2018年高考数学（理）二轮复习教师用书第1部分重点强化专题专题6第14讲函数的图象和性质

函数与导数第14讲函数的图象和性质题型1函数的图象判断(对应学生用书第47页)■核心知识储备………………………·函数的图象包括作图、识图、用图，三者在学习中的侧重点为：(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．(2)识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．■典题试解寻法………………………·【典题1】(考查建模类函数图象的识别)(2017·石家庄质量预测一)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A­BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是()图14­1[思路分析]鳖臑的定义→找△BPD的高→建立函数f(x)的表达式→识别f(x)的图象．[解析]法一：(直接法)如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQ∥AB，QR∥CD.设AB＝BD＝CD＝1，则eq\f(CP,AC)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(PQ,1)，即PQ＝eq\f(x,\r(3))，又eq\f(QR,1)＝eq\f(BQ,BC)＝eq\f(AP,AC)＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以QR＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以PR＝eq\r(PQ2＋QR2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(3))))\S\UP12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－x,\r(3))))\S\UP12(2))＝eq\f(\r(3),3)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)，所以f(x)＝eq\f(\r(3),6)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)＝eq\f(\r(6),6)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))\S\UP12(2)＋\f(3,4))，故选A.法二：(特殊位置法)由题意可知，当P位于AC的中点时f(x)取得最小值，又f(x)是非均匀变化的，故排除选项B，C，D，故选A.[答案]A【典题2】(考查解析式类函数图象的识别)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()[解析]∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.[答案]D【典题3】(考查函数图象的应用)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝eq\f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq\i\su(i＝1,m,)(xi＋yi)＝()【导学号：07804099】A．0B．mC．2m D．4m[解析]因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因为eq\f(－x＋x,2)＝0，eq\f(f－x＋fx,2)＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝eq\f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do8(i＝1))xi＝0，eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do8(i＝1))yi＝2×eq\f(m,2)＝m，所以eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do8(i＝1))(xi＋yi)＝m.[答案]B[类题通法]函数图象的判断方法(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置．(2)根据函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)根据函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)根据函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)取特殊值代入，进行检验．■对点即时训练………………………·1．已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()图D[法一：先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.法二：先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.]2．如图14­2所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O，O1，O2，动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象是()图14­2A[当x∈[0，π]时，y＝1.当x∈(π，2π)时，eq\o(O1P,\s\up6(→))＝eq\o(O2P,\s\up6(→))－eq\o(O2O1,\s\up6(→))，设eq\o(O2P,\s\up6(→))与eq\o(O2O1,\s\up6(→))的夹角为θ，|eq\o(O2P,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(O2O1,\s\up6(→))|＝2，由弧长公式得θ＝x－π，所以y＝|eq\o(O1P,\s\up6(→))|2＝(eq\o(O2P,\s\up6(→))－eq\o(O2O1,\s\up6(→)))2＝5－4cosθ＝5＋4cosx，x∈(π，2π)，所以函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递增，排除C，D.当x∈[2π，4π)时，因为eq\o(O1P,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→))，设eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OO1,\s\up6(→))的夹角为α，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OO1,\s\up6(→))|＝1，由弧长公式得α＝2π－eq\f(1,2)x，所以y＝|eq\o(O1P,\s\up6(→))|2＝(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→)))2＝5－4cosα＝5－4coseq\f(1,2)x，x∈[2π，4π)，所以函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.]■题型强化集训………………………·(见专题限时集训T2、T6、T8、T11)题型2函数性质的综合应用(对应学生用书第48页)■核心知识储备………………………·1．若f(x)在定义域上单调递增，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2；若f(x)在定义域上单调递减，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＞x2.2．周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，则T＝2a.(a＞0)3．与函数对称性有关的三条结论(1)函数y＝f(x)关于x＝eq\f(a＋b,2)对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)；特例：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)；(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；特例：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数y＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)；(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于(a,0)对称．■典题试解寻法………………………·【典题1】(考查基本初等函数的性质)(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>1,0<c<1，则()A．ac＜bc B．abc＜bacC．alogbc＜blogac D．logac＜logbc[思路分析]根据选项构造函数→根据所构造的函数的单调性比较大小→结论．[解析]∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，∴当a＞b＞1,0＜c＜1时，ac＞bc，选项A不正确．∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，∴当a＞b＞1,0＜c＜1，即－1＜c－1＜0时，ac－1＜bc－1，即abc＞bac，选项B不正确．∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，∴alga＞blgb＞0，∴eq\f(a,lgb)＞eq\f(b,lga).又∵0＜c＜1，∴lgc＜0.∴eq\f(algc,lgb)＜eq\f(blgc,lga)，∴alogbc＜blogac，选项C正确．同理可证logac＞logbc，选项D不正确．[答案]C【典题2】(考查应用复合函数的奇偶性、单调性解不等式)(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()【导学号：07804100】A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))[思路分析]判断f(x)的奇偶性→判断f(x)的单调性→解关于x的不等式．[解析]∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－eq\f(1,1＋－x2)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(1,1＋x2)，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－eq\f(1,1＋x2)也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔eq\f(1,3)<x<1.故选A.[答案]A【典题3】(考查抽象函数的奇偶性、周期性的应用)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2017)＋f(2018)＝()A．3 B．2C．1 D．0[解析]因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2017)＝－f(2017)，因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期为6.又当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，所以f(2017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，f(2018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3，故f(－2017)＋f(2018)＝－f(2017)＋3＝－2＋3＝1.故选C.[答案]C[类题通法]函数三大性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．(2)单调性：可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性等．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．■对点即时训练………………………·1．已知函数f(x)＝3ln(x＋eq\r(x2＋1))＋a(7x＋7－x)，x∈R，则“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由题意知f(x)的定义域为R，易知y＝ln(x＋eq\r(x2＋1))为奇函数，y＝7x＋7－x为偶函数．当a＝0时，f(x)＝3ln(x＋eq\r(x2＋1))为奇函数，充分性成立；当f(x)为奇函数时，则a＝0，必要性成立．因此“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件，故选C.]2．已知函数f(x)为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f(log2m)＜f(log4(m＋2))成立，则实数m的取值范围是()A．eq\f(1,4)≤m＜2 B．eq\f(1,4)≤m≤2C．2＜m≤4 D．2≤m≤4A[因为函数f(x)是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f(x)在[－2,2]上单调递增．故由f(log2m)＜f(log4(m＋2))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤log2m≤2，,－2≤log4m＋2≤2，,log2m＜log4m＋2，,m＞0，,m＋2＞0，))解－2≤log2m≤2，得eq\f(1,4)≤m≤4；解－2≤log4(m＋2)≤2，得eq\f(1,16)≤m＋2≤16，即－eq\f(31,16)≤m≤14；由log2m＜log4(m＋2)，得log4m2＜log4(m＋2)，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＞0，,m＋2＞0，,m2＜m＋2，))解得－1＜m＜2，且m≠0.综上可知，m的取值范围是eq\f(1,4)≤m＜2，故选A.]■题型强化集训………………………·(见专题限时集训T1、T3、T4、T5、T7、T9、T10、T12、T13、T14、T15、T16)三年真题|验收复习效果(对应学生用书第50页)1．(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋log22－x，x<1，,2x－1，x≥1，))则f(－2)＋f(log212)＝()A．3 B．6C．9 D．12C[∵－2<1，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝eq\f(12,2)＝6.∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C.]2.(2017·全国Ⅰ卷)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()【导学号：07804101】A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]D[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]3.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5zD[令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t＞1.则x＝log2t＝eq\f(lgt,lg2)，同理，y＝eq\f(lgt,lg3)，z＝eq\f(lgt,lg5).∴2x－3y＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3)＝eq\f(lgt2lg3－3lg2,lg2×lg3)＝eq\f(lgtlg9－lg8,lg2×lg3)＞0，∴2x＞3y.又∵2x－5z＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(5lgt,lg5)＝eq\f(lgt2lg5－5lg2,lg2×lg5)＝eq\f(lgtlg25－lg32,lg2×lg5)＜0，∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z.故选D.]4.