专题33 直线的方程（原卷版）

专题33直线的方程【考点预测】知识点一：直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为（2）倾斜角的取值范围2．直线的斜率设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）越大，直线越陡峭（5）倾斜角与斜率的关系当时，直线平行于轴或与轴重合；当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；3．过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，，则（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°4．三点共线．两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．知识点二：直线的方程1．直线的截距若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于轴的直线斜截式不含垂直于轴的直线两点式不含直线和直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用3．求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）4．线段中点坐标公式若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．5．两直线的夹角公式若直线与直线的夹角为，则.【题型归纳目录】题型一：倾斜角与斜率的计算题型二：三点共线问题题型三：过定点的直线与线段相交问题题型四：直线的方程题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题题型六：两直线的夹角问题题型七：直线过定点问题题型八：轨迹方程题型九：中点公式【典例例题】题型一：倾斜角与斜率的计算例1．（2022·全国·高三专题练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．例2．（2022·全国·高三专题练习）过点的直线的倾斜角为（

）A． B． C．1 D．例3．（2022·全国·高三专题练习）若，且为第二象限角，则角的终边落在直线（

）上.A． B． C． D．例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．例5．（2022·全国·高三专题练习）若一次函数所表示直线的倾斜角为，则的值为（

）．A． B． C． D．例6．（2022·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（

）A． B．C． D．例8．（2022·全国·高三专题练习）设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（

）A．若直线的倾斜角为，则B．直线的倾斜角的取值范围为C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为例10．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过点，两点，则直线l的斜率为______；若，则直线l的倾斜角的取值范围为______．例11．（2022·全国·高三专题练习）若直线的倾斜角为α，则sin2α的值为___________.【方法技巧与总结】正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．题型二：三点共线问题例12．（2022·全国·高三专题练习）若三点共线，则a的值为_________．例13．（2022·全国·高三专题练习）若，，三点共线，则（

）A． B． C． D．例14．（2022·北京·高三期末）已知、、三点共线，则的值为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．题型三：过定点的直线与线段相交问题例15．（2022·全国·高三专题练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围．例16．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例17．（2022·陕西·西安中学高三阶段练习（理））已知点在直线上，且满足，则的取值范围为_______．例18．（2022·全国·高三专题练习）已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是________．例19．（2022·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（

）A． B．C． D．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．或 C． D．【方法技巧与总结】一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．题型四：直线的方程例21．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中真命题有_________个．①经过定点的直线都可以用方程表示；②经过任意两点的直线都可以用方程表示；③不经过原点的直线都可以用方程表示；④经过定点的直线都可以用方程表示．例22．（2022·全国·高三专题练习）设直线l过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为______条．例23．（2022·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．例24．（2022·全国·高三专题练习）过两点和的直线在y轴上的截距为（

）A． B． C． D．例25．（2022·全国·高三专题练习）已知直线过点，，则直线的方程为（

）A． B． C． D．例26．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（

）A． B． C． D．例27．（2022·全国·高三专题练习）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（

）A．1 B． C．或1 D．2或1例28．（2022·全国·高三专题练习）过点且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条例29．（2022·北京西城·高三阶段练习（理））已知直线不通过第一象限，则实数的取值范围__________．例30．（2022·全国·高三专题练习）若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例31．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）直线经过第一、二、四象限，则（

）A．， B．，C．， D．，例32．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（

）A． B． C． D．例33．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（

）A． B．C． D．例34．（2022·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（）A． B．C． D．【方法技巧与总结】要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式．题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题例35．（2022·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（

）A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条例36．（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（

）A． B． C． D．例37．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点.（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程；（2）求△OAB面积的最小值.例38．（2022·江苏·高二专题练习）已知点、，设过点的直线l与的边AB交于点M（其中点M异于A、B两点），与边OB交于N（其中点N异于O、B两点），若设直线l的斜率为k．(1)试用k来表示点M和N的坐标；(2)求的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式；(3)当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值．例39．（2022·湖北孝感·高二期中）已知直线的方程为点的坐标为.(1)证明：直线一定经过第一象限；(2)设直线与轴､轴分别交于，两点，当点到直线的距离取得最大值时，求的面积.例40．（2022·全国·高二专题练习）设直线的方程为．(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的一般式方程；(2)若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值．例41．（2022·江苏·高二专题练习）直线，相交于点，其中.（1）求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；（2）求的面积；（3）问为何值时，最大？例42．（2022·江苏·苏州中学高二期中）已知，为实数，过原点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.（1）若，且直线与轴、轴交于,两点，当面积最小时，求实数的值；（2）若直线过点，设直线与的交点为，求证：点在一条直线上.例43．（2022·江苏·高二课时练习）过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；(2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.例44．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知直线过点.(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；(2)若直线与x，y轴分别交于A，B两点且斜率为负，O为坐标原点，求的最小值.例45．（2022·全国·高二）过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点．(1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程；(2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程．例46．（2022·浙江·绍兴一中高二期中）如图，过点的直线l交x轴，y轴正半轴于A､B两点，求使：(1)面积最小时l的方程；(2)最小时l的方程.例47．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点.(1)当面积最小时，求直线l的方程；(2)求的最小值及此时直线l的方程.例48．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）已知直线：．（1）求经过的定点坐标；（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；②当取最小值时，求直线的方程．【方法技巧与总结】（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．题型六：两直线的夹角问题例49．（2022·全国·高三专题练习）直线与的夹角为________．例50．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为___________.例51．（2022·上海·高三专题练习）两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是________．例52．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，，若直线l过且与直线m､n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（

）A． B． C． D．2例53．（2022·全国·高三专题练习（文））若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（

）A．或2 B．或3 C．或4 D．或5【方法技巧与总结】若直线与直线的夹角为，则.题型七：直线过定点问题例54．（2022·浙江·高三专题练习）直线经过的定点坐标是______．例55．（2022·上海市中国中学高三期中）动直线，恒过的定点是________例56．（2022·浙江·高三专题练习）已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．例57．（2022·上海·高三专题练习）对任意的实数，，直线恒经过的一个定点的坐标是________．例58．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（

）A．4 B． C．8 D．例59．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知向量，，且.若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】合并参数题型八：轨迹方程例60．（2022·全国·高三专题练习）已知，，动点M与A，B两点连线的斜率分别为、，若，求动点M的轨迹方程例61．（2022·全国·高三专题练习）过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程.例62．（2022·全国·高三专题练习）已知是坐标原点，.若点满足，其中，且，求点的轨迹方程.例63．（2022·全国·高三专题练习）直线＝1与x，y轴交点的连线的中点的轨迹方程是________．例64．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．【解析】由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程．例65．（2022·全国·高三专题练习）直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）题型九：中点公式例66．（2022·全国·高三专题练习（理））过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________．例67．（2022·全国·高三专题练习）过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.例68．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.【方法技巧与总结】若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k22．（2022·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．60° D．135°3．（2022·全国·高三专题练习）直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（

）A． B． C．2 D．-24．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·全国·高三专题练习）已知，，三个数成等差数列，直线恒过定点，且在直线上，其中，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．46．（2022·全国·高三专题练习）直线过点，且轴正半轴､轴正半轴交于两点，当面积最小时，直线的方程是（

）A． B．C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，集合，，则的取值范围是（

）A． B．且C．且 D．且且8．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（

）A． B．C．5 D．10二、多选题9．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）设直线系：，则下面四个命题正确的是（

）A．直线系中包含倾斜角为和的直线B．点到直线系中的所有直线的距离恒为定值C．直线系中能构成三角形的任意三条直线所围成的三角形面积都相等D．存在点不在直线系中的任意一条直线上10．（2022·江苏·高三阶段练习）已知两点，，曲线C上存在点P满足，则曲线的方程可