九年级数学上册沪科版 第21章 《二次函数与反比例函数》章节测试（含答案）

第21章《二次函数与反比例函数》章节测试一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列各式中，y是x的二次函数的是（

）A．y=2x−3 B．y=C．y=x2−2．正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2x的图象相交于A，A．(2,−5) B．(2,5) C．(5,−2) D．(−5,2)3．若点A−2,y1,B2,y2A．y1<y2<y3 B．4．一次函数y=ax+b与反比例函数y=−cx的图象如图所示，则二次函数y=axA． B．C． D．5．已知抛物线y=ax+32+2（a为常数，a≠0），将抛物线向下平移4个单位长度后得到的抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则aA．−2 B．2 C．−12 6．如图，反比例函数y=kx经过A、C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA、OC、AC．若S△ACO=4，CD:OB=1:3，则A．−12 B．−9 C．−6 D．−37．若a，b(a<b)是关于x的方程x−mx−n+2022=0(m<n)的两个实数根，则实数a，b，m，n的大小关系是（A．a<b<m<n B．m<n<a<b C．a<m<n<b D．m<a<b<n8．已知点x1,y1，x2,y2在反比例函数y=kx（A．y1<y2 B．y1<9.已知直线y=x+3与抛物线y=x2+(m−2)x+2m−1交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是yA．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕410．在反比例函数y=10x(x>0)的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，An，An+1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点A1，A2，A3，…，An，An+1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1A．10nn+1 B．10n C．10n+1二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．将抛物线y=x2−6x+112．已知二次函数y=−x2+bx+c的部分图象如图所示．若y>0，则x13．如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为A1,4，若反比例函数y=kxx>0的图象与该折线有公共点，则14．如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y=15．如图，在平面直角坐标系中，函数y=mxm<0与反比例函数y=kxk≠0交于A、B两点，点C在x轴上，且AC=AO，若S16．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，且过点12,0，有下列结论①abc>0；②a−2b+4c>0；③25a−10b+4c=0三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）已知函数y＝x2＋(m－3)x＋1－2m（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．（2）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．18．（6分）抛物线y=mx2−4mx+3与x轴的交点为A1,0，B，与(1)求抛物线的解析式；(2)P为抛物线第一象限上的一点，若∠PAC=∠OAC，求点P的坐标；19．（8分）设函数y1=kx，y2=k+1x(k>0)，当1≤x≤3(1)求k的值．(2)若点Pm,n在函数y1=kx的图象上，且点P(3)一次函数y=311x+811与函数y1=kx的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B20．（8分）已知反比例函数y=kxk≠0，点2,m(1)求反比例函数的解析式；(2)若点Ax1,①当y2=y1+8，且点A②当x1=2，y121．（10分）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，当水位上升3m时，水面宽(1)求此抛物线的函数表达式；(2)有一条船以6km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨22．（10分）如图，反比例函数y=kx的图象经过点A2,m，过点A作AB垂直y轴于点B(1)求k和m的值；(2)已知点C−5,n在反比例函数图象上，直线AC交x轴于点M，求△AOM(3)过点C作CD⊥x轴于点D，连结BD，证明：四边形AMDB是平行四边形．23．（12分）如图，抛物线经过点A(−3,0)、B(1,0)、C(0,3)．（1）求抛物线的解析式；（2）点P(m,n)是抛物线上的动点，当−3<m<0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2−D24．（12分）综合与实践问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中AB，BC是线段，问题解决：(1)求线段AB和双曲线CD所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围．(2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中．(3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完）参考答案一．选择题1．B【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B．y=xC．y=x2−x+2x−3D．y=x故选：B．2．A【分析】本题侧重考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质，掌握其性质是解决此题的关键．已知两函数的图象分别关于坐标原点对称，则点A与点B的坐标关于原点对称．【详解】解：∵正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y∴点A与点B的坐标关于原点对称，∵点B的坐标为(−∴点A的坐标为(2,−5)．故选：A．3．A【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线x=−1知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得．【详解】解：抛物线y=2x+12+m点A−2,y1点B2,y2点C3,y3由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大，∵4>3>1，∴y1故选：A．4．D【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到a>0，b<0，c<0，则−b2a>0，则可得到二次函数y=ax2【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，∴a>0，∵反比例函数y=−c∴−c>0，∴c<0，∴−b∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z∴只有D选项中的函数图象符合题意，故选：D．5．D【分析】本题考查抛物线的平移，抛物线与x轴的交点．将原抛物线向下平移4个单位后得到新抛物线，求出其解析式并确定与x轴的交点，利用交点间距为4建立方程求解a的值．【详解】解：原抛物线为y=a(x+3)2+2令y=0，则a(x+3)2−2=0∴新抛物线与x轴的两个交点坐标为−3+2a,0∵抛物线与x轴两个交点间的距离为4，∴−3+2∴a=1故选：D．6．D【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握k值几何意义是关键．延长DC,BA交于点E，设CD=aa>0，则OB=3a，求出OD=−ka，AB=−k3a，进而得到S△DOC=S△AOB【详解】解：延长DC,BA交于点E，设CD=aa>0∵CD:OB=1:3，∴OB=3a，∵AB⊥y轴，CD⊥x轴，∴点A的纵坐标为3a，点C的纵坐标为a，∴a=k∴xC∴OD=−ka，∵反比例函数y=kx经过A、∴S△DOC∵∠EDO=∠DOB=∠EBO=90°，∴四边形OBED是矩形，∴BE=OD=−k∴AE=BE−AB=−2k∴S△AEC∴S矩形∵S△ACO∴S矩形OBED−∴k=−3，故选：D．7．D【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，令抛物线解析式y1=x−mx−n，得到抛物线与x轴交点的横坐标为m，n，再结合图象得抛物线y1=x−mx−n与y2=−2022交点，即交点横坐标为a，【详解】解：令抛物线解析式y1当y1=0，解得：x1=m，∴抛物线与x轴交点的横坐标为m，n，∴抛物线y1=x−mx−n与y2∵m<n，a<b，∴如图，∴m<a<b<n，故选：D．8．B【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，分k>0和k<0两种情况，根据反比例函数的图象和性质解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：当k>0，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，且x>0时y>0，x<0时y<0，∵x1<x∴当x1<x2<0当x1<0<x2时，∴0<−y1<∴y1当k<0，反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，且x>0时y<0，x<0时y>0，∵x1<x∴当x1<x2<0当x1<0<x2时，∴y2<−y∴y1综上，y1故选：B．9．B【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合．由抛物线的对称轴为y轴，可求得m=2，联立直线与抛物线方程，解得交点A0,3、B1,4，直线与x轴交点C−3,0．利用三角形面积公式分别计算△ABO【详解】解：抛物线对称轴为y轴，即顶点横坐标−m−22=0代入得抛物线方程y=x2+(m−2)x+2m−1联立方程y=x+3和y=x2+3解得x=0或x=1．∴A0,3和B令y=0，代入y=x+3得x=−3，即C−3,0∵A0,3、B1,4、∴S△ABO∵A0,3、C−3,0、∴S△ACOS△ABO故选B．10．A【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，由A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出【详解】解：∵点A1、A2、A3、…、An、又∵点A1∴A1(2,5)，A2(4,由题图象知，An(2n,10∴SS2…，Sn=2×(10∵1n(n+1)∴=10(=10(1−=10n故选：A．二．填空题11．1,−5【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把y=x【详解】解：将抛物线y=x2−6x+1再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得y=x−3+2故平移后的抛物线的顶点坐标是1,−5，故答案为：1,−5．12．−3<x<1/1>x>−3【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，对称轴与交点坐标的关系，利用数形结合的思想，正确求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标是解题的关键．根据抛物线的对称轴为x=−1，一个交点为1,0，可推出另一交点为−3,0，结合图象求出y>0时，x的范围．【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=−1，一个交点为1,0，根据对称性，则另一交点为−3,0，所以y>0，x的取值范围是−3<x<1，故答案为：−3<x<1．13．4【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由图可得，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止，进而求解即可．【详解】解：∵每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为A1,4∴B1,3、C2,3、D2,2、E3,2、如图，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止，∴3≤k≤6，∴k取3，4，5，6，∴k的整数值有4个，故答案为：4．14．−3<【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x＋m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x＋m过点B时m的值，结合图形即可得到答案.【详解】令y＝－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，则点A（1,0），B(3,0)由于C1向右平移两个长度单位得C2,则C2解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），当y＝x＋m1与C2相切时，令y＝x＋m1＝y＝－2（x－4）2＋2，即2x2－15x＋30＋m1＝0，△＝－8m1－15＝0，解得m1＝－158，当y＝x＋m2过点B时，即0＝3＋m2，m2＝－3，当－3＜m＜－158时直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同交点，故答案是－3＜m＜－15．−2【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义．过点A作AD⊥CO于点D，根据正比例函数和反比例函数交于A、B两点，得出A,B两点的坐标关于原点对称，则可得到S△AOC=S【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥CO于点D，∵正比例函数和反比例函数交于A、B两点，∴A,B两点的坐标关于原点对称，即yA∵S△AOC=12OC⋅∴S∵AC=AO，∴CD=CO，∴∴k∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，∴k=−2故答案为：−2．16．①②③【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可．【详解】由图像可知a<0，b<0，c>0，∴abc>0，故①正确．当x=12时，y即1∴a+2b+4c=0∴a+4c=−2b∴a−2b+4c=−4b>0，故②正确．由对称轴为x=−1，与x轴一个交点为(12,0)可知与即25化简得25a−10b+4c=0，故③正确．∵对称轴为x=−1∴−∴b=2a，a=将a=12b1即b=−∴3b+2c=3(−8综上所述①②③正确．故答案为①②③．三．解答题17．（1）证明：令y＝0，则x2＋(m－3)x＋1－2m＝0．因为a＝1，b＝m－3，c＝1－2m，所以b2－4ac＝(m－3)2－4(1－2m)＝m2＋2m＋5＝(m＋1)2＋4＞0．所以方程有两个不相等的实数根．所以不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．（2）解：y＝x2＋(m－3)x＋1－2m＝(x－2)m＋x2－3x＋1．因为该函数的图像都会经过一个定点，所以x－2＝0，解得x＝2．当x＝2时，y＝－1．所以该函数图像始终过定点（2，－1）．18．（1）解：把A1,0代入y=m0=m−4m+3，解得m=1，∴y=x（2）解：在AP上取一点M，使得OA=AM=1，连接CM，过点M作HN⊥x轴于点N，过点C作CH⊥HN于点H，当x=0时，y=0∴C0,3∴OC=3∵OA⊥OC，HN⊥x轴，CH⊥HN，∴四边形OCHN是矩形，∠HCM+∠HMC=90°，∴HC=ON，HN=OC=3，∠H=∠ANM=∠COA=90°，∵AC=AC，∠OAC=∠MAC，OA=AM=1，∴△OAC≌△MACSAS∴CM=OC=3，∠AMC=∠AOC=90°，∴∠AMN+∠CMH=90°，∴∠AMN=∠MCH，∴△AMN∽△MCH，∴HMAN∴3−MNAN∴AN=45，∴ON=OA+AN=9∴M9设直线AM为y=ax+b，把M95,35∴0=a+b3解得a=3直线AM为y=3联立y=34x−y=x解得x=1y=0或x=∴P1519．（1）解：∵k>0,k+1>0，∴在每一象限内，y1随x的增大而减小，y2随∴当x=3时，y1最小值为1当x=1时，y2最大值为k+1=6a由①，②得：k=1．（2）∵Pm,n到y∴m<−3或m>3，∵y1∴−13<n<0（3）解y=311x+811∴A1解0=311x+∴B−∴S∴S①当点C在A点的右侧设Cm,1m，过A，C分别关于x轴作垂线交于点∵S△AOM∴S△AOC∴12∴m1=3，②当点C在A点的左侧，设Cm,1m，过A，C分别关于x轴作垂线交于点∵S△AOC∴12∴m1=−3（舍），所以点C的横坐标为3或1320．（1）解：∵反比例函数y=kxk≠0，点2,m∴k=2m=3m−2，解得m=2，∴k=2m=4；∴反比例函数的解析式为：y=4（2）解：点Ax1,y1，B∴y1∵y2=y1+8∴y2将Bx2,4代入y=∴B1,4②∵x1=2，则∵y1∴y2<−2，点B∴4x∴−2<x21．（1）解：由题意得，B20设抛物线解析式为y=axx−20∴5a5−20∴a=−1∴抛物线解析式为y=−1（2）解：船行驶到桥下的时间为：36÷6=6小时，水位上升的高度为：0.3×6=1.8m∵抛物线解析式为y=−1∴抛物线顶点坐标为10，∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为4−1.8=2.2m∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．22．（1）解：∵S△AOB∴m=5，∴k=2×5=10．（2）解：由（1）得反比例函数解析式为y=10点C−5,n代入y=10解得n=−2，∴C−5,−2设直线AC的解析式为y=ax+b，将A2,5，C−5,−2代入y=ax+b得解得a=1b=3∴y=x+3，令y=0得x=−3，∴M−3,0∴OM=3,∴S△AOM（3）证明：∵AB⊥y轴，∴