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文档简介

教考衔接3⇒二次求导法在解决问题中的常见类型

真题展示【例】

（1）（2023·新高考Ⅱ卷22（1）题）证明：当0＜

x

＜1时，

x

－

x

2＜sin

x

＜

x

；解：证明：要证

x

－

x

2＜sin

x

＜

x

，则构造

g

（

x

）＝

x

－sin

x

，

h

（

x

）＝sin

x

－

x

＋

x

2.易得g'（

x

）＝1－cos

x

，则当

x

∈（0，1）时，g'（

x

）＝1－

cos

x

＞0，所以

g

（

x

）在（0，1）上单调递增，所以

g

（

x

）＞

g

（0）＝0，所以sin

x

＜

x

.由

h

（

x

）＝sin

x

－

x

＋

x

2，得h'（

x

）＝cos

x

－1＋2

x

.令

m

（

x

）＝cos

x

－1＋2

x

，则m'（

x

）＝－sin

x

＋2＞0，所以h'（

x

）在（0，1）上单调递增，所以h'（

x

）＞h'（0）＝0，所以

h

（

x

）在（0，1）上单调递增，所以

h

（

x

）＞

h

（0）＝0，所以

x

－

x

2＜sin

x

.综上所述，

x

－

x

2＜sin

x

＜

x

.（2）（2022·新高考Ⅰ卷22（1）题）已知函数

f

（

x

）＝e

x

－

ax

和

g

（

x

）＝

ax

－ln

x

有相同的最小值，求a.

解法探究求解此类问题时，一次求导后往往不易或不能直接判断原函数的单调

性，从而不能进一步判断函数的极值、最值等性质，需要二次求导才

能找到原函数的单调性，进而解决问题.下面介绍二次求导解决问题的

步骤：（1）求函数

f

（

x

）的定义域；（2）求函数

f

（

x

）的导数f'（

x

），无法判断导函数正负；（3）再构造函数

g

（

x

）＝f'（

x

）（或f'（

x

）中不能确定正负的式

子），二次求导，即求g'（

x

）；（4）列出

x

，g'（

x

），

g

（

x

）的变化关系表；（5）根据列表解答问题.

二次求导法解决问题的常见类型类型1

利用二次求导求参数的值（范围）【例1】

已知关于

x

的不等式2lnx

＋2（1－

m

）

x

＋2≤

mx

2在（0，

＋∞）上恒成立，则整数

m

的最小值为（

）A.1B.2C.3D.4

类型3

利用二次求导证明不等式【例3】

已知函数

f

（

x

）＝（

x

＋1）lnx

－

x

＋1.证明：（

x

－1）

f

（

x

）≥0.

高考还可这样考已知函数

f

（

x

）＝ln（

x

－1）－

ax

－1lna

，

a

＞1.（1）若函数

f

（

x

）在

x

＝2处的切线的斜率为1－e，求实数

a

的值（e

是自然对数的底数）；

即lna

＋2ln（lna

）＝1，令

m

＝lna

，则

m

＋2lnm

＝1，又因为

y

＝

m

＋2lnm

在（0，＋∞）上是增函数，且当

m

＝1

时，

y

＝

m

＋2lnm

＝1，所以

m

＝1，即lna

＝1，所以

a

＝e.（2）若函数

f

（

x

）有且仅有两个零点，求实数

a

的取值范围.解：因为函数

f

（

x

）有且仅有两个零点，所以ln（

x

－1）－

ax

－1lna

＝0有且仅有两个大于1的实数根，又

ax

－1lna

＝ln（

x

－1），则（

x

－1）

ax

－1lna

＝（

x

－1）ln

（

x

－1），即（

x

－1）ln

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