2024-2025学年四川省成都市艺体中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省成都市艺体中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(易向量的概念)下列命题中，正确的是(

)A.若a//b，则a与b方向相同或相反

B.若a//b，b//c，则a//c

C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等2.下列函数是周期为π的偶函数是(

)A.y=sinx B.y=|sinx| C.y=tanx D.y=cosx3.已知cosα=34,3π2A.−24 B.−1444.若向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|=2，|b|=2，|cA.4 B.10 C.4或10 D.2或5.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=(

)A.23BA+16BC

B.16.已知非零向量a、b满足|a|=|b|=|a−b|A.12 B.32 C.−7.函数y=1−sin2x−2sinx的值域是A.[−2,2] B.(−2,2) C.(0,2) D.(−2,0)8.我圆古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若S1S2=25，则A.52 B.72 C.132二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(2x−π3A.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)在区间(−π6,0)上单调递增

C.函数f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2−π12(k∈Z)10.下列结论正确的是(

)A.若|a|+|b|=|a+b|，则a与b的方向相反

B.tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3

C.11.在△ABC中，则下列说法正确的是(

)A.若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为等边三角形

B.若点M是边BC上的点，且三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(λ,2)，b=(−1,3)，若a//(a+b13.已知cosθ−sinθ=12，则cos4θ=______．14.已知△ABC是面积为43的等边三角形，且AD=xAB+yAC，其中实数x，y满足四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a与b的夹角为π3，且|a|=2,|b|=3，

(1)求|a+b|；

(2)若(2a+16.(本小题15分)

已知函数f(x)=32sin2x−12cos2x+1．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在[0,π]上的单调递减区间；

(3)17.(本小题15分)

已知向量a=(−1,3)，b=(1,−2)，c=a+2b，d=a+b．

(1)求cos〈c,d〉；18.(本小题17分)

水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车(即圆周)的直径为3米，其中心(即圆心)O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为ℎ(单位；米)，水车逆时针旋转时间为t(单位：秒).当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N.从水车与水面交于点Q时开始计时(t=0)，设∠QON=φ，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为α．

(1)求ℎ与t的函数解析式；

(2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小(精确到1°)；

(3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出ℎ与t的函数解析式．

(参考数据：sinπ5≈0.60,19.(本小题17分)

定义：若非零向量OM=(a,b)，函数f(x)的解析式满足f(x)=asinx+bcosx，则称f(x)为OM的伴随函数，OM为f(x)的伴随向量，

(1)若向量OM为函数f(x)=2sin(x+π6)+4sin(x−π2)的伴随向量，求|OM|；

(2)若函数f(x)为向量OM=(3,−1)的伴随函数，在中，f(A)=1，且sin(B−C)=34，求证：tanB=3tanC．

参考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.A

6.B

7.A

8.C

9.AC

10.BC

11.ACD

12.−213.−114.5

15.(1)因为向量a与b的夹角为π3，且|a|=2,|b|=3，

所以a⋅b=|a||b|cosπ3=2×3×12=3，

所以|a+b|=a2+2a⋅16.(1)由题意得f(x)=sin2xcosπ6−cos2xsinπ6+1=sin(2x−π6)+1，

所以f(x)的最小正周期T=2π2=π；

(2)令π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ，k∈Z，

所以f(x)在R上的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ]，k∈Z，17.解：(1)因为a=(−1, 3)，b=(1, −2)，

所以c=a+2b=(−1,3)+2(1,−2)=(1,−1)，

d=a+b=(−1,3)+(1,−2)=(0,1)，

所以cos<c, d>=c⋅d|c||d|=1×0+(−1)×112+(−1)202+11=−22．

(2)因为a=(−1, 3)，b=(1, −2)，

所以a−λb=(−1,3)−λ(1,−2)=(−1−λ, 3+2λ)，

因为c与a−λb的夹角为锐角，所以c⋅(a−λb)>0且c与a−λb不共线，

由(1)得c=(1,−1)，

所以c⋅(a−λb)=1×(−1−λ)+(−1)×(3+2λ)=−4−3λ>0，解得λ<−43，

若c与a−λb共线，则3+2λ=1+λ，即λ+2=0，解得λ=−2，

所以λ<−43且λ≠−2，所以λ的取值范围为(−∞,−2)∪(−2,−43)．

(3)由(2)得a−λb=(−1−λ, 3+2λ)，

所以|a−λ19.解；(1)因为f(x)=2sin(x+π6)+4sin(x−π2)

=3sinx+cosx−4cosx=3sinx−3cosx，

则OM=(3,−3)，

所以|OM|=(3)2+(−3)2=23．

(2)依题意，f(x)=3sinx−cosx，

由f(A)=3sinA−cosA=2sin(A−π6)=1，

得sin(A−