特殊三角形 章末易错压轴题型（20易错10压轴）

专题13特殊三角形章末易错压轴题型（20易错+10压轴）

Q题型预览

愚易错题型

易错题型一图形的轴对称

i.壮丽祖国，一山一水皆是画卷;秀美江山，一草一木皆是诗篇，一个符号一座城.下列四个省份的徽标

中，是轴对称图形的是（）

A.

【答案】C

【分析】本题主要考查了轴对称图形.熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键.如果一个平面图

形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.

根据轴对称图形的概念逐一判断，即得.

【详解】A、不是轴对称图形，不合题意;

B、不是轴对称图形，不合题意;

C、是轴对称图形，符合题意;

D、不是轴对称图形，不合题意.

故选：C.

2.习近平主席提至『'人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道.如图有关环

保的四个图形中，不是轴对称图形的是，（填序号）

①②③④

【答案】①③④

【分析】根据轴对称图形的定义，即可进行解答.

【详解】解：①不是轴对称图形，符合题意；

②是轴对称图形，不符合题意；

③不是轴对称图形，符合题意；

④不是轴对称图形，符合题意；

综上：不是轴对称图形的有①③④；

故答案为：①③④.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，

直线两旁的部分能够完全重合的图形.

3.如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑.请你用四种不同的方法分别在下

图中再涂黑三个空白的小正方形，使整个图形成为轴对称图形.

【答案】见解析

【分析】根据轴对称的性质可知，正方形是轴对称图形，是四边的垂直平分线，所以可以先找到正方形的

对称轴，在对称图形中找到相同的部分是轴对称图形.

【详解】解：如图所示

【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，请注意，要画轴对称图形要先找对称轴.

易错题型二根据轴对称图形的特征进行求解

【答案】B

【分析】本题考查了轴对称图形的性质，结合与关于直线对称，结合三角形内角和进行列式计算，即可作

答.

故选：B.

【答案】7

【分析】本题考查了轴对称图形的特征.根据“关于某直线对称的图形对应边相等”即可求得结果.

故答案为：7.

(1)图中点C的对应点是点的对应角是」

【答案】⑴区ZD

(2)3

(3)39°

【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性：

（1）观察图形可直接得出答案；

•••图中点C的对应点是点的对应角是一。；

故答案为：E,ZD.

故答案为：3.

易错题型三设计轴对称图案

7.下图是由5张全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形.（用3种不同的方法）

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了设计轴对称图案，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此设计图案即可.

【详解】解：如图所示，即为所求.

8.下图是由5个全等的正方形组成的，请你移动其中一个正方形，使它变成轴对称图形.（在网格图中画

出4种形状不同的图形，涂上阴影）

【答案】见解析

【分析】本题考查作图一利用轴对称设计图案.“轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线折叠，能够

与另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形根据轴对称图形的定义画出图形即可.

【详解】解：图形如图所示：

9.在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图

形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）.

【答案】见解析

【分析】根据轴对称图形的定义，结合题意，补充图形即可

【详解】如图：有5种方法：

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.轴

对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的定义是解题的关键.

易错题型四轴对称中的实际问题

io.一轿车的车牌在水中的倒影是猛。・"；QE01，则该车的牌照号码为一.

【分析】根据轴对称的定义求解，对称轴取原图象下方的水平直线.

触0-MQE01

鄂Q・W6E01

【点睛】本题考查轴对称的定义，理解轴对称的定义是解题的关键.

11.操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中

目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向.如图，目标球从A点出发经2点到C点，相当于从4点

出发直接击打目标球C,其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置.

(2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB,反射后，撞到球。.(不写作法，

保留作图痕迹.)

(2)见解析

【点睛】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键.

【答案】40。/40度

故答案为：40°.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键.

易错题型五等腰三角形的判定

【答案】(1)证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确证明两个三

角形全等是关键.

【答案】(1)见解析

⑵12

(2)户是AC的中点，

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质和

三角形全等的判定定理.

易错题型六等腰三角形的性质

(2)见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，

三线合一.

【答案】(1)见解析

【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，周角的性质，等边三角形的判定和性质的

综合，掌握折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键.

(1)根据折叠的性质即可求解；

「当点。在AB的中点，

【分析】本题考查的是三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，利用分

类讨论的思想去解决问题.

，此时不符合题意；

易错题型七格点中画等腰三角形

19.如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1,按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点

上.

(1)在图1中画一个以AB为直角边且面积为3的直角三角形.

(2)在图2中画一个以AC为腰的等腰三角形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是

学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型；

(1)根据要求利用数形结合的思想解决问题即可；

(2)根据等腰三角形的定义作出图形(答案不唯一).

【详解】(1)解：如图即为所求；

(2)解：如图即为所求.

(1)在图1中，画以A3为腰的三角形；

(2)在图2中，画以为底的三角形.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了在网格中画等腰三角形，

(1)根据题意画出以为腰的三角形；

(2)根据题意画出以为底的三角形.

【答案】（1）见解析；

（2）见解析;

（3）见解析.

【分析】（1）作点C关于直线的对称点，再与点A、B首尾顺次连接即可；

（2）根据全等三角形的判定，结合网格作图即可；

（3）根据等腰三角形的特点，结合网格作图即可.

...△4BO是等腰三角形.

【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查作图轴对称变换、全等三角形以及等腰三角形的性质，解题

的关键是掌握轴对称变换的定义和全等三角形的判定.

易错题型八等边三角形的判定

【答案】见解析

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【分析】（1）由题意可得，点尸在线段的垂直平分线与的交点，作出线段的垂直平分线即可;

【详解】（1）解：由题意可得：点尸在线段的垂直平分线与A3的交点，如下图：

（2）证明：连接CP,

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图一垂直平分线，等边三角形的判定，等边对等角等

性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质.

【答案】见解析

易错题型九等边三角形的性质

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和尸的位置是解题的关键.要使△PEE的周长最小,

通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决.

••,点尸与点C关于对称，

/.04垂直平分PC,

故选：A.

恒成立的结论有.(把你认为正确的序号都填上)

【答案】①②③⑤

【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及性质.

故①正确；

故②正确；

故③正确；

故④错误；

故⑤正确.

,正确的有：①②③⑤.

故答案为：①②③⑤.

【答案】⑴40。，50°；

(2)见解析

(3)120°

【分析】（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解即可；

【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等边三角形的性质，直角三角形的性质等知

识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

易错题型十逆命题和逆定理

A.该命题及其逆命题都是真命题

B.该命题是真命题，其逆命题是假命题

C.该命题是假命题，其逆命题是真命题

D.该命题及其逆命题都是假命题

【答案】B

【分析】本题考查了判断命题的真假，写命题的逆命题，写出逆命题并判断真假即可.

故选：B.

29.“直角三角形的两锐角互余.”的逆命题是,它是命题（填“真”或“假”）

【答案】如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形真

【分析】本题主要考查命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命

题.先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据直角三角形的判定判断即可.

【详解】解：“直角三角形的两锐角互余.”的逆命题是如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角

三角形，是真命题，

故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；真.

30.按要求解答下列各小题.

（D请写出以下命题的逆命题：

①相等的角是内错角；

（2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理.

⑵不是

【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念.

（1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可；

（2）根据逆定理的性质求解即可.

【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等.

（2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题，

故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理.

易错题型十一斜边的中线等于斜边的一半

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】D

故选：D.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对

等角，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键.

【答案】3.5

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线定理，熟悉掌握斜边上的中点等于斜边的一半是解题的关键.

根据刻度尺得出AB的距离，再由直角三角形斜边上的中线定理即可解答.

故答案为：3.5.

【答案】（1）见解析

又为A3的中点，

易错题型十二含30度角的直角三角形

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，含有30度角的直角三角形的性质，解题关键是理解

含有30度角的直角三角形的性质并能运用.

故选：B.

【答案】2

【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会

利用面积法解决问题，属于中考常考题型.

故答案为：2.

【答案】（1）见解析

⑵6

【详解】（1）「DE垂直平分AB,

【点睛】此题考查了三角形内角和定理，等边对等角，垂直平分线的性质，含30。角直角三角形的性质，解

题的关键是熟练掌握以上知识点.

易错题型十三勾股定理的证明方法

37.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证

明勾股定理的是（）.

【答案】A

【分析】本题主要考查勾股定理的证明，先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到

等式，变形再判断即可.

【详解】解：A.大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，

以上公式为完全平方公式，

，A选项不能说明勾股定理，符合题意；

B.由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，

，B选项可以证明勾股定理，不符合题意；

C.大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，

••.C选项可以证明勾股定理，不符合题意；

D,大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，

，D选项可以说明勾股定理，不符合题意.

故选：A.

38.在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是.（填“甲”

或“乙”）

【答案】乙

【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键.根

据图形列代数式即可得出结果.

故答案为：乙.

【深入思考】

【答案】（1）详见解析

【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键.

（2）证明：由题意得，第一种方法：

第二种方法：

易错题型十四勾股定理与网格问题

A

【答案】A

故选：A.

【答案】5

【详解】解：如图，

，符合要求的C点有5个.

故答案为：5.

42.如图，每个小正方形的边长都为1.

(2)7

(3)是，理由见解析

【分析】本题考查了网格与勾股定理，割补法求面积，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先分别运用勾股定理算出每条边的长度，再根据周长公式列式计算，即可作答.

(2)运用割补法进行列式计算，即可作答.

故答案为：7；

连接AC,如图所示：

易错题型十五用勾股定理解三角形

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题

转化为三角形问题求解.

【详解】解：连接AC,

故选：B.

【答案】3

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

【详解】解：如图，连接

故答案为：3.

【答案】(1)见解析

⑵13

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键.

答：AE的长是13.

易错题型十六勾股定理的逆定理

【答案】D

【分析】本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定.根据三角形内角和定理、

勾股定理逆定理、直角三角形的判定解决此题.

故选：D.

【答案】(1)90

(2)66

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式.勾股定理的逆定理：如果三角形两条边

的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形.

故答案为：90.

故答案为：66.

⑴求AB的长；

【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，

对于(1),根据勾股定理计算即可；

易错题型十七勾股定理的应用

⑴求AB的长；

(2)9cm

【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

50.【综合与实践】

如图，每个小方格的面积均为1,图(1)(2)(3)中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C,图中正

方形的面积如下：

ABC

图(1)448

图⑵—913

图(3)934

（1）在表格中的横线上填空.

【提出问题】

（2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a,b,斜边长

为c,写出a,b,c之间的数量关系：.

【解决问题】

（3）根据（2）中的发现，解决以下问题：

一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？

【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，勾股定理的证明：

（1）根据网格的特点，结合正方形面积计算公式求解即可；

（3）根据（2）的结论求出BC的长即可得到答案.

【详解】解：（1）由题意得，图（2）中正方形A的边长为2,则其面积为4；

图（3）中正方形8的边长为5,则其面积为25；

故答案为：4；25；

51.有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，工作人员用绳子牵

引靠岸，开始时绳子2C的长为13m.（假设绳子是直的，结果保留根号）

【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键.

【详解】（1）解：如图所示：

易错题型十八最短路径问题

52.如图，长方体的长为30,宽为20,高为10,点B与点C的距离为5,一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A

爬到点8,需要爬行的最短距离是（）

【答案】B

【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，勾股定理，长方体的展开图，理解题意、掌握立方体的展开

图是解题关键.

将长方体展开，连接A3,根据两点之间线段最短，即可求解.

【详解】解：将长方体展开，连接AB,

根据两点之间线段最短，共有3种情况:

①如图,

②如图,

③如图,

，蚂蚁需要爬行的最短距离是25.

故选：B.

【答案】13

【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理.将杯子侧面展开，作点A关于族的对

称点A,根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答.

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A,

连接A3,则A3即为最短距离,

故答案为：13.

(D若要使得C、。两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少km处?

【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键.

(2)作点。关于的对称点£)夕，连接CD'交于点

易错题型十九用HL证全等

【答案】B

【分析】本题考查运用“HL”证明三角形全等，根据“HL”证明三角形全等的条件即可解答.

故选：B

【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“HL”是解题的关键.

根据“HL”判定方法求解即可.

【答案】⑴证明见解析；

(2)20°

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形.全等三角形的判定是结合全等三角形的

性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

(1)由全等三角形的判定定理HL证得结论；

易错题型二十全等的性质与HL综合

【答案】（1）见解析

⑵3

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判

定与性质是解题的关键.

即CD的长是3.

【答案】（1）证明见详解；

（2）证明见详解；

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；

（1）根据HL直接证明即可；

【答案】（1）见解析

【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，中垂线的性质以及角平分线的判定，熟练掌握是解答本题的

关键.

【详解】（1）证明：如图，连接03,DC,

100压轴题型

压轴题型一轴对称中的折叠问题

【答案】A

【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

故选：A.

【答案】三90或10

当在C的左侧时，

当A在C'的右侧时，

90

故答案为：亍或10

【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平角的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和平行线的性

质是解题的关键.

故答案为：80；

压轴题型二轴对称中的最值问题

【答案】A

【详解】如图，作点A关于BC和C。的对称点4,A",连接44",交BC于M,交CD于N,则4A”即为

△AMV的周长最小值，

*/ZBAD=120°,

：.ZAA'M+ZA"=60°,

VZMA'A=ZMAA',ZNAD=ZA",

：./AMN=2ZAA'M,NANM=2ZA",

：./AMN+/ANM=2(NAA'M+/A")=2x60°=120°,

故选A.

【点睛】本题考查最短路线问题，三角形内角和定理及其推论，利用轴对称的性质确定M、N的位置是解

题的关键.

A.1.2B.2C.2.4D.5

【答案】C

【分析】取点N关于AD的对称点E,由轴对称图形或成轴对称的性质可推出MN=ME,从而得到CM+

MN=CM+ME,当点C、M、E在一条直线上且CELAB时，CM+MN有最小值，最后利用等面积法求得

CE的值即得.

【详解】解：取点N关于AD的对称点E,如下图：

：AD平分/BAC

.•.点E在AB上

•••点N与点E关于AD对称

AD是N点与E点所连线段的垂直平分线

；.MN=ME

，CM+MN=CM+ME

当CELAB时，CE有最小值，即CM+MN有最小值

.•.CM+MN最小值为：2.4.

故选：C.

【点睛】本题考查最短路径问题、轴对称图形或成轴对称的性质、角平分线的性质及等面积法，对称转化

是解决最短路径问题的常用方法，本题解题关键是将最短路径问题转化为垂线段最短的问题.

【答案】4

•••点N关于BD的对称点在54上，

故答案为：4.

压轴题型三等腰三角形的判定与性质

【答案】35。或40。或30°

故答案为：35。或40。或30。.

【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.

(1)直接写出6的值，«=,(3=；

(2)详见解析

(2)证明：如图2中，连接。尸.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，因式分解，平行线的判定和性质等知

识，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考

压轴题.

①根据以上作图，请写出一条正确结论：.

【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积、折叠的性质、线段垂直

平分线的性质、等腰三角形的性质、尺规作图以及平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的

性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.

(1)①根据尺规作图即可得出结论；

(2)解：①如图2,连接B。，交HE于点、0,

②分两种情况：

压轴题型四等边三角形的判定与性质

70.央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推

理”.几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探

究、推理，以解决新的问题.

（2）见解析

【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论；

设AC和8D交于点0,

71.【概念呈现】

【性质探究】

【拓展应用】

②连接并延长EG,交AC于点用

EG垂直平分CO,

【点睛】本题考查了新定义——“和合’’三角形.熟练掌握新定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的

判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解题有关键.

【答案】（1）证明见详解

⑵①6

【详解】（1）证明：当点。在线段上时，

当点。在CB延长线上时，如图，

当点。在BC延长线上时，如图，

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两直线平行同位角相等，等边对等角，等边三角形的

判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键.

压轴题型五等腰（边）三角形的存在性问题

VD,C是对称点

・••当AD最长时，A,H,。三点在同一条直线上，如图，

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，

轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

74.如图所示，AABC中，AB=AC=BC=10厘米，M、N分别从点A、点8同时出发，沿三角形的边运动，

已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止

运动.

c

(1)M、N同时运动多少秒后，M、N两点重合？

(2)M、N同时运动几秒后，可得等边三角形A4MN?

(3)M、N在BC边上运动时，能否得到以血W为底边的等腰△4WN,如果存在，请求出此时M、N运动的

时间，如果不存在请说明理由.

【答案】(1)10秒后M、N两点重合；(2)点M、N运动1秒后，可得到等边三角形AMN；(3)M、N

40

运动的时间为万秒，理由见详解.

【分析】(1)首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M,N的运动路程，N的运动路程比M

的运动路程多10cm,列出方程求解即可；

(2)根据题意设点M、N运动f秒后，可得到等边三角形AMN,然后表示出AM,AN的长，由于NA等于

60°,所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形；

(3)首先假设AAMN是等腰三角形，可证出△ACM空△4BN,可得CM=BN,设出运动时间，表示出CM,

的长，列出方程，可解出未知数的值.

【详解】解：(1)设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，

xx1+10=2%,

解得：x=10；

•••10秒后加、N两点重合；

(2)设点M、N运动f秒后，可得到等边三角形AMN,如图①，

c

AB

图①

AM=txl=t,AN=ABBN=lQ2t,

•..△AMN是等边三角形，

.".t=10-2t,

，点M、N运动1秒后，可得到等边三角形AMN.

(3)当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形,

由(1)知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图②，假设AAMN是等腰三角形，

：.AN=AM,

：.NAMN=NANM,

：.ZAMC=ZANB,

"：AB=BC=AC,

ZVICB是等边三角形，

：.ZC=ZB,

在和"BN中，

AACM^AABTV(A4S),

CM=BN,

设当点M、N在3C边上运动时，M,N运动的时间y秒时，是等腰三角形，

/.CM=ylOfNB=302y,CM=NB,

yl0=302y,

40

解得：J=y.故假设成立.

40

二当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN,此时M、N运动的时间为石秒.

【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关

系.

【答案】（1）见解析

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；

压轴题型六直角三角形的压轴问题

【答案】D

:点E为BC的中点，

故选：D.

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【详解】解：ED的延长线交BC于点M,连接A£）并延长交BC于点F,

.•.点A在的垂直平分线上，

•••点。在2c的垂直平分线上，

垂直平分2C,

故选：B.

（2）证明见解析

:点8是FG的中点，

:点H是即的中点，

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边

三角形的判定和性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键.

压轴题型七勾股定理中的折叠问题

79.如图，三角形纸片ABC,点。是BC边上一点，连接A。，把AAB。沿着AO翻折，得至lUAE。，DE与

AC交于点G,连接BE交于点E若DG=GE,AF=4,BF=2,AADG的面积为g,则点F到BC的

距离为（）

【答案】B

【分析】首先求出AB。的面积.根据三角形的面积公式求出。尸，设点尸到8。的距离为人，根据:咕。咕

=1-BF-DF,求出8。即可解决问题.

【详解】解：：OG=GE,

：.SADG=SAEG=-,

AA2

：.SAADE=5,

由翻折可知，^ADB^t.ADE,BELAD,

：.SAABD=SAADE^5,ZBFD=90°,

：.^-（AF+DF）-BF=5,

g（4+DF）・2=5,

：.DF=1,

设点尸到8。的距离为6,

则;皿^叫二:切衣/）/,

故选：B.

【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

【分析】分类讨论：①当点C落在对角线上时和②当点C'落在对角线AC上时，分别正确作出辅助线，