数列综合应用之数学归纳法-高考数学一轮复习讲义

目录

数列问题之数学归纳法.............................................................2

【课前诊断】...................................................................2

【知识梳理】...................................................................3

【典型例题】...................................................................4

【小试牛刀】...................................................................6

【巩固练习——基础篇］.........................................................7

【巩固练习——提高篇】.........................................................9

数列问题之教学归纳法

【课前诊断】

成绩（满分10）：完成情况：优/中/差

【答案】：B

（I）求数列{4}的通项公式与前〃项和公式;

（I）求数歹!]{%},{2}通项公式；

【知快梳理】

L数学归纳法适用的范围：关于正整数”的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可

以考虑使用数学归纳法进行证明

3.第一归纳法要注意的地方：

【典型例题】

选D

选D

选c

练3.用数学归纳法证明:

I2,22_____rr________n(n+1)

Ix3+3x5+1•'+(2n—l)(2n+l)=2(2n+1)；当推证当!1=1£+1等式也成立时，用上归纳假

设后需要证明的等式是.

答案当11=卜+1时，

I2.22k2(k+l)2

1X3+3X5^r(2k-l)(2k+l)+(2k+l)(2k+3)

k(k+l),(k+1)2

=2(2k+l)+(2k+l)(2k+3)

痂口由汗k(k+l),(k+1)2

故八而证明nB2(2k+l)+(2k+l)(2k+3)

(k+l)(k+2)

=2(2k+3)即B可.

(1)求数列｛2｝的通项公式

①一②可得：

下面用数学归纳法证明：

(2)求数列｛q｝的通项公式

证明：用数学归纳法证明：

证明：（数学归纳法）

（2）求数列｛4｝的通项公式

解：（1）思路：虽然所给条件为不等式，但因为乙为正整数，所以依然可由不等式确定

的值，可先解出范围，再求出满足的整数即可。

总结：（1）利用整数的离散性，在求整数的值时，不仅可用等式（方程）去解，也可用不

等式先求出范围，再取范围内的整数，同样可以达到求值的目的

（2）思路：条件给出递推公式，故考虑利用％的范围去推出知+］的范围，可尝试数学归

纳法

解：（数学归纳法）

【小试牛刃】

1

11

121

1331

14641

则

【见固练习——基础篇】

1.是否存在一个等差数列｛。“｝,使得对任何自然数〃，等式：

的+2a2+3的+…+"。0="(〃+1)(〃+2)都成立，并证明你的结论.

分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令〃=1,2,3时找出来｛诙｝,然后再证明一

般性.

解：将〃=1,2,3分别代入等式得方程组.

解得<71=6,02=9,03=12,则d=3.

故存在一个等差数列斯=3”+3,当〃=1,2,3时，已知等式成立.

下面用数学归纳法证明存在一个等差数列斯=3〃+3,对大于3的自然数，等式

♦1+2a2+3的+…+”斯=〃(〃+1)(〃+2)都成立.

因为起始值已证，可证第二步骤.

假设"=左时，等式成立，即

〃1+2〃2+3〃3^—卜ka*k(k+l)(k+2)

那么当〃=左+1时，

〃1+2〃2+3〃3^—卜kcik+(女+1)。4+1

=jt(Hl)(H2)+(Hl)[3(Jt+l)+3]

二(左+1)(F+2左+3Z+6)

二(左+1)(左+2)(左+3)

=(Hl)[(Hl)+l][(Hl)+2]

这就是说，当〃=左+1时，也存在一个等差数列诙=3"+3使。1+2a2+36+…

+〃斯=〃(〃+1)(〃+2)成立.

综合上述，可知存在一个等差数列斯=3"+3,对任何自然数”，等式©+2a2+3的+…

+〃斯=〃("+1)(〃+2)都成立.

证明：①当«=1时，左边=1,右边=2.

左边〈右边，不等式成立.

那么当n=k+l时，

这就是说，当n=k+l时，不等式成立.

由①、②可知，原不等式对任意自然数〃都成立.

说明：这里要注意，当n=k+\时，要证的目标是

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标.

3.已知数列｛斯｝满足"1=0,«2=1,当〃RN时，an+2=an+\+an.

求证：数列｛为｝的第4m+l项(mGTV)能被3整除.

分析：本题由诙+尸。〃+1+。〃求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法.

①当m=l时，。4血+尸〃5=。4+〃3=33+。2)+(〃2+。1)=。2+。1+。2+。2+。1=3,能被3整除.

②当m=k时，©好1能被3整除，那么当〃=%+1时，

。4(女+1)+1=〃4%+5=。4%+4+。4+左3

=〃44+3+444+2+。4%+2+〃4k+1

二〃4+左2+〃4左+1+。4左+2+。4左+2+〃4Z+1

=3〃4k+2+2〃44+1

由假设。4女+1能被3整除，又3。4兀+2能被3整除，故3〃4人+2+2。4%+1能被3整除.

因此，当m=k+l时，a«*+i)+i也能被3整除.

由①、②可知，对一切自然数相GN,数列｛斯｝中的第4m+1项都能被3整除.

【巩固练习——提高篇】

(1)求4

①一②

总结：

(1