上海市奉贤区2024-2025学年高二年级下册期末统一练习数学试卷（含详解）

2024学年第二学期奉贤区高二数学练习卷

一,填空题(本题共12小题,1-6每小题4分,7-12每小题5分，共54分.)

1.抛物线炉=4〉的焦点坐标是.

2.在等差数列｛%｝中，已知名=59+%=11厕/=.

3.在平面直角坐标系中,Z=(L2)石=(-2,2),则&母=

4.已知函数〃尤)=。则曲线y=在点(1,1)处的切线的方程为.

5.已知直线>=无+2与圆f+y=4相交于两点，则卜.

6.某班要选举班干部，现有10名候选人，从这10名候选人中任选5人组成班委，有种不同的选法.(结果用数字表

示)

7.在(1+3尤？的二项展开式中系数最大的项的系数是(结果用数字表示)

8.某公司生产的糖果每包标识质量是500g,但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从〃=500,

4=2.5z的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过5g(即1%)的可能性为.(结果精确到0.1%)

(参考数据：若则尸(〃一crWXW〃+b)268.3%,尸(〃—2bWXW〃+2b)a95.4%,

尸(〃-3crVXW〃+3cr卜99.7%)

9.若点P在曲线G上,点。在曲线G上，定义〃G-G=|尸Q|最小值.已知有两条直线分别为4：x+2y-l=o,l2：2x+4y-3=0,

10.设函数y=/(x),其中/(力=6+$加,左上1,左€11,定义域为。=(-00,y).对于3£),定义％)=｛中(%)<〃。｝厕

q二

7(2025)-...................

11.已知|£|=出1=12|=2，对于任意的实数2，都有IZ+国£+"|恒成立，则I"一2Z|+12"-引的最小值是.

22

12.点尸1,F?是双曲线C：=1(“>0,6>0)的左,右焦点，过点尸|的直线与双曲线的左，右两支分别交于A,B两点.

若,忸必|组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4,则满足条件的双曲线的离心率有

种情况.

二，单项选择题(本题共4小题,13-14每小题4分,15-16每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.)

13.已知变量x与y负相关，且由观测数据得到样本的平均数7=3,5=2.7,则由观测数据得到的回归方程可能是()

A._y=0.4x+1.5B.y=-0.2尤+3.3C.y=2x+3.3D.y=-2x+8.6

14.如图，在边长为2的正四面体P-ABC中,N是VABC的中心，则下列正确的是()

p

A.PABC=4B.PAAB=2

C.PN=-PB+-BC+-BAD.PN=-PB+-PC--AP

333333

2

15.函数y=/(x)图象上存在点尸(%](%))，使得不等式片+/U0)<1成立，则称函数y=/(x)为“向心函数”，下列四个选

项中，是向心函数的为()

x2

A.y=x+2B.y=eC.y=Jx+l,lD.y=x+-

X

16.圆锥的母线长为6cm，下面有两个判断：

①当圆锥的母线与底面所成角为arccos当时，圆锥的体积最大.

②圆锥的体积可以取到88cm3.

则正确的判断是()

A.①②都正确B.①正确，②错误

C.①②都错误D.①错误，②正确

三,解答题(本题共5小题,17-19题每题14分,20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤.)

17.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调

查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析,从而得到下表(单位:人)

经常网购偶尔或不用网购合计

男性50100

女性70100

合计

⑴完成上表,并根据以上数据判断是否有99%的把握认为我市市民网购与性别有关？

(2)现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人,再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少

有2人经常网购的概率.

参考公式./=_______"(ad-bc)2_______

差((a+b)(c+d^a+c)(b+d)

2

P（X^X0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

九2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.如图，已知点尸为VA3C所在平面外一点，若24,平面ABC,BC，AB.

⑴求证：面「3。_1面乃".

(2)若P8与面ABC所成的角的大小为g,E4=l,求点A到平面PBC的距离.

0

19.已知无穷数列｛4｝,也｝.若对任意的正整数”，都有问-引V1，则称｛%｝与也｝“伴随”.

⑴若玛=弓严也=cos"^，判断®｝与也｝是否“伴随”，说明理由.

(2)已知数列｛4｝的前«项和为S,,,S,,满足S„=l-an，证明：｛%｝与｛S,J“伴随”.

22222222

20.如下图所示：曲线r是1+提=1卜2刈与十号=1俨41)组成的9+方=l(f川与2+/=1(f41)其中

ab

的两个交点分别记作Qt,Q3，点Qt在第一象限，点。3在第三象限.

(2)如图2,设四边形A耳4乡的四条边都与曲线r相切,°=V3时，求四边形A44层的面积.

22

(3)如图3,在y轴右侧的曲线「上有两点M,N,直线肱V经过点0(点N在a+方=1(/叫上).当。=2时，是否存在

直线MN，使得Q.M所在直线与QN所在直线关于直线Q3Q对称？若存在，求直线MN的方程，若不存在请说明理由.

21.己知函数y=/(X)，数列优｝满足X„+1=〃匕),〃21且"eN.对任意正整数«，匕+Z+2>2%恒成立时，则称函数

丫=〃同具有性质1.

(1)任意取一个不eR,判断函数g(X)=x+b是否具有性质T.

(2)函数y=m(x)在定义域D=(TO,y)上严格减，任意取一个玉e£),说明函数y=切⑺不具有性质T.

⑶求函数M尤)=欣+工的单调区间，并判断当石«0,1)时，函数Mx)=lnx+，是否具有性质T,说明理由.

XX

L(0,1)

【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.

【详解】因为抛物线方程为r=4y,所以焦点在y轴上，且焦点为(0,1).

故答案为(0,1)

【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.

2.6

【分析】利用等差数列的性质计算即可.

【详解】由等差数列的性质可知%+%=%+%=11=%=6.

故答案为：6.

a乐

3.arccos-----

10

【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式求解.

【详解】由Z=(l,2),B=(-2,2),得7B=lx(_2)+2x2=2，i|=6,|,|=2&.

一方2

因此cos〈a,B〉=--=/l=---，而0W〈2石〉V无.

|川|加45-2^210

所以〈£,行〉=arccos.

故答案为：arccos

10

4.y=3x-2

【分析】求导，根据导数的几何意义即可得出答案.

【详解】解：r(x)=3x2.

则广⑴=3.

所以曲线y=〃x)在点(L1)处的切线的方程为V-l=3(x-l).

即y=3尤一2.

故答案为：y=3%-2.

5.20

【分析】利用圆的弦长公式计算得解.

2

【详解】圆f+V=4的圆心为(0,0)泮径厂=2,则圆心到直线y=X+2的距离d==0

7I2+(-D2

所以|脑V|=2jr-/=2忘.

故答案为：2夜

6.252

［分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算.

【详解】从这10名候选人中任选5人组成班委，不同选法种数是C：。=252.

故答案为：252

7.20412

81

【分析】根据二项展开式得到第厂+1项系数为C；3'=邳二子3］再利用二项式系数最大项的求法得出「的值即可求最

大项的系数.

81

r

【详解】（1+3尤）8的展开式通项为Tr+l=（3x）'/eN,0<r<8,则系数为C；3=叫心广）产.

Q|8!

C：3r=3r>CI+13r+1=3用

8r!(z8-r)x!8(r+l)!(7-r)!

设第厂+1项系数最大，则

Qf8!

C；3’3'T

r!(8-r)!8(r-l)!(9-r)!

13

---->----

8—rF+1々刀/日2327p匚匚..,

即《,]，斛得丁4厂4丁，又reN,所以r=6.

3>144

「一9一r

所以最大项系数为第7项，最大系数为C；36=20412.

故答案为：20412.

8.4.6%

【分析】根据正态分布的性质，先确定〃，的值,再结合已知的概率公式计算质量误差超过5g的可能性.

【详解】因为每包糖果的实际质量服从〃=500,/=2.5?的正态分布，则。=2.5.

质量误差不超过5g,即国-500仁5,也就是〃-2b<X<〃+2b.

根据参考数据可知P（〃-2bWXW4+2b）。95.4%.

那么质量误差超过5g的概率为1一—2bWXW〃+2b）。1一95.4%y4.6%.

故答案为：4.6%.

9.好

10

【分析】根据给定的定义,利用平行线间距离公式求解即得.

【详解】直线4的方程化为：2x+4y-2=0,显然〃叫.

|-2-(-3)|_1

所以

臣+“一发―10

故答案为：哈

10.(—),2025]

[分析]由导数可得/（X）单调递增，然后由S期定义可得答案.

【详解】注意至u_f（x）=《+cosx3女一120,贝IJ/（无）在R上单调递增.

则5/（2025）=卜|〃力1（2025）｝O卜|〃尤）</（2025））=（—2025].

故答案为：（f，2025].

11.473

【分析】利用数量积的运算律，系结合恒成立的不等式求得展B=-2,再利用数量积的运算律求得然后利

用向量的三角不等式求出最小值.

—►—一—》2],9,,,2—2——»

【详解】由I区1。+261，得。+—+a-b<a+万b+-b,jfj]|o|=|Z?|=|c|=2.

则4才+（2Z・田X-£•B-120,依题意，对任意的实数A,422+（2a.&M-a-&-l>0恒成立.

因止匕404）2+1604+1）=4（£石+2）2<0,贝!|£/=一2.

又|2C-B|=J4c2-4OB+B~=\Jc2-4c-b+4b=^（c-2&）2=|c-2Z?|•

贝!!|1一22|+|21一加=|5一2£|+|1—2/闫^一2商一仁一2方）\=2\b-a\

=2\/b2-2b-a+a2=4用，当且仅当"一2之与"-2分反向时取等号•

所以|"-2幻+|2"-的最小值是4g.

故答案为：4A/3

12.3

【分析】由双曲线的定义得：|隹|-|/阎=2°,忸胤—忸局=|钻|+|/囱-忸阊=2”,所以|A月卜邑任用也,根据直

角三角形的三种情况可求|时|,进而利用定义可求。,再利用勾股定理或余弦定理可求闺用,即可得到离心率.

因为两条直角边的长度分别为3和4,所以斜边为5.

由双曲线的定义得:\AF^-\AF\=2a\BF\-\BF^=\A^+\AF\-\BF^=2a.

所以=|明+|相明解得|9|=应狂用也.

①|=3,忸⑷=4,|陷|=5时,NAB玛=90°.

又恒司」4瑞用半日4同=3,...忸£|_忸局=6_4=2=2"=”1.

|fJF,|=J忸周2+忸图2=136+16=2713=2cnc=岳.

所以此时离心率e=£=^/^^.

a

②|=4,忸闾=5,|然|=3时,NBA8=N£A8=90°.

上司」4刃+|71-/同=2,.•.忸用一怛用=6-5=l=2ana=；.

2

\F{F2\=^\AF^+|A/^|=Jl+9==2c=>c=•

所以此时离心率e=-=Vio.

a

③|AB|=5,忸阊=3,|M|=4,cosNABK=1.

M耳上眄土用辿Li,...忸周T叫।=6-4=2=2ana=l.

\F{F2\=yj\BF^+\BF2^-2|Bf；I|B^IcosZABf；==2c^c=半

所以此时离心率e=£=姬.

a5

综上，满足条件的双曲线的离心率有3种情况.

故答案为：3.

13.B

【分析】利用负相关及回归直线经过样本中心点，逐项判断.

【详解】对于AC,回归直线y=0.4x+1.5,y=2x+3.3的斜率分别为0.4,2,都为正，变量x与y正相关,AC不是.

对于B,回归直线y=-0.2X+3.3斜率-0.2<0,变量x与y负相关.

当最=3时,7=-0.2x3+3.3=2.7,B可能是.

对于D,回归直线y=-2x+8.6斜率-2<0,变量x与y负相关.

当％=3时,y=-2x3+8.6=2.6w2.7,D不是.

故选：B

14.D

【分析】设基底为西，而，无，选项中涉及到的向量都用基底表示出来，再验证各个选项是否正确.

7T

【详解】设基底为西，而，无，由于四面体P-A5c为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为y.

对于A：^=^-PB,:.PABC=PA(PC-PB^=PAPC-PAPB

=2X2XL-2X2XL=0,故A错误.

22

对于B：荏=而_丽,.•・丽初=西•(而一丽)=丽.而一丽.而

=2x2x——2x2=-2,故B错误.

CN2

对于C,D：延长CN交AB于易得〃为AB的中点，由于N是VABC的中心河得二7=7.

CM3

P

15.B

【分析】根据给定定义，逐项分析判断即可.

【详解】对于A,由君+(%+2尸=2%；+4/+4=2(%+1>+222,得函数y=x+2不是向心函数,A不是.

对于B,点(0,1)在函数y=e”图象上，且02+F=i4i成立，函数丁=e'是向心函数,B是.

对于C,由片+(也；+1.1)2=2%；+1.121.1,得函数y=JV+1,1不是向心函数,c不是.

对于D,由X；+(%+,)2=2x；+二+2>2,得函数y=x+，不是向心函数,D不是.

入0玉)X

故选：B

16.B

【分析】设圆锥的高为xcm,求出该圆锥体积的函数关系,利用导数求出最大值，进而判断得解.

【详解】设圆锥的底面圆半径为wm,高为xcm,则r=36-X2,O<X<6.

圆锥的体积/(%)=|nr2x=17T(36X-x3)，求导得f\x)=TT(12-X2).

当0cx<2代时，尸(幻>0,当2君〈尤<6时，尸(%)<0.

函数/(无)在(0,2石)上单调递增，在(2后6)上单调递减,广(X)1mx=/(2>/3)=16岛-

因此当x=2瓜r=2娓时，圆锥的体积取得最大值16岛.

此时圆锥的母线与底面所成角区有cos。J=逅,。=arccos逅，①正确.

633

而16岛<16x1.74x3.15=87.696<88，则圆锥的体积不能取到88cm3，②错误.

故选：B

17.（1）表格见解析，有

【分析】（1）完成列联表，由列联表，得力2。8.333>6.635,然后根据独立性检验判断即可.

（2）由题知抽取10人中,经常网购的有7人,偶尔或不用网购的有3人，由可计算选取的3人中至少有2人经常网购的概

率.

【详解】（1）完成列联表：

经常网偶尔或不用网合

购购计

男

5050100

性

女

7030100

性

合

12080200

计

由列联表理①亚四①二空.333>6.635.

120x80x100x1003

.••有99%的把握认为我市市民网购与性别有关.

（2）由题知女市民中利用分层抽样的方法抽取10人中.

730

经常网购的有10x元=7人,偶尔或不用网购的有10x砺=3人.

选取的3人中至少有2人经常网购的概率尸=半坐=各.

cio60

所以所求概率为4受Q

oO

18.（1）证明见解析.

⑵巨

2

【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定，面面垂直的判定推理得证.

（2）由线面角求出由（1）的结论，作出点A到平面的垂线段，进而求出长度.

【详解】（1）由PAJL平面ABC,BCu平面ABC,得3C_LR4,而3C_LAB.

PAcAB=424,钿（=平面巴45,则BC_L平面又8Cu平面尸8c.

所以平面PBC_L平面上4B.

-7T

（2）由上4_L平面ABC,得ZPBA是尸3与面ABC所成的角，则NPBA=

6

而R4_LAB厕AB=^，在平面R4B内过A作AD_LPB于。.

由(1)知,平面尸3C_L平面RW,平面P3CPI平面抬5=尸3,因此AD_L平面尸3c.

所以点A到平面PBC的距离为AD=ABsin-=—.

19.⑴不“伴随”，理由见解析.

(2)证明见解析.

【分析】(1)取特值计算，结合数列“伴随”的定义判断即可.

(2)给定的递推公式求出通项公式，再利用定义推理得证.

【详解】(1)数列㈤｝与包｝不“伴随”.

Q3s

^Ln=4,\a4-b41=|--(-1)|=—>1.

所以数列也,｝与也｝不“伴随”.

(2)数列｛%｝中,S“=1-%,则％=1=1-％，解得q=g

an+x=Sn+i-Sn=1-4+1_(1—Q〃)=Q〃_Q〃+i,即%+i=；%.

因此数列⑷是首项为:，公比为I的等比数歹U,%=占㈤=1-占.

乙乙22

则|=|1一击|=1一击<1.

所以｛%｝与6)“伴随”.

20.⑴

⑵9.

(3)不存在，理由见解析.

2222_____

【分析】(1)由题可得。1,。3为二+与=1与々+27=1公共点，将两椭圆方程联立，结合题意，可得2,由丽•眠=0,

abba

结合Qi,可得/一〃=1，再将g,代入椭圆方程可得4+占=1，据此可得答案.

ab

(2)由(1)分析结合。=有,可得椭圆方程，由对称性可设直线4瓦方程为：x+yT=0(r>0),由直线与椭圆相切，结

合联立方程判别式为0,可得f,从而可得A，By4,当四点坐标，据此可得面积.

(3)由(1)分析结合。=2,可得椭圆方程，设直线=H尤-1)+1=履+1-左,将直线与两椭圆方程联立，设

22

N（%,%）,结合韦达定理，可得出X2关于左的表达式,由M,N在y轴右侧,点N在会+%=l（尤221）上）,可得

-34左＜-1.假设相关直线存在，则ZMQ3Q1=ZNQ3Qt，据此可得关于k的方程，通过判断方程有无解,可判断相关直线是否

存在.

2222

【详解】⑴令“，6＞0,由题可得/＞尸&,0为?+斗=1与，+。=1公共点.

匕212+〃2y2=02/

将1+4=1与W+E=i联立，可得

abbaa2x2+b2y2=a2b2,

ab

'abab

解得：

ab、J/+/+12,

y22

~y[a+b

ab

<1

由题可得<',产

ab

>1

y/a2+b2

则潦，=1=。1（1，1）,又斯・西=0,则函，瓶,从而"—〃=1.

将（）代入得—=』+士2a2-1

Ua+%=1,ln=1=>=1=>a4—3a2+1=0.

/-a2

解得或乎

（小于0,舍去）.

故心子

11Q

（2）由（1）分析可知又"抬，则］+至=1=62=/

则两椭圆方程为：］+茅=1,茅+§=1.设耳（oj）（〉o）.

由对称性可得A«,0）,则直线&耳方程为：：+：=1=＞尤+y-t=0.

将直线4耳方程与《+空=1联立，化简后可得3/一4"+2/一3=0.

33

因直线与椭圆相切，则判别式A=16/2-24r+36=0nt=述.

2

此时，将尤+y—逑=0与匕+生=1联立,化简后可得：3x2-3A/2.r+|=0.

2332

其判别式也为0,则直线x+y-逑=0也与椭圆上+至=1相切.

233

4，由对称性可得a

7

则四边形AAA层的面积为：||AA||^A|=1X3A/2X3A/2=9.

（3）由（1）分析可得又"2,则9+&=ln62==

4b3

则两椭圆方程为：?+今=1,今+3=1.

从而曲线「与y轴正半轴,无轴正半轴交点为：（0,2）,（2,0）.

设直线MN:y=k（x-1）+1=丘+1-％,将直线MN分别与两椭圆方程联立.

x23y213x2y2

则44，44，化简后可得：

y=kx+l-k[y=kx+l-k

（1+3左2）/+6左（1一女）尤+3（1—左）2—4=0,4=（6左+2）2之0.

（无？+3）龙」+2无（一1）龙+（1—I）?-4=0,A=（2左+6）2^0.

设”（冷％）,N（X2，%），由韦达定理•

（1一女）2—43（1—左y_4

看%=玉=.+3-2%=3/+1

22

因M,N在y轴右侧，点N在3+方=1仅训上）.

>0

-r+3

则=>—3<A:<—1.

3（1-^）2-4

>1

3二+1

/,2、

（ix）-一43-6k-k?’3（1-"-41—2k-3k2,

则M,N.因。3（T，T）・

k2+3'k2+33/+1'3=J

7\

3-6k-k2l-2k-3k2

+16-6k+12-24

则。=（£乙3r+11

2k2-2k3（1-4）—6k2-6k3k-

+1+1

F+33r+1

若Q3M所在直线与Q3N所在直线关于直线Q3Q,对称，则ZMQ3Q,=ZNQ3Q,.

因2（