五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编专题14 空间向量与立体几何（解答题）6种常见考法归类（全国）（原卷版）

专题14空间向量与立体几何（解答题）

6种常见考法归类

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01平行关系的判定

1.线面关系证明是基础必考题

知识1线面关2025·上海2023·全国乙卷2022·全国甲卷

平行关系（如线面平行、面面平行）

系的证明考点垂直关系的判定

02和垂直关系（线面垂直、面面垂直）

（年考）

542023·全国甲卷2022·全国乙卷2021·全国甲卷

的判定是解答题的“保底”考点，

全国乙卷

2021·题目通常以常见几何体（棱柱、棱

考点03求异面直线所成的角锥、棱台等）为载体，要求结合几

2025·全国一卷2021·上海何定义、判定定理进行逻辑推理，

考点04求直线与平面所成的角强调对空间线面位置关系的直观

2025·北京2024·上海2023·全国甲卷2022·上感知与严谨论证能力，难度中等，

海是得分的关键环节。

2022·浙江2022·全国甲卷2022·全国乙卷2.空间角的计算是高频重难点

北京浙江空间角（异面直线所成角、直线与

知识2空间角2022·2021·

考点求面面角或二面角平面所成角、二面角）的求解在近

（5年5考）05

2025·全国二卷2025·天津2024·新课标Ⅰ卷5年保持“5年5考”的高频态

2024·新课标Ⅱ卷2024·全国甲卷2024·北京势，其中二面角是绝对核心（几乎

2023·新课标Ⅰ卷2023·新课标Ⅱ卷2023·北京每年必考，覆盖全国卷、地方卷多

2023·上海2023·全国乙卷2022·新高考全国Ⅰ卷个地区），其次是直线与平面所成

2022·新高考全国Ⅱ卷2022·天津2021·新高考全角，异面直线所成角偶有涉及。题

国Ⅰ卷2021·新高考全国Ⅱ卷2021·全国甲卷目通常需要结合空间向量法（建

2021·全国乙卷2021·天津2021·北京系、求法向量）或几何法（作辅助

线、找角）求解，既考查空间想象

能力，也注重运算准确性，是区分

度的重要体现。

3.空间距离的考查聚焦点到面距离

空间距离的考查以“点到面的距

知识3空间距

考点06求点到面的距离离”为核心（近5年多次出现），

离

2024·全国甲卷2024·天津2023·天津常与体积计算、空间角综合命题，

（5年2考）

需要借助等体积法或空间向量的

投影公式求解，体现“空间度量”

的统一性，难度中等偏上。

考点01平行关系的判定

1．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB2．

π

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；

3

π

(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，CD∥AB．设点M在线段OC

3

上，证明：直线QM∥平面PBD．

2．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，AB2，BC22，PBPC6，

BP,AP,BC的中点分别为D,E,O，点F在AC上，BFAO．

(1)求证：EF//平面ADO；

(2)若POF120，求三棱锥PABC的体积．

3．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：

底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB,FBC,GCD,HDA均为正三角形，且它们所在的平

面都与平面ABCD垂直．

(1)证明：EF//平面ABCD；

(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

考点02垂直关系的判定

4．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C平面ABC,ACB90．

(1)证明：平面ACC1A1平面BB1C1C；

(2)设ABA1B,AA12，求四棱锥A1BB1C1C的高．

5．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体ABCD中，ADCD,ADCD,ADBBDC，E为AC的

中点．

(1)证明：平面BED平面ACD；

(2)设ABBD2,ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求三棱锥FABC的体积．

6．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F

分别为AC和CC1的中点，BFA1B1.

（1）求三棱锥FEBC的体积；

（2）已知D为棱A1B1上的点，证明：BFDE.

7．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中

点，且PBAM．

（1）证明：平面PAM平面PBD；

（2）若PDDC1，求四棱锥PABCD的体积．

考点03求异面直线所成的角

8．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，BC∥AD,ABAD．

(1)证明：平面PAB平面PAD；

(2)PAAB2,AD13,BC2，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O．

（i）证明：O在平面ABCD上；

（ⅱ）求直线AC与直线PO所成角的余弦值．

9．（2021·上海·高考真题）四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平面

ABCD.

（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；

（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PD与AC所成角的大小.

考点04求直线与平面所成的角

10．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD中，ADC与BAC均为等腰直角三角形，

ADC90，BAC90，E为BC的中点．

(1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG//平面PAB；

(2)若PA平面ABCD，PAAC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．

11．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥PABCD,O为底面ABCD的中心．

(1)若AP5,AD32，求POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；

(2)若APAD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．

12．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C底面ABC，ACB90,AA12，

A1到平面BCC1B1的距离为1．

(1)证明：A1CAC；

(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．

13．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且PO底

面ABC，APAC2

(1)求三棱锥P-ABC的体积；

(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.

14．（2022·浙江·高考真题）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB5，DC3，

EF1，BADCDE60，二面角FDCB的平面角为60．设M，N分别为AE,BC的中点．

(1)证明：FNAD；

(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

15．（2022·全国甲卷·高考真题）在四棱锥PABCD中，PD底面

ABCD,CD∥AB,ADDCCB1,AB2,DP3．

(1)证明：BDPA；

(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．

16．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体ABCD中，ADCD,ADCD,ADBBDC，E为AC的

中点．

(1)证明：平面BED平面ACD；

(2)设ABBD2,ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦

值．

17．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1平面ABB1A1，

ABBC2，M，N分别为A1B1，AC的中点．

(1)求证：MN∥平面BCC1B1；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．

条件①：ABMN；

条件②：BMMN．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，

ABC120,AB1,BC4,PA15，M，N分别为BC,PC的中点，PDDC,PMMD.

（1）证明：ABPM；

（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.

考点05求面面角或二面角

19．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，

M为BC的中点，且PBAM．

（1）求BC；

（2）求二面角APMB的正弦值．

20．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAABBC1，PC3．

(1)求证：BC平面PAB；

(2)求二面角APCB的大小．

21．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,DAB90，F为CD的中点，点E

在AB上，EF//AD，AB3AD,CD2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFDA，使得面EFDA与

面EFCB所成的二面角为60．

(1)证明:AB//平面CDF；

(2)求面BCD与面EFDA所成的二面角的正弦值．

22．（2025·天津·高考真题）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，E、F分别为A1D1,C1B1中点，CG3GC1．

(1)求证：GF平面FBE；

(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；

(3)求三棱锥DFBE的体积．

23．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四

边形ADEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD，AD4,ABBCEF2，ED10,FB23，M为AD

的中点．

(1)证明：BM//平面CDE；

(2)求二面角FBME的正弦值．

24．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD中，BC//AD，ABBC1，AD3,点E在AD上，

且PEAD，PEDE2．

(1)若F为线段PE中点，求证：BF//平面PCD．

(2)若AB平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．

25．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，AB8，CD3，AD53，ADC90，

21

BAD30，点E，F满足AEAD，AFAB，将△AEF沿EF翻折至PEF，使得PC43．

52

(1)证明：EFPD；

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．

26．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB//CD，ABAD，AB2，AD3，DC4

(1)求证：A1B//平面DCC1D1；

(2)若四棱柱ABCDA1B1C1D1体积为36，求二面角A1BDA大小.

27．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，AB2，BC22，PBPC6，

BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD5DO，点F在AC上，BFAO.

(1)证明：EF//平面ADO；

(2)证明：平面ADO平面BEF；

(3)求二面角DAOC的正弦值.

28．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，BDCD，ADBADC60，

E为BC的中点．

(1)证明：BCDA；

(2)点F满足EFDA，求二面角DABF的正弦值．

29．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，点D、E、F分别为A1B1,AA1,CD

的中点，ABACAA12.

(1)求证：EF//平面ABC；

(2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值；

(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值．

30．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E是PB

的中点．

(1)证明：OE//平面PAC；

(2)若ABOCBO30，PO3，PA5，求二面角CAEB的正弦值．

31．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，A1BC的面积为22．

(1)求A到平面A1BC的距离；

(2)设D为A1C的中点，AA1AB，平面A1BC平面ABB1A1，求二面角ABDC的正弦值．

32．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若

AD2,QDQA5,QC3．

（1）证明：平面QAD平面ABCD；

（2）求二面角BQDA的平面角的余弦值．

33．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱

CD的中点．

（I）求证：D1F//平面A1EC1；

（II）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值．

（III）求二面角AA1C1E的正弦值．

34．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O

为BD的中点.

（1）证明：OACD；

（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE2EA，且二面角EBCD的大小为45，

求三棱锥ABCD的体积.

35．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2,AA14．点A2,B2,C2,D2

分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA21,BB2DD22,CC23．

∥

(1)证明：B2C2A2D2；

(2)点P在棱BB1上，当二面角PA2C2D2为150时，求B2P．

36．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1D1中点，B1C1与平面CDE交于点F．

（1）求证：F为B1C1的中点；

5A1M

（2）点是棱AB上一点，且二面角MFCE的余弦值为，求的值．

M11AB