山东省烟台市芝罘区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

初二数学阶段检测练习题

一、选择题（每题3分，共36分）

1.下列诗句所描写的是随机事件的是（）

A.离离原上草，一岁一枯荣——白居易《赋得古原草送别》

B.白发三千丈，缘愁似个长——李白《秋浦歌》

C.年年岁岁花相似，岁岁年年人不同—刘希夷《代悲白头翁》

D.黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙——赵师秀《约客》

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的

事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可

能发生也可能不发生的事件.根据事件发生的可能性大小判断即可.

【详解】解：A、离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，不符合题意；

B、白发三千丈，缘愁似个长，是不可能事件，不符合题意；

C、年年岁岁花相似，岁岁年年人不同，是必然事件，不符合题意；；

D、黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙，是随机事件，符合题意；

故选：D.

2.下列方程组中，二元一次方程组是（）

x-y=1

xy=1（x-y=l[x2-y=1

A.<B.<C.</D.<

x+y=2[x+y=2[x+y=2x+—=2

【答案】B

【解析】

【分析】根据二元一次方程组的定义“二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是

1的方程.两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程.”判断即可.

【详解】A、方程组中的第一个方程不是一次方程，此项不符题意

B、是二元一次方程组，此项符合题意

C、方程组中的第一个方程不是一次方程，此项不符题意

D、方程组中的第二个方程不是一次方程，此项不符题意

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题关键.

3.如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断8的是（）

A.Z3=Z4B.Z1=Z2C.ZD=ZDCED.ZD+ZACD=180°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.根据平行线的判定定理

对各选项分别进行判断即可.

【详解】A、根据N3=N4,可以得到6。〃AC,故选项错误；

B、根据N1=N2,可以得到48〃CD,故选项正确；

C、根据NO=N0CE,可以得到3r）〃CE,故选项错误；

D、根据ND+NACD=180°,可以得到6。〃AC,故选项错误；

故选：B

4.下列命题的逆命题错误的是（）

A对顶角相等B.两直线平行，内错角相等

C.等腰三角形的两个底角相等D.直角三角形的两锐角互余

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了命题与定理的知识，写出原命题的逆命题后判断正误即可.

【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是错误的；

B、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是正确的；

C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是正确的；

D、直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是正确的；

故选：A.

5.若a<b,则下列结论不一定成立的是（）

A.a+l<Z?+lB.3a<3b

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两

边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方

向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

【详解】h、,：a<b,

〃+1一定成立，此选项符合题意；

B、,:a<b,

：・3a<3b,一定成立，此选项符合题意；

C、•：a<b,

一定成立，此选项符合题意；

33

D、当a</?<0时，得/〉/,故原说法不成立，此选项符合题意；

故选：D.

6.七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方

形、一块平行四边形（对边平行且相等）组成.如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游

戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上（停留在拼接缝隙处不计），则小球停

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查几何概率，以及七巧板特点，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键.设大正方形的

边长为2,先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案.

【详解】解：设大正方形的边长为2a,

11

根据七巧板特点有S阴=]Xaxa=5a?,

又大正方形的面积为：2QX2Q=4〃2,

12

小球停留在阴影部分的概率是：y=1,

4^-8

故选：C.

7.已知关于x的一次函数y=（加—l）x—m的图象经过第二、三、四象限，则，”的取值范围为（）

A.m>0B.%>1C.0<m<lD.m<\

【答案】C

【解析】

【分析】根据一次函数的性质即可求出机的取值范围.

【详解】解：•••一次函数的图象经过第二、三、四象限，

m-1<0

/.\，解得：0<m<1

-m<0

故选：C.

【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是熟练运用一次函数的性质，本题属于基础题型.

8.如图，C是/A06的边Q4上一点，0C的垂直平分线交08于点D,垂足为E,以C为圆心、CD为

半径画弧交。8于点孔若NOCF=102。，则NOC尸的度数是（）

A.52°B.54°C.76°D.78°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理与外角的性质.

设NO=%°,根据垂直平分线的性质与等边对等角得到ZDCO=ZO=x°,利用三角形外角的性质与等边

对等角得到/。£。=/8尸=2廿，从而在4。。尸中，根据三角形的内角和定理构造方程，求解x的值，

得到NDCO的度数，根据角的和差即可解答.

【详解】解：设NO=x°

是0c的垂直平分线，

DO=DC,

：.ZDCO=ZO=x°,

：.ZCDF=ZDCO+NO=2x0,

由作图可得CD=CF\

Z.NCFD=NCDF=2短,

在AOCF中，ZO+NOFC+ZOCF=180°,

.•.xo+2x°+102o=180°,解得x=26,

"CO=NO=26。，

ZDCF=ZOCF-ZOCD=102°-26°=76°.

故选：c

9.为了开展好“招远市城市卫生专项”行动，某单位需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A型和B型两种

分类垃圾桶，A型分类垃圾桶50元/个，8型分类垃圾桶55元/个，总费用不超过415元，则不同的购买方

式有（）

A.2种B.3种C.4种D.5种

【答案】C

【解析】

【分析】设购买x个A型分类垃圾桶，则购买（8-x）个8型分类垃圾桶，利用总费用=单价x数量，结合

总费用不超过415元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合无，（8-x）

均为非负整数，即可得出购买方式的数量.

【详解】解：设购买x个A型分类垃圾桶，则购买（8.）个8型分类垃圾桶，

依题意得：50x+55（8-无）＜415,

解得:x＞5,

又•.5,（8-x）均为非负整数，

可以为5,6,7,8,

共有4种购买方式.

故选：C.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的

关键.

10.如图，在AABC中，ZB=45°,ZC=30°,A£＞平分N8AC与相交于点D,DEJ.AB,垂

足为点E.若OE=1,则的长是（）

A

A.V2+A/3B.亚+2C.2+A/3D.3

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，过点。作。尸于?如图所示，根据角平

分线的性质得到DE=DF=1，解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：过点。作于尸，

；AT＞为/8AC的平分线，且。石工于E,DF上AC于F,

:•DE=DF=1，

在RtaBED中，4=45°,

2DE2=BD1,

,：DE=1,

•••DE?=1，

BD=后负值舍去,

在RtZXCDE中，ZC=30°,

:.CD=2DF=2,

BC=BD+CD=Ji+2,

故选：B.

11.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之

重适等.交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？”.意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金

重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙

袋轻了13两（袋子重量忽略不计）.问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y

两，根据题意得()

llx=9y

A.<

(10y+x)-(8x+y)=13

0Oy+x=8x+y

'[9x+13=lly

(9x=lly

(8x+y)-(10y+x)=13

9x=lly

(10y+x)—(8x+y)=13

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的

重量）-G枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可.

【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两

9x=lly

由题意得:

(10y+x)-(8x+y)=13

故选D.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关

系.

12.一次函数%=履+6与%=》+。的图象如图，下列结论：①。+左<0;②关于x的方程

=的解是i=—3；③当％>3时，％<%；④当上=一1时，b-a=6.其中正确的是

)

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数>=履+6的值大

于（或小于）0的自变量式的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线、=履+匕在x轴上（或下）方

部分所有的点的横坐标所构成的集合.

利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进

行判断.

【详解】解：•••直线%=履+6经过第一、二、四象限，

：.k<Q,

:直线%=x+a与>轴的交点在％轴下方，

••a<0,

：.a+k<0,故①正确；

:关于x的方程辰一x=a-〃可变形为尿+Z?=x+a

又一次函数%=依+人与%=x+。的图象的交点的横坐标为3,

关于x的方程Ax+〃=x+a的解是％=3,

关于尤的方程"—x=a的解是％=3,故②错误；

由图象可得，当x>3时，为<为，故③正确；

当左=_］时，函数%=_%+6,

:一次函数%=依+6与%=x+a的图象的交点的横坐标为3,

关于x的方程—x+Z?=x+a的解是％=3,

-3+/?=3+a,

：.b-a=6,故④正确；

综上所述，正确的是①③④。

故选：D.

二、填空题（每题3分，共24分）

x=l

13.若〈，是二元一次方程依-2y=3的一组解，则上的值是—.

b=1

【答案】5

【解析】

X=1

【分析】本题考查了二元一次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键.把I代入二元一次方程

b=1

依-2y=3得到关于上的一元一次方程，解之即可.

X=1

【详解】解：把、代入二元一次方程依-2y=3得"2=3,

b=1

k=5!

故答案为：5.

14.若（x-y+3）2与|2尤+y|互为相反数，则尤+y的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】根据互为相反数的两个式子的和为0,根据平方的非负性和绝对值的非负性可知，（/尹3）2=0,

且|2x+y|=。时它们的和为0,由此得出关于x和〉的二元一次方程组，然后把解代入x+y,从而求出结果.

【详解】解：,/（尤->3）2与|2x+y|互为相反数，

（尤-y+3）2+\2x+y\=0,

又,:（x-j+3）2>0,|2x+y|>0,

（尤-y+3）2=0,且|2x+y|=0,

.\x+y=-1+2=1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查二元一次方程组与平方的非负性、绝对值的非负性，根据题意列出二元一次方程组是解

答本题的关键.

15.如图，在“止。中，CD是角平分线，ZA=80°,ZB=40°,则NAOC的度数是.

BC

【答案】70。##70度

【解析】

【分析】本题主要考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，在AABC中由内角和定理得出ZACB度

数，根据角平分线定义知/ACD,最后在AACD中，由内角和定理可得答案.

【详解】解：NA=80°,NB=40°,

ZACB=1800-ZA-ZB=180°-80°-40°=60°,

•••CD平分NACB,

ZACD=-ZACB=30°,

2

/•ZADC=1800-ZA-ZACD=180°-80°-30°=70°.

故答案为：70。

16.老师将本题答案制作了一个二维码，并打印成面积为20cm2的正方形(如图所示)，为了估计图中黑

色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入白色部分的频率稳定在04左右，据

此可以估计黑色部分的面积约是.

【答案】12cm2

【解析】

【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，

并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近

似值就是这个事件的概率.总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可.

【详解】解：估计黑色部分的面积约为20x(1-0.4)=12cm2,

故答案为：12cm?.

17.如图，直线乙〃。，一副三角板放置在4，4之间，一三角板直角边在4上，三角板斜边在同一直线

上，则Ne=.

【答案】15。##15度

【解析】

【分析】本题考查了平行线的判定和性质.作直线/〃4,得到利用三角板的定义以及平行线的

性质即可求解.

【详解】解：作直线/〃小

：.N2=N1=3O。，

Nez=N3=450-Z2=15°,

故答案为：15°.

18.如图表示弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的关系，则弹簧不挂重物时的长度是

【答案】10cm##10厘米

【解析】

【分析】本题考查一次函数的应用，根据函数图象中的数据，可以计算出弹簧的长度y(cm)与所挂物体的

质量x(kg)之间的函数关式，然后令x=0求出相应的y的值，即可解答本题.

【详解】解：设弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为>=区+6,

5k+b=12.5

则《

20左+6=20

攵=0.5

解得,

工=10

；•弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为y=0.5x+10,

.•.当％=0时，y=1Q,

即弹簧不挂物体时的长度为10cm,

故答案为：10cm.

19.某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否〉9”为一次程序操作.若程序操作进

行了两次停止，则X的取值范围是.

【答案】3<xW5

【解析】

【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序操作进行了两次即停止，可列出关于x的一元一

次不等式组，解之即可得出尤的取值范围.

[2x-l<9，

【详解】解：根据题意得：12(2X-1)-1>9

解得：3<xW5,

•••x的取值范围是3<xW5.

故答案为：3<xW5.

20.如图，Rt^ABC中，ZA=90°,。是上一点，。8=6,OC=8,R2和肱V分别是。3和OC

的垂直平分线，若PB=MC,则PM的长度是.

A

【答案】572

【解析】

【分析】连接尸O,MO,利用垂直平分线性质得到NPQO=NMNO=90。，PB=PO,MO=MC,

OQ=3,ON=4,,结合等腰三角形性质证明△POQZAQVW(AAS),得到PQ=ON=4,再利用勾股

定理得到尸0,进而得到。扰的长度.

【详解】解：连接尸0,M0,

•••PQ和MN分别是0B和0C的垂直平分线，0B=6,0C=8,

ZPQO=ZMNO=90°,PB=PO,M0=MC,。。=3,ON=4,

:.NB=NPOQ,ZC=ZMON,ZOPQ+ZPOQ=90°,

•••ZA=90°,

..ZB+NC=90。，

ZPOQ+AMON=90°,则ZPOM=90°,

ZMON=ZOPQ,

PB=MC,

■-PO=MO=PB^MC,

:.^POQ^OMN（AAS）,

PQ=ON=A,

MO=PO=《PQ?+OQ2=5,

PM=y/MO2+PO2=5A/2•

故答案为：572.

【点睛】本题考查垂直平分线性质，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在

于作辅助线构造全等三角形.

三、解答题(共7题，满分60分)

21解方程(或不等式)组：

^-2±1=1

（1）《23

3x+2y=10

’3（%-2）＜2%-4

x=3

【答案】(1)\1

7=2

(2)-2<x<2

【解析】

【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键

(1)整理为一般式，再利用加减消元法求解可得；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了

确定不等式组的解集.

【小问1详解】

二上=1①

解：《23

3x+2y=10②

由①得3x—2y=8③

③+②得6x=18,

解得％=3,

把x=3代入②，解得y

x=3

.•.原方程组解为11；

y=—

I-2

【小问2详解】

3（x-2）<2x-4①

解：।1Z.„

2%+5--（1-%）>0（2）

解不等式①，得x<2,

解不等式②，得2,

原不等式组的解集为-2Wx<2.

22.如图，点E,E分别在ABCD上，AF±CE,垂足为点O,Zl=ZB,NA+N2=90。，试说明

AB//CD.

【答案】见解析

【解析】

【分析】先证CE〃斯得NAOE=NAEB,由MLCE以及利用平角定义得出Z4FC+N2=90。，结

合NA+N2=90。可以得出NAEC=NA,从而得证.

【详解】证明：•••/!=（已知），

：.CE//BF（同位角相等，两直线平行），

AZAOE^ZAFB（两直线平行，同位角相等），

'：AF±CE（已知），

AZAOE=90°（垂直的定义），

/.ZAFB=9Q0（等量代换），

VZAFC+ZAFB+Z.2^1S0°（平角的定义），

ZAFC+Z2=90°（等式性质），

VZA+Z2=90°（已知），

：.ZAFC=ZA（同角或等角的余角相等），

/.AB//CD(内错角相等，两直线平行).

【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用.

23.“五一”期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满200元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机

会.如图是一个可以自由转动的转盘(转盘被等分成10个扇形)，转动转盘停止后，根据指针指向参照表

格获得奖券(指针指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止).

区域颜奖券金

色额

黄20元

蓝50元

红80元

空白0元

(1)甲顾客购物100元，他获得奖券的概率是;

(2)乙顾客购物300元并参与该活动，求他获得20元和80元奖券的概率；

(3)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为:，50元和80元奖券获奖概率不变，通过

计算求出需要将多少个空白区域改为黄色？

【答案】(1)0(2)—

510

(3)需要将3个空白区域改为黄色

【解析】

【分析】本题考查了概率公式，根据概率进行计算，概率的意义，熟练掌握概率公式是解题的关键.

(1)由题意可知，甲顾客不能获得转转盘抽奖金的机会，则他获得奖金的概率是0；

(2)用概率公式求解即可；

(3)设需要将x个空白区域改为黄色，根据20元奖券概率为g列方程求解即可.

【小问1详解】

解：..TOO元<200元，

.••甲顾客不能获得转转盘抽奖金的机会，

•••他获得奖金的概率是0.

故答案为：0.

【小问2详解】

解：乙顾客购物300元，能获得一次转动转盘的机会，

由题意，每转动一次转盘共有10种等可能的结果，其中黄色的有2种，红色的有1种,

21

所以指针指向黄色的概率为一=一,

105

指针指向红色的概率为工，

10

所以他获得20元和80元奖券的概率分别为工，—.

510

【小问3详解】

解：设需要将x个空白区域改为黄色，

则由题意得，----=一

102

解得：x=3,

所以需要将3个空白区域改为黄色.

24.将两个大小不同的含45。的直角三角板按如图方式放置，它们的直角顶点重合，边和点。都在直

线/上，连接EC.求证：ECLBD.

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△板）也ZVLCE即可证明结论

【详解】证明：由题意得，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZEAD=90°,

ZBAC+ZCAE=ZEAD+ZCAE,即NS4£>=NC4E,

在ZVIB。和AACE中，

AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

：.AABD乌AACE,

：.ZB=ZACE=45°,

：.ZBCE=ZACE+ZACB=45。+45°=90°,

即DC±BE

25.为鼓励学生积极参加体育活动，某班级准备购买一批跳绳.已知2件A类跳绳和3件2类跳绳共需41

元，5件A类跳绳和2件8类跳绳共需53元.

（1）求这两种跳绳的单价各是多少元？

（2）该班级准备购进这两种跳绳共60件，且B类跳绳的数量不少于A类跳绳数量的工，请设计出最省钱

3

的购买方案，并求出最少费用.

【答案】（1）A类跳绳的单价是7元，3类跳绳的单价是9元

（2）最省钱的购买方案是购进A类跳绳45件、8类跳绳15件，最少费用为450元

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程组应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：

（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于。的一次函数关

系式.

（1）设A类跳绳的单价是x元，3类跳绳的单价是y元，根据题意列方程组可得答案；

（2）设购进A类跳绳。件，则购进8类跳绳（60-。）件，设购买费用为w元，依题意可得

w=7a+9（60-a）=-2a+540,根据一次函数的性质可得结论.

【小问1详解】

解：设A类跳绳的单价是x元，8类跳绳的单价是y元，由题意得：

2x+3y=41

5x+2y=53'

解之得，《x=7八，

[y=9

答：A类跳绳的单价是7元，8类跳绳的单价是9元.

【小问2详解】

解：设购进A类跳绳。件，则购进B类跳绳（60-㈤件,

由题意，60—“2—a,

3

解得〃<45.

设购买费用为w元，贝!J,

w=7a+9（60-a）=-2a+540,

V-2<0

；.w随着。的增大而减小，。最大时，w有最小值.

...当。=45时，最省钱，止匕时w=—2x45+540=450元，

60—45=15件，

最省钱的购买方案是购进4类跳绳45件、B类跳绳15件，最少费用为450元.

26.如图，AABC中，/48。=45°,4。_18。于点£>,于点E,AD与BE交于点F.

A

（1）求证：DC=DF；

（2）若点E恰在线段AD的垂直平分线上，求证：AB=BD+DF.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识：

（1）由“ASA”可证AADC名△5。尸，可得DC=DF；

（2）连接OE,证明NXOC=NC；EA=EC,得出破是AC的垂直平分线，得出45=3。，故可

得结论

【小问1详解】

证明：：ADIBC于点D,

：.ZADB=ZADC=90°,

'：/DBF+NDFB=90°,ZABC=45°,

ZJBAD=45°=ZAB£>,

；•AD=BD,

•••郎_1人。于点区

，ZDBF+ZC=90°,

NC=ZDFB,

在八4£)。和VBD/中，

ZADC=ZBDF,NC=NDFB,