2025年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（二）

2025年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（二）一．选择题（共2小题）1．（2025•泸州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且DF＝DC，则AF的长为（）A．2109 B．2105 C．2．（2025•自贡）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF．若2BE＝3DF，则BF的最小值为（）A．6 B．62−5 C．35 D．45二．填空题（共18小题）3．（2025•扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为．4．（2025•长沙）如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A+∠E＝．5．（2025•北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为．6．（2025•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件，使平行四边形ABCD为菱形．7．（2025•吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为度．8．（2025•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB＝45，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF＝3，则EF的长为．9．（2025•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为．10．（2025•天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE．（Ⅰ）线段AE的长为；（Ⅱ）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN＝75°，则线段MN的长为．11．（2025•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为．12．（2025•湖北）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是．13．（2025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为．（写出一个即可）14．（2025•湖南）如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝．15．（2025•新疆）如图，在▱ABCD中．∠BCD的平分线交AB于点E，若AD＝2，则BE＝．16．（2025•福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为．17．（2025•江西）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为度．18．（2025•眉山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：2，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：①sin∠BFE=22；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AE=13AD，则点G是线段19．（2025•山东）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是．20．（2025•云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是．

2025年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（二）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）题号12答案BD一．选择题（共2小题）1．（2025•泸州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且DF＝DC，则AF的长为（）A．2109 B．2105 C．【考点】正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】过点D作DQ⊥CE交CE于点P，交BC于点Q，过点F作MN⊥AB于点M，交CD于点N，先求出CE=5，证明△BCE和△CDQ全等得CE＝DQ=5，BE＝CQ＝1，证明△CPQ和△CBE相似得CP=255，PQ=55，则DP=455，FP＝CP=255，CF=455，EF=55，再证明四边形BCMN是矩形得MN＝【解答】解：过点D作DQ⊥CE交CE于点P，交BC于点Q，过点F作MN⊥AB于点M，交CD于点N，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，∴AB＝BC＝CD＝2，∠B＝∠DCB＝90°，CD∥AB，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE=12在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE=B∴∠DCP+∠BCE＝90°，∵DQ⊥CE，∴∠CDQ+∠DCP＝90°，∴∠BCE＝∠CDQ，在△BCE和△CDQ中，∠BCE=∠CDQBC=CD∴△BCE≌△CDQ（ASA），∴CE＝DQ=5，BE＝CQ∵DQ⊥CE，∠B＝90°，∴∠CPQ＝∠B＝90°，又∵∠PCQ＝∠BCE，∴△CPQ∽△CBE，∴CPBC∴CP2∴CP=255，∴DP＝DQ﹣PQ=5∵DF＝DC，DQ⊥CE，∴FP＝CP=2∴CF＝FP+CP=4∴EF＝CE﹣CF=5∵CD∥AB，MN⊥AB，∴MN⊥CD，∴∠MNC＝∠DCB＝∠B＝90°，∴四边形BCMN是矩形，∴MN＝BC＝2，由三角形的面积公式得：S△DCF=12CD•FN=12∴12∴FN=8∴FM＝MN﹣FN=2−8在Rt△EFM中，由勾股定理得：EM=E∴AM＝AE+EM=1+1在Rt△AFM中，由勾股定理得：AF=A故选：B．【点评】此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．（2025•自贡）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF．若2BE＝3DF，则BF的最小值为（）A．6 B．62−5 C．35 D．45【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】过点F作EF的垂线，过点D作BD的垂线，两垂线交于点M，构造△MDF∽△DBE，求出MD，取MD中点为O，得到点F在以O圆心，半径为22的圆上运动，连接OB，当F在线段OB上时，即O、F、B三点共线时，BF取得最小值，即可解答．【解答】解：∵2BE＝3DF，∴BEDF如图，过点F作EF的垂线，过点D作BD的垂线，两垂线交于点M，∴∠FMD＝∠EDB，∴△MDF∽△DBE，∴BDMD∵正方形ABCD边长为6，∴BD=DC2∴MD＝42，取MD中点为O，∴OD＝22，∴点F在以O圆心，半径为22的圆上运动，连接OB，OF，在Rt△BDO中，OB=OD2当F在线段OB上时，即O、F、B三点共线时，BF取得最小值，∵OF+BF≥BO，∴BF≥OB﹣OF＝45−22故选：D．【点评】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，相似三角形判定和性质是解题的关键．二．填空题（共18小题）3．（2025•扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为9．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】9．【分析】先根据多边形的一个内角与它相邻的外角的和为180°，求出多边形的每个内角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，求出边数即可．【解答】解：∵多边形的每个内角都是140°，∴多边形的每个外角都是180°﹣140°＝40°，∴这个多边形的边数为：360°÷40°＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练多边形的外角和为360°．4．（2025•长沙）如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A+∠E＝205°．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】205°．【分析】先根据五边形的内角和定理求出五边形的内角和，从而得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，再根据已知条件求出答案即可．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，∵∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，∴∠A+∠E＝540°﹣120°﹣110°﹣105°＝205°，故答案为：205°．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理．5．（2025•北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为38【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】38【分析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°，先根据平行线间的距离处处相等得出FN＝BM，继而得出S△ABF＝S△ABM，通过解直角三角形得出BM=BC−CM=3【解答】解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠FMC，∴AB∥FM，∴FN＝BM，∵S△ABF=1∴S△ABF＝S△ABM，∵CF⊥BE，垂足为F，AB＝1＝BC，∠EBC＝30°，∴∠BFC＝90°，CF=1∴∠CFM＝90°﹣∠BCF＝30°，∴CM=1∴BM=BC−CM=3∴S△ABF故答案为：38【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．6．（2025•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件AC⊥BD（答案不唯一），使平行四边形ABCD为菱形．【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】AC⊥BD（答案不唯一）．【分析】由菱形的判定方法，即可判断．【解答】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴添加一个条件AC⊥BD，使平行四边形ABCD为菱形．故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）．【点评】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．7．（2025•吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为36度．【考点】多边形内角与外角；对顶角、邻补角；三角形内角和定理．【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．【答案】36．【分析】根据正多边形的内角和公式求出∠ABC＝∠BCD=(5−2)×180°5=108°，然后再根据邻补角性质，可得：∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°，即可求出∠FBC，∠BCF【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝∠BCD=(5−2)×180°∵∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°，∴∠FBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∠BCF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°，在△BCF中，∠F+∠FBC+∠BCF＝180°，∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF＝180°﹣72°﹣72°＝108°﹣72°＝36°．故答案为：36．【点评】本题考查了多边形内角与外角，邻补角性质，三角形的内角和定理，掌握正多边形的内角和公式，三角形的内角和定理，邻补角性质是解题的关键．8．（2025•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB＝45，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF＝3，则EF的长为85．【考点】菱形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【答案】85．【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝45，由勾股定理可求AO的长，通过证明△EGD∽△AOD，可求EG=12AO＝2，DG=【解答】解：如图，连接AC交BD于O，过点E作EG⊥BD于G，∵四边形ABCD是菱形，对角线BD的长为16，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝45，∴AO=A∵E是AD的中点，∴AD＝2DE，∵EG⊥BD，∴EG∥AC，∴△EGD∽△AOD，∴EGAO∴EG=12AO＝2，DG=∵BF＝3，∴FG＝BD﹣GD﹣BF＝9，∴EF=E故答案为：85．【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．9．（2025•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为3或9．【考点】矩形的性质；轴对称的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】3或9．【分析】根据题意画出示意图，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，当点P在AC上方时，由勾股定理求出CD=63进而得到CE=12CD=33由点C关于直线EF的对称点P，得到PE=CE=33，∠EGC＝∠EGP＝90°，求出∠CEH＝∠CAD＝60°，进而得到∠PEC＝120°，再求出∠CPE＝∠PCE=12（180°﹣∠PEC）＝30°，证明△CEF是等腰三角形，在Rt△CEH中，解直角三角形求出CH=92，进而求解；当点P在AC下方时，先求出\∠CEP＝60°，CH=92，结合对称的性质易证△CEP是等边三角形，易求EH＝PH=【解答】解：如图所示，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，当点P在AC上方时，∵在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝12，CD=A点E是边CD的中点，∴CE=1∵点C关于直线EF的对称点P，∴PE=CE=33，∠EGC＝∠EGP∵PH⊥AC，∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∠ACD＝30°，∠ACD+∠CEH＝∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CEH＝∠CAD＝60°，∴∠PEC＝120°，∵PE＝CE，∴∠CPE=∠PCE=1∵∠PEG＝∠FEH，∠EGP＝∠EHF＝90°，∴∠CPE＝∠EFC＝30°，∴△CEF是等腰三角形，CH=FH=1在Rt△CEH中，CE=33∠HCE＝30°，CH＝CE•cos∠HCE＝33×∴CF＝2CH＝9；如图，当点P在AC下方时，∵PE⊥AC，∴∠CHE＝90°，∵∠ACD＝30°，∴∠CEP＝60°，CH＝CE•cos∠ACD＝33×由对称的性质得PE＝CE，∴△CEP是等边三角形，∴∠P＝60°，CE＝PC＝PE＝33，∴∠HEF＝30°，EH=PH=12PE=∴CF＝CH﹣HF＝3；综上，CF的长为3或9．故答案为：3或9．【点评】本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．10．（2025•天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE．（Ⅰ）线段AE的长为5；（Ⅱ）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN＝75°，则线段MN的长为153【考点】矩形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）153【分析】（Ⅰ）求出BE＝1，由勾股定理可求AE的长；（Ⅱ）由SAS可证△ABE≌△ECF，可得AE＝EF=5，∠BAE＝∠CEF，由等腰直角三角形的性质和锐角三角函数可求MN【解答】解：（Ⅰ）∵EC＝2BE，BC＝3，∴BE＝1，EC＝2，∴AE=A故答案为：5；（Ⅱ）如图，过点M作MH⊥EF于H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝2，∵F为CD的中点，∴CF＝DF＝1，∴BE＝CF＝1，AB＝EC＝2，∴△ABE≌△ECF（SAS），∴AE＝EF=5，∠BAE＝∠CEF∴∠BAE+∠AEB＝90°＝∠CEF+∠AEB，∴∠AEF＝90°，∴∠EAF＝∠AFE＝45°，AF=2EF=∵M为AF的中点，∴MF=10∵MH⊥EF，∴∠MFH＝45°＝∠FMH，MH＝HF=5∵∠FMN＝75°，∴∠NMH＝30°，∴MN=MH故答案为：153【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．11．（2025•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为5．【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．【答案】5．【分析】由题意可得AM＝AN，MP＝NP，则点P在AH上运动，由点P始终在▱ABCD的内部或边上．则AP的最大值为AH的长，通过证明△ABH是等边三角形，可得AB＝AH＝6，即可求解．【解答】解：如图，连接AP，交BC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∵△MNP是等边三角形，∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面积=34MP∵AM＝AN，AP＝AP，∴△AMP≌△ANP（SSS），∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°，∴∠AMP＝90°，∴MP=3AM，AP＝2AM∴MP=32∴△MNP的面积=3316∴当AP最大时，△MNP的面积的面积最大，∵∠B＝∠BAH＝60°，∴△ABH是等边三角形，∴AB＝AH＝6，∵AM＝AN，MP＝NP，∴点P在AH上运动，∵点P始终在▱ABCD的内部或边上．∴AP的最大值为AH的长，即AP＝6，∴AM＝AN＝3，∴DN＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，锐角三角函数等知识点，确定点P的轨迹是解题的关键．12．（2025•湖北）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是2m．【考点】矩形的性质．【专题】应用题．【答案】2m．【分析】根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长x宽即可解答．【解答】解：根据题意可得矩形的面积是2m，故答案为：2m．【点评】该题考查了列代数式，正确列出式子是解题的关键．13．（2025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为2或3或4或5或6．（写出一个即可）【考点】平行四边形的性质．【专题】三角形；多边形与平行四边形；运算能力．【答案】2或3或4或5或6．【分析】由平行四边形两个邻边长分别为3和4，根据三角形的三边关系，即可求得它的一条对角线长n的取值范围．【解答】解：如图，∵平行四边形两个邻边长分别为3和4，∴它的一条对角线长n的取值范围是：4﹣3＜n＜4+3，即它的一条对角线长L的取值范围是：1＜n＜7．∴n＝2或3或4或5或6．故答案为：2或3或4或5或6．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握三角形三边关系的应用．14．（2025•湖南）如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝45°．【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．【专题】三角形；圆的有关概念及性质；正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】45°．【分析】根据正八边形的性质，圆周角定理以及三角形内角和定理进行计算即可．【解答】解：如图，设正八边形的外接圆的圆心为O，∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOB＝∠COD=360°∴∠AMB＝∠ACB+∠CBD=12∠AOB+＝45°．故答案为：45°．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，圆周角定理以及三角形内角和定理是正确解答的关键．15．（2025•新疆）如图，在▱ABCD中．∠BCD的平分线交AB于点E，若AD＝2，则BE＝2．【考点】平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．【答案】2．【分析】根据平行四边形性质得BC＝AD＝2，AB∥CD，则∠DCE＝∠BEC，再根据CE平分∠BCD得∠BCE＝∠DCE，进而得∠BCE＝∠BEC，然后根据“等角对等边”即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝2，∴BC＝AD＝2，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠BCE＝∠BEC，∴BE＝BC＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，理解“等角对等边”是解决问题的关键．16．（2025•福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为1．【考点】菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】1．【分析】根据菱形的性质证明△DOF≌△BOE（AAS），得△DOF的面积＝△BOE的面积，进而可以解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DO＝BO＝1，CD∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴△DOF的面积＝△BOE的面积，∴△AOE与△DOF的面积之和＝△BOA的面积=1故答案为：1．【点评】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的面积，掌握菱形的性质是解题的关键．17．（2025•江西）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为720度．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】720．【分析】利用多边形的内角和公式进行计算即可．【解答】解：观察图形可知：该正多边形是正六边形，∴该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝4×180°＝720°．故答案为：720．【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和公式．18．（2025•眉山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：2，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：①sin∠BFE=22；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AE=13AD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是【考点】正方形的性质；解直角三角形；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】①③④．【分析】①在AB上截取AH＝AE，连接EH，设AE＝a，DF=2a，则AH＝AE＝a，HE=2a，∠BHE＝∠EDF＝135°，BH＝ED，由此可依据“SAS”判定△BHE和△EDF全等，则BE＝FE，∠HBE＝∠FED，再证明∠FED+∠AEB＝90°得∠BEF＝90°，由此得△BEF是等腰直角三角形，则∠BFE＝∠FBE＝45°，进而得sin∠BFE＝sin45°②过点B作BM⊥BF，交DA的延长线于点M，证明△BAM和△BCG全等得AM＝CG，BM＝BG，则AE+CG＝ME，证明∠MBE＝FBE＝45°，进而可依据“SAS”判定△MBE和△GBE全等，则ME＝EG，由此得AE+CG＝EG，据此可对结论②进行判断；③过点F作FN⊥AD，交AD的延长线于点N，由（1）知设AE＝a，DF=2a，则ED＝4﹣a，证明△NDF是等腰直角三角形得DN＝FN＝a，进而得△DEF的面积S=12(4−a)⋅a=−12④设CG＝x，则DG＝4﹣x，根据AE=13AD=43得DE=83，由②知AE+CG＝EG=x+43，在Rt△DEG中，由勾股定理得(x+4【解答】解：①在AB上截取AH＝AE，连接EH，如图1所示：∵AE：DF＝1：2，∴设AE＝a，DF=2∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB＝AD＝CB＝CD＝4，∠BAD＝∠ADC＝∠C＝∠ABC＝90°，∴AH＝AE＝a，∴△AHE是等腰直角三角形，∴∠AEH＝∠AHE＝45°，∴∠BHE＝180°﹣∠AHE＝135°，由勾股定理得：HE=A∴HE＝DF，∵∠CDP＝45°，∴∠EDF＝∠ADC+∠CDP＝135°，∴∠BHE＝∠EDF＝135°，∵AB＝AD，AH＝AE，∴AB﹣AH＝AD﹣AE，即BH＝ED，在△BHE和△EDF中，HE=DF∠BHE=∠EDF△BHE≌△EDF（SAS），∴BE＝FE，∠HBE＝∠FED，∵∠HBE+∠BEH＝180°﹣∠BHE＝45°，∴∠FED+∠BEH＝45°，∴∠FED+∠BEH+∠AHE＝90°，即∠FED+∠AEB＝90°，∴∠BEF＝180°﹣（∠FED+∠AEB）＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FBE＝45°，∴sin∠BFE＝sin45°=2故结论①正确；②过点B作BM⊥BF，交DA的延长线于点M，如图2所示：∴∠MBF＝∠ABC＝90°，∴∠MBA+∠ABF＝∠ABF+∠GBC，∴∠MBA＝∠GBC，∵∠BAD＝∠C＝90°，∴∠BAM＝∠C＝90°，在△BAM和△BCG中，∠MBA=∠GBCAB=CB∴△BAM≌△BCG（SAS），∴AM＝CG，BM＝BG，∴AE+CG＝AE+AM＝ME，∵∠ABC＝90°，∠FBE＝45°，∴∠ABE+∠GBC＝45°，∴∠ABE+∠MBA＝45°，即∠MBE＝45°，∴∠MBE＝FBE＝45°，在△MBE和△GBE中，BM=BG∠MBE=FBE∴△MBE≌△GBE（SAS），∴ME＝EG，∴AE+CG＝EG，故结论②不正确；③过点F作FN⊥AD，交AD的延长线于点N，如图3所示：由（1）可知：设AE＝a，DF=2∴ED＝AD﹣AE＝4﹣a，∵∠CDN＝∠ADC＝90°，∠CDP＝45°，∴∠FDN＝∠CDN﹣∠CDP＝45°，∴△NDF是等腰直角三角形，∴DN＝FN，由勾股定理得：DF=DN2∴DN＝FN=22DF=∴△DEF的面积S=12DE•FN整理得：S=−1∴当a＝2时，S为最大，最大值为2，故结论③正确；④设CG＝x，则DG＝CD﹣CG＝4﹣x，∵AE=13AD∴DE＝AD﹣AE=4−4由②可知：AE+CG＝EG，∴EG=x+4在Rt△DEG中，由勾股定理得：EG2＝DE2+DG2，∴(x+4解得：x＝2，∴CG＝2，∴DG＝4﹣x＝2，∴CG＝DG＝2，∴点G是线段CD的中点，故结论④正确，综上所述：正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义和勾股定理是解决问题的关键．19．（2025•山东）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是4.8．【考点】平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】4.8．【分析】过M作MN⊥AP于N，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC＝AM：AC，由勾股定理求出AC＝10，由平行四边形的性质推出AM=12AB＝3，PQ＝2PM，得到MN：8＝3：10，求出MN＝2.4，由PM≥MN，得到PQ≥2MN＝4.8，即可求出【解答】解：如图，过M作MN⊥AP于N，∴∠ANM＝∠ABC＝90°，∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，∴MN：BC＝AM：AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=A∵四边形PAQB是平行四边形，∴AM=12AB＝3，PQ＝2∴MN：8＝3：10，∴MN＝2.4，∵PM≥MN，∴PQ≥2MN＝4.8，∴PQ的最小值是4.8．故答案为：4.8．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短，关键是由平行四边形的性质推出PQ＝2PM，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC＝AM：AC，由垂线段最短得到PM≥MN．20．（2025•云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是15．【考点】菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【答案】15．【分析】菱形面积=12ab（a、【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝5，∴菱形ABCD的面积=12AC•BD故答案为：15．【点评】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式．

考点卡片1．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．2．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．3．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．4．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．6．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．7．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．8．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2−b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．9．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外