五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编专题13 空间向量与立体几何（选填题）8种常见考法归类（全国）（原卷版）

专题13空间向量与立体几何（选填题）

8种常见考法归类

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01空间几何体的表面积

2023·全国乙卷2022·上海1.空间几何体的体积计算是重点考

2021·新高考全国Ⅱ卷2021·北京查内容，5年内频繁出现，涉及各

考点02空间几何体的体积问题种类型的几何体，如棱柱、棱锥、

2025·北京2025·上海2024·新课标Ⅰ卷球等，且常与其他知识点结合。与

2024·北京2024·全国甲卷2023·新课标Ⅰ卷球有关的切、接问题也是重要考

2023·新课标Ⅱ卷2023·全国甲卷2023·全国乙卷点，多以正方体、正四棱锥等为背

2023·天津2022·新高考全国Ⅰ卷景，考查考生对空间几何体结构特

知识空间几

12022·新高考全国Ⅱ卷2022·天津征的理解和空间想象能力。

何体

2022·全国甲卷2022·浙江2.点线面位置关系的判断基本每年

（年考）

552021·新高考全国Ⅱ卷2021·天津2021·北京都有考查，主要考查考生对空间中

直线与直线、直线与平面、平面与

考点03空间几何体其他量的计算

平面位置关系的基本概念和定理

2024·北京2023·北京2023·全国甲卷

的理解，通常以正方体等简单几何

考点与球有关的切、接问题

04体为载体，通过对一些位置关系的

全国二卷新课标卷

2025·2023·Ⅰ判断来命题，难度适中，注重对基

全国甲卷全国乙卷

2023·2023·础知识的考查。

2022·新高考全国Ⅱ卷2022·新高考全国Ⅰ卷

3.空间几何体的表面积计算、其他

全国乙卷

2022·量（如棱长、角度等）的计算也时

知识2点、平考点05点线面位置关系的判断有出现，要求考生熟练掌握相关公

面、直线间的2025·全国一卷2025·天津2024·全国甲卷式和定理，具备较强的运算能力和

位置关系2024·天津2022·上海空间想象能力，能够准确计算出相

（年考）全国乙卷新高考全国卷

542022·2021·Ⅱ关量的值.

考点求空间角

064.立体几何与其他知识的综合考查

2024·新课标Ⅱ卷2023·全国乙卷逐渐受到关注，虽然在选填题中出

2022·新高考全国Ⅰ卷2022·全国甲卷2022·浙江现频率相对较低，但有一定的命题

知识3立体几

何综合考点07立体几何与其他知识的综合趋势，可能会与函数、不等式等知

北京上海识结合，考查考生综合运用知识解

（5年4考）2022·2023·

决问题的能力.

考点08立体几何新定义问题

2024·上海

考点01空间几何体的表面积

1．（2022·上海·高考真题）已知某圆锥的高为4，底面积为9π，则该圆锥的侧面积为.

2．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该

零件的表面积为（）

A．24B．26C．28D．30

3．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导

航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到

地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道

平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信

号覆盖地球表面的表面积为S2r2(1cos)（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）

A．26%B．34%C．42%D．50%

4．（2021·北京·高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

3333

A．+B．33C．3D．3+

2222

考点02空间几何体的体积问题

5．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BD42,DB19，则该正四棱柱的体

积为．

6．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为

（）

56282

A．20123B．282C．D．

33

7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则

圆锥的体积为（）

A．23πB．33πC．63πD．93π

8．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥PABC中，VABC是边长为2的等边三角形，PAPB2,PC6，

则该棱锥的体积为（）

A．1B．3C．2D．3

9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，

93

AOB120，若PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（）

4

A．B．6C．3D．36

12

10．（2023·天津·高考真题）在三棱锥PABC中，点M,N分别在棱PC,PB上，且PMPC，PNPB，

33

则三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为（）

1214

A．B．C．D．

9939

11．（2022·天津·高考真题）十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部

即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个

公共侧面ABCD.在底面BCE中，若BECE3,BEC120,则该几何体的体积为（）

27273

A．B．C．27D．273

22

12．（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分

S甲V甲

别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2，则=（）

S乙V乙

510

A．5B．22C．10D．

4

32

13．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，

3

两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）

A．3B．4C．9D．12

14．（2021·北京·高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平

面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）．24h降雨量的等级划分如下：

等级24h降雨量（精确到0.1）

…………

小雨0.1~9.9

中雨10.0~24.9

大雨25.0~49.9

暴雨50.0~99.9

…………

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程

中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是

A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨

15．（2022·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）

是（）

2216

A．22πB．8πC．πD．π

33

16．（2022·全国甲卷·高考真题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，

则该多面体的体积为（）

A．8B．12C．16D．20

17．【多选】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，

FB∥ED,ABED2FB，记三棱锥EACD，FABC，FACE的体积分别为V1,V2,V3，则（）

A．V32V2B．V3V1

C．V3V1V2D．2V33V1

18．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，

其中ABCDEF是一个平面多边形，平面AFR平面ABC，平面CDT平面ABC，

5

ABBC，AB//EF//RS//CD，BC//DE//ST//AF.若ABBC8,AFCD4,RARFTCTD，则

2

该多面体的体积为．

19．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2，圆台的母线长分

别为2r2r1,3r2r1，则圆台甲与乙的体积之比为．

20．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB2,A1B11,AA12，则该棱台的

体积为．

21．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升

量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依

次为65mm,325mm,325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为mm，升量器的高为

mm．

22．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边

长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．

23．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水

蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水

面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到

157．5m时，增加的水量约为（72.65）（）

A．1.0109m3B．1.2109m3C．1.4109m3D．1.6109m3

24．【多选】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，APB120，

PA2，点C在底面圆周上，且二面角PACO为45°，则（）．

A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43π

C．AC22D．PAC的面积为3

考点03空间几何体其他量的计算

25．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAPB4，

PCPD22，该棱锥的高为（）.

A．1B．2C．2D．3

26．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒

出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面

是全等的等腰三角形．若AB25m,BCAD10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平

14

面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（）

5

A．102mB．112m

C．117mD．125m

27．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形，PCPD3,PCA45，

则△PBC的面积为（）

A．22B．32C．42D．62

考点04与球有关的切、接问题

28．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶

点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A．100πB．128πC．144πD．192π

29．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体

积为36，且3l33，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

8127812764

A．18,B．,C．,D．[18,27]

44443

30．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）

内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm．

31．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB4,O为AC1的中点，若该正方体的棱

与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是．

32．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，VABC是边长为3的等边三角形，

SA平面ABC，则SA．

33．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，以EF为直

径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．

34．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球

面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

1132

A．B．C．D．

3232

35．【多选】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体

容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A．直径为0.99m的球体

B．所有棱长均为1.4m的四面体

C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体

D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体

考点05点线面位置关系的判断

36．（2022·上海·高考真题）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P､Q､R､S分别为棱AB､BC､BB1､CD的中点，

连接A1S､B1D，对空间任意两点M､N，若线段MN与线段A1S､B1D都不相交，则称M､N两点可视，下列选

项中与点D1可视的为（）

A．点PB．点QC．点RD．点B

37．（2025·天津·高考真题）若m为直线，,为两个平面，则下列结论中正确的是（）

A．若m//,n，则m//nB．若m,m，则

C．若m//,m，则D．若m,，则m

38．（2024·全国甲卷·高考真题）设、为两个平面，m、n为两条直线，且m.下述四个命题：

①若m//n，则n//或n//②若mn，则n或n

③若n//且n//，则m//n④若n与,所成的角相等，则mn

其中所有真命题的编号是（）

A．①③B．②④C．①②③D．①③④

39．（2024·天津·高考真题）已知m,n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（）

A．若m//，mn，则nB．若m,mn，则n

C．若m//,n，则mnD．若m,n，则mn

40．（2022·全国乙卷·高考真题）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则（）

A．平面B1EF平面BDD1B．平面B1EF平面A1BD

C．平面B1EF//平面A1ACD．平面B1EF//平面A1C1D

41．【多选】（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC中点，则（）

A．ADA1CB．BC平面AA1D

C．AD//A1B1D．CC1//平面AA1D

42．【多选】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，

M，N为正方体的顶点．则满足MNOP的是（）

A．B．

C．D．

考点06求空间角

52

43．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台ABCABC的体积为，AB6，AB2，则AA与

1113111

平面ABC所成角的正切值为（）

1

A．B．1C．2D．3

2

44．（2023·全国乙卷·高考真题）已知VABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二

面角CABD为150，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

1232

A．B．C．D．

55