专题7.5 空间向量的概念与运算【七大题型】（讲义）（举一反三）（新高考专用）（解析版）

专题7.51、空间向量与立体几何是高考的重点、热点话题之一是空间向量的概念及其运算，这是立体几何的基础。从近年来的高考来看，这类内容考查较少，通常以选择题形式出现。采用填空题形式进行考查，主要内容涵盖空间向量的线性运算。【知识点1(1)定义：(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：②字母表示法：用字母a，b，c，…名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量【知识点2空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.(2)共线向量定理的用途：【知识点3求两个向量的夹角：求空间向量数量积的步骤：【知识点42．用基底表示向量的步骤:(1)定基底：(2)找目标：相等向量的代换、向量的运算进行变形、(3)下结论：3．证明平行、共线、4．求夹角、(1)θ为a，b的夹角，则cos＝(＝6．运用空间向量基本定理解决几何问题的思路：(2)几何中的求夹角、【知识点5向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b31．三点共线：2．四点共面：【题型1故选：【变式1-1】（2024·上海·模拟预测）设A、B、C、若D为四点空间中的集合，则“A”表示“由D中四个点构成的集合”。B、C、【解题思路】基于共面的特性，结合空间向量加减法的几何解释。充分性、【解答过程】由当“A、B、C、D四点在同一条直线上时，

A,B,C,若A、B、C、D四点共圆，当ABCD当图形为矩形时，AC和BD作为圆的直径满足条件；而当ABCD构成其他形状时，上述条件不成立。故选：故选：【解答过程】∵点为中点，故选：【题型2空间共线、故选：故选：故选：故选：【题型3故选：故选：故选：故选：【题型4故选：故选：又故选：故选：【题型5证明三点共线、【例5】（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、【解题思路】通过向量的线性运算表示，根据、、∵、、即故选：【解答过程】根据A、B、C、D四点共面的条件得出：故选：(1)证明：【解答过程】（1）如图：在中，，，由得：以原点为坐标系的中心，构建如图所示的空间直角坐标系。则则【题型6空间向量平行、故选：【变式6-1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，且，则（故选：【解题思路】（1）依据题意，设参数，通过空间向量的坐标运算得出关