2026版三维设计一轮高中总复习数学课件-第九节　立体几何中的翻折与探究问题

第九节立体几何中的翻折与探究问题高中总复习·数学重点解读

会用向量法探究空间几何体中线、面的位置关系，角的存在条件与翻

折问题.目录CONTENTS考点·分类突破01.课时·跟踪检测02.PART01考点·分类突破精选考点|课堂演练

翻折问题（师生共研过关）

（1）求直线CF与平面ADE所成角的正切值；

（2）求几何体ADE-BFC的体积.

解题技法翻折问题的两个解题策略

探究性问题（师生共研过关）

（2025·邵阳第二次联考）如图所示，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD.

（1）证明：BD⊥CC1；解：

证明：连接AC，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AA1；又AC∩AA1＝

A，AC，AA1⊂平面A1AC，所以BD⊥平面A1AC.

因为四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1，CC1的延长线交于一点，所以A1，

C1，C，A四点共面，即CC1⊂平面A1AC，所以BD⊥CC1.

解题技法利用空间向量巧解探究性问题的策略（1）空间向量最适合于解决立体几何中的探究性问题，它无需进行复杂

的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；（2）解题时，把结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”

问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的解”等问题，所

以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题.提醒

探究线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用.

如图，四棱锥S-ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CS＝2，∠BSD＝90°，SC⊥BD.

（1）求二面角A-SB-C的余弦值；解：∵△ABD为正三角形，CB＝CD，取BD中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，即

AC⊥BD，垂足为O，∵∠BSD＝90°，∴△BSD为直角三角形，∵O为BD

中点，∴OD＝OS，

（2）线段SC（包含端点）上是否存在点H，使得DH∥平面SAB.

PART02课时·跟踪检测关键能力|课后练习

12345678910111213141516171819202022232425

（2）求点B到平面A'CD的距离.

2.

如图，已知平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，∠APD＝90°，四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，AB⊥AD，AB＝AD＝2，PQ∥DC，PQ＝DC＝1.（1）求二面角Q-BC-A的余弦值；解：

取AD的中点为O，连接OP，∵PA＝PD，∴OP⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD，OP⊂平面PAD，平面

PAD∩平面ABCD＝AD，∴OP⊥平面ABCD.

3.

在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B是菱形，AB⊥AC，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面A1B1C1与平面AB1C的交线为l.（1）证明：A1B⊥B1C；解：

证明：因为四边形AA1B1B为菱形，所以A1B⊥AB1.因为平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，AC⊂平面ABC，AC⊥AB，所以AC⊥平面AA1B1B.

又A1B⊂平面AA1B1B，所以AC⊥A1B.

又因为AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C.

又B1C⊂平面AB1C，所以A1B⊥B1C.

（2）已知∠ABB1＝60°，AB＝AC＝2，l上是否存在点P，使A1B与平

面ABP所成角为30°？若存在，求B1P的长度；若不存在，请说明理由.解：

l上不存在点P，使A1B与平面ABP所成角为

30°.理由如下：取A1B1的中点D，连接AD.

因为∠ABB1＝60°，所以∠AA1B1＝60°.又AA1＝A1B1，所以△AA1B1为等边三角形，所以AD⊥A1B1.因为A1B1∥AB，所以AD⊥AB.

又平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC

＝AB，AD⊂平面AA1B1B，所以AD⊥平面ABC.

法二

设AC的中点为O，连接BO，PO.

因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为PA＝PB＝PC，PO＝PO＝PO，AO＝BO＝CO