2026版三维设计一轮高中总复习数学同课异构-第四节　数列求和

第四节数列求和1.熟练掌握等差、等比数列的前

n

项和公式及倒序相加求和、错位相

减求和法.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.目录CONTENTS123知识体系构建课时跟踪检测考点分类突破PART1知识体系构建必备知识系统梳理基础重落实课前自修

1.数列{1＋2

n

－1}的前

n

项和为（

）A.1＋2

n

B.2＋2

n

C.

n

＋2

n

－1D.

n

＋2＋2

n

2.数列{

an

}的通项公式是

an

＝（－1）

n

（2

n

－1），则该数列的前

100项之和为（

）A.－200B.

－100C.200D.100解析：

S

100＝（－1＋3）＋（－5＋7）＋…＋（－197＋199）

＝2×50＝100.

A.50B.75

C

.

100D.125解析：

a

2＋

a

4＋…＋

a

100＝（

a

1＋

d

）＋（

a

3＋

d

）＋…＋（

a

99＋

d

）＝（

a

1＋

a

3＋…＋

a

99）＋50

d

＝50＋25＝75.4.已知数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

且

an

＝

n

·2

n

，则

Sn

＝

⁠

⁠.

（

n

－1）2

n

＋

1＋2

A.576B.99C.624D.625

（－∞，－

2]∪[3，＋∞）

2024

PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练分组转化法求和

（1）记

bn

＝

a

2

n

，写出

b

1，

b

2，并求数列{

bn

}的通项公式；

（2）求{

an

}的前20项和.

解题技法分组转化法求和的常见类型数列{

an

}的特征求前

n

项和的方法数列{

an

}可以看作其他两个

（或更多个）数列之和，即

an

＝

bn

＋

cn

分别求数列{

bn

}，{

cn

}的前

n

项和，

相加得解数列的奇偶项满足不同规律，

即

an

＝

把奇数项和偶数项看作两个数列，分

别求和，相加得解，往往需要分

n

为

奇数和偶数进行讨论数列{

an

}的特征求前

n

项和的方法数列通项中含绝对值先不考虑绝对值，求解数列从哪一项

开始变号，把正数项和非正数项分开

看作两个数列，分别求和（此时需考

虑绝对值），相加得解

已知等比数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，且

Sn

＝2

n

＋a.（1）求

an

；

（2）定义[

x

]为取整数

x

的个位数，如[1]＝1，[32]＝2，[143]＝

3，求[

a

1]＋[

a

2]＋[

a

3]＋…＋[

a

100]的值.解：由[

a

1]＝1，[

a

2]＝2，[

a

3]＝4，[

a

4]＝8，[

a

5]＝6，[

a

6]＝2，[

a

7]＝4，…，易知，从第二项起是周期为4的周期数

列，∴[

a

1]＋[

a

2]＋[

a

3]＋…＋[

a

100]＝1＋24×（2＋4＋8＋

6）＋2＋4＋8＝495.裂项相消法求和

（1）求{

an

}的通项公式；

又

a

1＝1也满足上式，

解题技法裂项相消法求和的步骤提醒

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩

倒数第几项.

已知数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，

Sn

＝2

an

－1，数列{

bn

}是等差数列，

且

b

1＝

a

1，

b

6＝

a

5.（1）求数列{

an

}和{

bn

}的通项公式；

错位相减法求和【例3】

（2023·全国甲卷17题）记

Sn

为数列{

an

}的前

n

项和，已知

a

2＝1，2

Sn

＝

nan

.（1）求{

an

}的通项公式；

解题技法错位相减法求和的步骤提醒

（1）在写出

Sn

与

qSn

的表达式时，应特别注意将两式“错位对

齐”，以便下一步准确写出

Sn

－

qSn

；（2）作差后，等式右边由第一项、中间

n

－1项的和式、最后一项三

部分组成；（3）运算时，经常把

b

2＋

b

3＋…＋

bn

这

n

－1项和看成

n

项和，把－

anbn

＋1写成＋

anbn

＋1导致错误.

已知数列{

an

}满足：

a

1＝1，

an

＋1＝2

an

＋

n

－1.（1）证明：数列{

an

＋

n

}是等比数列并求数列{

an

}的前

n

项和

Sn

；

（2）设

bn

＝（2

n

－1）·（

an

＋

n

），求数列{

bn

}的前

n

项和

Tn

.解：

bn

＝（2

n

－1）·（

an

＋

n

）＝（2

n

－1）·2

n

，则

Tn

＝2＋3×22＋5×23＋…＋（2

n

－1）·2

n

，

①2

Tn

＝22＋3×23＋5×24＋…＋（2

n

－3）·2

n

＋（2

n

－1）·2

n

＋1，

②①－②得，－

Tn

＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2

n

－（2

n

－1）·2

n

＋1＝2×（2＋22＋…＋2

n

）－2－（2

n

－1）·2

n

＋1＝－（2

n

－3）·2

n

＋1－

6，所以

Tn

＝（2

n

－3）·2

n

＋1＋6.PART3课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习1.已知数列{

an

}的通项公式

an

＝

n

cos（

n

－1）π，

Sn

为数列{

an

}的

前

n

项和，则

S

2025＝（

）A.1018B.1019C.1012D.1013解析：

因为当

n

为奇数时cos（

n

－1）π＝1，

n

为偶数时cos

（

n

－1）π＝－1，所以cos（

n

－1）π＝（－1）

n

－1，所以

an

＝

n

cos（

n

－1）π＝

n

×（－1）

n

－1，所以

S

2025＝1－2＋3－4＋…－2

024＋2025＝－1×1012＋2025＝1013.故选D.12345678910111213141516171819202122232425262728

A.100B.105C.110D.115

A.2［1－（

）2］B.2［1－（

）2］C.4［1－（

）2］D.4［1－（

）2］

（1）求{

bn

}的通项公式；

（2）若

cn

＝（－1）

nbn

，求数列{

cn

}的前

n

项和

Sn

.

5.（2024·莆田模拟）已知在等差数列{

an

}中，

Sn

为其前

n

项和，且

a

3＝5，

S

7＝49.（1）求数列{

an

}的通项公式；解：由等差数列的性质知，

S

7＝7

a

4＝49，则

a

4＝7，故公差

d

＝

a

4－

a

3＝7－5＝2，故

an

＝

a

3＋（

n

－3）

d

＝2

n

－1.

6.（2024·菏泽模拟）已知数列{

an

}满足：

a

1＝2，

an

＋1＝

an

＋2

n

.（1）求{

an

}的通项公式；

7.（2024·天门模拟）已