直线的两点式方程（思维导图+3知识点+4考点+过关检测）解析版-2025新高二数学暑假提升讲义

第10讲直线的两点式方程

T模块导航—T素养目标A

模块一思维导图串知识1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围;

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围;

模块三核心考点举一反三3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标.

模块四小试牛刀过关测

模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理

知识点1直线的两点式方程

1、两点式方程的推导

如果直线/经过两点＜（X],乂），£（//2）（引力》2），则直线/的斜率左=2二五.由直线的点斜式方程

得y—西）.当切力外时，方程可以写成2»=土』-

%一占一%一切迎一西

2、直线的两点式方程定义

设直线/经过两点片（再,%），月（9/2）（毛/々,%/%），则方程?』="L叫作直线/的两点式

一y2f々一西

方程，简称两点式.

3、对两点式方程的理解

（1）J-Ji=—~五（x-xj（再*W）与'——=———（%1*x2,yry2）,显然后者表示直线的范围

x2-X1^2一%/一西

比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式.

（2）对两点式中的两点，只要是直线上的两个不同的点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关.

（3）把直线的两点式方程化为（＞-凹）（％-再）=（刈-弘）（》-X）,则该方程表示过平面内任意不同两点

（石,%），（％2，8）的直线.

4、两点式方程的使用方法

（1）已知直线上两点片（石,必），£（々,左）且匹/马，必W%时，可以直接使用该公式求直线方程.

（2）当天=82，%0为时，直线方程为X=匹或X=X2•

（3）当天片》2，%=为时，直线方程为y=%或y=

知识点2直线的截距式方程

1、截距式方程的推导

如图，已知直线/经过两点/（a,0）,其中awO,bwO,有直线的两点式方程得，三=尸

即—.

2、直线的截距式方程的定义

设直线/在x轴的截距为a,在y轴的截距为6,且awO,bwO,则方程二+上=1叫作直线的截距式方程,

ab

简称截距式.

3、截距的概念

（1）横截距：直线与x轴交点的横坐标.在直线方程中，令y=0,解出x的值即可.

（2）纵截距：直线与y轴交点的纵坐标.在直线方程中，令x=0,解出y的值即可.

4、截距式方程应用的注意事项

（1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可;

（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；

（3）要注意截距式方程的逆向应用.

知识点3中点坐标公式

+玉

则＜2

若点4,6的坐标分别为（X］,%）,（x2,y2）,且线段片鸟的中点M的坐标为（x,y）,

y=A±A

12

0>模块三核心考点举一反三------------------------------

（考点一两点式与截8成辨析卜,丁一（考点三直线的截距式方程）

直线的两点式方程

（考点二直线的两点式方程户’3考点四直线与坐标轴围成图形的赢］

考点一：两点式与截距式辨析

1.（23-24高二上•河北邢台・月考）下列直线方程是两点式方程的是（）

A.y=kx+bB.y-y0=k(x-2x0)

xy,y-y{x-x{z

C.-+—=1D.1必7%)

a2b歹2一弘马一玉

【答案】D

【解析】对于选项A：>=h+b是斜截式方程，故A错误；

对于选项B：y-%=Mx-2x0）是点斜式方程，故B错误;

对于选项C：2+三=1是截距式方程，故C错误;

a2b

对于选项D：七*=33（xkX2J尸力）是两点式方程，故D正确；故选：D.

y2f%—占

【变式1-1］（2024高二・全国•专题练习）经过两点（5,%）,（%,%）的直线方程都可以表示为（）

x-xy-yx-xy-y

A.-------{-=---------i22

了2一再必一必再一看外一必

c.（了一切）（尤2-xJ=（x-xJ（%-%）D.737=737

人人？人］

【答案】C

【解析】当X尸乙〃尸%时，由两点式可得直线方程为：二上=——L,

y2-yix2-Xj

化为:（一一%）（工2—再）=（彳-芯）（为一%），

对于无।=%或乂=%时上述方程也成立，

因此直线方程为：（y-必）（工2-玉）=（尤-尤1）包-乂）.故选：C.

【变式1-2］（23-24高二上•四川宜宾・月考）（多选）下列说法中错误的是（）

A.直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线

B.；-与=1与;+4=一1是直线的截距式方程

2323

C.直线方程的斜截式都可以化为截距式

D.在尤轴、y轴上的截距分别是2、-3的直线方程为;+二=1

2-3

【答案】ABC

【解析】对于选项A,直线方程的截距式为±+二=1,其中弱力0,

不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，故A错误；

对于选项B,直线方程的截距式为±+上=1,其中口片0,

ab

而;一斗=1与;+==一1不是直线的截距式方程，故B错误；

2323

对于选项c,直线方程的斜截式包含在歹轴上的截距为o的情况，

而此类不能化为截距式，比如y=2x,故C错误；

对于选项D,直线方程的截距式为±+2=1,其中历70,

ab

。、6是直线在X轴、y轴上的截距，

所以在X轴、y轴上的截距分别是2、-3的直线方程为讶+工=1,故D正确.故选:ABC.

2-3

【变式1-3］（23-24高二上•江苏宿迁•月考）（多选）下列说法中错误的是（）

A.不过原点的直线都可以用方程土+>=1表示

ab

B.若直线则两直线的斜率相等

C.过两点4（国,%）,6（%,%）的直线都可用方程（x-xJ3-弘）=5-%）（％-再）表示

D.若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直

【答案】ABD

【解析】A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误；

B：4和4的斜率有可能不存在，故B错误；

C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果，

直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，

但化为整式后就可以表示任意直线，故C正确；

D：直线斜率不存在，则直线垂直于x轴；

直线斜率存在，但不一定为0,所以两直线不一定垂直，故D错误.故选：ABD.

考点二：直线的两点式方程

（23-24高二上・宁夏银川・月考）经过点”（-3,2）,8（4,4）的直线的两点式方程为（)

y—2x+3y—2%—3

------=-------B.---------------

27-27

【答案】A

【解析】因为直线经过点/（-3,2）,8（4,4）,

所以由方程的两点式可得直线方程为£=即宁—一・故选：A

【变式2-1］（23-24高二上•内蒙古呼伦贝尔・月考）过点45,6）和点8（-1,2）的直线的两点式方程是

【解析】由题意，NB不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件,

y-y,_

当直线经过（国,凶）,（马,%）时，两点式方程为:

xx

y2~yi2~i

于是直线电的两点式方程为：胃二三

【变式2-2］（23-24高二上•全国・专题练习）已知三角形的顶点是N（l,3）,8（-2,-l）,C（l,-l）,求这个三角

形三边所在直线的方程.

【答案】答案见解析

【解析】由题意可知，作出图形如图所示

直线过

其两点式方程为？二=/三，整理，得4x-3y+5=0,

-1-3-2-1

这就是边AB所在直线的方程.

直线/C垂直于x轴，故/C边所在直线的方程为x=l.

直线2c平行于x轴，故2c边所在直线的方程为了=-L

【变式2-3］（23-24高二上•全国•课后作业）已知Y/BCD三个顶点的坐标为4（0,0）,5（3,0）,C（5,3）,

求它的对角线/C,2。所在直线的方程.

【答案】3无-5了=0,3x+y-9=0

【解析】因为Y48co三个顶点的坐标为4（0,0）,8（3,0）,C（5,3）,设。（尤））,

0+5_3+x

7-7fx=2/、

因为NC和3D的中点重合，所以八°，解得，，所以。2,3,

0+3_n0+j/I）?=3

所以对角线/C所在直线的斜率为3-0*==3,对角线2。所在直线的斜率为3-丹0=-3,

5-052-3

所以对角线/C所在直线的方程为=即3x-5y=o,

对角线2。所在直线的方程为广0=（-3加-3）,即3x+y-9=0.

考点三：直线的截距式方程

3⑵一24高二上・安徽滁州•期末）在平面直角坐标系网中‘直线:在y轴上的截距为（)

]_

A.-8B.8C.D.

88

【答案】A

【解析】对方程:一台1‘令x=°'解得昨一8；

故直线:-台I在,轴上的截距为-8.故选：A.

【变式3-1］（23-24高二上•江苏南京•期末）（多选）过点尸（2,1）口在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直

线方程为（）

A.x+y-3=0B.尤+了+3=0C.x-y-l=OD.x-2y=0

【答案】ACD

【解析】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为土+弃=1,

ab

+Q解得。二36Z—1,

』或

6=T,

z——b.

所以直线方程为x+V-3=0或x-y-l=O,故A,C正确;

当直线的截距为0时，设直线方程为y=自，

由题可知4=；,故直线方程为》-2了=0,D正确.故选：ACD

【变式3-2］（23-24高二上•云南昆明・月考）经过点/（4,3）,并且在两坐标轴上的截距相等的直线/有（）

条.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】若直线经过原点，则＞=93盯在坐标轴上的截距均为0,符合题意，

4

若截距均不为0,则设直线方程为£+上=l（awo）,将/（4,3）代入得3+3=1,.•.a=7,

aaaa

此时直线方程为A台1,符合题意;

即经过点/（4,3）,并且在两坐标轴上的截距相等的直线/有2条故选：C.

【变式3-3］（23-24高二上•广东东莞・月考）已知直线4经过点（L1）,斜率为2.

⑴求直线4的截年式方程.

（2）若直线右与4垂直，且4，4在V轴上的截距相等，求4的截妲式方程.

xy_

【答案】（i）T+n=\（2）三+5=1.

3一2-1

【解析】（1）依题意，直线4的方程为：y-l=2（x-l）,即2x-y=l,

土+工=1

所以直线4的截距式方程为1-1".

2

（2）由直线4与4垂直，得直线，2的斜率为-；，由（1）知，直线4在y轴上的截距为T，

于是直线4的方程为>=-三-1，即;x+y=T,

所以直线4的截距式方程为3+==L

考点四：直线与坐标轴围成图形的面积

例4.（23-24高二上•四川成都•期中）直线/过点/（2,3）,则直线/与x轴、V轴的正半轴围成的三

角形的面积最小值为（）

A.9B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】设直线/：-+^=1,（。力>0）,

ab

因为直线/过点/（2,3）,所以4+；=1,即26+3a=ab,

ab

所以26+3〃=ab22」2b，3a，解得ab>24,

当且仅当26=3”，即〃=4,6=6时等号成立，

则直线/与X轴、y轴的正半轴围城的三角形面积5=工成212.故选：B.

2

【变式4-1］（23-24高二上•广东揭阳・期中）（多选）直线/：±+与=1中，已知。＞0/＞0.若/与坐标轴

ab

围成的三角形的面积不小于10,则实数对（。泊）可以是（）

A.（3,8）B.（1,9）C.（7,4）D.（5,3）

【答案】AC

【解析】因为。＞0,6＞0,

所以直线/与坐标轴围成的三角形的面积为5=1仍，

2

则;历210,得岫220,结合选项可知，（3,8）,（7,4）满足题意.故选：AC.

【变式4-2］（23-24高二上・江苏徐州•月考）若过点尸（3,2）的直线/与坐标轴交于//两点，围成三角形

的面积为16,则符合条件的直线的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由题意直线/显然不过原点，所以不妨设直线/：-+^=1,/6,0）,8。,6）,

ab

o977h—?

又点尸（3,2）在直线‘上,所以/厂定「1工

又三角形408的面积为16,所以；|必|=16,

所以"工=驰，整理得3/一32。-2|=0；

b32

Q

当622时，方程3〃-32M-2|=0变为3从_326+64=0,解得4=：22或8=8W2满足题意,

oq,

将4=：和％=8分别代入士+：=1,解得对应的。分别为q=12，g=4；

3ab

当6＜2时,方程3/-32|6-2|=0变为3〃+326-64=0,

解得“=近＜2或仇=T6：将＜2满足题意，

将-16-877和-16+877分别代入之+［=1,

3343ab

解得对应的。分别为%=-8+4V7,&=-8-4近；

综上所述：满足题意的直线为:j+尸,y1,2,3,%共有4条.故选:D.

【变式4-3]（23-24高二上・江苏南通・月考）已知直线/过点尸（2,3）,根据下列条件分别求出直线/的方程.

（1”在x轴、了轴上的截距互为相反数；

（2”与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小.

【答案】（l）3x-2y=0或x-y+l=O；；（2）3x+2yT2=0

3

【解析】（1）①当直线/经过原点时，在X轴、y轴上的截距互为相反数都等于0,此时直线/的方程为y=,

②当直线/不经过原点时，设直线/的方程为土+上=1（。/0）

a-a

•.•尸（2,3在直线/上，.—+3=1,。=-1,即x-y+l=0.

a-a

综上所述直线/的方程为3x-2了=0或x-y+l=0

（2）由题意可知直线/与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为工+★=1（。>0,6>0）,

ab

7a

将尸（2,3）代入可得三+；=1,

ab

故2+2=G2、£3,故斜224,当且仅当2=3,即a=4,6=6时等号成立，

ab\abab

故此时面积最小为S=-ab=n.

2

故直线方程为±+[=1,即3x+2y-12=0

46

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（23-24高二上・江苏南通・期中）直线色-2=1在V轴上的截距为（）

42

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】由：-==i可得:+义=1，所以在了轴上的截距为-2,故选：B

424-2

2.（22-23高二上•海南•期中）在x轴、歹轴上的截距分别是-2、3的直线方程为（）

【答案】C

【解析】因为直线在X轴、y轴上的截距分别是-2、3,

所以直线方程是W+==i,即故选：c.

-2332

3.(23-24高二上•湖北黄石・月考)过点/(5,6)和点3(—1,2)的直线的两点式方程是()

y-5y+1„y-6x-52-6-1-5_x-6y-5

A------=-----B------=--------C------=--------D------=--------

'x-6x-2-2-6-1-5'y-6x-5-2-6-1-5

【答案】B

【解析】因为所求直线过点4(5,6)和点8(—1,2),根据直线的两点式方程可得：

所求直线方程为£=三二.故选B.

2-6-1-5

4.(23-24高二上•天津南开・月考)过点力(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.x-y+l=OB.x+y-l=O

C.2x-y=0或％-夕+1=0D.2x+y=0或x+y+l=0

【答案】C

【解析】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0,满足题意，

又因为直线过点2),所以直线的斜率为三=2,

1—0

所以直线方程为V=2x,即2x-y=0,

当直线不过原点时，设直线方程为±+之=1,

a-a

io

因为点2(1,2)在直线上，所以±+上=1,解得a=T,

a-a

所以直线方程为x-y+l=0,

故所求直线方程为2x-y=0或x-y+l=0.故C项正确.故选：C.

5.(22-23高二上•四川成都•期中)过点(1,-2)且横、纵截距相等的直线其条数为()

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因直线过点(1,-2),且横、纵截距相等，当此直线过原点时，直线方程为y=-2x,

当此直线不过原点时，设其方程为土+2=1,

aa

则有L二=1，解得。=一1，即直线方程为x+〉+l=0,

aa

所以过点(1,-2)且横、纵截距相等的直线方程为y=-2x或x+y+l=0,共2条.故选：B

6.(23-24高二上•黑龙江大庆・月考)已知直线工+今=1经过第一、二、三象限且斜率小于1,那么下列不

ab

等式中正确的是()

A.|a|<|6|B.s/^a<4bC.（b-d）（b+a）>0D.《<（

【答案】D

【解析】已知直线色+★=1经过第一、二、三象限，则直线在x轴上的截距°<0,在y轴上的截距b>o,

ab

由直线的斜率小于1,可知结合a<0可得。<0<6<-。，

a

对于A,由绝对值的性质可知同>同，故选项A错误，

对于B,由幕函数的单调性可知心>新，故选项B错误，

对于C,由不等式的性质，可得b+a<0,则（6-〃）（/?+4）<0,故选项C错误，

对于D,-<0,->0,则工<《，故选项D正确.故选：D

abab

二、多选题

7.（23-24高二上•江苏无锡•期中）直线/过点/（2,1）,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线/在〉

轴上的截距可能是（）

A.-1B.1C.3D.0

【答案】ACD

【解析】当直线过原点时，设直线方程为y=丘，贝h=2左，解得《=；,此时在了轴上的截距为o；

当直线不过原点且截距相同，设直线方程为二+1=1,则2+1=1,解得“=3,

aaaa

此时在y轴上的截距为3；

当直线不过原点且截距相反，设直线方程为2-2=1,则工-工=i,解得。=1,

aaaa

此时在y轴上的截距为-1:

综上所述：截距可能为0,-1,3.故选：ACD

8.（2024高二上•全国・专题练习）下列说法中错误的是（）

A.直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线

B.与了］=T是直线的截距式方程

C.直线方程的斜截式都可以化为截距式

D.在x轴、y轴上的截距分别是2,3的直线方程为授+5=1

【答案】ABC

【解析】对于A,直线方程的截距式为±+才=1,其中成片0,

ab

故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，A错误；

对于B,；-与=1，?+4=-1，都不是直线的截距式方程，B错误；

对于C,直线方程的斜截式y=丘，不能化为截距式方程，C错误；

对于D,在x轴、y轴上的截距分别是2,3的直线方程为］+（=1,D正确.故选：ABC.

三、填空题

9.（23-24高二上•广东广州•期中）若直线/与两坐标轴的交点分别为B,且线段的中点为（3,1）,则

直线/的方程为：.

【答案】x+3y-6=0

【解析】依题知，直线与x轴y轴的截距都存在且都不为0,

设直线方程为土+4=1,

ab

又线段48的中点为（3,1）,则£=3或=1,即。=6,6=2

则直线方程为1=即x+3y-6=0.

62

10.（23-24高二上•山东泰安・月考）已知直线/过点尸（4,1）,若直线/在y轴上的截距是在X轴上的截距的

2倍，则直线/的方程是.

［答案】2x+y-9=0或x_4y=0

【解析】若直线在坐标轴上的截距都是0,则由点尸（4,1）在/上，得其方程为x-4y=0；

若直线在坐标轴上的截距不为0,可设其方程为±+/=1,

a2a

Q

将点P（4,l）代入可得fl=j,所以/的方程是2x+y-9=0.

11.（23-24高二上•山西文