)表示。这种情况下，再用图1.5.4所示的理想低通滤波器对Xa(t)进行滤波，得到的是失真了的模拟信号。81折叠频率Fs/2这里需要说明的是，一般频谱函数是复函数，相加应是复数相加，图1.5.3和图1.5.4仅是示意图。一般称Fs/2为折叠频率，只有当信号最高频率不超过Fs/2时，才不会产生频率混叠现象，否则超过Fs/2的频谱会折叠回来而形成混叠现象，因此频率混叠在Fs/2附近最严重。82

采样定理（1）对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率Ωs为周期进行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。（2）设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs≥2Ωc，那么让采样信号通过一个增益为T、截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则,Ωs<2Ωc会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。83

实际中对模拟信号进行采样，需根据模拟信号的截止频率，按照采样定理的要求选择采样频率，即Ωs≥2Ωc，但考虑到理想滤波器G（jΩ)不可实现，要有一定的过渡带，为此可选Ωs=(3~4)Ωc。另外，可以在采样之前加一抗混叠的低通滤波器，滤去高于Ωs/2的一些无用的高频分量，以及滤除其它的一些杂散信号。这就是在图1.5.1中采样之前加预滤的原因。

84例如：模拟信号xa(t)=sin(2πft+π/8)，式中f=50Hz,选采样频率Fs=200Hz，将t=nT代入xa(t)中，得到采样数据：

A/DC模/数转换器模/数转换器原理框图85当

时，得到序列x(n)如下：

x(n)={,0.382683,0.923879,－0.382683,－0.923879,}如果A/DC按照M=6进行量化编码，即上面的采样数据均用6位二进制码表示，其中一位为符号位，则数字信号用表示：

={,0.01100,0.11101,1.01100,1.11101,}用十进制数表示的为

={,0.37500,0.90625,-0.37500,-0.90625,}显然量化编码以后的和原x(n)不同。这样产生的误差称为量化误差，这种量化误差的影响称为量化效应，这部分内容将在第9章介绍。86我们已经知道模拟信号xa(t)经过理想采样，得到采样信号,xa(t)和之间的关系用（1.5.2）式描述。如果选择采样频率Fs满足采样定理，的频谱没有频谱混叠现象，可用一个传输函数为G（jω)的理想低通滤波器不失真地将原模拟信号xa(t)恢复出来，这是一种理想恢复。下面先分析推导该理想低通滤波器的输入和输出之间的关系，以便了解理想低通滤波器是如何由采样信号恢复原模拟信号的，然后再介绍在实际中数字信号如何转换成模拟信号。1.5.2将数字信号转换成模拟信号87由低通滤波器的传输函数G(jΩ）推导其单位冲激响应g(t)：因为Ωs=2πFs=2π/T，因此g(t)也可以用下式表示：理想低想滤波器的输入、输出分别为和ya(t)，将（1.5.7）式表示的g(t)和（1.5.2）式表示的代入上式，得到：88（1.5.8）

理想恢复89由于满足采样定理，ya(t)=xa(t)，因此得到：（1.5.9）式中，当n=

,－1,0,1,2,时，xa(nT)是一串离散的采样值，而xa(t)是模拟信号，t取连续值，g(t)的波形如图1.5.6所示。其特点是:t=0时，g(0)=1;t=nT(n≠0)时，g(t)=0。在（1.5.9）式中，g(t)保证了在各个采样点上，即t=nT时，恢复的xa(t)等于原采样值，而在采样点之间，则是各采样值乘以g(t－nT)的波形伸展叠加而成的。90

图1.5.6内插函数g(t)波形

理想恢复91这种伸展波形叠加的情况如图1.5.7所示。g(t)函数所起的作用是在各采样点之间内插，因此称为内插函数，而（1.5.9）式则称为内插公式。这种用理想低通滤波器恢复的模拟信号完全等于原模拟信号xa(t)，是一种无失真的恢复。但由于g(t)是非因果的，因此理想低通滤波器是非因果不可实现的。下面介绍实际的数字信号到模拟信号的转换。

理想恢复92

图1.5.7理想恢复93实际中采用D/AC（Digital/AnalogConverter）完成数字信号到模拟信号的转换。D/AC包括三部分，即解码器、零阶保持器和平滑滤波器，D/AC方框图如图1.5.8所示。解码器的作用是将数字信号转换成时域离散信号xa(nT)，零阶保持器和平滑滤波器则将xa(nT)变成模拟信号。

D/AC数模转换器图1.5.8

D/AC方框图94由时域离散信号xa(nT)恢复模拟信号的过程是在采样点内插的过程。理想低通滤波的方法是用g(t)函数作内插函数，还可以用一阶线性函数作内插。零阶保持器是将前一个采样值进行保持，一直到下一个采样值来到，再跳到新的采样值并保持，因此相当于进行常数内插。零阶保持器的单位冲激函数h(t)以及输出波形如图1.5.9所示。对h(t)进行傅里叶变换，得到其传输函数：（1.5.10）95图1.5.9零阶保持器的输出波形96其幅度特性和相位特性如图1.5.10所示。由该图看到,零阶保持器是一个低通滤波器，能够起到将时域离散信号恢复成模拟信号的作用。图中虚线表示理想低通滤波器的幅度特性。零阶保持器的幅度特性与其有明显的差别，主要是在|Ω|>π/T区域有较多的高频分量，表现在时域上，就是恢复出的模拟信号是台阶形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用，这也就是在图1.5.1模拟信号数字处理框中，最后加平滑滤波器的原因。虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方法。实际中，将解码器与零阶保持器集成在一起，就是工程上的D/AC器件。97图1.5.10零阶保持器的频率特性981.6确定性信号的相关函数1.6.1信号的互相关函数和自相关函数1.6.2周期信号的相关性1.6.3相关函数的性质1.6.4输入信号与输出信号的相关函数1.6.5相关函数的应用1.6.6用MATLAB计算相关函数991.6确定性信号的相关函数1.6.1信号的互相关函数和自相关函数定义为信号x(n)和y(n)的互相关函数。

100与序列卷积运算相比较,相关运算仅缺少了将y(n)翻转变成y(-n)的步骤,其他运算过程完全相同。所以因此,用于卷积的计算过程和程序都可以直接用于计算序列的相关函数。

101

如果式(1.6.1)中y(n)=x(n),则上面定义的互相关函数即变成x(n)的自相关函数,记为rxx(m),即自相关函数表示了信号x(n)与其自身移位后的x(n-m)的相似程度。为了表示简单,一般将自相关函数记为rx(m)。102

式(1.6.4)说明,rx(0)表示x(n)的能量,记为Ex。当Ex<∞时,信号x(n)称为能量信号;当Ex=∞时,信号x(n)称为能量无限信号。对能量无限信号,我们主要研究其平均功率。信号x(n)的功率定义为

当Px<∞时,称x(n)为功率信号。功率信号是工程实际和理论研究中的常用信号,如周期信号。

103当输入序列是有限长序列,或只能获得无限长序列的有限个序列值时,通常将互相关函数和自相关函数表示成有限和的形式。特别是当x(n)和y(n)是长度为N的因果序列时,互相关函数和自相关函数可以表示为

104上述对相关函数的定义都是针对实信号的,如果x(n)和y(n)是复信号,其相关函数也是复信号,此时定义式(1.6.1)和式(1.6.3)应该为105

【例1.6.1】设信号为x(n)=anu(n),0<a<1。求其自相关函数。

解由于x(n))是无限时宽的,所以rx(m)也是无限时宽的。下面分m≥0和m<0两种情况来求解。当m≥0时,由图1.6.1可见:因为a<1,无限级数收敛,所以有106当m<0时,由图1.6.1可见:因为m<0时,a-m=a|m|,于是,rx(m)的上述两段表示式可以合并为自相关函数rx(m)如图1.6.1所示。107

图1.6.1信号x(n)=anu(n)的自相关函数运算示意图108

【例1.6.2】已知序列x(n)和y(n)分别为求x(n)和y(n)的互相关函数rxy(m)。109

解序列x(n)和y(n)均为有限长序列,但不是因果序列,所以不能直接套用式(1.6.6),必须用式(1.6.1)计算。

(1)当m=0时,乘积序列对于n的所有值,对乘积序列各项求和,可得

110(2)当m>0时,只要将y(n)相对x(n)向右平移m个时间单位,得到y(n-m),再计算乘积序列vm(n)=x(n)y(n-m),最后求可得111(3)当m<0时,只要将y(n)相对x(n)向左平移|m|个采样间隔,再进行同样的计算可得综上可得x(n)和x(n)的互相关函数rxy(m)为

1121.6.2周期信号的相关性设x(n)和y(n)是两个功率信号,其互相关函数定义为当y(n)=x(n)时,功率信号的自相关函数定义为113

特别是,如果x(n)和y(n)是两个周期为N的周期信号,则式(1.6.11)和式(1.6.12)中有限区间上的平均值就等于一个周期上的平均值,因此,式(1.6.11)和式(1.6.12)就可以简化为114由周期信号的定义可得所以,周期为N的周期信号的自相关函数也是以N为周期的。这样,如果一个周期信号的周期未知,我们可以根据其自相关函数的周期性质,估计其周期。115

【例1.6.3】已知x(n)=sin(ωn),其周期为N,即ω=2π/N,求x(n)的自相关函数。

解由式(1.6.14)得116由于第二项中第一项中所以由此可见,正弦序列的自相关函数是同频率的余弦序列,显然自相关函数与原序列周期相同。1171.6.3相关函数的性质1.互相关函数性质

(1)rxy(m)不是偶函数,而且rxy(m)≠rxy(m),但有

118

(2)rxy(m)满足证明生成线性组合序列119其中,a和b为任意常数,m为整数(表示延时)。该线性组合序列的能量可以表示为我们知道能量是非负的,所以下式成立:120121

2.自相关函数性质

(1)若x(n)是实信号,rx(m)是实偶函数,即当式(1.6.16)中y(n)=x(n)时,即可得式(1.6.22)。若x(n)是复信号,则rx(m)是共轭对称函数,即rx(m)=rx*(-m)。122

123

(3)对于能量信号x(n),将x(n)相对自身移至无穷远处,则二者不相关。即124

假设系统输入信号x(n)的自相关函数rx(m)已知,系统单位脉冲响应为h(n),系统输出信号为1.6.4输入信号与输出信号的相关函数125

由式(1.6.2)可知,输出信号与输入信号的互相关函数可表示为126由式(1.6.25)可见,输出信号与输入信号的互相关函数等于系统单位脉冲响应h(m)与输入信号自相关函数rx(m)的卷积。所以,ryx(m)可以看成线性时不变系统对输入序列rx(m)的响应输出,如图1.6.2所示。图1.6.2ryx(m)的输入与输出关系127在式(1.6.2)中令x(n)=y(n),再利用卷积的性质,可以得到系统输出信号的自相关函数ry(m):128如果系统稳定,则h(n)为能量信号,rh(m)存在。这样,如果rx(m)存在,则ry(m)存在,即输出信号也是能量信号。在式(1.6.26)中令m=0,可得输出信号的能量为1291.6.5相关函数的应用

1.相关函数在雷达和主动声呐系统中的的应用假设信号序列x(n)和y(n)是我们需要比较的两路信号,在雷达和主动声呐系统中,

x(n)一般是发射信号的采样,而(n)表示接收端A/D变换器输出的信号。如果目标是某个被雷达或声呐搜索的物体,则接收信号(n)由发射信号被目标反射,并经加性噪声污染后的延迟信号组成。雷达目标检测示意图如图1.6.3所示130

图1.6.3雷达目标检测示意图131接收信号y(n)可以表示为

其中,a是衰减因子,表示发射信号x(n)在发射信