直线与圆、圆与圆的位置关系（九大题型）（练习）解析版-2025年高考数学一轮复习

第04讲直线与圆、圆与圆的位置关系

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：直线与圆的位置关系的判断...............................................2

题型二：弦长与面积问题.........................................................3

题型三：切线问题、切线长问题...................................................5

题型四：切点弦问题.............................................................6

题型五：圆上的点到直线距离个数问题.............................................8

题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题...................................9

题型七：圆与圆的位置关系......................................................11

题型八：两圆的公共弦问题......................................................12

题型九：两圆的公切线问题......................................................13

02重难创新练.................................................................15

03真题实战练.................................................................25

题型一：直线与圆的位置关系的判断

1.（2024•山东淄博二模）若圆C:/+2x+y2一3=0,则直线/：m+y=O与圆C的位置关系是（）

A.相交B.相切

C.相离D.相交或相切

【答案】A

【解析】/：〃氏+，=。经过定点（。,。），由于02+2x0+02_3=-3<0,则定点在圆内.

故直线hnx+y=0与圆C的位置关系是相交.

故选：A.

2.（2024•安徽•三模）直线/：办+>-2=0与圆C：（x-iy+（y-2）2=1的公共点的个数为（）

A.0B.1C.2D.1或2

【答案】C

【解析】由直线/：6+广2=0,可得直线/过定点（0,2）,

又由圆C：（x-l）2+（y-2）2=l,可得点（0,2）在圆C上，

因为直线/的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.

故选：C.

3.（2024・高三・江苏扬州•期末）已知集合4={（苍斓d+y2=2},3={（x,y）|x+y=2},则中元素个

数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】方程/+产=2,表示圆心为（0,0）,半径为也,

0+02

则圆心（0,0）到直线：无+y-2=0的距离为1-1-7?

72一7'

得直线与圆相切，只有一个交点，则AcB中元素的个数为1.

故选：B

4.直线/：y=x+l与圆C：（*-1）2+/=4的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.都有可能

【答案】A

【解析】圆C的圆心坐标为(1,0),半径为2,直线/的方程为x—y+l=0,

|1-0+1|

圆心到直线/的距离为=A/2<2,

VT+T

所以直线/与圆C的位置关系是相交.

故选：A.

题型二：弦长与面积问题

5.(2024•天津.模拟预测)若直线/：y=2尤与圆C:/+y2-2x-7=0交于两点，则|钻|=.

【答案】竽兴

【解析】由题意可得圆C的标准方程为(x-1)?+/=8,

所以圆C的圆心为(1,0),半径为20，

J|2xl-0l26

所以圆心(1,0)到直线/：y=2尤的距离d———------------———------

♦+(-1),5

故答案为：竽

6.(2024・高三•广东广州•期中)如果直线3x+4y-10=0被圆尤2+/一2"+/-4=0截得的弦长为2道,

那么实数〃=.

【答案】5或:

【解析】由题意知％2+)2-2ax+〃2-4=0可化为(无一々)2+>2=4,

可知圆心坐标为(心0),半径厂=2,

根据点到直线的距离公式和弦长关系可得(“一地=，产J拽]

[I2j

解之可得“=5或'

故答案为：5或g

7.(2024•陕西商洛•三模)已知直线/：x+ay-5a-3=0与0c:(x-l)2+(y—2)2=4,若直线/与。C相交于

两点，＞|AB|=A/14,则”.

【答案】37或T

【解析】若直线/与OC相交于A,8两点，＞|AB|=V14,

则圆心C到直线/的距离d,4/巫]=立，所以午空3=',

Y12J2A/1W2

7

解得〃=-行或a=-l.

7

故答案为：-行或-L

8.(2024•江西•模拟预测)已知圆C的方程为-3)2+(1-4尸=25,若直线/：3x+4y-5=0与圆C相交于A]

两点，则VABC的面积为.

【答案】12

【解析】圆C：(x-3)2+(y-4)2=25,得圆心为C(3,4),半径为r=5,

圆心到直线的距离d=4,因此|AB|=24-相=2,25-16=6,

所以S””=：|明々=：＞＜6＞＜4=12.

故答案为：12.

9.直线ox+6y+c=0与圆。工+丁=16相交于两点Af,N,若满足c?=4侬+廿)，则＜“。可=.

【答案】46

【解析】圆O：/+y2=i6圆心为0(0,0),半径厂=4,

所以圆心。到直线内+6y+c=0的距离"

所以=24-/=2,以一2?=4由

所以S“N=；X2X4百=4百.

故答案为：4A/3.

题型三：切线问题、切线长问题

10.(2024.四川绵阳.模拟预测)已知圆C:f+(y-3)2*l,点尸在抛物线丁:炉m4y上运动,过点尸作圆C的

切线4,4,切点分别为A8,则四边形尸AQ5面积最小值为.

【答案】a

【解析】..•圆C的标准方程为：x2+(y-3)2=l,圆心为(0,3),半径为3,

,点尸在直线T：/=4y上运动，过点P作圆C的两条切线上4、PB,切点分别为A,3点.

:.CB±PB,CAA.PA,|C4|=|CB|=1,易得APAC=APBC,

所以SPACB=2s“=2x；IC41xI抬1=1尸川，

•.•设P(a,b),1=4八贝1」|「。『=〃+伍—3)2=伍一1)2+8

故|PC隋8,(当6=1时取等号)，

|PA|=JPC|2-|CA|2=7lPC|2-l>78^1=币,

SpACB=PH-币，

可知四边形B4cB面积的最小值为近.

故答案为：近

【答案】2

【解析】点尸(2,3)到圆心(1,1)的距离为J(2-1)2+(3-1)2=n,则切线长为，(右］一F=2.

故答案为：2.

12.(2024・高三•四川眉山•期中)圆C的圆心在无轴正半轴上，与y轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长

为20，直线/：cos6x+sin(9y+l=0与圆C相切，则直线/的斜率是

【答案】土且

3

【解析】设圆C的方程(x-a)2+y2=a2,a＞。，

、Ia-0\a

则圆心到直线X-y=0的距离不方=方,

所以2上一脸f=2g,解得°=2,

所以圆C的方程(x-Zy+y2=4,

则圆心C(2,0)至I］直线I的距离d=J2ss6+U=2,

Vcos-6»+sin26»

则cos。」或cos*-』(舍去)，所以sin*土且,

222

故直线/的斜率4=-您&=±且.

sinO3

故答案为：土".

3

题型四：切点弦问题

13.已知圆6:(》-1)2+(、-2)2=9外一点「(-4,2),过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和8,则直线

AB的方程为.

【答案】%=-14

【解析】由题意，切点弦48所在直线的方程为：

(^-l)(x-l)+(2-2)(y-2)=9,

4

化简得：x=-1.

4

故答案为：=--.

14.(多选题)已知圆C：。-3)2+寸=4,点M在抛物线兀V=4x上运动，过点凹引直线；4与圆C相

切，切点分别为P,。，则下列选项中|尸能取到的值有()

A.2B.2夜C.2A/3D.26

22

【答案】BC(x-I)+(y+2)=l(r+64)

【解析】解析：如图,

%

连接CRCQ,CM,题意，CPYMP,CQVMQ,而|CPRCQ|=2,而|MP|=|MQ|,则CM垂直平分线段

PQ,

于是得四边形MPC。面积为Rt^CPM面积的2倍，

从而得;IPQMCAf|=2-；|CP|・|Aff|,

即1阳=2"卜IW=4jCM

|CM||CM|Y|CM『

设点AfQ,s),而C(3,0),S2=400),

贝I]ICM|2=(f-3)2+s2=?-2/+9=(f-l)2+8>8,即|CMpe[8,+oo),

4114

所以°<由与,即5<1一E<1'得

所以IPQI的取值范围为［20,4）.故选BC.

15.（2024•山东泰安・统考模拟预测）已知直线/:如—>+旭+1=0（〃冲0）与圆。：/+、2-4丫+2〉+4=0,

过直线/上的任意一点?向圆C引切线，设切点为A3,若线段A8长度的最小值为G，则实数2的值是（）

7

D.

5

【答案】A

【解析】圆C：（x_2）2+（y+i）2=i,设NACP=《o<e<3

则|AB匚2sin6二百，则sin92W，Z登），

贝（尸。=工22,所以圆心C到直线/的距离是2，

COS〃

|2m+l+m+l|He八12

----/—；———=2,得5m+12相=0,m=---.

Vm2+15

故选：A.

题型五：圆上的点到直线距离个数问题

16.（2024•全国•模拟预测）已知直线/:y=履+0,圆//=4上恰有3个点到直线的距离都等于1,则后=

（）

A.1或忘B.—1或一四C.四或一1D.1或一1

【答案】D

【解析】如图所示，圆/+寸=4的半径为2.设点尸（羽历在圆/+尸=4上运动.

圆心。到直线/:y=fcv+应的距离d=Y=,令=则左=±1.

y/l+k2+/

①当％=1时，与直线y=x+0平行且距离等于1的直线是〉=彳，y=x+2近，

与圆的三个交点是《，P2,P3,满足题意.

②当人=-1时，与直线》=-彳+应平行且距离等于1的直线是'%y=-x+2应，与圆的三个交点是片，

心，且，满足题意.

综上，k=+l.

17.已知圆。：x2+y2=r2（r>0）,直线/：丫-3=左（％-4）.若对任意实数左，圆。上到直线/的距离为

1的点有4个，贝卜的取值范围是（）

A.[5,+co）B.（5,+oo）C.[6,+oo）D.（6,+oo）

【答案】D

【解析】设直线/过定点A（4,3）,

不论k取何值，0到直线最远的距离始终为|C网=5,

/.F—5>1,

解得r>6.

故选：D.

18.已知圆0：N+y2=4上到直线/：的距离等于1的点至少有2个，则〃的取值范围为（）

A.(-3>/2,3>/2)B.(—00,-30)u(30,+oo)

C.2^/2,2^/2jD.卜夕-2A/^)U(2A/^\+co)

【答案】A

【解析】由圆的方程可知圆心为(0,0),半径为2,因为圆上的点到直线/的距离等于1的点至少有2个，所

|-|——

以圆心到直线/的距离d<r+l=3,即d=%a<3,解得一30<a<30.

故选:A.

题型六：直线与圆位置关系中的最值(范围)问题

19.已知圆。:炉+;/+2工-4'+3=0,直线/:/nx+2y+"2-2=0,若直线/与圆C交于A,8两点，则|A目的

最小值为.

【答案】2

【解析】由直线/:小+2y+〃L2=0可得：m(x+l)+2(y-l)=0,即直线/经过定点/(一1,1).由

C:Y+y2+2x_4y+3=0可得：(x+1)2+(y-2)2=2,即圆心为C(-l,2),半径为血，如图.

连接CM，过点”作Q0的垂线交圆C于点48,则此时取最小值.

(理由如下：过点“作另一条直线交圆C于点4,用，过点C作CAf］，A耳于点

在RUCM.M中，显然|CM,|<|CM\,^\AB\=271AC|2-1CM|2,|人4|=214cl?,

因14c|=|AC|故有|AB|<|A耳|,即|4B|是最短的弦长)

止匕时，|CM|=1.|ABh『zJlACF=2^/^T=2.

故答案为：2.

20.(2024.河北邢台・模拟预测)已知直线/：>=尤-1上一点A,圆C:f+(y_2)2=2上一点B,则|/四的

最小值为.

【答案】

22

【解析】圆C:Y+(y-2)2=2,

所以圆心坐标为(0,2),半径

又直线/：x-y-i=o,

所以圆心到直线的距离为

d,--|-0--2--1-|-=-3-A-/-2,

航2

所以I4引的最小值为,1=妪一6=叵,

22

故答案为：也.

2

21.直线x+y-2=0分别与X轴，y轴交于48两点，点P在圆(x+2)2+(y-l)2=g上，贝U△筋Q面积的

取值范围是.

【答案】[2,4]

【解析】对于％+，一2=。，当%=0时，y=2,当y=0时，x-1,

所以A(2,0),3(0,2),

所以MM=@+2?=2V2，

圆(x+2)2+(y_l)2=」的圆心C(一2,1),半径—I,

-22

圆心C(一2,1)到直线无+y—2=0的距离为d=H+尸=巫＞县，

V222

所以点尸到直线的距离的最大值4+/=述+走=2五，

22

点尸到直线的距离的最小值d-r=逑-变=应，

22

所以AABP面积的最大值为；|AH-(d+r)=gx20x20=4,

△屈尸面积的最小值为:|AM-(d-r)=；x2五x&=2,

所以△筋尸面积的取值范围是24],

故答案为：24]

题型七：圆与圆的位置关系

22.（2024.黑龙江双鸭山.模拟预测）圆G：（x-2）2+（y+l）2=3与圆G：/+（y-1）2=3的位置关系是（）

A.相交B.外切C.内切D.相离

【答案】A

【解析】由已知得圆G的圆心为G（2，-D,半径为石=6，

圆C,的圆心为Cz（0,l）,半径为4=百，

故0=|「H＜|CC|=｛（2_0）2+（_「1）2=2也＜（+4=26

所以圆G与圆G相交.

故选：A.

23.已知点A（3,O）,圆。:门-疗+仃-疗=1,若圆C上存在点尸使得己4=2,则。的取值范围为（）

A.[0,3]B.（0,3）C.[-3,0]D.（-3,0）

【答案】A

【解析】由上4=2,则点尸在圆A:（x—3『+y2=4上，

又有点P在圆C上，所以圆A和圆C有公共点（尸），

两圆半径分别为2、1,

所以2-1VJ（3-a）2+（0-a『W2+1,

所以ae[0,3].

故选：A.

24.（2024•广东深圳•模拟预测）已知圆M：f+y2-2以=0（。＞0）的圆心至IJ直线2无+y=2距离是逐，则圆

〃与圆N:（x-2）2+（y+l）2=l的位置关系是（）

A.外离B.相交C.内含D.内切

【答案】C

［解析］圆"：x?+/_2ax=0(。>0)即圆M:(x-a)2+V=/g>o)的圆心半径分别为“0),左=a,

圆N:(x-2y+(y+l)2=l的圆心半径分别为N(2,—l),弓=1,

因为d=—=解得a或。=-彳(舍去)，

V522

从而M

因为|MN卜能叵＜「r,二,

42122

所以圆/与圆N:(X-2)2+(y+l)2=1的位置关系是内含.

故选：C.

题型八：两圆的公共弦问题

25.(2024.新疆喀什•二模)已知圆C：/+y2=4和圆C?:尤2+V-2x+2y=。，则两圆公共弦所在直线的方

程为.

【答案】x-y-2=O

【解析】圆G：/+V=4的圆心G(0,0),半径12,圆C2:(x-l)2+(y+l)2=2的圆心CzJl』)，半径々=0,

显然IGC2l=>^e(2—A/5,2+^),因此圆G，Cz相交，

所以两圆公共弦所在直线的方程为4_2x+2y=0,gpx-y-2=0.

故答案为：x—尸2=0

26.已知圆加：/+,2=4和圆":尤2+>2+尤+，=3交于48两点，则|AB|=

【答案】V14

【解析】将圆〃：/+/=4和圆NiV+V+x+y=3的方程作差得x+y+l=0.

圆心”(0,0)到直线x+y+l=0的距离为恚=孝，

所以|AB|=2=V14.

故答案为：V14.

27.圆/+/一4=0与圆尤2+9-4x+4y-i2=0的公共弦所在直线方程为—；公共弦长为一.

【答案】x-y+2=02V2

【解析】圆/+y2=4的圆心。(0,0),半径4=2,圆(x-2)2+(y+2)2=20的圆心。(2,-2),半径弓=2石,

显然|OC|=百二(N7=20w(4—即圆°，C相交，

将两圆方程相减得4x-4y+8=0,所以两圆的公共弦所在直线方程为x-y+2=0；

点0(0,0)到直线x-y+2=0距离〃=m'y=行，所以公共弦长为2册"=.

故答案为：x-y+2^0；20

题型九：两圆的公切线问题

28.(2024.内蒙古赤峰•三模)已知圆Ci：(x+l)2+(y+l『=2,圆G：x2+/-4x-4y=0,则两圆的公切线条

数为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】圆Cz标准方程为(x—2产+(y—2产=8,

则已知两圆圆心分别为G(T,-D，G(2,2),半径分别为近,2女，

圆心距为|CC|=J(2+1)?+(2+iy=372=72+272,

因此两圆外切，它们有三条公切线，

故选：B.

29.两圆(x-2p+(y+l)2=4与(x+2)2+(y—2)2=16的公切线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】B

【解析】圆(x-2y+(y+l)2=4的圆心为(2,-1),半径为2,

圆(x+2y+(y-2)2=16的圆心为(-2,2),半径为4,

所以圆心距d=J(2+2『+(_l_2)2=5.

又4-2<5<4+2,所以两圆相交，所以公切线只有2条.

故选：B

30.曲线G：y=71二3关于>=%T对称后的曲线为。2,则G与。2公切线为（）

A.x+2y+^2=0B.x+y-应=0

C.X+2J-A/2=0D.x+y+y/2=0

【答案】B

【解析】C,:y=Jl-x：=>V+y2=l（y>0）,

所以曲线G是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分，

又G与C2的图形关于直线y=x-i对称，

设G上一点P（x。,%）,该点关于直线y=x-i对称的对称点为片（和必），

则PA的中点在直线y=》-1上，且直线尸<的斜率与直线y=x-i的斜率之积为-1,

所以22,解得即尸（M+0-1）,

]=][%=占-1

代入C]方程,得a-1）2+（%+1）2=1,即Cz：（x-球+（y+l）2=l（只是该圆的一部分）,如图,

易知C与。2的公切线，〃GG,所以勺=T,结合图，设/：%+丁-。=。3>0）,

㈤

所以点G到直线/的距离为d=%=l,解得人=逝,

所以G与C2的公切线为x+y-应=0.

故选：B

匐2

1.（2024・福建福州•模拟预测）已知圆^+/+初四-2肥+根=O（meR）与x轴相切，则根=（）

A.1B.0或！C.0或1D.J

44

【答案】D

【解析】将X2+，2+4如一2根产机=0（机£2化为标准式为：（X+2向2+（y一机）2=5"，一根，

故圆心为（-2加,间半径为7=/毋-m，且机或加<0,

由于£+/+4mx-2阳+加=0（瓶£2与工轴相切，故厂=，5/一加=|时,

解得加=!，或根=0（舍去），

4

故选：D

2.已知圆C:（x-3）2+（y—4）2=9,直线八（m+3）x—（m+2）y+m=0.则直线/被圆C截得的弦长的最小值

为（）

A.277B.屈C.2&D.瓜

【答案】A

【解析】直线/:（机+3）%-（根+2）丁+机=加（%-丁+1）+3%-2丁=。,

fx-y+l=0fx=2,、

令3x：2=0'解得=3'所以直线/恒过定点尸（2,3），

圆C:（x-3y+（y-4）2=9的圆心为C（3,4）,半径为「=3,

且|PC「=（2_3y+（3—4）2=2<9,即尸在圆内，

当CP，/时，圆心C到直线/的距离最大为d=\PC\=y/2,

此时，直线/被圆C截得的弦长最小，最小值为24r方=2近.

3.（2024•四川德阳•模拟预测）已知。C:（x-2）如y=，过坐标原点。作。C的两条切线，切点为A、B,

则四边形。4cB的面积为（）

A.1B.V3C.2D.2#）

由题意得OC圆心为（2,0）,半径r=l,IOC|=2,

则|OA|=|OB|=7lOC|2-r2=6,

则四边形CMCB的面积S=2S0c=2x（g|AC|x|OA|）=6.

故选：B.

4.（2024・高三・贵州•开学考试）已矢口圆+V—4%一6>+4=0关于直线/:依+加一1=。（々〃>。）对称，贝!J

上+1的最小值是（）

A.2B.3C.6D.4

【答案】D

【解析】因为圆C:（%—2y+（y—3）2=9关于直线/：依+勿一1=。（或＞。）对称,

所以直线/过圆心（2,3）,即2a+3b=l,

-13b2a

贝!J---1----=十一十一

2a3b2a2a3b

因为而>0,且2a+3Z?=1,所以a>0,Z?>0,

所以'+1c3b2。cc

——=2+——+——>2+2=4,

3b2a3b

当且仅当学=等即a=9，b=：等号成立,

2a3b46

则《的最小值是4.

2a3b

故选：D.

5.（2024.安徽.模拟预测）已知P（-2a,O）,Q0,必）（°＞0力＞0）,动圆（了一4+⑶-6）2=产（厂＞0）经过原点,

且圆心在直线无+2y=2上.当直线尸。的斜率取最大值时，r=（）

AV2R272「出C2小

3333

【答案】B

【解析】由题意可得，a2+b2=r2,a+2b=2,直线PQ的斜率为即。二三乙.

2a+b

「、，2a+b12\(12\2、\(2b2a\1=、12b2al9

因为=-+-=--+-\(a+2b}=-\5+—+—>-5+2.------=-

abab21ab)y，2(abJ\abJ2

当且仅当竺=学，即a=6=3时，等号成立，所以7V3，

ab32a+b9

即当直线PQ的斜率取最大值时，a=b=l，所以，二片+廿二：，故『=也.

393

故选:B.

6.（2024・安徽•一模）已知直线％+y-攵=。（左＞0）与圆炉+产=4交于不同的两点A3,O是坐标原点，且

有"+词2两词，则实数4的取值范围是（）

A.16,㈣B.[A/2,A/6）C.[76,272）D.[痣,2君）

【答案】C

【解析】设AB中点为C,则。CLAB,

•.•必+画2石网,

42碇上君网，.•.网w孚瓯1,

•••|OC|2+J词2=4n回.4,即|OC|2>3,

又••,直线x+y-4=0（%>。）与圆V+y2=4交于不同的两点A、B,

|OC|2<4,故4>|阿23,

,.1k>0,.".瓜<k<2&.

故选：C.

7.（2024•广西南宁三模）已知圆C:（x-4y+y2=4,点M在线段y=x（0<x<3）±,过点M作圆C的

两条切线，切点分别为A,B,以为直径作圆C',则圆C'的面积的最大值为（）.

A.兀B.2兀C.—D.3兀

2

【答案】D

【解析】由题可知，［4。=忸。=2,AB1CM,AC=BC=2,ACLAM,BC±BM,/ACM为锐角,

当圆C的面积取最大值时|小?|最大，

而SMACB=|X|MC|X|AB|=2X|X|BC|X|BM|,

2Mci.,r

4

所以|AB卜\MC\J一

|MC|2

因为点M在线段y=x（0<x<3）上,

所以MC=+尤2=^2（X-2）2+8e12虚,4］,

故|ABLX=2「^=6，即圆C'半径的最大值为G，

所以圆C'的面积的最大值为3兀,

故选：D.

8.（2024•安徽・模拟预测）已知A（2,0）,P为圆C：/+丁=1上的动点，且动点。满足:OP=OA+CQ,

记。点的轨迹为E,则（）

A.E为一条直线B.E为椭圆

C.E为与圆C相交的圆D.E为与圆C相切的圆

【答案】D

【解析】设P（&,%），由方=函+而，可得丽=加一如，

所以。点坐标为（毛-2,%）,

设Q点坐标为殴），则］；：；『，即［；:，

把尸（x+2,y）代入圆C,则。点的轨迹E的方程为：（尤+2）2+/=1,

即E是圆心为（-2,0）,半径为1的圆，

由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即E为与圆C相切的圆.

故选：D.

9.（多选题）（2024.江西南昌.模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆G：（%-+产2的动弦AB,

圆G：（x-a）2+（y-3）2=8,则下列选项正确的是（）

A.当圆C1和圆C,存在公共点时，则实数。的取值范围为［-3,5］

B.△ABC的面积最大值为1

C.若原点。始终在动弦A8上，则西.砺不是定值

D.若动点P满足四边形。4PB为矩形，则点P的轨迹长度为2石兀

【答案】ABD

【解析】对于A,圆&：。-1)2+丁=2的圆心为(i,o),半径为忘，

圆G：—心+白-扬2=8的圆心为但码,半径为20,

当圆G和圆C2存在公共点时，2后-夜4|C£|V2四+应，

所以04(“-1)2+万430＞解得-3WaW5,所以实数。的取值范围为［-3,5］，正确;

对于B,AABG的面积为'的口=:义后x&xsinNAGB=sin/ACiB41,

7T

当NAGB=不时，AABG的面积有最大值为1,正确；

对于C,当弦A3垂直x轴时，A(0,-l),B(0,l),所以砺.砺=0+lx(-l)=-l,

当弦AB不垂直x轴时，设弦A8所在直线为y=履，

与圆G:(x—l)?+y2=2联立得，(1+左2)炉—2x—1=0,

设A(尤，1%),2(%,%),

XX

则XxX2=--*,OAOB=无+X%=l2+%2无1尤2=(1+/)％尤2=(1+k2卜^―p-=-1,

综上市.丽=-1，恒为定值，错误;

对于D,设POofo)，OP中点砥，名|，该点也是中点，且寸B=OP=J*+y：,

又AB=21生1］+£,所以2「［三一1］+《=&+y；,

化简得®-叶+必=3,所以点P的轨迹为以(1,0)为圆心，半径为行的圆，

其周长为长度为2宿，正确.

故选：ABD

10.(多选题)(2024•山东青岛•三模)已知动点M,N分别在圆G：(x-l)2+(y-2『=l和

22

C2:(x-3)+(y-4)=3上，动点尸在无轴上，则()

A.圆C2的半径为3

B.圆G和圆C,相离

C.|P"|+|PN|的最小值为2M

D.过点尸做圆G的切线，则切线长最短为名

【答案】BD

【解析】圆G的圆心Gd，2),半径乙=1,圆G的圆心Cz(3,4),半径马=石，

对于A,圆G的半径为百，A错误；

对于B,|。］。21=2近>1+百，圆G和圆C?相离，B正确；

对于C,圆G关于x轴对称的圆为C°:(x-l)2+(y+2)2=l,C0(l,-2),连接CQ2交x于点［,连接耳C-

由圆的性质得，|PM|+|PN|fPC卜1+|PC2|-V3=|PC0|+|PC2|-1-^

>iq)c2|-i-^=2>/io-i-^,当且仅当点P与片重合，

且M,N是线段片q/G分别与圆G和圆G的交点时取等号，c错误；

对于D,设点P(f,O),过点尸的圆点的切线长IPA1=Qpc；_AC；=_1)2+2?_12指,

当且仅当t=l,即P(LO)时取等号，D正确.

故选：BD

11.(多选题)(2024湖南长沙•模拟预测)若圆Q：尤2+V+2x-3=0与圆。2：/+;/-2"1=0交于A,

8两点，则下列选项中正确的是()

A.点(1,-1)在圆O?内

B.直线A3的方程为无+y—1=。

C.圆。।上的点到直线钻距离的最大值为2+0

D.圆。2上存在两点P,Q,使得|PQ|>|AB|

【答案】BC

【解析】对于A,因为俨+㈠丫-2X(T-1=3>0,所以点(1,-1)在圆。2外，故A错误；

对■于B,圆O］:+2x—3=0与圆O2：X?+y?-2y—1=0交广A,B两点，

因为圆。1和圆。2相交，将两圆相减可得：x+y-1=0,

即公共弦AB所在直线的方程为x+y-l=0,故B正确;

对于C,圆。1的圆心坐标为(-1,0),半径为2,

圆心。j到直线A3：尤+>—1=0的距离1=甲=3,

所以圆。1上的点到直线距离的最大值为2+点，故C正确;

对于D,直线48经过圆。②的圆心（0,1）,

所以线段A8是圆。2的直径，故圆。2中不存在比48长的弦，D错误.

故选：BC.

12.（多选题）（2024•湖南长沙三模）已知圆C:（x+2y+;/=4,直线/:（〃?+l）x+2y-l+m=0（〃?eR）,

贝U（）

A,直线I恒过定点（-1,1）

B.当m=0时，圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1

C.直线/与圆C可能相切

D.若圆C与圆尤2+/一2x+8y+“=0恰有三条公切线，贝1」。=8

【答案】AD

【解析】由直线/:。〃+1）尤+2>一1+〃2=。（m©]<）,得；M（x+l）+x+2y-l=0,

兀+1=0x=-1

因为〃zeR,则满足,解得

x+2y—1=0y=i

所以直线恒过定点（-1,1）,故选项A正确.

因为当m=0时，直线/为:尤+2>-1=0,

则圆心C（-2,0）到直线/的距离为1=多空1=35,

Vl2+225

则此时直线/与圆相交所得劣弧的顶点到直线/的距离4=2-^e（0,1）,

所以圆上只有2个点到直线的距离为1,故选项B错误.

因为直线/过定点（-1,1）,又（-1+2）2+12<4,

所以定点在圆内，则直线/与圆C一定相交，故选项C错误.

由圆的方程x2+y2-2x+8y+a=0可得，（x-1）2+（y+4）2=17-a,

所以圆心为（LT）,半径为后下，

因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，

则J（l+2『+（O+4『=5=2+J17-a,解得。=8,故选项D正确.

故选：AD.

13.（2024.陕西.模拟预测）圆（尤-d+⑶-2a-3）2=9上总存在两个点到（2,3）的距离为1,则a的取值范

围是.

【答案】信,。）呜,2）

【解析】圆a-a『+（y-2a-3）2=9上总存在两个点到（2,3）的距离为1,

转化为：以（2,3）为圆心1为半径的圆与已知圆相交,

rf「4a>0

可侍3-l<J（2i）+（3-2"3）<3+1,即人5Q42—4加12<0'

解得一■!<“<（）或[<a<2,即a的取值范围是1g,o]u[g，2].

故答案为：

14.（2024•山西运城・三模）已知动圆N经过点A（-6,。）及原点0,点尸是圆N与圆M:V+（y-4）2=4的

一个公共点，则当NOPA最大时，圆N的半径为.

【答案】3

【解析】因为动圆N经过点4（-6,0）及原点。，记A。的中点为8,则圆心在x=-3上，

如图：

记圆N半径为R,ZOPA=0,则N/WO=26,ZBNO=0,

BO

所以AOPAZ.BNO二2

sin=sin五

当NOPA最大时，R最小，此时两圆外切.

由已知设动圆N的圆心为N（-3,。,

又圆M:%2+（y_4）2=4的圆心M（0,4）,半径〃=2,

所以R+2=|肱V|,

即5/（-3-0）2+（/-0）2+2=^（-3-0）2+（r-4）2,

解得f=。,所以R=3,即圆N的半径为3,

此时圆N为（尤+3）2+9=9,圆心N（—3,0）,Z.OPA=,

故答案为：3.

15.（2024•黑龙江•三模）已知圆C：（x-l）2+（y-4）2=/（r>o）,A（-3,0）,B（-l,0）,若C上存在点P,使

得NAP3=90。，则r的取值范围为.

【答案】[4,6]

【解析】因为点A(-3,0),3(-1,0),而点尸满足/APB=90。，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆M(除

点A,8外),圆M：(x+2)2+y2=lt#0),半径4=1,

又点P在圆C：(x-l)2+(y-4)2=，(r>0)上，圆C的圆心C(l,4),半径为r,|CAf|=7(-2-1)2+4=5,

依题意,圆M与圆C有公共点，因此卜-"同同。口+大gp|r-l|<5<r+l,解得4WrW6.

故答案为：[4,6].

16.(2024・湖北黄冈•模拟预测)已知圆C:尤2+(y—2)2=1和圆。：/+/一6了-10>+30=0,M、N分别是

圆c、。上的动点，尸为x轴上的动点，贝M|+|PN|的最小值是.

【答案】病-3

【解析】。：/+3-2)2=1的圆心为C(o,2),半径为1,

D.^+y2-6x-10y+30=0^>(%-3)"+(y-5)2=4,圆心为。(3,5),半径为2,

结合两圆位置可得，1PM+|PN以尸。-|5|+|叨-|。2=|尸。+|即-3,

当且仅当尸,M,C三点共线，且P,N,O三点共线时，等号成立，

设C关于x轴的对称点。'(0,-2),连接CD,与x轴交于点尸，此点即为所求，

此时CD=43-0『+(5+2)2=屈，

故屈即为|尸。+卢力的最小值，

故忸闾+|PN|的最小值为屈-3

故答案为：屈-3

17.(2024.辽宁沈阳.模拟预测)已知圆C:x2+y2=i,直线/”+y+2=0,P为直线/上的动点，过点P作

圆C的两条切线，切点分别为A,B,则直线A8过定点.

【答案】TT

【解析】根