2026版三维设计一轮高中总复习数学同课异构-第五节　指数与指数函数

第五节指数与指数函数

目录CONTENTS123知识体系构建课时跟踪检测考点分类突破PART1知识体系构建必备知识系统梳理基础重落实课前自修

1.函数

f

（

x

）＝

ax

－3＋2（

a

＞0且

a

≠1）的图象恒过定点（

）A.（0，1）B.

（0，3）

C

.

（3，3）D.

（4，1）解析：

对于函数

f

（

x

），令

x

－3＝0，可得

x

＝3，则

f

（3）＝

a

0＋2＝3，所以函数

f

（

x

）＝

ax

－3＋2（

a

＞0且

a

≠1）的图象恒过

定点（3，3）.故选C.2.已知

a

＝0.22，

b

＝30.3，

c

＝log40.4，则（

）A.

a

＜

b

＜

c

B.

b

＜

c

＜

a

C.

c

＜

a

＜

b

D.

c

＜

b

＜

a

解析：

因为0＜0.22＜0.20＝1，30.3＞30＝1，log40.4＜log41＝0，

所以

c

＜

a

＜

b

，故选C.3.函数

f

（

x

）＝1－e｜

x

｜的图象大致是（

）解析：

易知

f

（

x

）为偶函数，且

f

（

x

）＝1－e｜

x

｜≤0，A正确.

A.（－∞，8]B.

[8，＋∞）C.（－∞，1]D.

[1，＋∞）

指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数（1）

y

＝

ax

，（2）

y

＝

bx

，（3）

y

＝

cx

，（4）

y

＝

dx

的图象，底数

a

，

b

，

c

，

d

与1之间的大小关系为

c

＞

d

＞1＞

a

＞

b

＞0.在第一象限内，指数函数

y

＝

ax

（

a

＞0，且

a

≠1）的图象越高，

底数越大.

解析：

由结论知选A.PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练指数式的运算

A.－

B.

－

C.－

D.6

ab

2.设α，β是方程5

x

2＋10

x

＋1＝0的两个根，则2α·2β＝

，（2α）β

＝

⁠.

3.（2024·宁波一模）已知

f

（

x

）＝2

x

＋2－

x

，若

f

（

a

）＝3，则

f

（2

a

）＝

⁠.解析：∵

f

（

a

）＝2

a

＋2－

a

＝3，∴

f

（2

a

）＝22

a

＋2－2

a

＝（2

a

＋2

－

a

）2－2＝32－2＝7.

7

练后悟通指数幂的运算指数函数的图象与应用【例1】

（1）（2024·长春模拟）已知函数

f

（

x

）＝（

x

－

a

）·（

x

－

b

）（其中

a

＞

b

）的图象如图所示，则函数

g

（

x

）＝

ax

＋

b

的图

象是（

）解析：由图象可知，

b

＜－1，0＜

a

＜1，所以函数

g

（

x

）＝

ax

＋

b

是减函数，

g

（0）＝1＋

b

＜0，所以选项A符合.（2）若函数

y

＝｜3

x

－1｜在（－∞，

k

]上单调递减，则

k

的取值范

围为

⁠.解析：函数

y

＝｜3

x

－1｜的图象是由函数

y

＝3

x

的图象向下平

移一个单位长度后，再把位于

x

轴下方的图象沿

x

轴翻折到

x

轴

上方得到的，函数图象如图所示.由图象知，其在（－∞，0]上

单调递减，所以

k

的取值范围为（－∞，0].（－∞，0]

1.（变条件）若本例（2）条件变为：函数

y

＝｜3

x

－1｜与直线

y

＝

m

有两个不同交点，则实数

m

的取值范围是

⁠.解析：函数

y

＝｜3

x

－1｜的图象是由函数

y

＝3

x

的图象向下平移一

个单位长度后，再把位于

x

轴下方的图象沿

x

轴翻折到

x

轴上方得到

的，而直线

y

＝

m

的图象是平行于

x

轴的一条直线，图象如图所

示，由图象可得，如果函数

y

＝｜3

x

－1｜与直线

y

＝

m

有两个不同

交点，则

m

的取值范围是（0，1）.（0，1）

2.（变条件）若本例（2）条件变为：函数

y

＝｜3

x

－1｜＋

m

的图象

不经过第二象限，则实数

m

的取值范围是

⁠.解析：作出函数

y

＝｜3

x

－1｜＋

m

的图象如图所示.由图象知

m

≤

－1，即

m

∈（－∞，－1].（－∞，－1]

解题技法指数函数的图象及其应用要点（1）已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊

点来进行分析判断；（2）进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过

平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象；（3）根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线

x

＝1与图

象的交点进行判断.

1.（多选）已知函数

y

＝

ax

（

a

＞0且

a

≠1）的图象如图所示，则下列

四个函数图象与函数解析式对应的是（

）

2.（多选）已知实数

a

，

b

满足等式2

a

＝3

b

，下列关系式中可能成立

的是（

）A.0＜

b

＜

a

B.

a

＜

b

＜0C.

b

＜

a

＜0D.

a

＝

b

解析：

作出函数

y

＝2

x

与函数

y

＝3

x

的图象（如图），当

2

a

＝3

b

＞1时，根据图象得0＜

b

＜

a

，故A选项正确；当2

a

＝3

b

＝1时，根据图象得

a

＝

b

＝0，故D选项正确；当2

a

＝3

b

＜1

时，根据图象得

a

＜

b

＜0，故B选项正确；

b

＜

a

＜0不可能成

立，故选A、B、D.指数函数的性质及应用

A.

a

＞

b

＞

c

B.

c

＞

a

＞

b

C.

b

＞

a

＞

c

D.

c

＞

b

＞

a

A.

b

＞

c

＞

a

B.

b

＞

a

＞

c

C.

c

＞

b

＞

a

D.

c

＞

a

＞

b

解题技法比较指数式大小的方法（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；（2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.

A.

B.

C.

D.

[2，＋∞）

解题技法指数方程或不等式的解法（1）解指数方程或不等式的依据：①

af

（

x

）＝

ag

（

x

）⇔

f

（

x

）＝

g

（

x

）；②

af

（

x

）＞

ag

（

x

），当

a

＞1时，等价于

f

（

x

）＞

g

（

x

）；当0＜

a

＜1时，等价于

f

（

x

）＜

g

（

x

）；（2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数

幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.

A.函数

f

（

x

）的图象关于原点对称B.函数

f

（

x

）的图象关于

y

轴对称C.函数

f

（

x

）的值域为（－1，1）D.函数

f

（

x

）是减函数

（2）不等式4

x

－2

x

＋1＋

a

＞0对任意

x

∈R都成立，则实数

a

的取值范

围是

⁠.（1，＋∞）

解析：原不等式可化为

a

＞－4

x

＋2

x

＋1对

x

∈R恒成立，令

t

＝2

x

，则

t

＞0，∴

y

＝－4

x

＋2

x

＋1＝－

t

2＋2

t

＝－（

t

－1）2＋

1≤1，当

t

＝1时，

y

max＝1，∴

a

＞1.解题技法

涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数相关性

质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题

时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

1.若e

a

＋π

b

≥e－

b

＋π－

a

，下列结论正确的是（

）A.

a

＋

b

≤0B.

a

－

b

≥0C.

a

－

b

≤0D.

a

＋

b

≥0解析：

∵e

a

＋π

b

≥e－

b

＋π－

a

，∴e

a

－π－

a

≥e－

b

－π

b

①，令

f

（

x

）＝e

x

－π－

x

，则

f

（

x

）是R上的增函数，①式即为

f

（

a

）≥

f

（－

b

），∴

a

≥－

b

，即

a

＋

b

≥0.

A.

f

（

x

）在（0，＋∞）上单调递增B.

f

（

x

）在（0，＋∞）上单调递减C.

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝0对称D.

f

（

x

）的图象关于点（0，0）中心对称

（4，＋∞）

PART3课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习

A.

B.

C.

D.

123456789101112131415162.若函数

f

（

x

）＝

ax

－

b

的图象如图所示，则（

）A.

a

＞1，

b

＞1B.

a

＞1，0＜

b

＜1C.0＜

a

＜1，

b

＞1D.0＜

a

＜1，0＜

b

＜1解析：

根据图象，函数

f

（

x

）＝

ax

－

b

是减函数，所以指数函

数的底数

a

∈（0，1），根据图象的纵截距，令

x

＝0，

y

＝1－

b

∈

（0，1），解得

b

∈（0，1），即

a

∈（0，1），

b

∈（0，1）.12345678910111213141516

A.

b

＜

a

＜

c

B.

a

＜

b

＜

c

C.

b

＜

c

＜

a

D.

c

＜

a

＜

b

12345678910111213141516

A.（0，16]B.

[16，＋∞）C.（0，

］D.

［

，＋∞）

123456789101112131415165.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，

拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到

了真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场

馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染

物数量

N

（mg/L）与时间

t

的关系为

N

＝

N

0e－

kt

（

N

0为最初污染物

数量）.如果前4小时消除了20％的污染物，那么污染物消除至最初

的64％还需要的时间为（

）A.3.6小时B.3.8小时C.4小时D.4.2小时12345678910111213141516

123456789101112131415166.（多选）（2024·聊城模拟）已知函数

f

（

x

）＝2－

x

－2

x

，有下列四

个结论，其中正确的是（

）A.

f

（0）＝0B.

f

（

x

）是奇函数C.

f

（

x

）在（－∞，＋∞）上是增函数D.对任意的实数

a

，方程

f

（

x

）－

a

＝0都有解12345678910111213141516

123456789101112131415167.写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数

⁠

⁠.①当

x

1

x

2≥0时，

f

（

x

1＋

x

2）＝

f

（

x

1）

f

（

x

2）；②

f

（

x

）为偶函数.解析：若满足①对任意的

x

1

x

2≥0有

f

（

x

1＋

x

2）＝

f

（

x

1）·

f

（

x

2）成立，则对应的函数为指数函数

y

＝

ax

的形式；若满足②

f

（

x

）

为偶函数，只需要将

x

加绝对值即可，所以满足①②两个条件的函

数满足

f

（

x

）＝

a

｜

x

｜（

a

＞0，

a

≠1）即可.f

（

x

）＝2｜

x

｜（答

案不唯一）

123456789101112131415168.已知函数

f

（

x

）＝

b

·

ax

（其中

a

，

b

为常数，且

a

＞0，

a

≠1）的

图象经过点

A

（1，6），

B

（3，24）.（1）求

f

（

x

）的表达式；

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

9.（2024·苏州一模）已知

p

：－1＜

x

＜2，

q

：2

x

＋1－

x

＜2，则

p

是

q

的（

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516解析：

对于不等式2

x

＋1＜

x

＋2，作出曲线

y

＝2

x

＋1与

y

＝

x

＋2

的图象如图所示，由图象可知，不等式2

x

＋1＜

x

＋2的解集为{

x

｜

－1＜

x

＜0}，因为{

x

｜－1＜

x

＜0}⫋{

x

｜－1＜

x

＜2}，因此，

p

是

q

的必要不充分条件，故选B.12345678910111213141516

A.（－1，2）∪（2，＋∞）B.（－∞，－1）∪（3，＋∞）C.（－∞，1）∪（2，＋∞）D.（－∞，－1）∪（2，＋∞）12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.函数

f

（

x

）的定义域为RB.函数

f

（

x

）的值域为（0，＋∞）C.方程

f

（

x

）＝

x

有且只有一个实根D.函数

f

（

x

）的图象是中心对称图形12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

a

＝－1B.

f

（

x

）是增函C.

f

（

x

）是减函数D.不等式

f

（2

t

＋1）＋

f

（

t

－5）≤0的解集为

12345678910111213141516

1234567891011121314151613.对于函数

f

（

x

），若在定义域内存在实数

x

0满足

f

（－

x

0）＝－

f

（

x

0），则称函数

f

（

x

）为“倒戈函数”.设

f

（

x

）＝3

x

＋

m

－1

（

m

∈R，

m

≠0）是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数

m

的取值范围是

⁠.

12345678910111213141516

1234567891011121314151614.已知定义域为R的函数

f

（

x

）＝

ax

－（

k

－1）

a

－

x

（

a

＞0且

a

≠1）是奇函数.（1）求实数

k

的值；解：∵

f

（

x

）是定义域为R的奇函数，∴

f

（0）＝

a

0－（

k

－1）

a

0＝1－（

k

－1）＝0，∴

k

＝2，经检验

k

＝2符合题意，∴

k

＝2.12345678910111213141516（2）若

f

（1）＜0，判断函数

f

（

x

）的单调性，若

f

（

m

2－2）＋

f

（

m

）＞0，求实数

m

的取值范围.

12345678910111213141516

15.定义在R上的函数

f

（

x

）是增函数，且对∀

x

∈R，有

f

（

f

（

x

）－

2

x

）＝3，则

f

（log43）＝

.

1234567891011121314151616.已知函数

f

（

x

）＝2

x

＋

a

·2－

x

（

a

为常数，

a

∈R）.（1）讨论函数

f

（

x

）的奇偶性；解：∵函数

f

（

x

）＝2

x

＋

a

·2－