高考规律揭秘2022年高考数学考前30天题型突破专题6立体几何（新高考）【原卷版】

2022年高考数学考前30天题型突破专题6：立体几何一、高考规律揭秘1．规律小结我们通过比较近三年的高考题可以发现，对于空间向量与立体几何的考查在素养要求的层级上有所提高，但难度不会提升太多，多为基础性、综合性题目。理科与新高考数学对创新能力的要求有所提高，所以我们认为，2022年的高考，会加强对创新能力的考查，但总体基调不会发生太大变化。2．考点频度理科：高频考点：面面角，垂直关系的证明；中频考点：三视图，体积、球及球的切接，线线角、线面角，劳动生产实际与数学文化；低频考点：体积，平行关系的证明。文科：高频考点：体积，垂直关系的证明，劳动生活与数学文化；中频考点：三视图、表面积，球及球的切接，线线角，线面角，平行关系的证明，命题及其他。3．备考策略理科：（1）简单几何体和组合几何体是培养学生空间想象能力的一个很好的载体，可以单独考查，如几何体的识别，距离和截面面积的计算；也可以与体积、表面积结合考查，重点考查简单几何体的表面积或体积，理科为小题，多为低档题．球与简单几何体的切接问题或与之有关的最值问题，题型为选择题或填空题，这是一类重点问题，有时难度相对较大。（2）2022年高考仍将以小题形式考查平行与垂直的判定与性质，多为基础题，对于截面问题的考查，难度则有提升；解答题，第一小题多为证明线线、线面、面面垂直与平行；第二问，多数是利用空间向量的相关知识解决空间角的问题，为中档题。（3立体几何是高考命制创新试题的重要载体，它与社会实践息息相关，并且有深厚的数学文化背景。①数学文化下的立体几何问题要引起重视，中华文化源远流长，在对数学真理的探索道路上不断前行，对人类的进生作出了伟大的贡献，因此立体几何与数学文化相关的命题是独具特色的。②生活中的立体几何问题，实际应用问题常以几何体的表面积、体积、角度和距离为载体，在解答时需要注意变量的实际意义，多为中档题。③立体几何与其他知识的交汇，多以考查体积、表面积、距离和角度为主，因此这类题目凸品独特，立意较为新颖，有一定难度。高考试题精练1．【2021年全国新高考Ⅰ卷数学】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A． B． C． D．2．【2021年全国新高考Ⅰ卷数学】在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面3．【2021年全国新高考II卷数学】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A． B． C． D．4．【2021年全国新高考II卷数学】如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（）A． B．C． D．三、知识点精讲一、空间几何体的三视图、表面积和体积1．空间几何体的三视图(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正(主)侧(左)一样高，正(主)俯一样长，侧(左)俯一样宽；看不到的线画虚线．2．用斜二测画法画几何体的直观图的注意点(1)用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图与直观图中的“三变”、“三不变”：①“三变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角改变，,与y轴平行的线段的长度改变（减半），,图形改变.))②“三不变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不变，,与x轴平行的线段长度不变，,相对位置不变.))(2)对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系：S′＝eq\f(\r(2),4)S，并能进行相关的计算．3．多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．4．旋转体的侧面积和表面积(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)．(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl)．(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.5．空间几何体的体积公式几何体名称体积棱(圆)柱V＝Sh(S为底面面积，h为高)棱(圆)锥V＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)棱(圆)台V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)球V＝eq\f(4π,3)R3(R为球半径)6.与球有关的组合体的常用结论(1)长方体的外接球：①球心：体对角线的交点；②半径：r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)(a，b，c为长方体的长、宽、高)．(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：①外接球：球心是正方体中心；半径r＝eq\f(\r(3),2)a(a为正方体的棱长)；②内切球：球心是正方体中心；半径r＝eq\f(a,2)(a为正方体的棱长)；③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝eq\f(\r(2),2)a(a为正方体的棱长)．(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：①外接球：球心是正四面体的中心，半径r＝eq\f(\r(6),4)a(a为正四面体的棱长)．②内切球：球心是正四面体的中心，半径r＝eq\f(\r(6),12)a(a为正四面体的棱长)．二、线面平行与垂直的判定与性质1．平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C不共线⇒A，B，C∈平面α，则α是唯一的公理2的推论推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点A∉直线a，则A和a确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若P∈α，P∈β，则α∩β＝a，P∈a，且a是唯一的公理4平行于同一直线的两条直线平行l1∥l，l2∥l⇒l1∥l2要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系相交关系独有关系3．直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行⇒线面平行)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊄α,a⊂α,l∥a))⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为线面平行⇒线线平行)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可；线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法．4．平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为线面平行⇒面面平行)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α,b⊂α,a∩b＝P,a∥β,b∥β))⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行．5．直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b6.平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α三、空间角1．两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角．若记这个角为θ，则θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面．3．线面角(1)当l⊥α时，线面角为90°.(2)当l∥α或l⊂α时，线面角为0°.(3)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.4．二面角(1)如图所示的二面角α­l­β，若①O∈l，②OA⊂α，OB⊂β，③OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫作二面角α­l­β的平面角．(2)二面角θ的范围：0°≤θ≤180°.5．技巧归纳(1)“线线角抓平移，线面角定射影，二面角求平面角”．计算二面角的关键是作出二面角的平面角，方法较为灵活，还可以通过“割”或“补”找二面角的平面角．对于无棱二面角，可以先找出棱或借助于平面法向量的夹角求解，也可以利用射影面积公式cosθ＝eq\f(S射,S原)求解．(2)空间距离的求法一般都化归为点与点、点与线、点到面的距离来求．不管是求角还是距离，都涉及怎样确定平面的法向量问题，这可以利用线面垂直的判定与性质定理予以确定．6．空间向量的坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；④a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；⑥|a|2＝a·a⇒|a|＝eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))(向量模与向量之间的转化)；⑦cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))).(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2).(1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简．(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算．7．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)找直线的方向向量：在直线上任取一非零向量可作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))8．两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角a，b范围0<θ≤eq\f(π,2)0<a，b<π求法cosθ＝|cosa，b|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)9.直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cosa，n|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).10．点到平面的距离的向量求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).11．二面角设n1，n2分别为二面角的两个半平面的法向量，其二面角为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．其中cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|).求向量的夹角时需注意线线角、线面角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，向量的夹角范围是[0，π]，二面角的范围是(0，π]．四、高考试题精讲1．【2020年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A．20° B．40°C．50° D．90°2．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．3．【2021年全国新高考Ⅰ卷数学】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.五、内容检测立体几何与空间向量(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是()A．三棱锥 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱台2．下列说法正确的是()A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台3．下列命题中是真命题的是()A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行B．与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行C．平行于同一个平面的两条直线互相平行D．垂直于同一个平面的两条直线互相平行4．圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为90°，则圆锥的表面积是底面积的________倍()A．2B．3C．4D．55．《九章算术》卷五商功中记载了一个问题：今有圆亭：下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？答曰：五百二十七尺，九分尺之七．术曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一，文中给出了如三视图所示几何体体积的一种近似算法：(上底面周长×下底面周长＋上底面周长的平方＋下底面周长的平方)×高×eq\f(1,36)，如此求出的体积的近似值与实际值的比值为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(3,π)C.eq\f(22,7π)D.eq\f(7π,22)6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A.eq\f(4,3)cm3B．2cm3C.eq\f(8,3)cm3D．4cm37．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD(如图所示)，若∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为()A.eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),4) B．2＋eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)＋eq\r(2)8．已知直线l⊥平面α，平面β⊥平面γ，()A．若α∥γ，则l∥β B．若α⊥γ，则l⊥βC．若l∥γ，则α∥β D．若l⊥γ，则α⊥β9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，则异面直线AC1与BC所成角的余弦值为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(2\r(2),3)10．已知球O是直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球，若AA1＝AC＝eq\r(2)BC，BA＝BC＝1，则球O的体积为()A.eq\f(4,3)πB.eq\f(32,3)πC．4πD.eq\f(9,2)π11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．212．已知三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝2，底面△ABC满足AC＝eq\r(3)，∠ABC＝eq\f(π,3)，则该三棱锥体积的最大值为()A.eq\f(5\r(3),3)B.eq\f(2\r(3)＋3,6)C.eq\f(2\r(3)＋3,3)D.eq\f(2\r(3)＋3,4)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知直线a，b和平面α，若a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是________．14.已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上的两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为eq\f(π,6)，则eq\f(l,r)＝________.15.如图，在矩形ABCD中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动(其中M不与A，B重合，N不与C，D重合)，且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D－MNQ，则三棱锥D－MNQ体积