2026版三维设计一轮高中总复习数学课件-第五节　椭圆

第五节椭圆高中总复习·数学课标要求1.

了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中

的作用.2.

经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简

单几何性质.3.

通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.4.

了解椭圆的简单应用.目录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART01知识·逐点夯实必备知识|课前自修

1.

椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定

点F1，F2M点的轨迹为

椭圆

⁠为椭圆的

焦点；

⁠为椭圆

的焦距｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a2a＞｜F1F2｜提醒

若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则

动点的轨迹不存在.F1，F2

｜F1F2｜

2.

椭圆的标准方程和几何性质标准方程

＋

＝1（a＞b＞0）

＋

＝1（a＞b＞0）图形

性质范围－a≤x≤a；－

b≤y≤b－b≤x≤b；－a≤y≤a对称性对称轴：

⁠；对称中心：（0，0）顶点A1（－a，0），A2

（a，0）；B1（0，－

b），B2（0，b）A1（0，－a），A2（0，

a）；B1（－b，0），B2

（b，0）x轴、y轴

性质轴长轴A1A2的长为

⁠；短轴B1B2的长为

⁠焦距｜F1F2｜＝

⁠离心率e＝

，e∈（0，1）a，b，c

的关系a2＝

⁠2a

2b

2c

b2＋c2

1.

若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，O为椭圆中心，则（1）b≤｜

OP｜≤a；（2）a－c≤｜PF｜≤a＋c.2.

焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2

叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ.

（4）焦点三角形的周长为2（a＋c）.

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.

（

×

）（2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.

（

×

）（3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆.

（

√

）

××√√

A.20B.14C.

2

D.

√

A.3B.2＋

C.2D.

＋1

√4.

〔多选〕已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8，则（

）A.

长轴的长为10B.

短半轴的长为6C.

焦点坐标可以是（0，4）D.

椭圆的标准方程可以是

＋

＝1√√√

PART02考点·分类突破精选考点|课堂演练

椭圆的定义及其应用（师生共研过关）

（1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（

A

）AA.

椭圆B.

双曲线C.

抛物线D.

圆解析：

连接QA（图略）

.由已知得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜QO｜＋｜QA｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因为点A在圆内，

所以｜OA｜＜｜OP｜，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦

点，r为长轴长的椭圆.故选A.

A.1B.2C.4D.5B

解题技法椭圆定义的应用技巧（1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦

点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等；（2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系.

A.24B.26C.22

D.24

√

A.2B.4C.7D.14

√椭圆的标准方程（师生共研过关）

A.

＋

＝1B.

＋

＝1C.

＋y2＝1D.

＋

＝1A

解题技法根据条件求椭圆方程的两种方法（1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆

方程；（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点

在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，

n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.

A.

＋

＝1B.

＋

＝1C.

＋

＝1D.

＋

＝1√

椭圆的几何性质（定向精析突破）考向1

离心率问题

A.

B.

C.

D.

A

A.

B.

C.

D.

B

解题技法求椭圆离心率的方法（1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解；（2）列出含有a，b，c的齐次方程（不等式），借助于b2＝a2－c2消去

b，转化为含有e的方程（不等式）求解；

考向2

与椭圆性质有关的最值（范围）问题

A.

的最大值为4

B.

｜PF1｜的取值范围是[4－2

，4＋2

]C.

不存在点P使PF1⊥PF2D.

｜PB｜的最大值为2

√√

解题技法与椭圆性质有关的最值（范围）问题的求解策略

A.12B.14C.16D.18√解析：

由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称，设椭圆的另一

个焦点为F1，则四边形PFQF1为平行四边形，由椭圆定义可知：｜PF｜

＋｜PF1｜＋｜QF｜＋｜QF1｜＝4a＝20，又｜PF｜＝｜QF1｜，｜

PF1｜＝｜QF｜，所以｜PF｜＋｜QF｜＝10，又PQ过原点，所以｜

PQ｜min＝2b＝6，所以△PQF的周长的最小值为10＋6＝16.故选C.

（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值

和a的取值范围.

PART03课时·跟踪检测关键能力|课后练习

12345678910111213141516171819202022232425

A.

＋

＝1B.

＋

＝1C.

＋

＝1D.

＋

＝1√

A.4B.8C.4或8D.12解析：

当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝

4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）

＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.√3.

已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点P到椭圆中心

O的距离的取值范围是（

）A.

[4，5]B.

[6，8]C.

[6，10]D.

[8，10]

√

A.

B.

C.

D.

√

A.

B.

C.2D.

√√√

A.

｜PF1｜的最大值为8B.

椭圆C的离心率e＝

C.

△PF1F2面积的最大值等于12D.

以线段F1F2为直径的圆与圆（x－4）2＋（y－3）2＝4相切√√√

4或

（1）求椭圆C的离心率；

A.

B.

C.

D.

√

A.3B.2C.

D.

√

A.

椭圆的长轴长为4B.

椭圆的离心率为

C.

椭圆的方程可以为

＋

＝1D.

椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－

√√√

（1）求C的离心率；

（2