2026版三维设计一轮高中总复习数学同课异构-第一节　计数原理

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1.某市人民医院急诊科有3名男医生，3名女医生，内科有5名男医

生，4名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名

女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的

选派方案有（

）A.180种B.56种C.29种D.15种解析：

从急诊科选派1名男医生和1名女医生有3×3＝9种方案，

从内科选派1名男医生和1名女医生有5×4＝20种方案，根据分步乘

法计数原理，该医院总共有9×20＝180种不同的选派方案，故选A.2.毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三

人，要求每列后排同学比前排高的不同排法共有（

）A.40种B.20种C.180种D.90种

3.把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数

为

⁠.

2405PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练两个计数原理1.（2024·黄冈中学一模）甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾

数分别是0，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定

（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通

行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车

最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（

）A.5B.24C.32D.64解析：

5日至9日，即5，6，7，8，9，有3天奇数日，2天偶数

日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8

（种）；第二步安排偶数日出行分两类：第一类，先选1天安排甲

的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4（种）；第二类，不安排甲

的车，每天都有2种选择，共有22＝4（种），共计4＋4＝8（种）.

根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为8×8＝64.2.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域

只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有

（

）A.24种B.48种C.72种D.96种解析：

分两种情况：①

A

，

C

不同色，先涂

A

有4种，

C

有3种，

E

有2种，

B

，

D

有1种，有4×3×2×1＝24（种）；②

A

，

C

同色，

先涂

A

，

C

有4种，再涂

E

有3种，

B

，

D

各有2种，有4×3×2×2＝48

（种）.故不同的涂色方法有48＋24＝72（种）.3.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平

行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶

点的平面构成的“平行线面组”的个数是

⁠.解析：一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线

组成6个“平行线面组”，一共有6个面，共有6×6＝36（个）.长方

体的每个对角面有2个“平行线面组”，共有6个对角面，一共有

6×2＝12（个）.根据分类加法计数原理知共有36＋12＝48（个）平

行线面组.484.由0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成

⁠个无重复数字

的四位偶数.解析：要完成的一件事为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千

位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中的四个

数字不重复.因此应先分类，再分步.第1类，当千位数字为奇数，即

取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一

个，百位数字不能取与个位、千位数字重复的数字，十位数字不能

取与个位、百位、千位数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，420不同的取法种数为3×4×5×4＝240.第2类，当千位数字为偶数，即取

2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除千位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与个位、千位数字重复的数字，十位数字不能取与个位、百位、千位数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，不同的取法种数为3×3×5×4＝180.根据分类加法计数原理，可以组成无重复数字的四位偶数的个数为240＋180＝420.练后悟通1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤2.涂色问题常用的两种方法简单的排列与组合问题【例1】

（1）（2023·全国乙卷7题）甲、乙两位同学从6种课外读

物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共

有（

）A.30种B.60种C.120种D.240种

（2）（2023·新高考Ⅰ卷13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺

术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选

修课至少选修1门，则不同的选课方案共有

种（用数字作

答）.64

解题技法1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析

法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限

制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用

间接法.2.组合问题常见的两类题型（1）“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取

出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，

再从剩下的元素中去选取；（2）“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，

通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

1.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分

配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有

种（用数字作答）.

602.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成

4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有

⁠种不同

的选法（用数字作答）.

660

排列与组合的综合问题考向1

相邻与相间问题【例2】

（2022·新高考Ⅱ卷5题）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成

一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方

式共有（

）A.12种B.24种C.36种D.48种

解题技法相邻、相间问题的解题策略（1）求相邻问题时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排

列，同时注意捆绑元素的内部排列；（2）对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的

元素插在前面元素排列的空当中.考向2

定序问题【例3】元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯需要取下，如图所

示，每次取1盏，则不同的取法共有（

）A.32种B.70种C.90种D.280种

考向3

分组、分配问题【例4】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配

方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

解题技法1.分配问题属于“排列”问题，要按排列模型求解；而分组问题属于

“组合”问题，要按组合模型求解.区分是分组问题还是分配问题的

关键是看有无分配对象，若没有分配对象，则为分组问题；若有确

定的分配对象，则为定向分配问题，否则，为不定向分配问题.

（3）对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中

元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数，这类问题

也有无序不平均分组和有序不平均分组两种情形.

1.（多选）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的

是（

）A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C.甲、乙不相邻的排法种数为72种D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有30种

2.（2024·滁州一中检测）某学校安排4名老师到学校的两个入口处进

行值班，每个入口至少需要1人，每人都必须参加，则安排的方法

总数为

⁠.

143.有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成

一行，要求从左到右，女生从矮到高排列（不一定相邻），不同的

排法共有

种.

840PART3课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习1.（2024·齐齐哈尔模拟）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食

是我国的传统美德.已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤

菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并

全部吃完，则不同的选取方法有（

）A.13种B.22种C.30种D.60种解析：

根据分步乘法计数原理，共有2×6×5＝60（种）不同的

选取方法，故选D.123456789101112131415161718192021222324252627282.夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类

店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相

邻，则可以排出的摊位规划总个数为（

）A.

B.

C.

D.

3.某大厦有

A

，

B

，

C

，

D

四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上

楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有（

）A.12种B.24种C.18种D.36种

4.（2023·新高考Ⅱ卷3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，

用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部

两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200

名学生，则不同的抽样结果共有（

）A.

·

种B.

·

种C.

·

种D.

·

种

5.（多选）下列等式正确的有（

）A.

B.

C.

D.

6.（多选）现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7

人、8人、9人、10人，则下列说法正确的是（

）A.选1人为负责人的选法种数为34B.每组选1名组长的选法种数为5400C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为

420D.若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组

必须有人选，则不同的选法有37种解析：

对于A，4个数学课外兴趣小组共有7＋8＋9＋10＝34

（人），故选1人为负责人的选法共有34种，A对；对于B，分四

步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名

组长，所以不同的选法共有7×8×9×10＝5040（种），B错；对于

C，分六类：从第一、二组中各选1人，有7×8种不同的选法；从第

一、三组中各选1人，有7×9种不同的选法；从第一、四组中各选1

人，有7×10种不同的选法；从第二、三组中各选1人，有8×9种不

同的选法；从第二、四组中各选1人，有8×10种不同的选法；从第

三、四组中各选1人，有9×10种不同的选法.所以不同的选法共有

7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431（种），C错；对于D，若不考虑限制条件，每个人都有4种选法，共有43＝64（种）

选法，其中第一组没有人选，每个人都有3种选法，共有33＝27（种）

选法，所以第一组必须有人选的不同选法有64－27＝37（种），D对.7.男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照，要求男女

生相间且甲和乙相邻，共有

种不同排法.

40

9.如图所示的几何体是由一个三棱锥

P

-

ABC

与三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1

组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色（底面

A

1

B

1

C

1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案种数

为（

）A.10B.12C.18D.24

10.（2024·北京模拟）在0，1，2，3，4，5，6这7个数中任取4个

数，将其组成无重复数字的四位数，其中能被5整除且比4351大的

数共有（

）A.54个B.62个C.74个D.82个

11.（多选）现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1，

2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内.则下列说法正确的是

（

）A.恰有1个盒子不放球，共有72种放法B.每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法

有9种C.有2个盒子内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种D.恰有2个盒子不放球，共有84种放法

12.《医院分级管