2026版三维设计一轮高中总复习数学课件-第一节　基本立体图形及表面积与体积

第一节基本立体图形及表面积与体积高中总复习·数学课标要求1.

认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现

实生活中简单物体的结构.2.

知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决

简单的实际问题.3.

能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其

简单组合）的直观图.目录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART01知识·逐点夯实必备知识|课前自修

1.

基本立体图形（1）多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形

名称棱柱棱锥棱台底面互相

⁠

且

⁠多边形互相

且

⁠

⁠侧棱互相

⁠

且

⁠相交于一点，但不一定

相等延长线交于

⁠侧面形状平行四边形三角形梯形平行

全等

平行

相

似

平行

相等

一点

提醒常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系（2）旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形

母线互相平行且相

等，

⁠于

底面长度

⁠且

相交于一点长度相等且延长线

交于

⁠垂直

相等

一点

名称圆柱圆锥圆台球轴截面全等的

⁠全等的

⁠

⁠全等的

⁠

⁠圆面侧面展开图矩形扇形扇环矩形等腰三

角形等腰梯

形2.

立体图形的直观图（1）画法：常用斜二测画法；（2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的

夹角为

（或

），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直；②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和

z轴的线段在直观图中保持原长度

，平行于y轴的线段长度在直观

图中变为原来的

⁠.45°

135°

不变

一半

3.

圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝

⁠S圆锥侧＝

⁠S圆台侧＝

⁠2πrl

πrl

π（r＋r'）l4.

空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面积＝S侧＋S底V＝

⁠

名称几何体表面积体积台体（棱台和圆台）S表面积＝S侧＋S上＋

S下V＝

⁠

⁠球S＝4πR2V＝

⁠提醒

几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所

有底面面积之和.

1.

原图形与直观图面积的关系

2.

与体积有关的几个结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差；（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖暅原理）.

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.

（

×

）（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.

（

×

）（3）菱形的直观图仍是菱形.

（

×

）（4）圆锥的任意一个轴截面都是全等的等腰三角形.

（

√

）×××√2.

（人A必修二P106习题8题改编）如图，长方体ABCD-A'B'C'D'被截去体积较小的一部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是（

）A.

棱台B.

四棱柱C.

五棱柱D.

六棱柱解析：

由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱.√3.

（人A必修二P111习题1题改编）下列说法正确的是（

）A.

相等的角在直观图中仍然相等B.

相等的线段在直观图中仍然相等C.

正方形的直观图是正方形D.

若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行解析：

由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的

平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形.√4.

（人A必修二P119习题2题改编）如图，把一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为

⁠.1∶47

5.

已知圆锥的表面积等于12π

cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆

的半径为

cm.解析：设圆锥底面圆的半径为r

cm，母线长为l

cm，依题意得2πr＝πl，

∴l＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2

（cm）.2PART02考点·分类突破精选考点|课堂演练

基本立体图形（定向精析突破）考向1

结构特征

〔多选〕下列说法正确的是（

）A.

底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B.

有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.

如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D.

如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体√√解析：

若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱

柱底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正

确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行

且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长

后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是

360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；

若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符

合长方体的定义，故D正确.解题技法辨别空间几何体的两种方法考向2

直观图

解题技法

在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置.平行于x轴的线段

的平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段的平行性不变，长度减半.考向3

展开图

如图，在正三棱锥S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点

B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（

）A.2B.3C.

2

D.

3

√

解题技法1.

多面体表面展开图由剪开的位置不同可以有不同的形状，但图形面积相

等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离，还可将部

分空间问题转化为平面问题.2.

旋转体表面展开图一般沿母线剪开，多面体表面展开图一般沿某些棱展

开，注意球无法展开成平面图形.

1.

〔多选〕下面关于空间几何体的叙述正确的是（

）A.

底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.

用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C.

长方体是直平行六面体D.

存在每个面都是直角三角形的四面体√√解析：

当顶点在底面的投影是正多边形的中心时

才是正棱锥，故A不正确；当平面与圆柱的母线平行或

垂直时，截得的截面才为圆或矩形，否则为椭圆或椭圆

的一部分，故B不正确；长方体是直平行六面体，故C正

确；如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形，故D正确.2.

如图，一个水平放置的平面图形由斜二侧画法得到的直观图A'B'C'D'是

边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（

）A.

4

＋4B.

4

＋4C.

8

D.8

√3.

某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上

的两点，其中ME垂直于底面，OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面

上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

⁠.

空间几何体的表（侧）面积（师生共研过关）

（人A必修二P120习题6题改编）如图所示为某工厂内一手电筒最初

模型的组合体，该组合体是由一个圆台和一个圆柱组成的，其中O为圆台

下底面圆心，O2，O1分别为圆柱上、下底面的圆心，经实验测量得到圆柱

上、下底面圆的半径为2

cm，O1O2＝5

cm，OO1＝4

cm，圆台下底面圆半

径为5

cm，则该组合体的表面积为（

）A.42π

cm2B.84π

cm2C.36π

cm2D.64π

cm2√

解题技法求解几何体表面积的类型及方法（1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利

用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；（2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，

将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开

图中的边长关系；（3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、

锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和

或作差，求出所给几何体的表面积.

如图所示，已知三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形，

CC1⊥平面ABC，AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，则这个三棱台的侧面积为

（

）A.

B.

C.

D.3＋2

√

空间几何体的体积（师生共研过关）

（2）棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的

中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为

⁠；

1（3）如图所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂

直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝

2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为

⁠.4

解题技法求空间几何体的体积的三种方法

1.

（2025·八省联考）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（

）A.

πB.πC.2πD.3π

√2.

如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是（

）A.36πB.39πC.42πD.45π√

PART03课时·跟踪检测关键能力|课后练习

1.

下列说法正确的是（

）A.

各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B.

球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C.

以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D.

用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台√12345678910111213141516171819202022232425解析：

虽然各侧面都是正方形，但底面可能是菱形，所以该四棱柱不

一定是正方体，故A错误；球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经

过球心的线段”，故B正确；以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一

周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得

的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；用一个平行于底

面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误.2.

若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，

其中A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，则原四边形中AO的长度

为（

）A.

B.

2

C.2D.

√

A.

2

πB.

3

πC.

6

πD.

9

π

√4.

（2025·北京东城一模）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的黏土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20

cm，高为20

cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2

cm的黏土，然后，沿圆桶母线方向将黏土层分割成四等份（如图），等黏土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四

片瓦，全年级共500人，需要准备的黏土量（不计损耗）约为（参考数

据：π≈3.14）（

）A.0.8

m3B.1.4

m3C.1.8

m3D.2.2

m3√解析：

由条件可得四片瓦的体积V＝π×122×20－π×102×20＝880π

（cm3），所以500名学生，每人制作4片瓦共需黏土的体积为500×880π＝

440

000π（cm3），又π≈3.14，所以共需黏土的体积约为1.381

6≈1.4

m3，

故选B.

5.

如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（

）A.24－3πB.24－πC.24＋πD.24＋5π

√6.

〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷11题改编）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，P是BB1上一点，且BP＝2B1P，记三棱锥A1-B1C1P，四棱锥P-ACC1A1，三棱锥C-ABP的体积分别为V1，V2，V3，则（

）A.

V3＝2V1B.

V3＝V2C.

V2＝2（V1＋V3）D.

2V3＝3V1√√

128.

（2025·吕梁一模）已知圆台O1O2的高为3，中截面（过高的中点且垂直

于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2

的两部分，则该圆台的母线长为

⁠.

5

10.

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a（a＞1），动点E，F在棱

A1B1上，动点P，Q分别在棱CD，AD上，若EF＝1，A1F＝x，DP＝

y，DQ＝z（x，y，z均大于零），则四面体PEFQ的体积（

）A.

与x，y，z都有关B.

与x有关，与y，z无关C.

与y有关，与x，z无关D.

与z有关，与x，y无关√

11.

（2024·天津一模）在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上、下

底面的中心分别为D，H，三个侧面的中心分别为E，F，G，若在该三

棱柱中挖去两个三棱锥D-EFG和H-EFG，则剩余部分的体积为（

）A.

B.

C.

D.

√

12.

一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面

将该圆锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的

截面面积为（

）A.3πB.

2

πC.

2

πD.2π√

A.

B.

C.

D.

√

14.

〔多选〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，

∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，

下列判断正确的是（

）A.

直三棱柱的侧面积是4＋2

B.

直三棱柱的体积是

C.

三棱锥E-AA1O的体积为定值D.

AE＋EC